Alternativer Bildtext:

x₁, x₂ El mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂) Monotoniesatz : Ist die Funktion f auf I differenzierbar so gilt: 1st f'(x) >0 für alle XET, so ist f streng monoton wachsend auf I Ist die Funktion zweimal differenzierbar Ist f"(x) >0, so ist f' streng monoton wachsend und der Graph von f ist linksgekrummt, also eine Linkskurve Extrem- und Wendepunkte 1st f"(x) < 0, so ist f' streng monoton fallend und der Graph von f ist rechtsgekrummt, also eine Rechtskurve - - streng monoton fallend auf I wenn für alle x₁, x₂ El mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂) Um Extremstellen zu berechnen muss f'(x)=0 sein 1st f'(x) <0 für alle x €1, so ist f streng monoton fallend auf I Maximumstelle wenn f'(x) an dieser Stelle sein Vorzeichen wechselt von + nach wenn f"(x) < 0 ist - - Linkskurve - von - f" (x) >0 ist Hochpunkt f'(x)=0 y = f(x) Rechtkurve nach + wechselt Minimumstelle - wenn f'(x) an dieser Stelle sein Vorzeichen Um wendestelle zu bestimmen wenn f"(x)=0 ist und f" an der Stelle x。 einen Vorzeichenwechsel hat wenn f"(x)=0 und f"" (xo) # ist Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Wendepunkt f"(x)=0 Tiefpunkt f'(x)=0 Strategie: 1. Aufstellen eines Terms für die Große, die extremal werden soll. (kann auch mehrere Variablen enthalten 2. Formulieren der Nebenbedingung, die Abhängigkeit zwischen den Variablen be- schreiben 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und Angeben ihrer Definitionsmenge 4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Werte an den Randern der Definitionsmenge 5. Formulieren des Ergebnisses Bsp. Bestimme u so, dass clie Flache des Dreiecks maximal wird : f(t) = - 0,05t² 0,1t +1,2 0(010); P₂ (ulo); P₂ (ulf(u)) дед. : 1.) Mache dir eine Skizze und schreibe an alle Punkte die koordinaten. 2.) Schreibe die Formel der Gesuchten Große auf (hier: Dreieck ) 3.) Markiere in der Skizze die benötigten Großen 4.) Drucke die benötigten Größen durch variablen aus 5.) Setze diese Größen in die Formel aus 2.) ein Zielfunktion A' (u) = O pq- Formel: 6.) Suche nach Hoch-/(Tiefpunkten) der Zielfunktion UN/2 in A" z. B. : y=mx + c 4112 -0,0754² -0,1u+0,6 = u u² +릅니 -8 =0 ¾ ± √ (³3)² + 8 ±1 76 g = Tangenten aufstellen A = 1/2 u • (-0,05 u² − 0,₁1 u + 1,2) (-0,05u³ -0,1u² + 1,2u) -0,025u³ -0,05u² +0,6u = = ( f(x)= 3x² + 1 A" (2,24) <0 A" (-3,57) >0 m = f'(xo) HP - TP x0=1 7.) Setze den Wert von u in die Zielfunktion, falls nach der Fläche gefragt ist 2,24 -0,05 2,24² +0,6 2,24 ≈0,813 3 A(2,24) = 0,025 U₁= 2,24 U₂ = -3,57 f'(x) = 6x 1.) Steigung ausrechnen 2.) Berührpunkt ausrechnen f(1) = 3-1² + 1 = 4 (ulf(u) A = 1/2 g.n g= = U-O h=f(u)-O = -0,05u² -0,14 +1,2 f(1) = 6 (ulo) 3.) Punkte in die Tangentengleichung einsetzen y = 6x-2 A¹ = -0,075 u² − 0,1u + 0,6 A" = -0,15u -0,1 allgemeine Tangentengleichung: y = f'(x₁) · (u −xo ) + f(xo) = U allgemeine Normalengleichung: y=-·(u-x) + f(x) y-wert ; d.h y = 6x + C 4= 6·1+ C C = -2 Trassierungsaufgaben BSP. LGS I I A) Bestimmen a und b so dass diese neue Funktion am Zeitpunkt t=5 an die alte Funktion ohne knick anschließt g(5) = 6,66 1 1 f(x)=6e0021t hier bei t=5 f'(t) git) u. f(5) = 6·0₁021.5 ≈6,664 f(5) = 0,021 · 6·e 01021.5 ≈ 0,14 . ohne knick : selbe steigung sowie selbe y-Werte sprungfrei selbe y-Werte 81-8 Es geht um virenausbreitung: nach 5h bekommt der Patient ein Gegenmedikament ab diesem Zeitpunkt verläuft der Graph mit g(t) = at² + bt +4 : Logarithmus vereinfachen In(2): = In(e-¹) = -1 In(e² e ³) = In (e5) = 5 e-z. In (5) _ (eIn(5))-2 = a.5² +b 5 + 4 = • 25a+ 5b 2,66 I 25a + 5b = 2,66 II 10a + b P 0,14 6,66 1 5-² = = 25 f(x)=xn.ex f(x)= ex nx X-4∞ f(x) 0 f(x) +∞ wenn `n gerade f(x) → O f(x)->-∞ wenn n ungerade I AH f(t) = g(t) g(t) = -0,0784 +² +0,924 t +4 Exponentialgleichung und natürlicher Logarithmus Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung ex=b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt × = In(b). Es gibt ein(b) = b und In (ec) = C Bsp.: a* = b → In(a*)=x ·In(a) 25a + 5b I -25a g'( 5 ) = 0,14 4 X = In(¹2²¹) = n(e) = 3/ In(b) In(a) f(x) O Graph von Exponentialfunktionen Übersicht zum Verhalten für x → ∞ von Termen, die ex und xn enthalten! Die e-Funktion gewinnt immer f(x)=xn.ex f(x)= ex-xh f(x) + f(x) +∞0 f(x) +∞0 10 a + b = 0,14 f(x)→∞n f(x) -> +∞0 n gerade = 2,66 b = 1,96 = ungerade Potenzgesetze 1. ar. as as=ar-s 2. 3. (ar)s = ar.s Logarithmusgesetze: 1. In(u •v) = In(u) +In(v) 2. In ( ) = n(u) - In(v) 3. In (uk) = k·In(u) 0,924 -0,0784 e-z -e-x 2 15 3 25 15 -105 0.5 Po -0.5 = ar+s 1.5 -2 p² -et 25 Logarithmusfunktion und ihre Ableitung + Exponential- funktion g(x) = In (x) g'(x) = // f(x) = ex f'(x) = ex weitere Bsp.: f(x) = In (3x) →→ f'(x). Wachstumsvorgange a) bestimme f(0) = 100 Bsp: Im Jahr 0 leben 100 Menschen. Nach 30 Jahren ist die Erdbevölkerung auf 130 angewachsen Entwicklung t= f(x) = 100 e0,00875 b) Berechne die verdopplungszeit A 1 = Funktion f Stamm- funktion F b Sfix: u. b In(z) b a der Bevölkerung soll durch eine Funktion modelliert werden f(t)= a ebt . 100=a.eb.o 100 a X b S f(x) dx + √f(x) dx {f(x) dx = √f(x)de = A₁ + A₂ a Stammfunktion von f r+1 Rechenregeln für Integrale $c-f(x) dx = c.Se(x) ax a 긋; (x) = √²/²/1²2 · 3 = ²/² ; f(x) = 3x f(x) dx = [F(x)] X Integralfunktionen bestimmtes Integral = mit Grenzen → Flacheninhalt berechnen Unbestimmtes Integral = Ohne Grenzen → Stammfunktion b t r + 1 = Bestimmen von Stammfunktionen Potenzregel r÷-1 f(30)=130 In (2) 900875 = F(b) F(a) e3x 130 = 113 In(1,3)= b obere und untere Grenze Konstanter Faktor f(x) = c · g(x) F(x) = c G(x) = 3x f'(x) = 3 e ³3 . 79, 22 Jahre 100 e 30b 30b e Summenregel f(x) = g(x) +h(x) |F(x) = G(x) + H(x) 30b In (113) b b Segues +h(x) dx = √g(x) dx + [n(x) dx ) a a a ~0,00875 A₁ Az Lineare Substitution f(x) = g(a·x+b) F(x) = 3·6(a·x+b) wichtige Beispiele: f(x) x² 3 F(x) x²³x² Bsp f(x) X = - z. B. Flacheninhalt berechnen * x=1 | | In(x) 1 4 (7 -5x)2 V = TT • Quotient Mittelwert von Funktionen a -2 X Die Integralfunktion Ju ist also eine Stammfunktion von f : Ju(x). b S(f(x))² dx -X Rotationskorper und ihr Volumen O. f(x) = -1 Z F(x) sin(x) cos(x) -cos(x) sin(x) = Bestimmen von Nullstellen p(x) q(x) - Ergibt sich ein Grenzwert, nennt man uneigentliche Integral Produkt f(x) = g(x).h(x) 4 7-5x b m = b ² a Sf(x) dx heißt der Mittelwert der Funktion f auf [a¡b] a Exestieren die Grenzwerte schreibt man e 3 Sf(x) dx Sf(x) dx auf einen Grenzwert eine konstante 1. Grenzen zw. Positiv und Negativ finden d.h. Nullstellen finden f(x) = O - ex P(x)=0 X - (3) 2. Einzelne Teilabschnitte integrieren und am Schluss zusammen addieren Ages = A₁ + A₂ 1. schnittpunkte zw. 2 Graphen finden f(x) = g(x) untere Funktion → Dann integrieren 2. obere Funktion f(x) ! Es ist egal welche man voneinander abzieht da man dann einfach clas negative Ergebnis Positiv macht Kettenregel des Aufleitens 1 innere Ableitung unbegrenzte Flächen und uneigentliche Integrale man untersucht unbegrenzte Flächen mit einer variablen Grenze und einer festen g(x)=0 und h(x) = 0 lim 2→∞ 1 ● = Außere Ab- leitung u untere Grenze {f(x) dx = {f(x)dx lim S f(x) dx = = Z-C Z X Sect и -f(x)=0 f(t) at )f(x) dx z →±∞ O. Z → C (also bzw. und man überprüft zusätzlich ob für eine Lösung xo gilt g(x)=0 m Definitionslucke g(x) h(x) Verhalten für x→→ ±∞0, waagrechte Asymptoten p(x) gebrochenrationalen Funktionen f(x) = 9(x) Bei zählergrad Nennergrad Verhalten von f für x-> 100 f(x) -O f(x) N N N p(x) = = > ex X 9(x) = _In(x) X und senkrechte Asymptote ) h(x) = 0 , so ist xo eine Definitionslucke von f wenn zusätzlich g(x。)‡0, so ist X。 eine Polstelle von f und die Gerade x = ×。 ist eine senkrechte Asymptote des Graph von f f'(x)=0 und UZW bei f'(x) a b f(x)-> +∞ f(x) Graph und Funktionsterm Symmetrie HA f'(x)=0 u. Extrempunkte f"(x)=0 2x Verhalten für → ± ∞ x →∞ ? x →>-∞? x → c? X →> + ∞, da ex sich gegenüber x durchsetzt. für x-> + ∞ p(x)-> +∞ j X-> x setzt sich gegenüber In(x) durch X-> +∞ g(x) ->O; Y=O ist K → 8 A Punktsymmetrie f(x) = -f(-x) Achsensymmetrie f(x) = f(-x) bei Funktionen mit geraden Hochzahlen Trigometrische Funktionen Asymptote waagrechte Asymptote y=o waagrechte Asymptote y= keine waagrechte Asymptote Eigenschaften zur Unter- suchung von Funktionen und Graphen Amplitude Periode p = 2 a = Унр-Утр Z ; x-> -∞ -Wendepunkte fx. bei Funktionen mit ungeraden Hochzahlen Nullstellen f(x)=0 ∞ p(x)>0; y=0 " da q nur für x > 0 definiert f"(x)=0 f"(x) 0 Monotonie 14. oder verschiebung in x-Richtung c(sin) = XHP = C(cos) = X HP f(x) = a sin (b(x-c )) + d + Verschiebung in y-Richtung d = YHP YTP 2 f"(x)=0 und Uzw bei f(x) fūrx₁ > x₂ gilt f(x₁) > f(x₂) fūr x₁ >×₂ gilt f(x₁)<f(x₂) Definitionsmenge bzw. -lucke senkrechte Asymptote AK Funktionenscharen Man kann eine Funktionenschar ft mit & ER auf charakteristische Eigenschaften untersuchen. Z.B untersucht man Scharen auf gemeinsame Punkte (unabhängig vont) oder auch auf von t abhāngige, charakteristische Punkte, wie Schnittpunkte mit den koordinatenachsen, Extrem und Wendepunkte - Bsp.: f(x) 4x²2tx + 8 Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte 1.) Tiefpunkt berechnen f'(x) = 8x - 2t f(x) = 8 → TP TPC t 1-t² + 8) 4.) Diesen Wert in = 2.) Koordinaten des Tiefpunktes nochmal aufschreiben x = 1 t y = - +² +8 3.) nach t umstellen III x^ II -2x₁ Хл Y III O= 8x -2t Zt = 8x 1 t X II einsetzen lineare gleichungssysteme (265) Das Gauß-Verfahren zum lōsen linearer Gleichungssysteme mit n Variablen 1. man eliminiert mithilfe einer Gleichung durch Aquivalenzumformungen die Variable x, aus allen anderen Gleichungen 2. mit den restlichen Gleichungen verfährt man nun schrittweise genauso die variable x₂1x31... xn. 3. Man löst die Gleichungen der Stufenform nach den Variablen Xn›... X₁₁ X₁ auf. Bsp.: X = ît t = 4x = O I + 2x3 хл - Xz II -2x₁ +xz - 6x3 = 0 X₁ 2x3 3 - I x₁ - x₂ + 2x3 4x3 IIa -Х^ - 2x3 X₁ - = = H Ia = O = O = 3 IIa x₂ = 3 y = -(4x)² +8 = -4x² +8 Jo Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 1. LGS hat genau eine Lösung 2x₂ + x3 = 9 + 5x3 = 5 -xz - x₂ + 3x3 = 4 x3 = 2 X₁ ft (t) = 4₁ (+)² -2t. (² t) +8 = -√² +8 X₁ +x3 2x2 3xz -3x2 = 1 I Ia IIIa = 9 +7X3 = 23 + 2x3 = -5 xz: X3: -6x₂ = 3 X3 -Z => X₁ -X₁ - Xxz x₂ = -3 I Πα IIIb xz L= {(1;3; 2)} + 1 - 2x3 4x3 -6x3 X₁¹X₁₁ -4.(-²2) = 0 X^ -2 X₁ = O X₁ + Zxz 3xz = 0 = O = 3 + X3 + = or g fur 7x3 = 23 9x3 = 18 2. LGS hat keine Lösung = 4 = 1 8x₂5x3 = 5 HAB I 2x₁ ㅍ HEE III 3X₁ X₁ HHH I 3xz + 2x2 L = { } x^ x2 2x₁- 4x₁ + 3x₂ 3. LGS hat unendlich viele Lösungen +Zxz 3x3 = 6 + 4x3 =2 = 14 2x3 man wählt x3 = t + - Bsp.: f(x)= a.x³ + bx² + cx + d f'(x)= 3ax² + 2bx + C f"(x) = 6ax + Zb x3 III 4a + 2b PQ 3x3 P(010) : a·0³ +b.0² + co+d=0 f(1) = 0 3a + 2b + C = 0 P(²31²27) a·(³)³ + b⋅ ( ² ) ² + c • }} = 3/1/17 f" (2²/3/3) = 0 4a +2b = O LGS 3a + 2b + c = 0·(-18). 8a + 12b + 18c = 2 = = 0.(-18) ] Ⓡ f(x)= x³ 2x² + x 9₁ -P₁ 92 -Pz 93 -P3 Ortsvekter OP I Ia Ia Gegenvektor QP I I a II a = 2X₁ P₁ Pz P3/ X₂ = 2 + 2t X + 2x₂ 1 II 3xz 7x2 -7х2 - 7х3 I 3a Ia -46a - 3x3 -5X2 + 10X3 - 5x₂ + 10x3 Steckbriefaufgaben Betimmen einer ganzrationalen Funktion mit vorgegebenem Grad 1. Aufstellen des allgemeinen Funktionsterms und gegebenfalls Angeben der Ableitungen 2. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit f₁ f¹, f" usw. 3. Aufstellen des LGS und Losen des LGS 4. Gegebenenfalls überprüfen, ob alle angegebenen Bedingungen erfüllt sind x3 =4 + 7x3 = -2 -Z x₁ = 2 -t + za - 24b 4a + 2b + C " = 0 = 2 = 6 = - 10 = -10 AH 01.12 I I a Ib = - zum Vektor PQ =v ZX1 I Ta hat im Punkt (314) geht durch den Ursprung berührt /schneidet die x-Achse bei x = 5 die Steigung m = -1 hat bei x = 3 ist bei x =4 parallel zur Gerade y=2x+3 schneidet die y-Achse bei y = 8 hat einen Extrempunkt bei E(015) berührt die x-Achse bei x = 5 hat bei x = -5 einen Wendepunkt seine Wendet detangente bei x= -2 IIIb 3х2 - X3 = 4 7x₂ + 7×3= =-2 0x3 -4 = X₁ + 2x₂ 5x₂ analytische geometrie Uektor von zwei Punkten P(P₁ P₂ P3) u. Q(9₁ 19₂ 193) | L= {(z-t; 2+ Zt; t ) tER} - 3x3 + 10X3 0x3 = 6 = -10 = 0 f(3) =4 f(0) =O f(5)=0 f(3) = -1 f'(4) = 2 f(0) = 8 f(0) =5, f'(O)=0 f'(5)=0 f"(-5)=0 f"(-2)=0 I 3a + 2b + c = O I -46a 24b = 2 II Za 2 C = 1 ⇒b=-2 <-2=1 Länge eines Uektors: |a| = Einheitsvektor : V skalarprodukt gu.h sind zueinander parallel u.identisch ū v Ebenen im Raum = geraden im Raum Gleichung einer Geraden g:x² =p+t· u S₁ Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h ? ja nein IVI Parametergleichung spurgerade å b Sz Spurpunkt bz b3 → dann prūft man ob z vektoren senkrecht zueinander sind Normalengleichung Koordinatengleichung Ebenen veranschaulichen fa² + a² + a²¹ = gund h sind zueinander parallel und verschieden an az аз Stutzvektor Parameter Richtungsvektor sind Richtungsvektoren u u. vielfache voneinander nein ū 5 /b₁ = a₁∙b₁ + a₂ · b₂ + a3 • b3 Stūtzuektor 52 P+r.u ja und h g schneiden sich R Hat die gleichung = a + s⋅v EX=p+r+s• u V u (durch spurpunkte) Spannvektoren E: [X-P]·ñ=0 ax₁ + bx₂ + Cx3 =d Parallel zu X3-Achse Parallel zu x₂x3-Achse eine eine Lösung nein NR: g und h sind zueinander windschief kreuzprodukt √ xu = n² zwei Uektoren die senkrecht zu- einander sind n=b t √₂ 55 55 = O u U3 XX U₂ पन Uz из U₁ Иг पउ Durch Spurpunkte kann man ganz einfach eine Koordinatenebene auf- stellen E: X^2 + x² + x3 = и W Gegenseitige Lage von Ebene und Geraden n F E und g schneiden sich in einem Punkt g gegeben ist eine Gerade g:x E₂ /u₁ P₂ +t U₂ Из P3 Ebene E: ax + bx₂ + cx3 =d mit Normalenvektor n - (2) Man berechnetun: 1.) ū·∙n #0 : n₂ E₁ und E₂ schneiden sich in einer Schnittgeraden g 3.) n₁ = k·n²₂ Normalenvektoren n E und g sind zueinander parallel haben keine gemeinsamen Punkte = 1.) n₁ = k· №²₂ ū gu. E schneiden sich. Die koordinaten des Durchstoßpunktes erhālt man über die Lösung d. Gleichung alp₁+tu₁)+b·(P₂+tu₂) + C· (P3+tU3)=d 2.) ū·ñ = 0 und PCP₁ P₂ P3) & E g und E sind zueinander parallel und g liegt nicht in E 3.) un =0 und PCP₁ P₂¹P3) E E u. E sind zueinander parallel u. g liegt in E ди. = g E₁ oder man setzt g in E ein : a(p₁+tu₂)+b⋅(P₂+tu₂)+C⋅(P3+tu3)=d wenn man tin einsetzt wenn t = x → dann schneidet sich die Gerade und die Ebene mit dem Schnittpunkt g wenn z.B. 7=4 also keine Lösung dann sind wenn z.B. 7=7, dann liegt g in der Ebene E Gegenseitige Lage von Ebenen Ez mit Richtungsvektor u- ñ₂ : g E und sind zueinander parallel g und haben unendlich viele gemeinsame Punkte g liegt in E CR und E parallel n₂ E₁ u. Ę₂ sind zueinander parallel u. haben keine gemeinsamen Punkte = E₁ U₁ иг U3 n₂ Gegeben sind 2 Ebenen E₁: ax₁ + b₂x₂ + CX3=d₁ Ez azx₁ + b₂ X₂ + C₂ X3 =C₂ mit lan b₁ und - (2) Man untersucht ob 7²₁ = k·7²₂² und eine Ez E₁ u. Ez sind zueinander parallel u. identisch E₁ und E₂ schneiden sich in einer Geraden g.! . Eine Gleichung von g erhält man über ein LGS a₁x₁ + b₁x₂ + C₁x3=d₁₂₁ a₂x₁ + b₂x₂ + C₂ X 3 = c₂ daraus ergibt sich eine Schnittgerade 2.) n₁ = k· n₂ und die koordinatengleichungen von E₁ u. E₂ sind nicht zueinander aquivalent : E₁ u. E₂ šind zueinander parallel aber haben keine ge- meinsamen Punkte und die Koordinatengleichungen von E, u. Ez sind zueinander aqui- valent : E₁ u. E₂ sind zueinander parallel u. identisch man bildet ein LGS mit den 2 Ebenen > wenn man nach x auflösen kann → schneiden sich die Ebenen → x-Werte zeigen Schnittpunkt und damit die schnittgerade > wenn z.B. 5=5 rauskommt → dann sind die Ebenen parallel u. identisch > wenn 0=7 rauskommt sind die Ebenen parallel Abstand von Ebenen, Punkten und Geraden Abstand Punkt-Punkt 1.) Uektor aufstellen d. 2Punkte verbindet 2.) Länge des Vektors berechnen Abstand Punkt - Ebene 1.) Durch Nutzung der Hess'sche Normalenform 2.) Punkt in Hess'sche Normalenform einsetzen Abstand Gerade Ebene L Gerade und Ebene müssen parallel sein 1.) Punkt auf Gerade auswählen 2.) Abstand Punkt zu Ebene (wie bei Punkt -Ebene) Abstand Punkt - Gerade 1.) Hilfsebene aufstellen der Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor und den Punkt Penthalt 2.) Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene 3.) Abstand von Punkt P zum Schnittpunkt S Alternative: g ₁x² = ( 3 ) + + · ( 1.) allgemeinen Punkt von ong G (1-3t 1213 +4+) PGŁ t O = 2.) Stelle vektor von P zu diesem Punkt auf (13)-(5)-(**) = P(4111-10) aufschreiben 3.) Skalarprodukt von PG+ U. Richtungsvektor aufstellen u. mit 0 gleichsetzen (-3-3t) (-3) + (13+ 4t) · 4 = O 61 t = -1/5 Bsp. P(11213) Q(-11015) PQ = O 2 =-Z 5 2 |PQ|=1(-2)² + (-2)² + 2²² = -√12² Bsp. P(1101-3) 3x₁-4X3-10 132+(-4)² Lange des Normalenvektors 1 CLE] u. E: 3x₁-4x₂ =10 Koordinatenform! 3.1-4.(-3) -10 = 5/2 5 Abstand Ebene Ebene L Ebenen müssen parallel sein 1.) Punkt auf einer Ebene wählen 2.) Abstand Punkt zu Ebene (wie bei Punkt-Ebene) g ₁x² = ( ² ) + + · ( ²³ ) PS = -3x₁ + 4x3 = C -3-4+4·(-10) = C E: −3x₁ +4x3 = -52 -3 (1-3t) + 4·( 3 + 4t) = -52 gt 3+ 12 + 16+ = -52 25t = -61 61 25 t = P(4111-10) /205/25 2 + ing: (--()-(-4/2) (40+121-42) = ≈2,44 205/25 -149/25 4 2)-(1) - A05/25 1 101/25 -149/25 1-10 IPSI (105/25)² +1 + (101/25)²5,91 4.) Setze dieses t in den Punkt Gt ein Gt (205121-149) 5.) Berechne Abstand von P zu G₂ → IPG = 5,9 Abstand Gerade Gerade a) Geraden sind parallel 1.) Suche einen Punkt auf der Geraden aus 2.) Berechne den Abstand zu anderen Geraden (wie in 5) b) windschiefe Geraden 1.) Normalenvektor zu den Richtungsvektoren aufstellen z.) d= (OP - OQ) ·n) Schnittwinkel - Winkel zwischen Uektoren - der Geraden - - der Ebenen E u. F u.h g - der Geraden gund Ebene. E cos(x)= P * cos(x) = PS cos(x): sin(x) S Spiegelung und Symmetrie >Spiegelung Punkt an Punkt PI +F >Spiegelung Punkt an Gerade. = A = 12 × 51 X g ₁ x = ( ² ) + + - ( 2³² ) a. b la 1.161 Volumen U eines spats, der von a, b und V=lc.(āx5) *S 17.1 101-101 Ine nFl In Ind · lū.nl Tul In T . Das Vektorprodukt Flächeninhalt A eines Parallelogramms berechnen, das von Vektor ☎ und aufgespannt wird PI u. hix = 3 × 5 - (+2) - * - (3) axb 10 = aufgespannt wird Volumen berechnen (Pyramide) Vp= 6p ⋅h = 1/2 · ( 1/2 · 6₁₂) •h = 1/² · 6₁ · h = ₁₁₁ V₁₁ Gs 1/3 Vs . 0°≤ x ≤ 180° O'≤ x ≤ 90° o'≤ x ≤ 90° OQ O'≤ x ≤ 90° + S.1 Stelle einen vektor von P nach S auf und addiere diesen Vektor zum Punkt S PS + OS = OP' 1.) Stelle eine Ebene auf, die den Punkt Penthält + Richtungsvektor von g als Normalenvektor n 2.) Schnittpunkt mit der Geraden u. d. Ebene 3.) Uektor PS aufstellen 4.) Addiere PS zu oś >Spiegelung Gerade - Punkt >Spiegelung von 2 Punkte der Gerade bzw. nehm den Richtungsvektor >Spiegelung Ebene Punkt >Spiegele 1 Punkt und übernehme beide Richtungsvektoren/Normalenvektor spiegelung Punkt - Ebene P *S * pl 1.) Gerade aufstellen mit P als Stūtz- u. Normalenvektor als Richtungsvektor 2.) Gerade mit der Ebene schneiden 3.) Uektor von P zum Schnittpunkt u. Addiere Vektor zum Schnittpunkt S Spiegelung Gerade - Gerade >Spiegele 2 Punkte und baue eine Gerade Spiegelung Ebene - Gerade > Spiegele 3 Punkte und baue eine neue Ebene Spiegelung Ebene - Ebene > Spiegele 3 Punkte an einer Ebene und bilde daraus eine Ebene Spiegelung Gerade - Ebene Spiegele 2 Punkte an einer Ebene und Bilde daraus eine neue Gerade Modellieren von geradlinigen Bewegungen Zeit-Ort-Gleichung: x=p² + +· v₂ Geschwindigkeit: 101 Verschiebung des Körpers in einer Zeiteinheit Ort des Körpers zum Zeitpunkt t Um zu prüfen ob zwei Schiffe kollidieren stellt man eine Gleichung mit gleichem Parametert auf Z.B. I-3 + 12t = 2- 20t t = } schiffe kollidieren I 1 + gt 3 Die 11 Parallelitat nachweisen man wählt a = AB u. b = AD Vorraussetzung: = Vektorielle Beweise Zum Beweisen mit Vektoren wird folgendermaßen vorgehen: 1.) Formulieren der Vorraussetzung mithilfe von Vektoren 2.) Formulieren der Behauptung mithilfe von Vektoren 3.) Beweis der Behauptung durch Rechnen mit diesen Vektoren unter Verwendung der Vorraus- setzung Diagonalen halbieren sich " AM = MC = ₁/(a + b) DM=MB=(-6) ㅋㅋ = 32 Behauptung: Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel" AB = DC=a AD = BC=b 3½ 6 to B Beweis: DC = ÔM TÁC = \(5-b)+ậ(ā +b) = BC = BM + MC = -4 (-5)+4(+6)=b Somit sind gegenüberliegende Seiten zu- einander parallel Orthogonalitāt von 2 sich schneidenen Strecken nachweisen man wählt z.B. Uektoren DA = a₁ DC=b, Außerdem werden die vektoren DF bzw. AC mit d u. e bezeichnet 1.) Vorraussetzung 2.) Behauptung 3.) Beweis DH = 2 Multiplikatio kation 1) i a·b=0₁a • c = 0 ; || = 161; ♂² =¯² ale also de=o để somit sind & u. ể zueinander orthogonal 11 E A H D stochastik Als Zufallsexperiment wird ein Vorgang beschrieben, dessen Ablauf geplant u. wiederholbar ist Ergebnis ist in allen Möglichkeiten bekannt aber nicht bei der Austunning vorhersehbar z. B. bei einem Wurtel s = {₁; 2; 3; 4; 5; 6 } 1; Ereignis ist eine (Teil-) Menge von Ergebnissen z.B bei einem würfel E= {2₁4;6} Baumdiagramm -Pfadregeln :> Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades wird multipliziert (Multiplikationsregel) > Wahrsch. P(E) eines Ereignisses erhält man die Wahrsch. der zu- gehörigen Ereignisse (Summenregel) Vierfeldertafel Statistische Angabe über 2 Merkmale mit jeweils 2 Merkmalsausprägungen, kann man übersichtlich in einer sogenannten Vierfeldertafel darstellen la tol Es gilt P(AnB) = P(A) · PA (B) und damit für die bedingte Wahrscheinlichkeit cổ+b+c).(5- ā) = 5 - 8 = 5 -5 =o P(ANB) PA(B)= P(A) wahrscheinlichkeitsverteilung 1.) Wahrsch. für ein einzelnes Ereignis ist größer oder gleich null 2.) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse ergibt 1 (oder 100%) F Gegenereignis E von E heißt alle Ereignisse, die nicht zum Ereignis E gehören P(Ē) = 1- P(E) Ziehen mit Zurücklegen" → Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich Ziehen ohne Zurücklegen". B · Erwartungswert von X E(x)= x₁ P(X=X₁) + X₂ · P(X=X₂) + ... + xn. P(x=xn) Für alle Zufallsgröße x mit den Werten x₁,x₂,...,xn definiert werden kann P(A) G → Wahrscheinlichkeit ändert sich bei jedem Zug с A A B P(ANB) P(ANB) P(B) BP(ANB) P(An B) P(B) P(A) P(A) 1 P(A) BP(ANB) A stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A u. B heißen unabhängig, wenn PA(B) = P(B) Zwei Ereignisse Au. B sind genau dann unabhängig wenn P(ANB)=P(A) · P(B) ansonsten stochastsch abhängig Binominalverteilung Binominalverteilung k Treffer berechnet man mit der Formel der Bernoulli mit den Parameter n u. p. Die Wahrscheinlichkeit für Kettenlänge P(x = k) = (R) •pk · (1-p)n-k . Wahrsch. für k Treffer mit Taschenrechner WTR: Znd data Diese Wahrsch. wird auch mit P(x≤k) = P(x=0) + P(x = 1 ) + genau Erwartungswert von x ist M = n.p Standart abweichung von x ist σ = √n⋅p⋅(1-p)' Erwartungswert Trefferwahrscheinlichkeit 4. Binominal pdf P(X=k) Histogramm → Wahrscheinlichkeitsverteilung ● Bn;p(k) bezeichnet + P(x=k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit ● genau 1.) Bestimmung der Lange n einer Bernoulli -kette P(x > k) = 1- P(x≤ K-1) P(x <k) = P(x≤k-1) P(x >k) = 1-P(x≤k) } p=Wahrsch. ; n = Lānge d. kette bei gleicher Wahrscheinlichkeit aber untersch. Kettenlänge •Histogramm wird flacher u. breiter + μ nimmt ab bei selber kettenlänge aber untersch. Wahrscheinlichkeit P(x) p< 0,5 Wahrsch. eher O gegen P(x) p=0,5 symmetrische Verteilung P(X)→ p>0,5 Verteilung + Erwartungswert eher →n Bsp.: Sei X eine binominalverteilte Zufallsvariabel mit gesuchtem n u. Treffer wahrscheinlichkeit p= 0,6. Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens durchführen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 Treffer zu haben, min. 90% beträgt ? Bedingung: P(x ≥ 3 ) = 1- P(x≤2) 20,9 (wird großer mit wachsendem n ) P(x ≤2) ≤0,1 (wird kleiner mit wachsendem n) n, für das diese Bedingung erfüllt ist. Gesucht ist also das kleinste z. B. P(x 21) 20,85 bzw. P(x=0) ≤ 0,15 Wegen P(x=0) = (0) · 0₁09° 0,91"; Man lost die Ungleichung 0,91 ≤ 0,15. Durch Logarithmieren ergibt sich n = 20,1. P(x=0)=991 2. Bestimmung der Trefferwahrscheinlichkeit p Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, welches zufällig der Produktion entnommen wird, funktioniert, beträgt p. Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein, damit bei einer Entnahme von 60 Bauteilen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens 55 Bauteile funktionieren ? sei x eine binominalverteilte Zufallsvariable mit n = 60 und gesuchtem p Ansatz P(X55) > 0,95 = 1- P(x≤ 54) > 0,95 bzw. P(x ≤ 54 ) ≤ 0,05 Man variiert p zwischen O u. 1 bis man sich an den Wert 0,05 annähert Ergebnis p≈ 0,956 gilt erstmals P(x2 55) > 0,95 Erwartungswert E(x) = n · p = P 60 55 Nullhypothese Alternative 3. Bestimmung eines bestimmten k=Wertes Signifikanztest Wenn man zum Beispiel bei einem signikanztest die Grenze ces Ablehnungsbereichs bestimmen will, dann muss man einen minimalen (o. maximalen) k-Wert bestimmen 11 px 0,916 Bsp.: Sei x eine binominalverteilte Zufallsvariable mit n = 100 u. p= 0,₁3. Gesucht ist nun das größte k für das gilt: P(x ≤ k ) ≤ 0,05 (→ man probiert geziehlt um k zu bestimmen) Eine Hilfe kann sein den Erwartungswert auszurechnen E= n⋅p = 100·0₁3 = 30 beträgt, muss k kleiner als 30 sein Einseitiger Hypothesentest linksseitiger Hypothesentest: mehr als; mindestens " Ho:p> Po На : р< Po - -D man startet um den Wert 0,9 (genauer p>0,9) Zweiseitiger Hypothesentest Nullhypothese rechtsseitiger Test maximal, hōchstens, weniger als" Ho p ≤ Po H₁ :p> Po Die Zufallsgröße X ist bei wahrer Nullhypothese Ho binominalverteilt mit dem Parameter n u. Po Ablehnungsbereich: {0; 1;...;g} Ablehnungsbereich: {gig + 1;...; n } P(x≤g) ≤ x P(x>g) = 1-P(x≤g-1) ≤ x man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt wird Ho ver- worfen. Ansonsten wird Ho nicht angenommen Faustregel: man wāhlt diejenige Aussage als Aussage als Alternative, die bestätigt sehen möchte Wahl der Nullhypothese: Bei einem Hypothesentest wird der Fehler, dass die Nullhypothese Ho aufgrund des Stichprobenergebnisses fälschlicher verworfen wird, kontrolliert. Seine Wahrsch. ist stets höchstens so groß wie das signifikanzniveau a Ho: P = Po Alternative H₂p Po Die Zufallsgröße X ist bei wahrer Nullhypothese Ho binominalverteilt mit dem Parameter n u. Po Ablehnungsbereich {0i...ig₁} {g₂i...in} P(x≤ g₁ ) ≤ 2 u. P(x ≥ g₂ ) = 1- P(x≤g₂-1) ≤ €// Entscheidungsregel: wenn stichprobenereignis im Ablehnungsbereich liegt wird Ho verworfen Fehler beim Testen von Hypothesen Fehler 1. Art : Ho wird verworfen, obwohl sie richtig ist = Irrtumswahrscheinlichkeit Fehler 2. Art: Ho wird angenommen obwohl sie falsch ist; kann man berechnen wenn tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit bekannt ist (man braucht neue wahrsch.) P(g≤Y) = 1-P(Y≤g-1) wenn man stichprobenumfang erhöht, verkleinert sich wahrsch. Fehler 2. Art Stetige Zufallsgröße Dichtefunktion wenn 1= [a¡b] o. 1=(a;b) gilt: 1.) f(x) >0 für alle x EI 2.) Sf(x) a f(x) dx = 1 Eine Zufallsgröße X mit Werten im Intervall I heißt stetig mit der Dichte- funktion f wenn für alle r,s aus I gilt P(r≤x≤S) = √flx) dx r Die Normalverteilung stetige Zufallsgröße x heißt normalverteilt mit den Parametern und wenn sich eine Gauß'sche Glockenfunktion Quio mit (x-μ)² фміт QM₁0 (x) = σTZT e 20²² Der Graph heißt Gauß'sche Glockenkurve