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Subtraktion und negative Zahlen

Vektorsubtraktion

Mathe343Aktualisiert 10. Okt. 20263 Seiten

Wichtige Vektoren leicht erklärt: Beispiele und Übungen

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Lexi@studywithlexi
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Vektoren sind überall um uns herum - sie beschreiben Bewegungen, Kräfte und Positionen im Raum. In der Vektorrechnung gibt es ein paar besondere Vektoren, die immer wieder auftauchen und die ihr unbedingt draufhaben müsst.
Besondere Vektoren – Seite 1

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Verbindungsvektoren und der Nullvektor

Der Verbindungsvektor ist euer Allzweckwerkzeug in der Vektorrechnung. Er beschreibt ganz einfach, wie ihr von einem Punkt P zu einem Punkt Q kommt. Die Formel ist super simpel: PQ⃗=(q1−p1q2−p2q3−p3)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{pmatrix} - ihr zieht einfach die Koordinaten von P von denen von Q ab.

Was passiert, wenn Start- und Endpunkt identisch sind? Dann bekommt ihr den Nullvektor 0⃗=(000)\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Dieser "entartete Pfeil" hat keine Richtung und keine Länge - er steht einfach nur da.

Der Gegenvektor −a⃗-\vec{a} macht genau das Gegenteil von a⃗\vec{a}. Wenn PQ⃗\vec{PQ} euch von P nach Q bringt, dann führt −PQ⃗=QP⃗-\vec{PQ} = \vec{QP} euch wieder zurück. Alle Komponenten bekommen einfach das umgekehrte Vorzeichen.

Merktipp: Bei PQ⃗\vec{PQ} kommt der zweite Punkt (Q) "oben" in die Formel, der erste (P) wird abgezogen!

Besondere Vektoren – Seite 2

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Der Ortsvektor - Position im Koordinatensystem

Jeder Punkt im Raum hat seinen ganz persönlichen Ortsvektor p⃗\vec{p}. Das ist einfach der Verbindungsvektor vom Ursprung O(0|0|0) zu eurem Punkt P. Super praktisch: Die Komponenten des Ortsvektors sind exakt die Koordinaten des Punktes!

Für einen Punkt P2∣−1∣32|-1|3 ist der Ortsvektor also p⃗=(2−13)\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}. Mehr gibt's da nicht zu rechnen - die Koordinaten könnt ihr direkt übernehmen.

In Aufgaben wird der Verbindungsvektor oft versteckt formuliert. Egal ob "Verschiebung von P nach Q" oder "Richtung von P zu Q" - gemeint ist immer PQ⃗\vec{PQ}. Die Berechnung bleibt dabei immer gleich: Zielkoordinaten minus Startkoordinaten.

Praxistipp: Ortsvektoren machen Rechnungen oft einfacher, weil ihr direkt mit den Punktkoordinaten arbeiten könnt!

Besondere Vektoren – Seite 3

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Übungen zu besonderen Vektoren

Die Aufgaben zeigen euch typische Anwendungen der Verbindungsvektoren und Gegenvektoren. Bei Aufgabe 8 seht ihr schön: PQ⃗\vec{PQ} und QP⃗\vec{QP} haben immer entgegengesetzte Vorzeichen in allen Komponenten.

Bei Ortsvektoren (Aufgabe 9) ist der Gegenvektor besonders einfach zu finden - ihr dreht einfach alle Vorzeichen der Koordinaten um. Aus A1∣−1∣−51|-1|-5 wird der Gegenvektor −a⃗=(−115)-\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}.

Aufgabe 10 dreht den Spieß um: Hier ist der Verbindungsvektor PQ⃗\vec{PQ} gleichzeitig der Ortsvektor eines anderen Punktes. Das zeigt euch, wie flexibel Vektoren sind - derselbe Vektor kann verschiedene Bedeutungen haben.

Übungstipp: Macht euch bei jeder Aufgabe klar, was gesucht ist - Verbindungsvektor, Ortsvektor oder Gegenvektor. Das hilft beim systematischen Lösen!

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