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stammfunktionen, Integralrechnung und Flächeninhalt

27.5.2022

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Stammfunktion
Stammfunktion bilden:
f(x) = a.x^→ F(x)= a
n+1
f(x)=x+ sin(x) →
Funktion f
·Stammfunktion F
F(x)= NS ES WS
f (x)= +1 +7 27
NS
Stammfunktion
Stammfunktion bilden:
f(x) = a.x^→ F(x)= a
n+1
f(x)=x+ sin(x) →
Funktion f
·Stammfunktion F
F(x)= NS ES WS
f (x)= +1 +7 27
NS
Stammfunktion
Stammfunktion bilden:
f(x) = a.x^→ F(x)= a
n+1
f(x)=x+ sin(x) →
Funktion f
·Stammfunktion F
F(x)= NS ES WS
f (x)= +1 +7 27
NS
Stammfunktion
Stammfunktion bilden:
f(x) = a.x^→ F(x)= a
n+1
f(x)=x+ sin(x) →
Funktion f
·Stammfunktion F
F(x)= NS ES WS
f (x)= +1 +7 27
NS

Stammfunktion Stammfunktion bilden: f(x) = a.x^→ F(x)= a n+1 f(x)=x+ sin(x) → Funktion f ·Stammfunktion F F(x)= NS ES WS f (x)= +1 +7 27 NS ES -f(x)= +1 f(x) - 5COS (x)→→Stammfunktion · F(x) = 5 sin(x). Das bestimmen von Stammfunktionen: • Potenziegel: f(x)=x² →→Stammfunktion: F(x)= 1. x³ 68, ↳ die neve Hochzahl wird um°1 er nont, dann wird die Potenz mit dem kehrwert der neven Hochzahl multipliziert NS → J x | Potenzregel x² x4 ax= 1 r+1 integralrechnung -x+1 n+1 .X F(x) = [x³]** Stammfunktion beispiel 11: f(x) = x² F(x)= 1x³ n+1 konstante Faktoren werden beibehalten (Faktorrege!) • Stammfunktion· F(x) = x² - COS (*) bei summen von Funktionen werden Stammfunktionen summandenweise bestimmt (summenregel) = ·X = [ ✓ + C Integral [.-1; 1.] Konstante & fällt bei der Ableitung weg und somit können wir bei der Aufleitung nicht wissen, welche zani es ist conne variable) Faktorregel f(x)= C. g(x) n+1 Allgemeine Integraischreibweise: ) f(x) dx = F(b)-F(a) beispiel ! : f(x)= x4 mit V2W von + nach - (innere) Extremstelle. von F Maximumstelle Intervall [0;4] 11. Flächeninhalt berechnen: 1/ f(x) = x² dx [x³]^_ = 4·1² - 1/² - (-1)³ = -4 -4 (-1) ¼ - (-1/2) = 1/2 Bien -COL (x) Lineare | summenregel | Substitution f(x) = g(x) +h(x) f(x) = g(mx+c) F(x)=G(x) F(x)= G(x) +H (x) F(x)=G(mx+ c) F(3) - F(0)=1.45-1.05 = 204,8 Intervalle einsetzen in die stammfunktion und subtrahieren 1. Nullstellen berechnen (→ gibt es Flächen unterhalb der X-Achse 2 f(x)=0 (→ Funktion gleich O setzen) →x²=0 IV... x=0 Sin (x) Intervall [2; 6] → 1ײ dx [3ײ]; - (2-6³) - ( 7 2³) - 216 - — = 69,...

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3 ³ = Flächeninhalt: f(x)=x² F(x) = x³ •Nullstelle von f ↓ mit V2W von - nach ohne vzw ↓ (innere) Extremstelle von F Minimumstelle → -sin(x) CO3(x) Sattelstelle von F -COS (x) sin(x) Besondere Aufleitungen f(x). 0 2x √x -23 (innere) Extrem- Stelle von f ↓ wendestelle von F ⇓ vorzeichen von f→ Steigung von F Nullstellen von f mit v2W→ Extrema von F Extremstellen von f→ wendestellen von F V F(x) 0+C x² + c x² +C e* + c sin (x) cos (x) x+ +c +C keine Fläche unterhalb der x-Achse →F(b)-F(a) möglich beispiel || : f(x) = x³ F(x) = 1 x 4 4. x³ =01³√√ X0NS: X=0 |A₁|= [-1;0] intervall: [-1; 1]. 1₁1 f(x) = x³ dx | = -0,25= 0,25 "}√ 1 f(x) = x³ dx | = 0 |A21 = [0,1] A gesamt = A₁ + A₂ = 0,5 FE Flächeninhalt zwischen zwei Grapnen: 1. Funktionen f(x) = 2x² F(x)=1/3x³ beispiel | 1. Funktionen = g(x)=x²-3x G(x) = 4x*- 3x² III. Differenzen funktion bilden: a=f(x)- g(x) →2x²(x²-3x) = 2x²x² + 3x = -x³ +2ײ+3x IIII. Stammfunktion von a bilden: d=-x³ + 2x²+3x. 0--4x²+²x²³ +²×² Skizze: H 2x² - 6x = 0 1pq- Formel 1:2 x2-3x = 0 ×₁₁2 ² + 3³²2 ± √(-²2) ² + 0 | [ 4×]₂ = 140* -(4- (-1)") | ·[ û ×* ] | = | ÷ · 1ª - ( 447 · (04)) 1. = 0,25 11. Schnittstellen berechnen: x²-2x+2=-x² + 4x +2 1 + x² 1-4x 1-2 .X₁ = €122. 3 x₂ = 0 f(x)=x²-2x+2 g(x) = x² + 4x +2 11. Schnittstellen der 2 Graphen -x3 + 2x² + 3x=0.1 ausklammern. X(-x²+2x+3)=0 -x² + 2x +3 = 0 1·(-1) P x²-2x-3¹ = 0 1pq- Formel Xx213 X2,3 Es gibt einen Tell unter der x-Achse und einen Teil oberhalb der x-Achse → unterhalb mit Betrag rechnen (→wird dann positiv) → nachher man muss es zusammen rechnen Htt Flacheninhalt berechnen: Differenzenfunktion d Stammfunktion D + |A₂| = | °f f(x)- g(x)dx| = | 9₁ -׳ +2ײ + 3x dx | = | C ÷ ×* • ² ׳ + ³ × ² ] | = | - 0,58 | 3/ f(x)-9(x) dx = 3√ −x³ + 2x² + 3x dx -1 A₂ = [ 4ײ + ²×³ + ³32 ײ] = 11,25 → Agesamt ·|A₁| + A₂ = 0,58 + 11,25 = 11,83 - = +// ± √(-)²¹ +3 1+√4²<x ×₁=0x₂=3 x₂ = 3 x3 = -1 111. Bilden von d d= x²-2x+2-x² + 4x +2. =x²-x² + 4x-2x+2 +2 = 2x+4 1111. Bilden von D d(x) = 2x+4. D(x) = 2x² + 4x t Integral: [0;3] JH. Flächeninhalt berechnen: ³/ (fl×) - 9(x)) d× = ³√ 2× +4 = [ ײ+4×]8 3² +4-8 = 21-0 = 21 FE Skizze (9) 3 Fälle: 1. Fall positiver Flächeninhalt → A = ₁₂ f(x) dx II. Fall: negativer Flächeninhalt → A ₂ | III. Fall: positiver + negativer Flächeninhalt. ↳ 1. Nullstellen berechnen von f im intervall [a, b] 11. Integrale über den Teilintervallen berechnen III. Man addiert die Beiträge der einzelnen integrale Das 1 % / f(x) dx = 0 11. 11. bestimmte Integral: + beispiel integral: A=1 / f(x) dx | oder f(x) dx = -9 foxsax fix) dx = f(x) dx + f(x) dx (Intervalladivität) unterschied zwischen Integral und Flacheninhalt 2! vorzeichen: Integrale können negativ sein, Flächeninhalte nicht Ket f(x) dx = 0 A = f(x) dx 7 •³1 f(x) dx + + 1% f(x) dx | -³√ f(x) dx -º f(x) dx a oder A- a (vertauschung der integrationsgrenzen) beispiel!: f(x)= 1. (3x+2) 4 1. (3x+2)4 F(X) = 4 · (3x+2) 5 - 3 + 6 →A= ↳ 1st das Integral negativ, so liegt es unterhalb der X-Achse Flächeninhalt. 1 ] f(x) dx 1 + 1" | f(x) dx | . Kettenrege (Lineare substitution) 1: Aufteilen in innere und äußere Funktion 11 Außere integrieren (aufleiten) & innere erhalten III Faktor vor Term durch innere Ableitung teilen & das anschließend mir Term multiplizieren √tlax+b) ² 2.innere Ableitung 1. Nullstellen berechnen 11. Integral von Nullstelle zu Nullstelle bilden III. Beträge der intervalle addieren (kann nicht negativ sein) (ax + b)² + ( K Form: y=m.x+c Form: x² linear (x) J quatratisch (x²) trigometrisch (sin(x)/cos(x)) x³ kubisch x polynom ·exponential (ex) steigung m→ zähler Einheiten vom y-Abschnitt nach.0./v.. →Nenner: Einheiten vom x-Abschnitt nach r./1.. ..nach oben verschieben positive konstante f(x)=x² + c nach unten verschieben: + negative konstante f(x)=x²-C • nach rechts verschieben: f(x)=x²→→→g(x) = (x-e)² nach links verschieben f(x)=x² g(x) = (x+e)² Strecken (schmaler): >1 Stauchen (breiter): a<1 (aber a>0)