Grundlagen der Analysis im Abitur: Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Die Analysis Mathe Grundlagen beginnen mit dem Verständnis der Logarithmus- und Exponentialfunktionen. Die Logarithmusfunktion g(x) = ln(x) hat als Ableitung g'(x) = 1/x, während die Exponentialfunktion f(x) = eˣ die besondere Eigenschaft besitzt, dass sie ihre eigene Ableitung ist: f'(x) = eˣ.
Definition: Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ ist die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Logarithmusfunktion ist ihre Umkehrfunktion.
Ein wichtiges Anwendungsbeispiel für Analysis Mathe sind Wachstumsvorgänge. Bei exponentiellem Wachstum lässt sich die Entwicklung durch die Funktion f(t) = a·eᵇᵗ modellieren. Dabei beschreibt a den Anfangswert und b die Wachstumsrate. Die Verdopplungszeit t lässt sich über die Formel t = ln(2)/b berechnen.
Beispiel: Eine Population von 100 Menschen wächst in 30 Jahren auf 130 Menschen an. Mit f(t) = 100·e^(0,00875t) lässt sich die Entwicklung modellieren. Die Verdopplungszeit beträgt etwa 79,22 Jahre.
Die Mathe Abitur Analysis Zusammenfassung zeigt auch wichtige Rechenregeln für Integrale. Das bestimmte Integral mit Grenzen dient der Flächenberechnung, während das unbestimmte Integral die Stammfunktion liefert. Zentrale Regeln sind die Summenregel [∫(g(x) + h(x))dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx] und die Regel für konstante Faktoren [∫c·f(x)dx = c·∫f(x)dx].