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Lea
13.11.2025
Mathe
Punkte und Vektoren im Raum
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13. Nov. 2025
•
Lea
@lea_ed8cd3
Die Abstandsformel im Raum und die Berechnung der Länge eines... Mehr anzeigen
Diese Seite behandelt das Konzept der Ortsvektoren und die Vektoraddition.
Definition: Ein Ortsvektor OA beschreibt die Verschiebung vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt A.
Ortsvektoren sind besonders nützlich, um Punkte im Koordinatensystem zu beschreiben. Man kann aus dem Ortsvektor direkt die Koordinaten des Punktes ablesen.
Beispiel: Der Ortsvektor OP = (1,-2,4) beschreibt den Punkt P(1,-2,4).
Die Vektoraddition wird geometrisch als Hintereinanderausführung von Verschiebungen interpretiert.
Highlight: Bei der Vektoraddition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
Die Seite erklärt auch, wie man mit Hilfe von Vektoren feststellen kann, ob ein Dreieck gleichschenklig oder gleichseitig ist, indem man die Längen der Seiten vergleicht.
Vocabulary: Gleichschenklig bedeutet, dass ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat. Gleichseitig bedeutet, dass alle drei Seiten gleich lang sind.
Diese Seite erklärt die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.
Formel: Der Mittelpunkt M einer Strecke AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) hat die Koordinaten: M =
Diese Formel basiert auf dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der beiden Endpunkte.
Highlight: Die Mittelpunktbestimmung kann auch vektoriell erfolgen, indem man den Ortsvektor OA mit der Hälfte des Vektors AB addiert.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl wird eingeführt. Dies ist wichtig für die Skalierung von Vektoren und die Beschreibung von Geraden im Raum.
Definition: Die Multiplikation eines Vektors a = (a₁,a₂,a₃) mit einer reellen Zahl r ist definiert als: r·a = (r·a₁, r·a₂, r·a₃)
Diese Operation ermöglicht es, Vektoren zu verlängern, zu verkürzen oder ihre Richtung umzukehren.
Diese Seite behandelt das Konzept der kollinearen Vektoren und führt Linearkombinationen von Vektoren ein.
Definition: Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie parallel zueinander verlaufen und einer ein Vielfaches des anderen ist.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass es eine reelle Zahl r gibt, sodass b = r·a oder a = r·b gilt.
Beispiel: Die Vektoren a = (3,6,9) und b = (-6,-12,-18) sind kollinear, da b = -2·a.
Die Seite führt auch das Konzept der Linearkombination von Vektoren ein.
Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von skalierten Vektoren.
Beispiel: 2·a + 3·b ist eine Linearkombination der Vektoren a und b.
Linearkombinationen sind besonders wichtig für die Beschreibung von Geraden und Ebenen im Raum.
Diese Seite führt in die vektorielle Darstellung von Geraden im Raum ein.
Definition: Die Parametergleichung einer Geraden lautet: OX = OA + r·AB, wobei r ein reeller Parameter ist.
Diese Gleichung beschreibt jeden Punkt X auf der Geraden durch den Ortsvektor OA eines Punktes auf der Geraden und einen Richtungsvektor AB, der die Richtung der Geraden angibt.
Highlight: Der Parameter r ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden zu erreichen, indem man den Richtungsvektor entsprechend skaliert.
Die Parametergleichung ist eine wichtige Grundlage für viele Berechnungen in der analytischen Geometrie, wie zum Beispiel die Bestimmung von Schnittpunkten oder den Abstand zwischen Punkt und Gerade.
Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte von Vektoren im dreidimensionalen Raum ein.
Definition: Ein geometrischer Vektor ist ein Verschiebungspfeil im zwei- oder dreidimensionalen Raum, der durch Richtung, Länge und Orientierung festgelegt ist.
Die Länge eines Vektors kann mathematisch bestimmt werden. Sie entspricht dem Abstand zwischen zwei Punkten und wird als Betrag des Vektors bezeichnet.
Formel: Für einen Vektor AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) gilt: |AB| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Highlight: Vektoren werden immer mit Kleinbuchstaben bezeichnet, während Punkte mit Großbuchstaben dargestellt werden.
Die Seite erklärt auch den Begriff des Gegenvektors, der die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung hat.
Beispiel: Für den Vektor AB = (1,3,4) ist der Gegenvektor BA = (-1,-3,-4).
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Samantha Klich
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Lea
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Die Abstandsformel im Raum und die Berechnung der Länge eines Vektors sind grundlegende Konzepte in der Vektorgeometrie. Diese Lektion behandelt:
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Definition: Ein Ortsvektor OA beschreibt die Verschiebung vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt A.
Ortsvektoren sind besonders nützlich, um Punkte im Koordinatensystem zu beschreiben. Man kann aus dem Ortsvektor direkt die Koordinaten des Punktes ablesen.
Beispiel: Der Ortsvektor OP = (1,-2,4) beschreibt den Punkt P(1,-2,4).
Die Vektoraddition wird geometrisch als Hintereinanderausführung von Verschiebungen interpretiert.
Highlight: Bei der Vektoraddition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
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Vocabulary: Gleichschenklig bedeutet, dass ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat. Gleichseitig bedeutet, dass alle drei Seiten gleich lang sind.
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Diese Formel basiert auf dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der beiden Endpunkte.
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Definition: Die Multiplikation eines Vektors a = (a₁,a₂,a₃) mit einer reellen Zahl r ist definiert als: r·a = (r·a₁, r·a₂, r·a₃)
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Beispiel: Die Vektoren a = (3,6,9) und b = (-6,-12,-18) sind kollinear, da b = -2·a.
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Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte von Vektoren im dreidimensionalen Raum ein.
Definition: Ein geometrischer Vektor ist ein Verschiebungspfeil im zwei- oder dreidimensionalen Raum, der durch Richtung, Länge und Orientierung festgelegt ist.
Die Länge eines Vektors kann mathematisch bestimmt werden. Sie entspricht dem Abstand zwischen zwei Punkten und wird als Betrag des Vektors bezeichnet.
Formel: Für einen Vektor AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) gilt: |AB| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hans T
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