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orthogonale Vektoren

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Winkel und Vektoren: Einfache Erklärung

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Barne Koep

@barne_kp

Winkel zwischen Vektoren zu berechnen ist eigentlich ziemlich simpel, wenn... Mehr anzeigen

# Winkel zwischen Vektoren - Einführung Zeichnet man zu einem Anfangspunkt die Pfeile beider Vektoren, die nicht parallel sind, so erhält m

Winkel zwischen Vektoren - Die Grundlagen

Stell dir vor, du zeichnest zwei Vektoren von einem gemeinsamen Startpunkt aus. Der Winkel zwischen den Vektoren ist immer der kleinere der beiden entstehenden Winkel.

Die Formel dafür ist überraschend elegant: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Du teilst also das Skalarprodukt durch das Produkt der beiden Beträge.

Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180°. Ein cooler Sonderfall: Wenn die Vektoren orthogonal (also senkrecht) zueinander stehen, ist das Skalarprodukt gleich 0 und der Winkel beträgt genau 90°.

Merktipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer senkrechte Vektoren!

# Winkel zwischen Vektoren - Einführung Zeichnet man zu einem Anfangspunkt die Pfeile beider Vektoren, die nicht parallel sind, so erhält m

Schritt-für-Schritt Beispielrechnung

Mit den Vektoren a⃗=(1 −3 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ 2 \end{pmatrix} und b⃗=(−2 6 −4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ 6 \ -4 \end{pmatrix} zeigen wir dir, wie's funktioniert.

Zuerst berechnest du die Beträge: ∣a⃗∣=12+(−3)2+22=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{14} und ∣b⃗∣=(−2)2+62+(−4)2=56|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{56}.

Dann das Skalarprodukt: a⃗⋅b⃗=1⋅(−2)+(−3)⋅6+2⋅(−4)=−28\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 + 2 \cdot (-4) = -28. Einsetzen in die Formel ergibt: cos(α)=−2814⋅56=−1cos(\alpha) = \frac{-28}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{56}} = -1.

Das Ergebnis α=180°\alpha = 180° bedeutet, dass die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen – sie sind antiparallel!

Wichtig: Bei cos(-1) = 180° sind die Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Barne Koep

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Winkel zwischen Vektoren zu berechnen ist eigentlich ziemlich simpel, wenn du die richtige Formel kennst. Du brauchst nur das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren – schon kannst du jeden Winkel bestimmen.

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Winkel zwischen Vektoren - Die Grundlagen

Stell dir vor, du zeichnest zwei Vektoren von einem gemeinsamen Startpunkt aus. Der Winkel zwischen den Vektoren ist immer der kleinere der beiden entstehenden Winkel.

Die Formel dafür ist überraschend elegant: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Du teilst also das Skalarprodukt durch das Produkt der beiden Beträge.

Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180°. Ein cooler Sonderfall: Wenn die Vektoren orthogonal (also senkrecht) zueinander stehen, ist das Skalarprodukt gleich 0 und der Winkel beträgt genau 90°.

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Schritt-für-Schritt Beispielrechnung

Mit den Vektoren a⃗=(1 −3 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ 2 \end{pmatrix} und b⃗=(−2 6 −4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ 6 \ -4 \end{pmatrix} zeigen wir dir, wie's funktioniert.

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Entdecken Sie die Grundlagen der Neurobiologie mit Fokus auf den Aufbau und die Funktionen von Nervenzellen, Ruhe- und Aktionspotentialen sowie der Rolle von Synapsen. Diese Zusammenfassung behandelt auch EPSP und IPSP, die Erregungsübertragung und die Bedeutung von Neurotoxinen. Ideal für Studierende der Biologie und Neurobiologie.

BiologieBiologie
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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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