Winkel zwischen Vektoren - Die Grundlagen

Stell dir vor, du zeichnest zwei Vektoren von einem gemeinsamen Startpunkt aus. Der Winkel zwischen den Vektoren ist immer der kleinere der beiden entstehenden Winkel.

Die Formel dafür ist überraschend elegant: $cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Du teilst also das Skalarprodukt durch das Produkt der beiden Beträge.

Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180°. Ein cooler Sonderfall: Wenn die Vektoren orthogonal (also senkrecht) zueinander stehen, ist das Skalarprodukt gleich 0 und der Winkel beträgt genau 90°.

Merktipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer senkrechte Vektoren!

Schritt-für-Schritt Beispielrechnung

Mit den Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ 6 \ -4 \end{pmatrix}$ zeigen wir dir, wie's funktioniert.

Zuerst berechnest du die Beträge: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ und $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{56}$.

Dann das Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 + 2 \cdot (-4) = -28$. Einsetzen in die Formel ergibt: $cos(\alpha) = \frac{-28}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{56}} = -1$.

Das Ergebnis $\alpha = 180°$ bedeutet, dass die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen – sie sind antiparallel!

Wichtig: Bei cos(-1) = 180° sind die Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet.