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Punkte und Vektoren im Raum

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 X₁
Punkte und Vektoren im Raum
B(41513)
A (41212)
B (21415).
X.2
ABSTANDSFORMEL IM RAUM
2-47
Ã6-(4-1)=(3)
AB=
5-2
d (A₁B) = √(b₁-a₁)² + (b₂

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X₁ Punkte und Vektoren im Raum B(41513) A (41212) B (21415). X.2 ABSTANDSFORMEL IM RAUM 2-47 Ã6-(4-1)=(3) AB= 5-2 d (A₁B) = √(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (63-a3) ². Vektoren. Ein geometrischer Vektor ist ein (verschiebungs-). Pfeil im zweidimensionalen oder im Dreidimensionalen, der durch Richtung, Lange und. Orientierung festgelegt ist. a = AB. B² (4-6) - (4) Gegevector, 20 AG AB BA ·2-5 2 A (4/2/2), B(21415). |ĀBI = √ (2-4)² + (4-2)² + (5-2)² = √(-2)² +2²73²?: |AB| = |(3²³) | = √(-2)² + 2 ² + 3² = √17 Länge eines Vektors Mathematisch lässt sich bei einem Vektor auch seine länge bestimmen (d.h die. Länge der. Verschiebung von einem Punkt zum anderen; von Punkt. A zu B). Dieser ist nämlich gleich zu dem Abstand der beiden Punkte. (vgl. Abstand zweier Punkte).. Die Länge eines Vektors. bezeichnet man mit dem Betrag eines Vektors, also mit . [AB]. Haben. A und B. die Koordinaten. (anla₂laz) bzw... (balbal bz), dann gilt: |AB| = d (A i B) = √ (b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² +. (b3 + Q₂)².² = Allgemein gilt für die Länge eines Vektors I mit ✓ = (v₁) |v²| = √√√₂₁² + √₂² + √₂²²² Зл-ал b2-az b3-a3/ Vektoren werden immer mit kleinbuch- Staben bezeichnet. Dreieck ABC gleichschenklig oder sogar gleichseitig A(31112) B(11515) C(-2/-1/2) |AB| = |(~3²)| = √(-2) ² + 4 ² + 3? |BC| = 1 (1) 1 = √(-3)² + (-6)² + (-3)² = √54 ·|AC| = |( - ) |...

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= √ (-6)² + (-2)²² = √29! Ortsvektoren. Bei einem rechtwinkligen Dreieckt, ist. der Satz des. Pytagoras, erfällt, d.h. .es gilt a² +.b².=..(² .(a, b katheten ₁.C Hypotenuse). Beispiel: A(51212). 1. Um mit Punkten und Vektoren rechnen zu können, kann man Punkte durch Vektoren ausdrücken. Genauso wie ein. Vektor. AB die Verschiebung eines Punktes A. auf den Punkt. B. beschreibt, so beschreibt ein Ortsvektor OA, wie der. Koordinatenursprung 0. (ursprung = engl. orgin) auf den Punkt. A verschoben wird... Beispiel Ortsvektor AB AC OA = (01010) Umgekehrt. kann man dann aus den Ortsvektor . eines. Punktes sofort seine Koordinaten angeben: OP = (-41) => P(1.1-2/4). BC 582 AB und AC gleichlang, also ist das Dreieck gleichschenklig Vektoraddition Die Vektor addition ist zunächst einmal geometrisch betrachtet. nicht anderes, als das Ergebnis von zwei Verschiebungen, die hintereinander ausgeführt werden: Ein Punkt A wird zunächst auf den Punkt B verschoben und von dort anschließend auf den. Punkt C. Das Gesamtergebnis ist eine Verschiebung des Punktes A auf den Punkt C. B OA GLEICHSCHENKLIG GLEICH SEITIG -> AB + BC AD= BC 2 gleiche Seiten beim Dreieck 3gleich Lange Seiten = Ac A Man kann schnell erkennen, dass für eine rechnerische Bestimmung der Koordinaten des Additions-. Vektors AC einfach die Koordinaten der Vektoren AB und AC summiert werden müssen, denn die Koordinaten von AC geben jeweils die Gesamt verschiebung der einzelnen Koordinaten an.. ()) + C) = (I) BC دانه wichtig: Möchte ich einen Punkt ! mit Hilfe von. Vektoren bestimmen, so muss ich immer, den Ortsvektoren op bestimmen, d.h. die Verschiebung vom Ursprung O auf diesen Punkt. 00 = 0A + AD OA Schnittpunkt s der Rechteckdiagonalen A 6A MITTELPUNKTBESTIMMUNG 65 ал Der Mittelpunkt M. zwischen zwei Punkten A und B. liegt, koordinaten mapig jeweils in der Mitte der X₁₁ X₂ und X3 - koordinaten dieser beiden Punkte. VEKTIROELLE BESTIMMUNG 3 ли аг Der Mittelpunkt M einer Strecke ĀB zu den Punkten. A(alazlas) und B. (b₁/62/63) hat die koordinaten. (autbe | aztbe | as+by) b₂ 2 2 Man bildet einfach das sogenannte . arithmetische Mittel: ait by ·2· OS = OA + 4· AC mi Man verschiebt den Ursprung zunächst auf den Punkta und von dort auf den Punkt s. Um den Punkt A auf. den Punkt s zu verschieben, verwendet man die Hälfte. der verschiebung des Punites A auf den Punkt C. 13 Eine Halbierung einer verschiebung bedeutet nichts anderes, als dass die verschiebung in allen koordinaten richtungen halbiert werden müssen. 'r.0₁ Man definiert deshalb eine Multiplikation eines Vektors ā r.az r.a3 ал mit einer Zahl r.E.IR. wie folgt: r.2³= r. (131) =— ( az 2+14 2 Kollineare Vektoren Zwei Vektoren. 2. und 5 sind kolinear zueinander, wenn sie parallel zueinander verlaufen. Man sieht, dass zwei Vektoren.nur Kollinear sein können, wenn der Vektor B ein Viel.- faches des Vektors a (bzw. umgekenit) ist, d.h. wenn also eine Zahl rEIR exisiert, sodass. 2²=r.b gilt: b BEISPIEL = 6: 2 oder a = (-²1) 5 = ( 4 ) (-4) α = (= 4 (²-₁)) = ( 8 ) = 5 a -4.4 a² = (²³²)₁ 5² = (-9) Aufgrund der X₁-koordinaten müsste r=-2 sein. Dies steht, aber im Widerspruch zu der X3-koordinate von b., .d.h. die Vektoren sind nicht. Kollinear.. linearkombinationen von Vektoren Werden zwei oder mehrere. Vektoren vervielfacht und addiert, dann spricht man von einer Linearkombination dieser Vektoren. BEISPIEL: 2.a +3.5 à 2a². 2 (4) + 3 (7) = (3) + (7) • (d) · d.h.. die Vektoren sind kollinear 3 + 35² 3.5 Sind die koordinaten der Vektoren gegeben, kann man natürlich die Linear kombination berechnen Parametergleichung einer Geraden OX = OA + C AB mit re IR wird vektoriell eine Gerade festgelegt Man muss zuerst auf die Gerade auf einen Punkt der Gerade kommen : dazu dient der. Ortsvektor OA, dieser wird auch. Stükvektor genannt, weil er. Sozusagen die Gerade Stützt. Den Punkt A kann man dann mithilfe eines vielfachen des Vektas AB in Richtang lin degen richtung von 13 verschieben. Der Vektor. AB gilt also die Richtung der Geraden bzw. Verschiebung. an. Deshalb nennt man ihn auch Richtungsvektor.

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