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Mathe
27. Nov. 2025
2.415
16 Seiten
Jule Mühlbauer @julemhlbauer_uryc
Lineare Algebra mag erstmal nach komplizierter Mathematik klingen, aber ist eigentlich ein super praktisches Tool für Probleme mit... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du hast mehrere Gleichungen mit denselben Variablen - das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS). Um diese zu lösen, darfst du drei wichtige Tricks anwenden, ohne dass sich die Lösung ändert Gleichungen vertauschen, mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren oder Gleichungen addieren.
Bei zwei Variablen kannst du dir das geometrisch vorstellen Jede Gleichung ist eine Gerade. Schneiden sich die Geraden in einem Punkt, gibt's genau eine Lösung. Sind sie parallel, gibt's keine Lösung. Sind sie identisch, gibt's unendlich viele Lösungen.
Der Gauß'sche Algorithmus ist dein Werkzeug zum systematischen Lösen Du eliminierst schrittweise Variablen, bis du eine Dreiecksform erhältst. Dann setzt du rückwärts ein und erhältst deine Lösung.
Tipp Nummeriere immer deine Gleichungen und notiere jeden Schritt - das hilft dir, den Überblick zu behalten!
Nach dem Gauß'schen Algorithmus checkst du, welchen Fall du vor dir hast. Eine Widerspruchszeile wie "0 = -1" bedeutet unlösbar, Lösungsmenge L = ∅. Eine Nullzeile wie "0 = 0" deutet auf unendlich viele Lösungen hin.
Unterbestimmte Systeme haben weniger Gleichungen als Variablen - hier brauchst du Parameter für die Lösung. Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Variablen, was oft zu Widersprüchen führt.
Die Koeffizientenmatrix ist ein cleverer Trick Du schreibst nur die Zahlen vor den Variablen in eine Matrix und wendest darauf den Gauß'schen Algorithmus an. Das spart Platz und macht alles übersichtlicher.
Merkhilfe Zähle immer Gleichungen vs. Variablen - das gibt dir schon einen Hinweis auf die Art der Lösung!
Die Koeffizientenmatrix macht dein Leben einfacher Statt die ganzen Variablen mitzuschleppen, arbeitest du nur mit den Zahlen. Das Prinzip bleibt dasselbe - Gauß'scher Algorithmus bis zur Stufenform.
Nach der Elimination prüfst du systematisch Gibt's einen Widerspruch? Dann unlösbar. Ist die Anzahl der Variablen gleich der nicht-trivialen Zeilen? Dann eindeutig lösbar. Gibt's mehr Variablen als Zeilen? Dann unendlich viele Lösungen mit Parametern.
Bei eindeutiger Lösung setzt du einfach von unten nach oben ein. Bei unendlich vielen Lösungen legst du freie Parameter fest und stellst die anderen Variablen in Abhängigkeit davon dar.
Praxis-Tipp Kontrolliere deine Lösung immer, indem du sie in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt!
Vektoren sind wie Pfeile mit Richtung und Länge - super praktisch für Bewegungen im Raum. Du stellst sie als Spaltenvektoren dar in der Ebene mit zwei, im Raum mit drei Koordinaten. Diese Zahlen zeigen dir, wie weit der Pfeil in jede Koordinatenrichtung geht.
Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B berechnest du mit der Formel d(A,B) = √. Das ist basically der Satz des Pythagoras in 3D.
Wichtig ist der Unterschied zwischen Punkt und Vektor Ein Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zu einem Punkt. Ein Verschiebungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte und wird durch Koordinatendifferenz berechnet.
Visualisierung Stelle dir Vektoren immer als Pfeile vor - das hilft beim Verständnis der Operationen!
Das Rechnen mit Vektoren ist erstaunlich logisch Du addierst einfach koordinatenweise. Der Betrag eines Vektors |v| ist seine Länge und wird wie der Abstand zweier Punkte berechnet √.
Geometrisch kannst du Vektoren nach der Dreiecksregel addieren Häng den zweiten Vektor ans Ende des ersten. Die Parallelogrammregel funktioniert auch Leg beide Vektoren an denselben Startpunkt und vervollständige das Parallelogramm.
Die Vektoraddition befolgt dieselben Gesetze wie normale Addition kommutativ und assoziativ . Es gibt auch einen Nullvektor und zu jedem Vektor einen Gegenvektor.
Merkregel Bei Vektoroperationen rechnest du immer koordinatenweise - wie bei einer Einkaufsliste für x, y und z!
Die geometrische Addition mit Dreiecks- und Parallelogrammregel macht Vektoren richtig anschaulich. Du legst die Pfeile physisch aneinander oder zeichnest ein Parallelogramm - das Ergebnis ist derselbe Summenvektor.
Die Subtraktion funktioniert über den Gegenvektor a - b = a + . Der Gegenvektor -a hat dieselbe Länge wie a, aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
Die Rechengesetze der Vektoraddition sind identisch mit denen der normalen Addition. Das macht das Rechnen vorhersagbar und fehlerresistent - du kannst Klammern setzen und Terme umstellen, wie du willst.
Zeichentipp Zeichne Vektoroperationen immer auf - das macht Fehler sichtbar und hilft beim Verständnis!
Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jeden Koordinatenwert mit derselben reellen Zahl r. Das Ergebnis ein paralleler Vektor mit r-facher Länge (bei r > 0) oder entgegengesetzter Richtung (bei r < 0).
Zwei Vektoren sind parallel (kollinear), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Das erkennst du daran, dass ihre Koordinaten proportional sind.
Eine Linearkombination ist eine Summe von skalar-multiplizierten Vektoren r₁·a₁ + r₂·a₂ + ... + rₙ·aₙ. Damit kannst du prüfen, ob sich ein Vektor aus anderen zusammensetzen lässt - das führt zu einem linearen Gleichungssystem.
Anwendung Linearkombinationen sind überall - von der Mischung von Farben bis zur Beschreibung von Bewegungen!
Kollineare Vektoren verlaufen parallel - einer ist ein Vielfaches des anderen . Komplanare Vektoren liegen alle in derselben Ebene, das heißt, einer lässt sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen .
Die lineare Abhängigkeit ist das mathematische Konzept dahinter Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer durch die anderen ausdrücken lässt. Zwei kollineare Vektoren sind linear abhängig, drei komplanare Vektoren ebenso.
Umgekehrt sind Vektoren linear unabhängig, wenn sich keiner als Kombination der anderen schreiben lässt. Das passiert bei nicht-parallelen Vektoren in der Ebene oder nicht-komplanaren Vektoren im Raum.
Praxis-Check Stelle ein Gleichungssystem auf - wenn es eine eindeutige Lösung hat, sind die Vektoren linear unabhängig!
Das Skalarprodukt verbindet Vektoren mit Winkeln - mega praktisch! In Koordinatenform multiplizierst du entsprechende Koordinaten und addierst a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. In Kosinusform gilt a·b = |a||b|cos γ, wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren ist.
Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du durch Umformen cos γ = (a·b)/(|a||b|). Dann nimmst du den Arkuskosinus und erhältst den Winkel zwischen 0° und 180°.
Der Kosinussatz hilft dir dabei, die Koordinaten- und Kosinusform zu verbinden. Durch geschicktes Umformen kannst du zeigen, dass beide Definitionen des Skalarprodukts identisch sind.
Winkel-Trick Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz; ist es negativ, ist der Winkel stumpf!
Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist a ⊥ b ⟺ a·b = 0. Das ist das wichtigste Kriterium zum Prüfen von rechten Winkeln in der Vektorgeometrie.
Eine Gerade beschreibst du mit der Parametergleichung g x = a + r·m. Dabei ist a der Stützvektor (zeigt zu einem beliebigen Punkt der Geraden) und m der Richtungsvektor (gibt die Richtung an). Der Parameter r durchläuft alle reellen Zahlen.
Mit der Punktprobe checkst du, ob ein Punkt P auf der Geraden liegt Setze den Ortsvektor von P für x ein und löse nach r auf. Gibt's eine Lösung, liegt P auf g; sonst nicht.
Gerade-verstehen Eine Parametergleichung ist wie eine Wegbeschreibung "Geh zum Punkt a, dann r-mal in Richtung m!"
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektorgeometrie im 3D-Koordinatensystem. Diese Zusammenfassung behandelt Verbindungsvektoren, Ortsvektoren, Einheitsvektoren, Vektorrechenregeln und das Spiegeln von Punkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Vektorgeometrie vertiefen möchten.
MatheVertiefte Konzepte zu Geradengleichungen, Ebenengleichungen, Kollinearität und Orthogonalität von Vektoren. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Geometrie. Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Berechnung von Abständen und zur Prüfung der Lage von Geraden.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit einem Fokus auf Vektoren. Dieser Lernzettel behandelt die Definition und Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Geraden und deren Parameterform, sowie die Anwendung von Vektoren zur Bestimmung von Geschwindigkeiten und Abständen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis der analytischen Geometrie erlangen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jule Mühlbauer
@julemhlbauer_uryc
Lineare Algebra mag erstmal nach komplizierter Mathematik klingen, aber ist eigentlich ein super praktisches Tool für Probleme mit mehreren Unbekannten. Von linearen Gleichungssystemen bis hin zu Vektoren und Geraden - das alles hilft dir, Zusammenhänge im Raum zu verstehen und... Mehr anzeigen
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Stell dir vor, du hast mehrere Gleichungen mit denselben Variablen - das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS). Um diese zu lösen, darfst du drei wichtige Tricks anwenden, ohne dass sich die Lösung ändert: Gleichungen vertauschen, mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren oder Gleichungen addieren.
Bei zwei Variablen kannst du dir das geometrisch vorstellen: Jede Gleichung ist eine Gerade. Schneiden sich die Geraden in einem Punkt, gibt's genau eine Lösung. Sind sie parallel, gibt's keine Lösung. Sind sie identisch, gibt's unendlich viele Lösungen.
Der Gauß'sche Algorithmus ist dein Werkzeug zum systematischen Lösen: Du eliminierst schrittweise Variablen, bis du eine Dreiecksform erhältst. Dann setzt du rückwärts ein und erhältst deine Lösung.
Tipp: Nummeriere immer deine Gleichungen und notiere jeden Schritt - das hilft dir, den Überblick zu behalten!
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Nach dem Gauß'schen Algorithmus checkst du, welchen Fall du vor dir hast. Eine Widerspruchszeile wie "0 = -1" bedeutet: unlösbar, Lösungsmenge L = ∅. Eine Nullzeile wie "0 = 0" deutet auf unendlich viele Lösungen hin.
Unterbestimmte Systeme haben weniger Gleichungen als Variablen - hier brauchst du Parameter für die Lösung. Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Variablen, was oft zu Widersprüchen führt.
Die Koeffizientenmatrix ist ein cleverer Trick: Du schreibst nur die Zahlen vor den Variablen in eine Matrix und wendest darauf den Gauß'schen Algorithmus an. Das spart Platz und macht alles übersichtlicher.
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Die Koeffizientenmatrix macht dein Leben einfacher: Statt die ganzen Variablen mitzuschleppen, arbeitest du nur mit den Zahlen. Das Prinzip bleibt dasselbe - Gauß'scher Algorithmus bis zur Stufenform.
Nach der Elimination prüfst du systematisch: Gibt's einen Widerspruch? Dann unlösbar. Ist die Anzahl der Variablen gleich der nicht-trivialen Zeilen? Dann eindeutig lösbar. Gibt's mehr Variablen als Zeilen? Dann unendlich viele Lösungen mit Parametern.
Bei eindeutiger Lösung setzt du einfach von unten nach oben ein. Bei unendlich vielen Lösungen legst du freie Parameter fest und stellst die anderen Variablen in Abhängigkeit davon dar.
Praxis-Tipp: Kontrolliere deine Lösung immer, indem du sie in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt!
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Vektoren sind wie Pfeile mit Richtung und Länge - super praktisch für Bewegungen im Raum. Du stellst sie als Spaltenvektoren dar: in der Ebene mit zwei, im Raum mit drei Koordinaten. Diese Zahlen zeigen dir, wie weit der Pfeil in jede Koordinatenrichtung geht.
Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B berechnest du mit der Formel d(A,B) = √. Das ist basically der Satz des Pythagoras in 3D.
Wichtig ist der Unterschied zwischen Punkt und Vektor: Ein Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zu einem Punkt. Ein Verschiebungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte und wird durch Koordinatendifferenz berechnet.
Visualisierung: Stelle dir Vektoren immer als Pfeile vor - das hilft beim Verständnis der Operationen!
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Das Rechnen mit Vektoren ist erstaunlich logisch: Du addierst einfach koordinatenweise. Der Betrag eines Vektors |v| ist seine Länge und wird wie der Abstand zweier Punkte berechnet: √.
Geometrisch kannst du Vektoren nach der Dreiecksregel addieren: Häng den zweiten Vektor ans Ende des ersten. Die Parallelogrammregel funktioniert auch: Leg beide Vektoren an denselben Startpunkt und vervollständige das Parallelogramm.
Die Vektoraddition befolgt dieselben Gesetze wie normale Addition: kommutativ und assoziativ . Es gibt auch einen Nullvektor und zu jedem Vektor einen Gegenvektor.
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Die geometrische Addition mit Dreiecks- und Parallelogrammregel macht Vektoren richtig anschaulich. Du legst die Pfeile physisch aneinander oder zeichnest ein Parallelogramm - das Ergebnis ist derselbe Summenvektor.
Die Subtraktion funktioniert über den Gegenvektor: a - b = a + . Der Gegenvektor -a hat dieselbe Länge wie a, aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
Die Rechengesetze der Vektoraddition sind identisch mit denen der normalen Addition. Das macht das Rechnen vorhersagbar und fehlerresistent - du kannst Klammern setzen und Terme umstellen, wie du willst.
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Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jeden Koordinatenwert mit derselben reellen Zahl r. Das Ergebnis: ein paralleler Vektor mit r-facher Länge (bei r > 0) oder entgegengesetzter Richtung (bei r < 0).
Zwei Vektoren sind parallel (kollinear), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Das erkennst du daran, dass ihre Koordinaten proportional sind.
Eine Linearkombination ist eine Summe von skalar-multiplizierten Vektoren: r₁·a₁ + r₂·a₂ + ... + rₙ·aₙ. Damit kannst du prüfen, ob sich ein Vektor aus anderen zusammensetzen lässt - das führt zu einem linearen Gleichungssystem.
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Kollineare Vektoren verlaufen parallel - einer ist ein Vielfaches des anderen . Komplanare Vektoren liegen alle in derselben Ebene, das heißt, einer lässt sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen .
Die lineare Abhängigkeit ist das mathematische Konzept dahinter: Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer durch die anderen ausdrücken lässt. Zwei kollineare Vektoren sind linear abhängig, drei komplanare Vektoren ebenso.
Umgekehrt sind Vektoren linear unabhängig, wenn sich keiner als Kombination der anderen schreiben lässt. Das passiert bei nicht-parallelen Vektoren in der Ebene oder nicht-komplanaren Vektoren im Raum.
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Das Skalarprodukt verbindet Vektoren mit Winkeln - mega praktisch! In Koordinatenform multiplizierst du entsprechende Koordinaten und addierst: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. In Kosinusform gilt: a·b = |a||b|cos γ, wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren ist.
Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du durch Umformen: cos γ = (a·b)/(|a||b|). Dann nimmst du den Arkuskosinus und erhältst den Winkel zwischen 0° und 180°.
Der Kosinussatz hilft dir dabei, die Koordinaten- und Kosinusform zu verbinden. Durch geschicktes Umformen kannst du zeigen, dass beide Definitionen des Skalarprodukts identisch sind.
Winkel-Trick: Ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz; ist es negativ, ist der Winkel stumpf!
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Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist: a ⊥ b ⟺ a·b = 0. Das ist das wichtigste Kriterium zum Prüfen von rechten Winkeln in der Vektorgeometrie.
Eine Gerade beschreibst du mit der Parametergleichung: g: x = a + r·m. Dabei ist a der Stützvektor (zeigt zu einem beliebigen Punkt der Geraden) und m der Richtungsvektor (gibt die Richtung an). Der Parameter r durchläuft alle reellen Zahlen.
Mit der Punktprobe checkst du, ob ein Punkt P auf der Geraden liegt: Setze den Ortsvektor von P für x ein und löse nach r auf. Gibt's eine Lösung, liegt P auf g; sonst nicht.
Gerade-verstehen: Eine Parametergleichung ist wie eine Wegbeschreibung: "Geh zum Punkt a, dann r-mal in Richtung m!"
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektorgeometrie im 3D-Koordinatensystem. Diese Zusammenfassung behandelt Verbindungsvektoren, Ortsvektoren, Einheitsvektoren, Vektorrechenregeln und das Spiegeln von Punkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Vektorgeometrie vertiefen möchten.
MatheVertiefte Konzepte zu Geradengleichungen, Ebenengleichungen, Kollinearität und Orthogonalität von Vektoren. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Geometrie. Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Berechnung von Abständen und zur Prüfung der Lage von Geraden.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
