ANALYTISCHE GEOMETRIE ABI ZUSAMMENFASSUNG (Hessen) Teil1

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für einen Parameter einsetzen (z=0) 2. Nach y auflösen 3. z & y in die letzte zeile einsetzen & nach x auflösen 4. x ₁4 & Z in Lösungsmenge einsetzen U= {(C+1; 2011C) CER} X 4 Z 4 LGS losen mit TR 1. MENU, ALPHA, Gleichungssysteme 5 koeffizientenmatnx A 1x + 14 + 12 = 1 2x14-1z = 5 4x + 24 + 32 = 4 6 Erweiterte Koeffizientenmatrix Ae: • Linke & recnre Seite des LGS 3. GLS Lösen (4. Grapn skizzieren) 8. Rätselaufgaben 1. vanabeln definieren 2. Gleichungssystem aufstellen 3. LGS x Alter von Max (I) y: Alter von Moritz II I. x + 2y = 50 → x=50-24 II 2x + 4 = 49 X in II. 2 (50-24) + 4 = 49 = 49 100-44 + 4 100-34 100 + Steckbriefaufgaben 1. Funktionsgleichung & benötigte Ableitungen aufschreiben 2. Gleichungen aufstellen (gibt immer eine Bedingung menr aus Gradzani) P(x/4) → F(x) = 4 NS(x/4) → f(x) = 0 HP/TP (X14) → f'(x) = 0 & f(x) = 4 NP (xly) → F"(x) = 0 & f(x) = 4 SP(X/4) ⇒ F(x) = g(x) Steigung m→ f'(x) = m Saltelpunkt f'(x)=0 & f" (x) - O = 49 = 49 + 34 inkludiert 17 = 4 11 1 1 1 2 4 23 4 in I. -1 -1 = A 1 2 -1 -1 5 4 2 3 4 x + 2.17 = 50 x = 16 LL = { } = Ae → Hontz ist mit 17 Janien der Älteste. Max ist 16 Janre (9) Koordinatensysteme O Ebene (zweidimensional) • Raum (3D) P(x1y1z) = P(x ly) Apstand zweier Punkte in Ebene: • Apstand der Punkte A (a11a2) & B (b11b2) IABI=(b1-a2)² + (02-a11²) A (312) & B (715) IABI= √(7-3)² +(5-2) ²1 √4² +32¹= √25 = 5/1 (11) Abstand zweier Punkte im Raum • Abstand der Punkte Alailazla3) IABI = √ (b₁-01) + (D₂ -α₂) + (D3-a3) A (41211) B(21615) IABI=(2-4)² + ( 6−2)² + (5-1)²² = √(-2)² +4² +4²¹ -√36 144 A(11-11-2); B(51716); C (31114) √(5-1)² + (7 + 1)² + (6 + 2)2¹ √42 +8² +8² √14472 144 12 Gleichschenklichkeitstest bei Dreiecken 1. Seitenlänge des Dreiecks aurcn Abstandsformel berechnen 2. überprüfen, ob alle Seiten gleich lang sind (=gleichschenklig) 6 (13) Rechtwinkligkeitstest bei Dreiecken • Dreieck ist rechtwinklig, wenn Quadrat längster Stelle gleich der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten ist 1AB1²= |ACI² +1BC1² = 2. Quadrant 1 Quadrant 3.Quadrant = # 88 4. Quadrant 2 √(3-1)² +1+1) ²+(4+2)' + √(3-5)² + (1-7)² + (4-6) ²¹ √2² +2² +62²¹ + √(-2)² + (-6)² + (−2)2) ² √4472 +√4412 44 +44 > nicht rechtwinklig (14) Innalt eines Dreiecks • allgemeine Formel A: 9.h 2 A = 1 •√32 √24 2 15 verschiebungsvektor • vektor von einem Punkt P(pilp²|p3) bis zu einem anderen Punkt Q(G11Q2103) (koordinaten können bestimmt P(21416); Q (71112) werden) PG P(21416) B (17) = (16 Ortsvektor • Ortsvektor entspricht den koordinaten eines Punkies (vektor vom ursprung bis zum gewünschten Punkt) OP P1 P2 P3 4 6 7-2 1-4 2-6 1. vektor a = Länge eines Vektors /a₁ 5 -3 -4 P(P11P21P3) az a3 IBCI=√(6-10)² + (10−6)² + (0-0)²¹ = √32 IMSI = (6-9)² + (6-8)+(4-01²1 = √24 ist gegeben 2. vektor in Formel einsetzen Tal= √α1² + a²²+ A3²² Spiegelung eines Punktes • ein Punkt A wird an einem Punkt P gespiegelt 1. Vektor AP bestimmen 2. Spiegelung A' berechnen e A¹ = P + AP 19 Gleichschenklichkeit mit vektoren 1. verschiebungsvektoren bestimmen (aller Seiten) 2. Länge der vektoren berechnene | ABI= √ab+ ² + ab²²+ab3²² 3. überprüfen, ob alle selten gleich sind (= gleicnschenklig) 3. (20) Addition von vektoren • 2 nacheinander ausgeführte verschiebungen addieren sich in inter Wirkung & werden zu einer einzigen verschiebung rechnerisch von Spaltenvektoren 2 = a + B /a1 + b1 21 vektorzüge • beinhalten eine kombination von Rechtenoperationen 22 Linearkombination 2=ra+s 6 a = *-(:) (³) 1 I a2+ a2 Q3 + a3/ 1 2. in 3 Gleichungen aufteilen 3. nachr & S auflösen 4. Prüfen, ob 2 LK von à & b ist A(214) 1. C²=ra + s.b (1) · O)··· (0) = 1 + S . 2. I II 3= 2r+s 1 = r+s O= r+2s I - 1: 1= -S B(814) (2 als LK von a & b) In jede Gleichung r & s einsetzen; wenn links & rechts gleiches Ergebnis rauskommt, ist es Lk 5. r&s in Anfangsformel einserzen (:) S = -1 11 oč - OA 4 I. 32.2-1 = 3 V II. 1=2-1 = 1 V III 0=2+2·(-1) = OV 5. & ist linear kompination von à & さ = + OA + 2 AB 3 (²) (6) (:) + AC ex 2 = 2.a To (23 kollineare vektoren (parallel) • vorzeicnen & Länge können verschieden sein, Hauptsache parallel (Ein vektor ist vielfacnes des anderen • Vektoren a & b sind kollinear, wenn linear abhängig voneinander Le 5² = r. a DZW. a = r·b² 1. Vektoren in 5² = r.a² oder arb einsetzen 2. Jede Reine nach r auflösen wenn bei allen für r das Gleicne rauskommt sina a & kollinear a = 2. I. II (24 20 = -8 m 3 24 20 -8 5 2 -I: 1. * = -(;)) = -(3) ² - (-) a 7 2 = -1 2 r.bts.c 1 = r + 2 s 7= 2r-S 2= rts 6 (24) komplanare vektoren • Wenn Pfeile von 3 vektoren sich in gleicher Ebene darstellen lassen, sind sie komplanar Le mind. ein Vektor ist LK der anderen 1 vektoren in bspw. a =r bts einsetzen 2. In 3 Gleichungen aufteilen 3. Nach r & s auflösen 4. Prüfen, ob a 6 & 2 komlanar sind r&s in die Gleichung einsetzen, die noch nicht verwendet wurde; wenn links & recnts gleiches Ergebnis rauskommt, sind die vektoren kompianar 24 = 6r 20 5r 8 = ar →S=-11 1=-S Sin II 2 = r -1 → r= 3/1 4. Probe in II 7= 2·3+ (-1)=7 V les a, b & & sind komplanar 3 (C) 4 6 (25) Skalarprodukt • vektoren sind gegeben: ū 2 V 1 5 = √a1²+ a²² +93² u 1 u2 43 à-r. → r=4 → r=4 → r = 4 i O Vektoren in U1 V1 + U2 V2 + U3 V3 einsetzen und ausrechnen 8 3 & V = ů.v = kollinear ✓ 4 1 v₁ v2 •√61² + D₂² + 03² v3 8 5 (26) skalarprodukt in kasinusform: • 2 Vektoren à & b mit winkel dazwischen gegeben (0° ≤ ≤ 180°) a·b = lai-161. cos Länge vektor Länge vektor a "b 23/1