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Analytische Geometrie: Vektoren im 3D Raum richtig zeichnen und verstehen

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A

Annalena

5.2.2021

Mathe

Vektoren

Analytische Geometrie: Vektoren im 3D Raum richtig zeichnen und verstehen

Die Analytische Geometrie bildet die Grundlage für das Verständnis von Vektoren im dreidimensionalen Raum. Diese mathematische Disziplin ermöglicht es uns, geometrische Objekte algebraisch zu beschreiben und zu analysieren.

Im Zentrum steht die Arbeit mit Vektoren im Raum, die durch ihre Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem eindeutig bestimmt werden. Die Darstellung von Vektoren erfolgt dabei durch geordnete Zahlentripel (x,y,z), wobei jede Komponente die Ausdehnung in die entsprechende Raumrichtung angibt. Besonders wichtig sind dabei die grundlegenden Operationen wie die Skalarmultiplikation, bei der ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Die Skalarmultiplikation Formel a⋅v = (a⋅v₁, a⋅v₂, a⋅v₃) beschreibt dabei die komponentenweise Multiplikation des Vektors mit dem Skalar.

Ein weiteres zentrales Konzept ist die Orthogonalität von Vektoren. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Diese Eigenschaft spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung geometrischer Probleme und der Konstruktion von orthogonalen Vektoren. Die Linearkombination von Vektoren ermöglicht es, neue Vektoren aus bestehenden zu erzeugen und bildet die Basis für das Verständnis von Vektorräumen. Beim Kreuzprodukt erhält man einen Vektor, der zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal ist, was besonders bei der Berechnung von Normalenvektoren von Bedeutung ist. Die praktische Anwendung dieser Konzepte findet sich in zahlreichen Vektoren im Raum Aufgaben, die das Verständnis für die dreidimensionale Geometrie vertiefen.

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5.2.2021

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Analytische Geometrie: Grundlagen der Vektorrechnung

Die Analytische Geometrie bildet die Grundlage für das Verständnis von Vektoren im dreidimensionalen Raum. Ein Vektor beschreibt eine gerichtete Strecke und wird durch seine Komponenten in x-, y- und z-Richtung eindeutig bestimmt.

Definition: Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch Richtung und Betrag charakterisiert wird und im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten dargestellt wird.

Bei der Arbeit mit Vektoren im Raum ist es wichtig, verschiedene Grundformen zu kennen. Der Nullvektor 0,0,00,0,0 spielt dabei eine besondere Rolle als neutrales Element der Vektoraddition. Der Verbindungsvektor AB zwischen zwei Punkten A und B lässt sich durch die Differenz der Ortsvektoren berechnen: AB = OB - OA.

Die Vektorrechnung ermöglicht es uns, komplexe räumliche Beziehungen mathematisch zu beschreiben und zu analysieren. Besonders in der Physik und den Ingenieurwissenschaften finden Vektoren vielfältige Anwendungen.

Beispiel: Ein Verbindungsvektor AB kann beispielsweise die Bewegung eines Objekts von Punkt A nach Punkt B beschreiben. Wenn A1,2,31,2,3 und B4,5,64,5,6 gegeben sind, ergibt sich AB = 3,3,33,3,3.

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Vektoroperationen: Addition und Subtraktion

Die Addition von Vektoren im Raum erfolgt komponentenweise. Wenn zwei Vektoren v und w addiert werden, addiert man ihre entsprechenden Koordinaten:

v + w = x1+x2,y1+y2,z1+z2x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂

Merke: Bei der Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz: v + w = w + v

Die geometrische Interpretation der Vektoraddition entspricht der Aneinanderreihung der Vektoren. Man kann sich dies als Weg vorstellen, bei dem man erst entlang des ersten und dann entlang des zweiten Vektors geht. Der resultierende Vektor verbindet dann Start- und Endpunkt direkt.

Die Subtraktion von Vektoren funktioniert analog zur Addition, wobei man die entsprechenden Komponenten subtrahiert. Dies entspricht geometrisch der Addition des Gegenvektors.

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Praktische Anwendung der Vektorrechnung

Bei der Arbeit mit Vektoren im Raum Aufgaben ist es wichtig, systematisch vorzugehen. Ein praktischer Ansatz ist das "Ablaufen" der Vektoren:

  1. Startpunkt identifizieren
  2. Ersten Vektor komponentenweise ablaufen
  3. Vom erreichten Punkt den zweiten Vektor ablaufen
  4. Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt bestimmen

Beispiel: Bei einer Bewegung von P0,00,0 aus 4 Einheiten nach rechts und 3 nach unten, gefolgt von 5 Einheiten nach unten und 3 nach links, erreicht man den Punkt Q1,81,-8.

Die mathematische Darstellung erfolgt durch Addition der Einzelbewegungen: 4,34,-3 + 3,5-3,-5 = 1,81,-8

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Erweiterte Konzepte der Vektorrechnung

Die Koordinaten von Vektoren bestimmen im dreidimensionalen Raum erfordert oft die Anwendung verschiedener Techniken. Besonders wichtig ist das Verständnis der Skalarmultiplikation und des Skalarprodukts.

Definition: Die Skalarmultiplikation beschreibt die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl SkalarSkalar, wodurch sich die Länge des Vektors ändert.

Bei der Linearkombination Vektoren werden Vektoren mit Skalaren multipliziert und anschließend addiert. Dies ist fundamental für das Verständnis der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren.

Die Orthogonalität Vektoren prüfen erfolgt mithilfe des Skalarprodukts. Zwei Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

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Skalarprodukt

Dieser Abschnitt erklärt das Skalarprodukt von Vektoren.

Definition: Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren, die eine Zahl SkalarSkalar ergibt.

Die Formel für das Skalarprodukt wird vorgestellt:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Highlight: Das Skalarprodukt wird zur Prüfung der Orthogonalität von Vektoren verwendet. Wenn das Skalarprodukt 0 ist, sind die Vektoren orthogonal zueinander.

Diese Operation ist entscheidend für die Prüfung der Orthogonalität von Vektoren und das Bestimmen orthogonaler Vektoren.

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Anwendungen des Skalarprodukts

Dieser Abschnitt zeigt wichtige Anwendungen des Skalarprodukts.

Highlight: Das Skalarprodukt wird zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet.

Die Formel zur Winkelberechnung wird vorgestellt:

cosαα = aba · b / ab|a| · |b|

Die Länge eines Vektors wird berechnet mit:

|a| = √x2+y2+z2x² + y² + z²

Diese Formeln sind essentiell für das Prüfen der Orthogonalität von Vektoren und das Bestimmen orthogonaler Vektoren.

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Berechnung des Winkels zwischen Vektoren

Dieser Abschnitt demonstriert die praktische Anwendung der Winkelberechnung zwischen Vektoren.

Beispiel: Für die Vektoren a = 1,2,31, 2, 3 und b = 4,5,64, 5, 6 wird der Winkel berechnet:

  1. Skalarprodukt: a · b = 32
  2. Längen: |a| ≈ 3,74, |b| ≈ 8,77
  3. cosαα = 32 / 3,748,773,74 · 8,77 ≈ 0,9756
  4. α ≈ 13°

Highlight: In diesem Fall sind die Vektoren nicht orthogonal, da das Ergebnis > 0 ist.

Diese Methode ist wichtig für das Prüfen der Orthogonalität von Vektoren und das Bestimmen orthogonaler Vektoren in Beispielen.

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Vektorprodukt

Dieser Abschnitt erklärt das Vektorprodukt.

Definition: Das Vektorprodukt multipliziert zwei Vektoren und ergibt einen dritten Vektor, der zu beiden senkrecht ist.

Die Formel für das Vektorprodukt wird vorgestellt:

a × b = a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁

Highlight: Das Vektorprodukt wird verwendet, um einen Vektor zu finden, der orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren ist.

Diese Operation ist besonders nützlich für das Bestimmen eines orthogonalen Vektors zu 2 Vektoren und bietet ein Beispiel für orthogonale Vektoren.

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Das Vektorprodukt in der Analytischen Geometrie

Das Vektorprodukt ist ein fundamentales Konzept der Analytischen Geometrie, das besonders im dreidimensionalen Raum eine wichtige Rolle spielt. Im Gegensatz zur Skalarmultiplikation ergibt das Vektorprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.

Definition: Das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b wird als a × b geschrieben und ergibt einen Vektor, der orthogonal zu beiden Eingangsvektoren steht. Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Die Berechnung des Vektorprodukts erfolgt nach einer speziellen Formel, die die Komponenten der beiden Vektoren verwendet: Für a = x1,y1,z1x₁, y₁, z₁ und b = x2,y2,z2x₂, y₂, z₂ gilt: a × b = y1z2z1y2,z1x2x1z2,x1y2y1x2y₁·z₂ - z₁·y₂, z₁·x₂ - x₁·z₂, x₁·y₂ - y₁·x₂

Beispiel: Wenn wir zwei Vektoren a = 1,2,31,2,3 und b = 4,5,64,5,6 haben, können wir deren Vektorprodukt berechnen: a × b = 2635,3416,15242·6 - 3·5, 3·4 - 1·6, 1·5 - 2·4 = 3,6,3-3, 6, -3

Eine wichtige Anwendung des Vektorprodukts ist die Bestimmung von orthogonalen Vektoren. Dies ist besonders nützlich in der Physik bei der Berechnung von Drehmomenten oder in der Computergrafik bei der Bestimmung von Normalenvektoren für 3D-Oberflächen.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

689

5. Feb. 2021

13 Seiten

Analytische Geometrie: Vektoren im 3D Raum richtig zeichnen und verstehen

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Annalena

@annalena_

Die Analytische Geometrie bildet die Grundlage für das Verständnis von Vektoren im dreidimensionalen Raum. Diese mathematische Disziplin ermöglicht es uns, geometrische Objekte algebraisch zu beschreiben und zu analysieren.

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Analytische Geometrie: Grundlagen der Vektorrechnung

Die Analytische Geometrie bildet die Grundlage für das Verständnis von Vektoren im dreidimensionalen Raum. Ein Vektor beschreibt eine gerichtete Strecke und wird durch seine Komponenten in x-, y- und z-Richtung eindeutig bestimmt.

Definition: Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch Richtung und Betrag charakterisiert wird und im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten dargestellt wird.

Bei der Arbeit mit Vektoren im Raum ist es wichtig, verschiedene Grundformen zu kennen. Der Nullvektor 0,0,00,0,0 spielt dabei eine besondere Rolle als neutrales Element der Vektoraddition. Der Verbindungsvektor AB zwischen zwei Punkten A und B lässt sich durch die Differenz der Ortsvektoren berechnen: AB = OB - OA.

Die Vektorrechnung ermöglicht es uns, komplexe räumliche Beziehungen mathematisch zu beschreiben und zu analysieren. Besonders in der Physik und den Ingenieurwissenschaften finden Vektoren vielfältige Anwendungen.

Beispiel: Ein Verbindungsvektor AB kann beispielsweise die Bewegung eines Objekts von Punkt A nach Punkt B beschreiben. Wenn A1,2,31,2,3 und B4,5,64,5,6 gegeben sind, ergibt sich AB = 3,3,33,3,3.

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Vektoroperationen: Addition und Subtraktion

Die Addition von Vektoren im Raum erfolgt komponentenweise. Wenn zwei Vektoren v und w addiert werden, addiert man ihre entsprechenden Koordinaten:

v + w = x1+x2,y1+y2,z1+z2x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂

Merke: Bei der Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz: v + w = w + v

Die geometrische Interpretation der Vektoraddition entspricht der Aneinanderreihung der Vektoren. Man kann sich dies als Weg vorstellen, bei dem man erst entlang des ersten und dann entlang des zweiten Vektors geht. Der resultierende Vektor verbindet dann Start- und Endpunkt direkt.

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Praktische Anwendung der Vektorrechnung

Bei der Arbeit mit Vektoren im Raum Aufgaben ist es wichtig, systematisch vorzugehen. Ein praktischer Ansatz ist das "Ablaufen" der Vektoren:

  1. Startpunkt identifizieren
  2. Ersten Vektor komponentenweise ablaufen
  3. Vom erreichten Punkt den zweiten Vektor ablaufen
  4. Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt bestimmen

Beispiel: Bei einer Bewegung von P0,00,0 aus 4 Einheiten nach rechts und 3 nach unten, gefolgt von 5 Einheiten nach unten und 3 nach links, erreicht man den Punkt Q1,81,-8.

Die mathematische Darstellung erfolgt durch Addition der Einzelbewegungen: 4,34,-3 + 3,5-3,-5 = 1,81,-8

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Erweiterte Konzepte der Vektorrechnung

Die Koordinaten von Vektoren bestimmen im dreidimensionalen Raum erfordert oft die Anwendung verschiedener Techniken. Besonders wichtig ist das Verständnis der Skalarmultiplikation und des Skalarprodukts.

Definition: Die Skalarmultiplikation beschreibt die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl SkalarSkalar, wodurch sich die Länge des Vektors ändert.

Bei der Linearkombination Vektoren werden Vektoren mit Skalaren multipliziert und anschließend addiert. Dies ist fundamental für das Verständnis der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren.

Die Orthogonalität Vektoren prüfen erfolgt mithilfe des Skalarprodukts. Zwei Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

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Skalarprodukt

Dieser Abschnitt erklärt das Skalarprodukt von Vektoren.

Definition: Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren, die eine Zahl SkalarSkalar ergibt.

Die Formel für das Skalarprodukt wird vorgestellt:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Highlight: Das Skalarprodukt wird zur Prüfung der Orthogonalität von Vektoren verwendet. Wenn das Skalarprodukt 0 ist, sind die Vektoren orthogonal zueinander.

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Anwendungen des Skalarprodukts

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Highlight: Das Skalarprodukt wird zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet.

Die Formel zur Winkelberechnung wird vorgestellt:

cosαα = aba · b / ab|a| · |b|

Die Länge eines Vektors wird berechnet mit:

|a| = √x2+y2+z2x² + y² + z²

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Berechnung des Winkels zwischen Vektoren

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Beispiel: Für die Vektoren a = 1,2,31, 2, 3 und b = 4,5,64, 5, 6 wird der Winkel berechnet:

  1. Skalarprodukt: a · b = 32
  2. Längen: |a| ≈ 3,74, |b| ≈ 8,77
  3. cosαα = 32 / 3,748,773,74 · 8,77 ≈ 0,9756
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Vektorprodukt

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Die Formel für das Vektorprodukt wird vorgestellt:

a × b = a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁

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Das Vektorprodukt in der Analytischen Geometrie

Das Vektorprodukt ist ein fundamentales Konzept der Analytischen Geometrie, das besonders im dreidimensionalen Raum eine wichtige Rolle spielt. Im Gegensatz zur Skalarmultiplikation ergibt das Vektorprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.

Definition: Das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b wird als a × b geschrieben und ergibt einen Vektor, der orthogonal zu beiden Eingangsvektoren steht. Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Die Berechnung des Vektorprodukts erfolgt nach einer speziellen Formel, die die Komponenten der beiden Vektoren verwendet: Für a = x1,y1,z1x₁, y₁, z₁ und b = x2,y2,z2x₂, y₂, z₂ gilt: a × b = y1z2z1y2,z1x2x1z2,x1y2y1x2y₁·z₂ - z₁·y₂, z₁·x₂ - x₁·z₂, x₁·y₂ - y₁·x₂

Beispiel: Wenn wir zwei Vektoren a = 1,2,31,2,3 und b = 4,5,64,5,6 haben, können wir deren Vektorprodukt berechnen: a × b = 2635,3416,15242·6 - 3·5, 3·4 - 1·6, 1·5 - 2·4 = 3,6,3-3, 6, -3

Eine wichtige Anwendung des Vektorprodukts ist die Bestimmung von orthogonalen Vektoren. Dies ist besonders nützlich in der Physik bei der Berechnung von Drehmomenten oder in der Computergrafik bei der Bestimmung von Normalenvektoren für 3D-Oberflächen.

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Orthogonalität und Vektorprodukt

Die Orthogonalität von Vektoren ist ein zentrales Konzept in der Analytischen Geometrie. Zwei Vektoren sind orthogonal senkrechtsenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Das Vektorprodukt liefert automatisch einen Vektor, der zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal ist.

Highlight: Die Orthogonalität zwischen dem Vektorprodukt und seinen Faktoren kann mathematisch bewiesen werden: Für beliebige Vektoren a und b steht a × b senkrecht sowohl auf a als auch auf b.

Bei der Arbeit mit Vektoren im dreidimensionalen Raum ist das Vektorprodukt ein wichtiges Werkzeug zur Konstruktion orthogonaler Vektoren. Dies ist besonders bei der Lösung von Vektoren im Raum Aufgaben relevant, wo oft ein dritter Vektor gesucht wird, der zu zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht.

Beispiel: Um einen orthogonalen Vektor zu den Vektoren a = 1,0,01,0,0 und b = 0,1,00,1,0 zu finden, berechnen wir deren Vektorprodukt: a × b = 0,0,10,0,1 Dieser resultierende Vektor steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren und entspricht der z-Achse im Koordinatensystem.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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