Das Vektorprodukt in der Analytischen Geometrie
Das Vektorprodukt ist ein fundamentales Konzept der Analytischen Geometrie, das besonders im dreidimensionalen Raum eine wichtige Rolle spielt. Im Gegensatz zur Skalarmultiplikation ergibt das Vektorprodukt zweier Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.
Definition: Das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b wird als a × b geschrieben und ergibt einen Vektor, der orthogonal zu beiden Eingangsvektoren steht. Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Die Berechnung des Vektorprodukts erfolgt nach einer speziellen Formel, die die Komponenten der beiden Vektoren verwendet:
Für a = x1,y1,z1 und b = x2,y2,z2 gilt:
a × b = y1⋅z2−z1⋅y2,z1⋅x2−x1⋅z2,x1⋅y2−y1⋅x2
Beispiel: Wenn wir zwei Vektoren a = 1,2,3 und b = 4,5,6 haben, können wir deren Vektorprodukt berechnen:
a × b = 2⋅6−3⋅5,3⋅4−1⋅6,1⋅5−2⋅4 = −3,6,−3
Eine wichtige Anwendung des Vektorprodukts ist die Bestimmung von orthogonalen Vektoren. Dies ist besonders nützlich in der Physik bei der Berechnung von Drehmomenten oder in der Computergrafik bei der Bestimmung von Normalenvektoren für 3D-Oberflächen.