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Abstand eines Punktes von einer Ebene Spiegelung und Symmetrie Winkel zwischen Vektoren Schnittwinkel Anwendungen des Vektorproduktes
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VII Abstände und Winkel Inhalt VII Abstände und Winkel..... Abstand eines Punktes von einer Ebene........ Spiegelung und Symmetrie. Winkel zwischen Vektoren.. Schnittwinkel.............. Anwendungen des Vektorproduktes..... Abstand eines Punktes von einer Ebene F = Lotfußpunkt g = Lotgerade Gegeben: FA Fig. 1 Punkt R mit Ortsvektor Ebene E mit dem Normalenvektor n Kann man den Abstand d (R;E) des Punktes R und der Ebene E so bestimmen: 3. 1. Aufstellung einer orthogonalen Geraden g zu Ebene E durch R (Lotgerade) g: x = r + t *ñ 2. Man erhält F, indem man die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g mit Ebene E berechnet Der Abstand des Punktes ist gleich |RF| 1 1 2 3 4 5 Beispiel Berechnen des Abstandes eines Punktes von einer Ebene: Berechnen Sie den Abstand des Punktes R(21011) von der Ebene E: X₁ + 8x₂ + 4x3 = 25 1. Lotgerade g zu E durch R: g: x = 2. Schnittpunkt von g mit E (Lotfußpunkt): (2 + r) + 8 ∙ (8r) — 4 · (1 − 4r) = 25 81r - 2 = 25 r = 3 3. Abstand von R zu E: +r. 2 2 |RF| = √√( ²3 - G (²7 − 2)² + ( ² − 0)² + (−- ½ − ¹)² · = = 3 Beispiel Punkt mit vorgegebenem Abstand bestimmen: Gegeben ist ein Quadrat ABCD, das in der Ebene E: 2x₁ + X2 + 2x3 = 9 liegt. Der Punkt M(41110) ist der Mittelpunkt des Quadrats. Bestimmen Sie...
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die Koordinaten eines Punktes S so, dass ABCDS eine regelmäßige Pyramide mit der Höhe 6 LE ist. = OS₂ = OM-6 no Man findet die zwei möglichen Spitzen S1 und S2, indem man von M aus 6 Einheiten in Richtung eines Normalenvektors bzw. in entgegengesetzter Richtung 2 OSA OM +6 no (1) +- ()-() = = 0 geht. = *-(1)-3--- () ñ = |ñ| = 3 → |no| 2 55-(1)-²+0) - ) = 2 → S₁ (81314), S₂ (01-11-4) Spiegelung und Symmetrie M10 Punktspiegelung: Wenn man einen Punkt P an einem Punkt Z spiegelt, dann gilt für den Bildpunkt P`': OP' = OZ + PZ Spiegelung an einer Ebene: Wenn man einen Punkt P an einer Ebene E spiegelt und F der Fußlotpunkt des Lotes von P auf E ist, dann gilt für den Bildpunkt P': OP = -2 a) PZ −5 Beispiel Punktspiegelung durchführen und Symmetriezentrum bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung am Punkt Z(11-215) OF + PF b) Gegeben sind die Punkte A(3141-2) und A'(91-312). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Z, an dem A gespiegelt wurde. -2' -2 +-5 = 7 5 10 OP OZ + PZ = P (-11-7110) b) Das Symmetriezentrum Z ist der Mittelpunkt der Strecke AA` z (3+9 4+(-3) -2+2) bzw. Z (61 0,5 10) Beispiel Spiegelung an einer Ebene durchführen und Symmetrieebene bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung an der Ebene E: 3x1 + 2×2 + x3 = 8 b) Gegeben sind der Punkt A(31115) und sein Bildpunkt A'(2121-1). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, an der A gespiegelt wurde. a) Lotgerade: n: x 3(3+3t) + 2(3+2t) + t = 8 ⇒ t -1,5 P: PF= = -0,5, 3+ t2 → F(1,5121-0,5) 1.5 2 -0,5, OP = OF + PF = b) Normalenvektor AA' = án Ebenengleichung: E. -x1 + x2 − 6x3 = d Mittelpunkt: (3+21+2 5+(-¹) E: -x1 + x2 - 6x3 = -13 -1.5 ()+(-) = -0,5/ Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel a zwischen den Vektoren å und ☎ gilt: a·b = |a|·|b|· cos(a) ab la b = cos(a) 2 AB = -5 BEACHTE: Der Taschenrechner muss auf Gradmaß gestellt werden (DEG) Cos -1 erhält man den gesuchten Winkel Beispiel Winkelgrößen berechnen: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (31101-4) und C(11-11-5). Berechnen Sie die Größen der Innenwinkel des Dreiecks ABC. AB AC AB. AC BABC BABC = 5 AC -2, |AB| = |BA| = √√33 |AC| = √√126 |BC| = L /-21 BA= = a -2 = -11 BC -4+ 55+ (-2) 49 √33√126 √4158 = = α ≈ 40,5⁰ 8 + (-30) + 6 √33. √61 -16 2013 Winkelsummensatz y= 180° - 40,5° - 110,9° = 28,6° =p≈ 110,9⁰ Schnittwinkel Schnittwinkel Gerade - Gerade a E Schnittwinkel Ebene - Ebene THE 9 U q OF 9 Schnittwinkel Gerade - Ebene cos(a) = E cos(a) |uv| |ù| + |v| sin(a)= nE⋅nf |NE|NF| Tu.ne unEl Beispiel Größen von Schnittwinkeln berechnen: Gegeben sind die sich schneidenden Geraden 81 * = ( ² ) + + - (1) wand : x = (1) + + - (1) g: x= 3 h: Sowie die Ebenen E:2x1 + x2 − x3 = 12 und F: -3x1 + x2 + x3 = 7 Berechnen Sie die Größen des Schnittwinkels a) Von g und h cos(a) cos(a) = b) Von E und F sin(a) = √1² + 3² +2². 3 c) Von g und E (−2)² + 1² + 1² 3 √14 √6 2 . 00 6 2² + 1² + (−1)² · √2² + 1² + (−1)²¯¯ √6 · √11 = 70,9⁰ 2 √1² + 3² + 2². √2² +12+ (−1)² √14 √16 • ≈42,4⁰ = 19,1° Anwendungen des Vektorproduktes AB axb ā Beispiel Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(11212), B(41-112) und C(4161-2) 3 (²3) AC = (4) = -3 AS 3 3 '1 2 1 •=•( ) × ( ) ( ) = == 3 X 4 = 2 2 1. = Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms, das von den Vektoren à und b aufgespannt wird, gilt A = |à × b| Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks, das von den Vektoren å und b aufgespannt wird, gilt Beispiel Volumen und Höhe eine Pyramide berechnen Berechnen Sie das Volumen und die Höhe der dreiseitigen Pyramide ABCS mit A(41010), B(3131-1), C(-21210), S(41113) Die Pyramide wird von den Vektoren AB (1) aufge 3. A== |ax| b| 1 aufgespannt. = = |AS. (AB × AC)| = = 1 = 10)-() == Das Volumen beträgt 2,33VE √144 + 144 +441 = 13,5 (0+2+12) = -(1)-(3) AC = 2 Q(Q))) 2 )=17373 Für den Flächeninhalt G der Grundfläche ABC gilt ²2₁ |AB × AC| = 1/2 2² (²) = √² + 4 + 16 = √27 = √6 = 2 2 1 v==G.h 2 ===G 3v h = G || 3 √6 = 7 11/16 = 27/7√16 √6
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die Koordinaten eines Punktes S so, dass ABCDS eine regelmäßige Pyramide mit der Höhe 6 LE ist. = OS₂ = OM-6 no Man findet die zwei möglichen Spitzen S1 und S2, indem man von M aus 6 Einheiten in Richtung eines Normalenvektors bzw. in entgegengesetzter Richtung 2 OSA OM +6 no (1) +- ()-() = = 0 geht. = *-(1)-3--- () ñ = |ñ| = 3 → |no| 2 55-(1)-²+0) - ) = 2 → S₁ (81314), S₂ (01-11-4) Spiegelung und Symmetrie M10 Punktspiegelung: Wenn man einen Punkt P an einem Punkt Z spiegelt, dann gilt für den Bildpunkt P`': OP' = OZ + PZ Spiegelung an einer Ebene: Wenn man einen Punkt P an einer Ebene E spiegelt und F der Fußlotpunkt des Lotes von P auf E ist, dann gilt für den Bildpunkt P': OP = -2 a) PZ −5 Beispiel Punktspiegelung durchführen und Symmetriezentrum bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung am Punkt Z(11-215) OF + PF b) Gegeben sind die Punkte A(3141-2) und A'(91-312). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Z, an dem A gespiegelt wurde. -2' -2 +-5 = 7 5 10 OP OZ + PZ = P (-11-7110) b) Das Symmetriezentrum Z ist der Mittelpunkt der Strecke AA` z (3+9 4+(-3) -2+2) bzw. Z (61 0,5 10) Beispiel Spiegelung an einer Ebene durchführen und Symmetrieebene bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung an der Ebene E: 3x1 + 2×2 + x3 = 8 b) Gegeben sind der Punkt A(31115) und sein Bildpunkt A'(2121-1). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, an der A gespiegelt wurde. a) Lotgerade: n: x 3(3+3t) + 2(3+2t) + t = 8 ⇒ t -1,5 P: PF= = -0,5, 3+ t2 → F(1,5121-0,5) 1.5 2 -0,5, OP = OF + PF = b) Normalenvektor AA' = án Ebenengleichung: E. -x1 + x2 − 6x3 = d Mittelpunkt: (3+21+2 5+(-¹) E: -x1 + x2 - 6x3 = -13 -1.5 ()+(-) = -0,5/ Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel a zwischen den Vektoren å und ☎ gilt: a·b = |a|·|b|· cos(a) ab la b = cos(a) 2 AB = -5 BEACHTE: Der Taschenrechner muss auf Gradmaß gestellt werden (DEG) Cos -1 erhält man den gesuchten Winkel Beispiel Winkelgrößen berechnen: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (31101-4) und C(11-11-5). Berechnen Sie die Größen der Innenwinkel des Dreiecks ABC. AB AC AB. AC BABC BABC = 5 AC -2, |AB| = |BA| = √√33 |AC| = √√126 |BC| = L /-21 BA= = a -2 = -11 BC -4+ 55+ (-2) 49 √33√126 √4158 = = α ≈ 40,5⁰ 8 + (-30) + 6 √33. √61 -16 2013 Winkelsummensatz y= 180° - 40,5° - 110,9° = 28,6° =p≈ 110,9⁰ Schnittwinkel Schnittwinkel Gerade - Gerade a E Schnittwinkel Ebene - Ebene THE 9 U q OF 9 Schnittwinkel Gerade - Ebene cos(a) = E cos(a) |uv| |ù| + |v| sin(a)= nE⋅nf |NE|NF| Tu.ne unEl Beispiel Größen von Schnittwinkeln berechnen: Gegeben sind die sich schneidenden Geraden 81 * = ( ² ) + + - (1) wand : x = (1) + + - (1) g: x= 3 h: Sowie die Ebenen E:2x1 + x2 − x3 = 12 und F: -3x1 + x2 + x3 = 7 Berechnen Sie die Größen des Schnittwinkels a) Von g und h cos(a) cos(a) = b) Von E und F sin(a) = √1² + 3² +2². 3 c) Von g und E (−2)² + 1² + 1² 3 √14 √6 2 . 00 6 2² + 1² + (−1)² · √2² + 1² + (−1)²¯¯ √6 · √11 = 70,9⁰ 2 √1² + 3² + 2². √2² +12+ (−1)² √14 √16 • ≈42,4⁰ = 19,1° Anwendungen des Vektorproduktes AB axb ā Beispiel Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(11212), B(41-112) und C(4161-2) 3 (²3) AC = (4) = -3 AS 3 3 '1 2 1 •=•( ) × ( ) ( ) = == 3 X 4 = 2 2 1. = Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms, das von den Vektoren à und b aufgespannt wird, gilt A = |à × b| Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks, das von den Vektoren å und b aufgespannt wird, gilt Beispiel Volumen und Höhe eine Pyramide berechnen Berechnen Sie das Volumen und die Höhe der dreiseitigen Pyramide ABCS mit A(41010), B(3131-1), C(-21210), S(41113) Die Pyramide wird von den Vektoren AB (1) aufge 3. A== |ax| b| 1 aufgespannt. = = |AS. (AB × AC)| = = 1 = 10)-() == Das Volumen beträgt 2,33VE √144 + 144 +441 = 13,5 (0+2+12) = -(1)-(3) AC = 2 Q(Q))) 2 )=17373 Für den Flächeninhalt G der Grundfläche ABC gilt ²2₁ |AB × AC| = 1/2 2² (²) = √² + 4 + 16 = √27 = √6 = 2 2 1 v==G.h 2 ===G 3v h = G || 3 √6 = 7 11/16 = 27/7√16 √6