Punkte und Vektoren im Raum

Alternativer Bildtext:

) | = √ ( -5 )² + (-2) ²¹ = √29². Ortsvektoren Beispiel. Bei einem rechtwinkligen Dreieck. ist der Satz des. Pytagoras erfüllt, d.h. es gilt a² + b ² = c² .(a, b katheten₁.C Hypotenuse). .A (51212). 1. Um mit Punkten und vektoren rechnen zu können, kann man Punkte durch Vektoren ausdrücken. Genauso wie ein Vektor AB die Verschiebung eines Punktes A auf den Punkt. B beschreibt, so beschreibt ein Ortsvektor OA, wie der Koordinatenursprung 0. (ursprung = engl. orgin) auf den Punkt. A verschoben wird... Vektoraddition Ortsvektor AB √29 √54 (01010) Umgekehrt. Kann man dann aus den Ortsvektor eines Punktes sofort seine Koordinaten angeben: OP = (-12) => P(1.1-2/4). AC BC OA = O 1. Die Vektor addition ist Zunächst einmal geometrisch betrachtet, nicht anderes, als das Ergebnis von zwei Verschiebungen, die hintereinander ausgeführt werden: Ein Punkt A wird zunächst auf den Punkt B verschoben und von dort anschließend auf den. Punkt C. Das Gesamtergebnis ist eine Verschiebung des Punktes A auf den Punkt C. on AB und AC gleichlang, also ist das Dreieck. gleichschenklig gh. OA GLEICHSCHENKLIG GLEICH SEITIG -> 3 gleich Lange Seiten AB + BC AD BC 2 gleiche Seiten beim Dreieck = A Man kann schnell erkennen, dass für eine rechnerische Bestimmung der Koordinaten des Additions- Vektors Ac einfach die Koordinaten der Vektoren AB und AC summiert werden müssen, denn die Koordinaten von AC geben jeweils die Gesamt verschiebung der einzelnen Koordinaten an. D C Beispiel (") + (²) = (9) wichtig Möchte ich einen Punkt ? mit Hilfe von Vektoren bestimmen, so muss ich immer den Ortsvektoren op bestimmen, dh die Verschiebung vom. Ursprung. O auf diesen Punkt. Ac BC 00 = OA + AD Schnittpunkt s der Rechteckdiagonalen A 2 = MITTELPUNKTBESTIMMUNG * a 1 Der Mittelpunkt M. Zwischen zwei Punkten A und B. liegt koordinaten mapig jeweils in der Mitte der X₁₁ X₂ und X3- koordinaten dieser beiden Punkte. VEKTIROELLE BESTIMMUNG. mm 14 * az Der Mittelpunk+ M einer Strecke AB zu den Punkten. A(alazlas) und B. (b₁/62/63) hat die koordinaten. 2² | as + b₂) antb₁ az+ b₂ ag + b₂ 2 2 Man bildet einfach clas sogenannte. . arithmetische Mittel: ant by 2 OA + 1/2 AC mi 2+14. Man verschiebt den Ursprung zunächst auf den Punkta und von dort auf den Punkt s. Um den Punkt A auf. den Punkt s zu verschieben, verwendet man die Hälfte der verschiebung des Punktes A auf den Punkt C. 0 Eine Halbierung einer verschiebung bedeutet nichts anderes, als dass die Verschiebung in allen koordinaten richtungen halbiert werden müssen. Man definiert deshalb eine Multiplikation eines Vektors a mit einer Zahl r.E.IR. wie folgt r.a=.r. an az Kollineare Vektoren Zwei Vektoren 2 und sind kolinear zueinander, wenn sie parallel zueinander verlaufen. 1. Man sient, dass zwei Vektoren.nur kollinear sein können, wenn der Vektor 5 ein Viel- faches des Vektors a (62w. umgekenit) ist, d. h. wenn also eine Zahl rEIR exisiert, sodass gilt: b = r2² oder a = r. b BEISPIEL a α = (-²), 5 = (4) (-4) ā = (-²) = (x) = 3 a = (3²), 5 = (-9) -> . Aufgrund der X₁- Koordinaten müsste r=-2 sein. Dies steht aber im Widerspruch zu der X3-koordinate von b. d. h. die Vektoren sind nicht kollinear 1 linearkombinationen von Vektoren Werden zwei oder mehrere Vektoren vervielfacht und addiert, dann spricht man von einer Linearkombination dieser Vektoren. BEISPIEL: 2·a +3·6 2.A² a² d.h.. die Vektoren sind kollinear 2ಠ+35 Sind die koordinaten der Vektoren gegeben, kann man natürlich die Linear kombination berechnen 12 ( 2 ) + 3+ ( 7 ) = ( ) + ( 7 ) = (2) Parametergleichung einer Geraden OX = OA + CAB mit re IR wird vektoriell eine Gerade festgelegt Man muss zuerst auf die Gerade auf einen Punkt der Gerade kommen : dazu dient der Ortsvektor OA,. dieser wird auch Stützuektor genannt, weil er Sozusagen die Gerade Stützt. Den Punkt A kann man dam mithilfe eines vielfachen des Vektors AB in Richtung 1. in degen richtung. Von B verschieben. Der Vektor. AB gilt also die Richtung der Geraden bzw Verschiebung an. Deshalb nennt man ihn auch Richtungsvektor..