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 analysis
Ableitung und Ableitungsfunktion
Differenzenquotient an der Stelle a für h->0 gegen einen Grenzwert strebt, so ist f
an der Stelle

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analysis Ableitung und Ableitungsfunktion Differenzenquotient an der Stelle a für h->0 gegen einen Grenzwert strebt, so ist f an der Stelle a differenzierbar. Der Grenzwert heißt Ableitung f'(a). f' ist die Ableitungsfunktion von f. f'(a) = lim ho Ableitungsregeln, hōhere Ableitungen Ableitung von x Potenzregel Faktorregel Regelheft f(x)=x->f'(x) = 1 f(x)=xPf'(x) = p.xP-1 f(x) = c. g(x) → f'(x) = c. g'(x) Summen-/Differenzregel f(x) = g(x) ± h(x) → f'(x) = → f'(x) = g'(x) ± h'(x) f(a+h)-f(a) h Verkettung von Funktionen gegeben sind 2 Funktionen u u.v. Die Funktion u°v mit (u ᵒv)(x) = u(√(x)) heißt Verkettung. Im Funktionsterm der Funktion u wird jedes x durch v(x) ersetzt f(x) = Kettenregel Verkettung zeier differenzierbarer Funktionen u und auch differenzierbar mit der Ableitung f'(x)= u'(v(x)) · U'(x) f'(a) = u' (b) · v'(a) = u' (v(a)) · v'(a) Quotientenregel Graphisch Ableiten Y↑ u(x) U (x) Bsp. f(x) = 5x ⋅(1-x)² u(x) = 5x v(x) = (1-x)² u'(x) = 5 U'(x) = 2.(1-x)•(-1) f'(x) = 5 (1-x)² + 5x-(-2)·(1-x) = 5.(1-x)² - 10x-(1-x) - f'(x) = u'. (√(x) = u(v¹(x) (v(x))² y=f(x) X X f с xn y=f'(x) =X sin(x) cos(x) ax Y₁ Z1X =x²-x -X -12 cos (x) -sin(x) f O Produktregel Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f= u⋅v mit f(x) = u(x) · √(x) differenzierbar und es gilt: f'(x) = u'(x) ·√(x)+ u(x) · v'(x)) Produkt. und Ketter tenregel anwenden lerkregel (uv)' = y=f(x) n.xn-1 -=-=1/22 New-Regel: F(x) f(x) f'(x) mit f(x) = u(√(x), so ist f Merkregel: äußere Ableitung" mal innere Ableitung" = ax. In(x) x NEW u'v + uv' NEW NEW Krūmmung und Monotonie Die Funktion f auf einem Intervall 1. f heißt monoton wachsend auf I streng wenn...

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für alle x₁, x₂ El mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂) Monotoniesatz : Ist die Funktion f auf I differenzierbar so gilt: 1st f'(x) >0 für alle XET, so ist f streng monoton wachsend auf I Ist die Funktion zweimal differenzierbar Ist f"(x) >0, so ist f' streng monoton wachsend und der Graph von f ist linksgekrummt, also eine Linkskurve Extrem- und Wendepunkte 1st f"(x) < 0, so ist f' streng monoton fallend und der Graph von f ist rechtsgekrummt, also eine Rechtskurve - - streng monoton fallend auf I wenn für alle x₁, x₂ El mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂) Um Extremstellen zu berechnen muss f'(x)=0 sein 1st f'(x) <0 für alle x €1, so ist f streng monoton fallend auf I Maximumstelle wenn f'(x) an dieser Stelle sein Vorzeichen wechselt von + nach wenn f"(x) < 0 ist - - Linkskurve - von - f" (x) >0 ist Hochpunkt f'(x)=0 y = f(x) Rechtkurve nach + wechselt Minimumstelle - wenn f'(x) an dieser Stelle sein Vorzeichen Um wendestelle zu bestimmen wenn f"(x)=0 ist und f" an der Stelle x。 einen Vorzeichenwechsel hat wenn f"(x)=0 und f"" (xo) # ist Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Wendepunkt f"(x)=0 Tiefpunkt f'(x)=0 Strategie: 1. Aufstellen eines Terms für die Große, die extremal werden soll. (kann auch mehrere Variablen enthalten 2. Formulieren der Nebenbedingung, die Abhängigkeit zwischen den Variablen be- schreiben 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und Angeben ihrer Definitionsmenge 4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Werte an den Randern der Definitionsmenge 5. Formulieren des Ergebnisses Bsp. Bestimme u so, dass clie Flache des Dreiecks maximal wird дед. : : f(t) = - 0,05t² 0,1t +1,2 0(010); P₂ (ulo); P₂ (ulf(u)) 1.) Mache dir eine Skizze und schreibe an alle Punkte die koordinaten. 2.) Schreibe die Formel der Gesuchten Große auf (hier: Dreieck ) 3.) Markiere in der Skizze die benötigten Großen 4.) Drucke die benötigten Größen durch variablen aus 5.) Setze diese Größen in die Formel aus 2.) ein Zielfunktion A' (u) = O pq- Formel: 6.) Suche nach Hoch-/(Tiefpunkten) der Zielfunktion UN/2 in A" z. B. y=mx + c : 4112 A = 1/2 u • (-0,05 u² − 0,₁1 u + 1,2) (-0,05u³ -0,1u² + 1,2u) -0,025u³ -0,05u² +0,6u -0,0754² -0,1u + 0₁6 = u u² +릅니 - 8 =0 ¾ ± √ (3) ²³ + 8 ±1 76 g = = = ( f(x)= 3x² + 1 A" (2,24) <0 A" (-3,57) >0 m = f'(xo) HP - TP x0=1 U₁= 2,24 U₂ = -3,57 7.) Setze den Wert von u in die Zielfunktion, falls nach der Fläche gefragt ist A (2₁24) = 0,025- 2,24 -0,05 2,24² +0,6 2,24 ≈0,813 3 Tangenten aufstellen f'(x) = 6x (ulf(u) A = 1/2 g · h g= = U-O h=f(u)-O = -0,05u² -0,14 +1,2 1.) Steigung ausrechnen 2.) Berührpunkt ausrechnen f(1) = 3-1² + 1 = 4 (ulo) A¹ = -0,075 u² − 0,1u + 0,6 A" = -0,15u -0,1 3.) Punkte in die Tangentengleichung einsetzen y = 6x-2 = U allgemeine Tangentengleichung: y = f'(x₁) · (u −xo ) + f(xo) allgemeine Normalengleichung: y = -x ·(u-x) + f(x) y-wert f(1) = 6 ; d.h y = 6x + C 4= 6·1+ C C = -2 Trassierungsaufgaben BSP. LGS A) Bestimmen a und b so dass diese neue Funktion am Zeitpunkt t=5 an die alte Funktion ohne knick anschließt g(5) = 6,66 I I 1 1 f(x)=6e0021t hier bei t=5 f'(t) git) u. f(5) = 6·0₁021.5 ≈6,664 f(5) = 0,021 · 6·e 01021.5 ≈ 0,14 X-4∞ . 81-8 ohne knick : selbe steigung sowie selbe y-Werte sprungfrei selbe y-Werte Es geht um virenausbreitung: nach 5h bekommt der Patient ein Gegenmedikament ab diesem Zeitpunkt verläuft der Graph mit g(t) = at² + bt +4 : Logarithmus vereinfachen In(2): = In(e-¹) = -1 In(e² e ³) = In (e5) = 5 e-z. In (5) _ (eIn(5))-2 = a.5² +b 5 + 4 = • 25a+ 5b 2,66 I 25a + 5b = 2,66 II 10a + b P 0,14 6,66 1 5-² = = 25 ex nx f(t) = g(t) AH g(t) = -0,0784 +² +0,924 t +4 Exponentialgleichung und natürlicher Logarithmus Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung ex=b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt × = In(b). Es gibt ein(b) = b und In (ec) = C Bsp.: a* = b → In(a*)=x ·In(a) f(x) 0 f(x) +∞ wenn `n gerade f(x) → O f(x)->-∞ wenn n ungerade 25a + 5b I -25a g'( 5 ) = 0,14 4 X = In(¹2²¹) = n(e) = 3/ In(b) In(a) f(x) O Graph von Exponentialfunktionen Übersicht zum Verhalten für x → ∞ von Termen, die ex und xn enthalten! Die e-Funktion gewinnt immer f(x)= xn.ex f(x)= f(x)=xn.ex f(x)= ex-xn f(x) + f(x) +∞0 f(x) +∞0 10 a + b = 0,14 f(x)→∞n f(x) -> +∞0 n gerade = 2,66 b = 1,96 = ungerade Potenzgesetze 1. ar. as as=ar-s 2. 3. (ar)s = ar.s Logarithmusgesetze: 1. In(u •v) = In(u) +In(v) 2. In ( ) = n(u) - In(v) 3. In (uk) = k·In(u) 0,924 -0,0784 e-z -e-x 2 15 3 25 15 -105 0.5 Po -0.5 = ar+s 1.5 -2 p² -et 25 Logarithmusfunktion und ihre Ableitung + Exponential- funktion g(x) = In (x) g'(x) = // f(x) = ex f'(x) = ex weitere Bsp.: f(x) = In (3x) →→ f'(x). Wachstumsvorgange a) bestimme f(0) = 100 Bsp: Im Jahr 0 leben 100 Menschen. Nach 30 Jahren ist die Erdbevölkerung auf 130 angewachsen Entwicklung t= f(x) = 100 e0,00875 b) Berechne die verdopplungszeit A 1 = Funktion f Stamm- funktion F b Sfix: u. b In(z) b a der Bevölkerung soll durch eine Funktion modelliert werden f(t)= a ebt . 100=a.eb.o 100 a X b S f(x) dx + √f(x) dx {f(x) dx = √f(x)de = A₁ + A₂ a Stammfunktion von f r+1 Rechenregeln für Integrale Sc-f(x)ax Sc₁4(x) dx = c.Se(x) ax a 긋; (x) = √²/²/1²2 · 3 = ²/² ; f(x) = 3x f(x) dx = [F(x)] X Integralfunktionen bestimmtes Integral = mit Grenzen → Flacheninhalt berechnen Unbestimmtes Integral = Ohne Grenzen → Stammfunktion b t r + 1 = Bestimmen von Stammfunktionen Potenzregel r÷-1 f(30)=130 In (2) 900875 = F(b) F(a) e3x 130 = 113 In(1,3)= b obere und untere Grenze Konstanter Faktor f(x) = c · g(x) F(x) = c G(x) = 3x f'(x) = 3 e ³3 . 100 e 30b 30b e 79, 22 Jahre 30b In (113) ~0,00875 b b Segons +h(x) dx = √g(x) dx + [n(x) dx ) a a a A₁ Az Summenregel Lineare Substitution f(x) = g(x) +h(x) f(x) = g(a·x+b) |F(x) = G(x) + H(x)| F(x) = 3·6(a·x+b)

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V

Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Aufstellen eines Terms für die Große, die extremal werden soll. (kann auch mehrere Variablen enthalten 2. Formulieren der Nebenbedingung, die Abhängigkeit zwischen den Variablen be- schreiben 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und Angeben ihrer Definitionsmenge 4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Werte an den Randern der Definitionsmenge 5. Formulieren des Ergebnisses Bsp. Bestimme u so, dass clie Flache des Dreiecks maximal wird дед. : : f(t) = - 0,05t² 0,1t +1,2 0(010); P₂ (ulo); P₂ (ulf(u)) 1.) Mache dir eine Skizze und schreibe an alle Punkte die koordinaten. 2.) Schreibe die Formel der Gesuchten Große auf (hier: Dreieck ) 3.) Markiere in der Skizze die benötigten Großen 4.) Drucke die benötigten Größen durch variablen aus 5.) Setze diese Größen in die Formel aus 2.) ein Zielfunktion A' (u) = O pq- Formel: 6.) Suche nach Hoch-/(Tiefpunkten) der Zielfunktion UN/2 in A" z. B. y=mx + c : 4112 A = 1/2 u • (-0,05 u² − 0,₁1 u + 1,2) (-0,05u³ -0,1u² + 1,2u) -0,025u³ -0,05u² +0,6u -0,0754² -0,1u + 0₁6 = u u² +릅니 - 8 =0 ¾ ± √ (3) ²³ + 8 ±1 76 g = = = ( f(x)= 3x² + 1 A" (2,24) <0 A" (-3,57) >0 m = f'(xo) HP - TP x0=1 U₁= 2,24 U₂ = -3,57 7.) Setze den Wert von u in die Zielfunktion, falls nach der Fläche gefragt ist A (2₁24) = 0,025- 2,24 -0,05 2,24² +0,6 2,24 ≈0,813 3 Tangenten aufstellen f'(x) = 6x (ulf(u) A = 1/2 g · h g= = U-O h=f(u)-O = -0,05u² -0,14 +1,2 1.) Steigung ausrechnen 2.) Berührpunkt ausrechnen f(1) = 3-1² + 1 = 4 (ulo) A¹ = -0,075 u² − 0,1u + 0,6 A" = -0,15u -0,1 3.) Punkte in die Tangentengleichung einsetzen y = 6x-2 = U allgemeine Tangentengleichung: y = f'(x₁) · (u −xo ) + f(xo) allgemeine Normalengleichung: y = -x ·(u-x) + f(x) y-wert f(1) = 6 ; d.h y = 6x + C 4= 6·1+ C C = -2 Trassierungsaufgaben BSP. LGS A) Bestimmen a und b so dass diese neue Funktion am Zeitpunkt t=5 an die alte Funktion ohne knick anschließt g(5) = 6,66 I I 1 1 f(x)=6e0021t hier bei t=5 f'(t) git) u. f(5) = 6·0₁021.5 ≈6,664 f(5) = 0,021 · 6·e 01021.5 ≈ 0,14 X-4∞ . 81-8 ohne knick : selbe steigung sowie selbe y-Werte sprungfrei selbe y-Werte Es geht um virenausbreitung: nach 5h bekommt der Patient ein Gegenmedikament ab diesem Zeitpunkt verläuft der Graph mit g(t) = at² + bt +4 : Logarithmus vereinfachen In(2): = In(e-¹) = -1 In(e² e ³) = In (e5) = 5 e-z. In (5) _ (eIn(5))-2 = a.5² +b 5 + 4 = • 25a+ 5b 2,66 I 25a + 5b = 2,66 II 10a + b P 0,14 6,66 1 5-² = = 25 ex nx f(t) = g(t) AH g(t) = -0,0784 +² +0,924 t +4 Exponentialgleichung und natürlicher Logarithmus Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung ex=b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt × = In(b). Es gibt ein(b) = b und In (ec) = C Bsp.: a* = b → In(a*)=x ·In(a) f(x) 0 f(x) +∞ wenn `n gerade f(x) → O f(x)->-∞ wenn n ungerade 25a + 5b I -25a g'( 5 ) = 0,14 4 X = In(¹2²¹) = n(e) = 3/ In(b) In(a) f(x) O Graph von Exponentialfunktionen Übersicht zum Verhalten für x → ∞ von Termen, die ex und xn enthalten! Die e-Funktion gewinnt immer f(x)= xn.ex f(x)= f(x)=xn.ex f(x)= ex-xn f(x) + f(x) +∞0 f(x) +∞0 10 a + b = 0,14 f(x)→∞n f(x) -> +∞0 n gerade = 2,66 b = 1,96 = ungerade Potenzgesetze 1. ar. as as=ar-s 2. 3. (ar)s = ar.s Logarithmusgesetze: 1. In(u •v) = In(u) +In(v) 2. In ( ) = n(u) - In(v) 3. In (uk) = k·In(u) 0,924 -0,0784 e-z -e-x 2 15 3 25 15 -105 0.5 Po -0.5 = ar+s 1.5 -2 p² -et 25 Logarithmusfunktion und ihre Ableitung + Exponential- funktion g(x) = In (x) g'(x) = // f(x) = ex f'(x) = ex weitere Bsp.: f(x) = In (3x) →→ f'(x). Wachstumsvorgange a) bestimme f(0) = 100 Bsp: Im Jahr 0 leben 100 Menschen. Nach 30 Jahren ist die Erdbevölkerung auf 130 angewachsen Entwicklung t= f(x) = 100 e0,00875 b) Berechne die verdopplungszeit A 1 = Funktion f Stamm- funktion F b Sfix: u. b In(z) b a der Bevölkerung soll durch eine Funktion modelliert werden f(t)= a ebt . 100=a.eb.o 100 a X b S f(x) dx + √f(x) dx {f(x) dx = √f(x)de = A₁ + A₂ a Stammfunktion von f r+1 Rechenregeln für Integrale Sc-f(x)ax Sc₁4(x) dx = c.Se(x) ax a 긋; (x) = √²/²/1²2 · 3 = ²/² ; f(x) = 3x f(x) dx = [F(x)] X Integralfunktionen bestimmtes Integral = mit Grenzen → Flacheninhalt berechnen Unbestimmtes Integral = Ohne Grenzen → Stammfunktion b t r + 1 = Bestimmen von Stammfunktionen Potenzregel r÷-1 f(30)=130 In (2) 900875 = F(b) F(a) e3x 130 = 113 In(1,3)= b obere und untere Grenze Konstanter Faktor f(x) = c · g(x) F(x) = c G(x) = 3x f'(x) = 3 e ³3 . 100 e 30b 30b e 79, 22 Jahre 30b In (113) ~0,00875 b b Segons +h(x) dx = √g(x) dx + [n(x) dx ) a a a A₁ Az Summenregel Lineare Substitution f(x) = g(x) +h(x) f(x) = g(a·x+b) |F(x) = G(x) + H(x)| F(x) = 3·6(a·x+b)