Rekonstruktion von Funktionen – Schritt für Schritt mit ausführlichem Beispiel

Bedingungen übersetzen

Text in Mathe-Code übersetzen

Jede Eigenschaft liefert dir eine mathematische Gleichung für dein System.

• Punkt: Geht die Kurve durch $P(x|y)$, gilt $f(x) = y$.
• Extrempunkt: Bei einem Maximum/Minimum bei $x$ gilt $f'(x) = 0$.
• Wendepunkt: Bei einer Wendestelle bei $x$ gilt $f''(x) = 0$.

Symmetrien nutzen

Symmetrien reduzieren sofort die Anzahl deiner Unbekannten im Ansatz.

• Achsensymmetrie: Nur gerade Exponenten im Ansatz verwenden.
• Punktsymmetrie: Nur ungerade Exponenten im Ansatz nutzen.

💡 Tipp: Ein Sattelpunkt bei $x$ liefert dir immer zwei Infos auf einmal: $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$.

Aufstellen und Lösen

Der Fahrplan zur Gleichung

Um die Koeffizienten $a, b, c$ und $d$ zu bestimmen, stellst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf.

• Ansatz wählen: Grad der Funktion bestimmt die Form, z. B. $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ für Grad 3.
• Bedingungen aufstellen: Genauso viele Gleichungen aufschreiben, wie Unbekannte vorhanden sind.
• LGS lösen: Die Unbekannten durch Einsetzen oder Additionsverfahren berechnen.

Beispiel: Wendepunkt $W(2|4)$ einer Funktion 3. Grades:

1. Punkt liefert $f(2) = 4 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 4$
2. Krümmung liefert $f''(2) = 0 \Rightarrow 12a + 2b = 0$

💡 Tipp: Geht die gesuchte Funktion durch den Ursprung $(0|0)$, fällt das $d$ im Ansatz sofort weg, da $f(0) = 0$ zu $d=0$ führt.