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Aktualisiert Mar 10, 2026
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Lerne die Vektor-Abstandsformeln: Punkte, Geraden und Ebenen einfach erklärt!
Lea
@lea_ed8cd3
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Ortsvektoren und Vektoraddition
Diese Seite behandelt das Konzept der Ortsvektoren und die Vektoraddition.
Definition: Ein Ortsvektor OA beschreibt die Verschiebung vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt A.
Ortsvektoren sind besonders nützlich, um Punkte im Koordinatensystem zu beschreiben. Man kann aus dem Ortsvektor direkt die Koordinaten des Punktes ablesen.
Beispiel: Der Ortsvektor OP = (1,-2,4) beschreibt den Punkt P(1,-2,4).
Die Vektoraddition wird geometrisch als Hintereinanderausführung von Verschiebungen interpretiert.
Highlight: Bei der Vektoraddition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
Die Seite erklärt auch, wie man mit Hilfe von Vektoren feststellen kann, ob ein Dreieck gleichschenklig oder gleichseitig ist, indem man die Längen der Seiten vergleicht.
Vocabulary: Gleichschenklig bedeutet, dass ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat. Gleichseitig bedeutet, dass alle drei Seiten gleich lang sind.
Mittelpunktbestimmung und Vektormultiplikation
Diese Seite erklärt die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.
Formel: Der Mittelpunkt M einer Strecke AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) hat die Koordinaten: M =
Diese Formel basiert auf dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der beiden Endpunkte.
Highlight: Die Mittelpunktbestimmung kann auch vektoriell erfolgen, indem man den Ortsvektor OA mit der Hälfte des Vektors AB addiert.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl wird eingeführt. Dies ist wichtig für die Skalierung von Vektoren und die Beschreibung von Geraden im Raum.
Definition: Die Multiplikation eines Vektors a = (a₁,a₂,a₃) mit einer reellen Zahl r ist definiert als: r·a = (r·a₁, r·a₂, r·a₃)
Diese Operation ermöglicht es, Vektoren zu verlängern, zu verkürzen oder ihre Richtung umzukehren.
Kollineare Vektoren und Linearkombinationen
Diese Seite behandelt das Konzept der kollinearen Vektoren und führt Linearkombinationen von Vektoren ein.
Definition: Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie parallel zueinander verlaufen und einer ein Vielfaches des anderen ist.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass es eine reelle Zahl r gibt, sodass b = r·a oder a = r·b gilt.
Beispiel: Die Vektoren a = (3,6,9) und b = (-6,-12,-18) sind kollinear, da b = -2·a.
Die Seite führt auch das Konzept der Linearkombination von Vektoren ein.
Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von skalierten Vektoren.
Beispiel: 2·a + 3·b ist eine Linearkombination der Vektoren a und b.
Linearkombinationen sind besonders wichtig für die Beschreibung von Geraden und Ebenen im Raum.
Parametergleichung einer Geraden
Diese Seite führt in die vektorielle Darstellung von Geraden im Raum ein.
Definition: Die Parametergleichung einer Geraden lautet: OX = OA + r·AB, wobei r ein reeller Parameter ist.
Diese Gleichung beschreibt jeden Punkt X auf der Geraden durch den Ortsvektor OA eines Punktes auf der Geraden und einen Richtungsvektor AB, der die Richtung der Geraden angibt.
Highlight: Der Parameter r ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden zu erreichen, indem man den Richtungsvektor entsprechend skaliert.
Die Parametergleichung ist eine wichtige Grundlage für viele Berechnungen in der analytischen Geometrie, wie zum Beispiel die Bestimmung von Schnittpunkten oder den Abstand zwischen Punkt und Gerade.
Punkte und Vektoren im Raum
Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte von Vektoren im dreidimensionalen Raum ein.
Definition: Ein geometrischer Vektor ist ein Verschiebungspfeil im zwei- oder dreidimensionalen Raum, der durch Richtung, Länge und Orientierung festgelegt ist.
Die Länge eines Vektors kann mathematisch bestimmt werden. Sie entspricht dem Abstand zwischen zwei Punkten und wird als Betrag des Vektors bezeichnet.
Formel: Für einen Vektor AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) gilt: |AB| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Highlight: Vektoren werden immer mit Kleinbuchstaben bezeichnet, während Punkte mit Großbuchstaben dargestellt werden.
Die Seite erklärt auch den Begriff des Gegenvektors, der die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung hat.
Beispiel: Für den Vektor AB = (1,3,4) ist der Gegenvektor BA = (-1,-3,-4).
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Paul T
iOS-Nutzer
Lerne die Vektor-Abstandsformeln: Punkte, Geraden und Ebenen einfach erklärt!
Lea
@lea_ed8cd3
Die Abstandsformel im Raum und die Berechnung der Länge eines Vektors sind grundlegende Konzepte in der Vektorgeometrie. Diese Lektion behandelt:
- Definition und Eigenschaften von Vektoren im dreidimensionalen Raum
- Berechnung von Vektorlängen und Abständen zwischen Punkten
- Vektoraddition und ihre geometrische Bedeutung... Mehr anzeigen
Ortsvektoren und Vektoraddition
Diese Seite behandelt das Konzept der Ortsvektoren und die Vektoraddition.
Definition: Ein Ortsvektor OA beschreibt die Verschiebung vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt A.
Ortsvektoren sind besonders nützlich, um Punkte im Koordinatensystem zu beschreiben. Man kann aus dem Ortsvektor direkt die Koordinaten des Punktes ablesen.
Beispiel: Der Ortsvektor OP = (1,-2,4) beschreibt den Punkt P(1,-2,4).
Die Vektoraddition wird geometrisch als Hintereinanderausführung von Verschiebungen interpretiert.
Highlight: Bei der Vektoraddition werden die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert.
Die Seite erklärt auch, wie man mit Hilfe von Vektoren feststellen kann, ob ein Dreieck gleichschenklig oder gleichseitig ist, indem man die Längen der Seiten vergleicht.
Vocabulary: Gleichschenklig bedeutet, dass ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat. Gleichseitig bedeutet, dass alle drei Seiten gleich lang sind.
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Mittelpunktbestimmung und Vektormultiplikation
Diese Seite erklärt die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.
Formel: Der Mittelpunkt M einer Strecke AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) hat die Koordinaten: M =
Diese Formel basiert auf dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der beiden Endpunkte.
Highlight: Die Mittelpunktbestimmung kann auch vektoriell erfolgen, indem man den Ortsvektor OA mit der Hälfte des Vektors AB addiert.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl wird eingeführt. Dies ist wichtig für die Skalierung von Vektoren und die Beschreibung von Geraden im Raum.
Definition: Die Multiplikation eines Vektors a = (a₁,a₂,a₃) mit einer reellen Zahl r ist definiert als: r·a = (r·a₁, r·a₂, r·a₃)
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Kollineare Vektoren und Linearkombinationen
Diese Seite behandelt das Konzept der kollinearen Vektoren und führt Linearkombinationen von Vektoren ein.
Definition: Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie parallel zueinander verlaufen und einer ein Vielfaches des anderen ist.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass es eine reelle Zahl r gibt, sodass b = r·a oder a = r·b gilt.
Beispiel: Die Vektoren a = (3,6,9) und b = (-6,-12,-18) sind kollinear, da b = -2·a.
Die Seite führt auch das Konzept der Linearkombination von Vektoren ein.
Definition: Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von skalierten Vektoren.
Beispiel: 2·a + 3·b ist eine Linearkombination der Vektoren a und b.
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Parametergleichung einer Geraden
Diese Seite führt in die vektorielle Darstellung von Geraden im Raum ein.
Definition: Die Parametergleichung einer Geraden lautet: OX = OA + r·AB, wobei r ein reeller Parameter ist.
Diese Gleichung beschreibt jeden Punkt X auf der Geraden durch den Ortsvektor OA eines Punktes auf der Geraden und einen Richtungsvektor AB, der die Richtung der Geraden angibt.
Highlight: Der Parameter r ermöglicht es, jeden Punkt auf der Geraden zu erreichen, indem man den Richtungsvektor entsprechend skaliert.
Die Parametergleichung ist eine wichtige Grundlage für viele Berechnungen in der analytischen Geometrie, wie zum Beispiel die Bestimmung von Schnittpunkten oder den Abstand zwischen Punkt und Gerade.
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Punkte und Vektoren im Raum
Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte von Vektoren im dreidimensionalen Raum ein.
Definition: Ein geometrischer Vektor ist ein Verschiebungspfeil im zwei- oder dreidimensionalen Raum, der durch Richtung, Länge und Orientierung festgelegt ist.
Die Länge eines Vektors kann mathematisch bestimmt werden. Sie entspricht dem Abstand zwischen zwei Punkten und wird als Betrag des Vektors bezeichnet.
Formel: Für einen Vektor AB mit Punkten A(a₁,a₂,a₃) und B(b₁,b₂,b₃) gilt: |AB| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Highlight: Vektoren werden immer mit Kleinbuchstaben bezeichnet, während Punkte mit Großbuchstaben dargestellt werden.
Die Seite erklärt auch den Begriff des Gegenvektors, der die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung hat.
Beispiel: Für den Vektor AB = (1,3,4) ist der Gegenvektor BA = (-1,-3,-4).
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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