Abstände und Winkel

Alternativer Bildtext:

ist. Man findet die zwei möglichen Spitzen S1 und S2, indem man von M aus 6 Einheiten in Richtung eines Normalenvektors bzw. in entgegengesetzter Richtung OS₂ = OM 1-6 n₁ = geht. n1|n| 3 → (1) OSA = OM + 6 no=1+6. 2 8 - (1) + 6 · 1 · ( 1 ) = (1) 3 ·|no|=1 0 (1) - ² + ( )= (-) 0 2. -1 → S₁ (81314), S₂ (01-11-4) Spiegelung und Symmetrie Punktspiegelung: Wenn man einen Punkt P an einem Punkt Z spiegelt, dann gilt für den Bildpunkt P': OP = OZ + PZ Spiegelung an einer Ebene: Wenn man einen Punkt P an einer Ebene E spiegelt und F der Fußlotpunkt des Lotes von P auf E ist, dann gilt für den Bildpunkt P': OP = OF + PF Beispiel Punktspiegelung durchführen und Symmetriezentrum bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung am Punkt Z(11-215) b) Gegeben sind die Punkte A(3141-2) und A'(91-312). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Z, an dem A gespiegelt wurde. %₁0 - (-) + (-)-(1) -2 5 a) PZ = -5 OP' = OZ + PZ = 5 P(-11-7110) b) Das Symmetriezentrum Z ist der Mittelpunkt der Strecke AA` Z z (³+9|¹+(-³)|−2+²) bzw. Z (61 0,5 10) Beispiel Spiegelung an einer Ebene durchführen und Symmetrieebene bestimmen: a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von P (31310) bei Spiegelung an der Ebene E: 3x₁ + 2x2 + x3 = 8 b) Gegeben sind der Punkt A(31115) und sein Bildpunkt A (2121-1). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, an der A gespiegelt wurde. '3 (3 a) Lotgerade: n: x = 3 + t2 3(3+3t) + 2(3+2t) + t = 8 t= →⇒ F(1,5121-0,5) 1.5 -1,5 -1 -0,5/ P: PF = OP = OF + PF = - b) Normalenvektor AA' = 1 -6 Ebenengleichung: E. -x1 + x2 - 6x3 = d. Mittelpunkt: (3+21+2 5+(-1) 2 E: -x1 + x2 - 6x3 = -13 2 -1.5 ) + (-)-( -1 1 -0,5/ -0.5, Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel a zwischen den Vektoren à und b gilt: a bla b cos(a) ab Tab = cos(a) BEACHTE: Der Taschenrechner muss auf Gradmaß gestellt werden (DEG) Cos -1 erhält man den gesuchten Winkel Beispiel Winkelgrößen berechnen: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (31101-4) und C(11-11-5). Berechnen Sie die Größen der Innenwinkel des Dreiecks ABC. 2 -2 AB= 1- (²₁³) B^ - (13) C = (-²₁) ₁ -5 2 -2, a |AB| = |BA| = √33 |AC| = √126 |BC| BA BC BABC -4 BA= 5 AC -11 BC= -6 -3/ AB AC -4+ 55+ (-2) 49 ABAC √33√126 √4158 = -16 √2013 = -6 = α= 40,5° 8 + (-30) + 6 √33. √61 Winkelsummensatz y= 180° - 40,5° -110,9° = 28,6° =p 110,9⁰ Schnittwinkel Schnittwinkel Gerade - Gerade cos(a) Schnittwinkel Ebene - Ebene = Schnittwinkel Gerade - Ebene |uv| |ū| + |v| cos(a) sin(a): = nEnf Ing InFl lu-nEl ungl Beispiel Größen von Schnittwinkeln berechnen: Gegeben sind die sich schneidenden Geraden g: x = ² = ( ²₁ ) + r - (23) und h : x = (3) + ₁- ( 1 ) h: s. Sowie die Ebenen E:2x1 + x2-x3 = 12 und F: -3x1 + x2 + x3 = 7 Berechnen Sie die Größen des Schnittwinkels a) Von g und h cos(a) b) Von E und F cos(a) sin(a) √1² +3² +2² c) Von g und E = 10-1 (−2)² + 1² + 1² 3 √14 √6 Q.Q 6 22+12+ (−1)². √√2²+1²+(-1)² √6.√11 10-0 3 12 = 70,9° 3 √1² +3² +2²√√2²+12+(-1)² √14.√16 ≈ 42,4⁰ = 19,1° Anwendungen des Vektorproduktes axb AB = A = 1 ā 2 axb 3 -3 AC = 0 Beispiel Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(11212), B(41-112) und C(4161-2) 3 -4, Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms, das von den Vektoren à und b aufgespannt wird, gilt A = AS 1 aufgespannt. -(₁) Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks, das von den Vektoren å und b aufgespannt wird, gilt 1 6 A = ==|ã xb| 3 3 2 1 ( ) × ( ) ( ) -3 4 = 0 Beispiel Volumen und Höhe eine Pyramide berechnen Berechnen Sie das Volumen und die Höhe der dreiseitigen Pyramide ABCS mit A(41010), B(3131-1), C(-21210), S(41113) Die Pyramide wird von den Vektoren AB = 0 1 3 1 2 = √144 + 144 +441 = 13,5 2 |à x b| -2 - (3²³) 2 0 V = = |AS · (AB × AC)| 1 7 =)) = 2 · (0+2+12) = 3 Das Volumen beträgt 2,33VE 3 AC = (6) 2 Für den Flächeninhalt G der Grundfläche ABC gilt 1 ¹) 3 1 G = |AB × AC| = = v = =/ G₁ h h = 3v = √4 + 4 + 16 7 7 = √6 G 1 √24 = √6