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Vektorgrößen und Messungen

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13. Dez. 2025

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Zusammenfassung der Vektorgeometrie mit 3D-Beispielen

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Vektoren sind wie Navigationspfeile im 3D-Raum - sie zeigen dir... Mehr anzeigen

3d-koordinatensystem XA X₂ Verbindungsvektor X₁X₂-Ebene = *₂*3-Ebene= X₁X3-Ebene = Ein Pfeil der 2 Punkte verbindet. 2B. B(51013) - OB- (3)

3D-Koordinatensystem und Grundlagen

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Gegenstand in deinem Zimmer befindet - dafür brauchst du drei Angaben: links/rechts, vorne/hinten und oben/unten. Genau so funktioniert das 3D-Koordinatensystem mit den Ebenen X₁X₂, X₂X₃ und X₁X₃.

Ein Verbindungsvektor ist wie ein Pfeil, der zwei Punkte miteinander verbindet. Die Formel ist super einfach: AB→=(b1−a1\b2−a2\b3−a3)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1\b_2 - a_2\b_3 - a_3 \end{pmatrix} - du ziehst einfach die Koordinaten des ersten Punktes vom zweiten ab.

Der Ortsvektor startet immer vom Nullpunkt (0|0|0) und zeigt zu einem beliebigen Punkt. Wenn du den Punkt B(5|10|3) hast, ist der Ortsvektor einfach OB→=(5\10\3)\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 5\10\3 \end{pmatrix}.

Merktipp: Der Vektor BA→\overrightarrow{BA} ist genau das Gegenteil von AB→\overrightarrow{AB} - wie Hin- und Rückweg!

Betragsvektoren messen die Länge eines Pfeils: ∣a→∣=a12+a22+a32|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor - wie ein Maßstab.

3d-koordinatensystem XA X₂ Verbindungsvektor X₁X₂-Ebene = *₂*3-Ebene= X₁X3-Ebene = Ein Pfeil der 2 Punkte verbindet. 2B. B(51013) - OB- (3)

Vektorrechnung und praktische Anwendungen

Vektoren zu addieren ist wie Lego bauen - du setzt die entsprechenden Teile zusammen: a→+b→=(a1+b1\a2+b2\a3+b3)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\a_2 + b_2\a_3 + b_3 \end{pmatrix}. Bei der Multiplikation multiplizierst du einfach jede Koordinate mit der Zahl.

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit: m⃗=p⃗+12PQ⃗\vec{m} = \vec{p} + \frac{1}{2}\vec{PQ}. Du gehst also zur Hälfte des Weges zwischen beiden Punkten.

Um einen Einheitsvektor zu berechnen, teilst du den Vektor durch seine Länge: a0⃗=1∣a⃗∣⋅a⃗\vec{a_0} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}. Das ist wie einen Pfeil auf Standardlänge zu kürzen.

Praxistipp: Beim Prüfen, ob ein Punkt auf einem Vektor liegt, suchst du nach einem Faktor r, sodass PR⃗=r⋅PQ⃗\vec{PR} = r \cdot \vec{PQ} gilt.

Punkte spiegeln funktioniert mit der Formel P1→=P→+2(Z→−P→)\overrightarrow{P_1} = \overrightarrow{P} + 2(\overrightarrow{Z} - \overrightarrow{P}) - du gehst doppelt so weit über den Spiegelpunkt hinaus, wie du davor warst.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Mathematik

Vektorgrößen und Messungen

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Mathe

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Zusammenfassung der Vektorgeometrie mit 3D-Beispielen

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Vektoren sind wie Navigationspfeile im 3D-Raum - sie zeigen dir genau, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Mit ein paar einfachen Formeln kannst du Abstände berechnen, Punkte spiegeln und sogar prüfen, ob Punkte auf einer Linie liegen.

3d-koordinatensystem XA X₂ Verbindungsvektor X₁X₂-Ebene = *₂*3-Ebene= X₁X3-Ebene = Ein Pfeil der 2 Punkte verbindet. 2B. B(51013) - OB- (3)

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3D-Koordinatensystem und Grundlagen

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Gegenstand in deinem Zimmer befindet - dafür brauchst du drei Angaben: links/rechts, vorne/hinten und oben/unten. Genau so funktioniert das 3D-Koordinatensystem mit den Ebenen X₁X₂, X₂X₃ und X₁X₃.

Ein Verbindungsvektor ist wie ein Pfeil, der zwei Punkte miteinander verbindet. Die Formel ist super einfach: AB→=(b1−a1\b2−a2\b3−a3)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1\b_2 - a_2\b_3 - a_3 \end{pmatrix} - du ziehst einfach die Koordinaten des ersten Punktes vom zweiten ab.

Der Ortsvektor startet immer vom Nullpunkt (0|0|0) und zeigt zu einem beliebigen Punkt. Wenn du den Punkt B(5|10|3) hast, ist der Ortsvektor einfach OB→=(5\10\3)\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 5\10\3 \end{pmatrix}.

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Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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