Stochastik

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7²/7 = 2 1. Pfadregel: Entlang der Zweige wird Multipliziert. 2.Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bekommt man, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu den Ereignis führen addiert. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B, unter Bedingung das vorher ein Ereignis A eingetreten ist. Schreibweise: PA(B) -> Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, unter der Voraussetzung, dass das Ereignis A vorher eingetreten ist. Vierfeldertafel: -> Aufbau: A BP(AN B) B) BP(An P(An P(B) B) B) P(A) P(A) Ā PAP(B) -> Beispiel: Die Tennisabteilung eines Vereins besteht zu 60% aus männlichen Mitgliedern, von denen 20% Linkshändler sind. 10% aller Mitglieder sind weibliche und Rechtshänder. M W L 0,12 0,3 0,42 R 0,48 0,1 0,58 Stochastik 0,6 0,4 1 Stochastik Erwartungswert: Der Erwartungswert ist der Mittelwert, wenn du ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholst. Er gibt an, mit welchem Wert du auf lange Sicht bei deinem Zufallsexperiment rechnen kannst. Bei einem Würfel wurf sagt dir der Erwartungswert also zum Beispiel, welche Augen zahlen du langfristig durchschnittlich erwarten kannst, wenn du unendlich oft würfelst. Formel: ->Allgemein: M= X₁ P(x= x₁) + X₂ P(X=X₂)... -> Bei Binomialverteilung: M= np Beispiel Binomial verteilt: Ein bekannter Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85%. Er wirft 200 Körbe. n=200 p= 0,85 ⇒M=200-0,85 = 170 Formel: ->Allgemein: 0= √(x₁ - M)² · P (X=X₁) + ... -> Bei Binomialverteilung: o=√n.p. (1-P) Beispiel Binomial verteilt: Ein bekannter Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85%. Er wirft 200 Körbe. Legende: X10 erste Ausprägung der Zufallsvariable X (Bsp. Augenzahl, 1") PIX-X. Wahrscheinlickeit der ersten Ausprägung (z.B 12 €) n = 200 p= 0,85 d=-1200- 0,85 (1-0,85) n→ Anzahl der Durchführungen P→ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer Beispiel Normalverteilung: Standardabweichung: Die Standardabweichung ist eines der wichtigsten Streuungsmaße der Statistik und beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. -10 4 i i P(X= x) = 7 10 15 M=(-1)/3 + 0 + 1 1/0 + 4· 1/ ⇒-10 Legende: X100 erste Ausprägung der Zufallsvariable X (Bsp. Augenzahl,,1") PIX-X,... Wahrscheinlickeit der ersten Ausprägung (z. B 1 = z) n→ Anzahl der Durchführungen P→ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer M→ Erwartungswert Beispiel Normalverteilung: -1 0 2 1 1 u P(X=x) 3 6 10 15 o = -√√(-1-(-))²2 3 + (0−(− ³))²³ ↓ + (1-(- -))²³ / +(4-(-3))²³ / 3 Binomialverteilung: Erklärung: Was ist eine Binomialverteilung? Wie die Silbe „Bi" (lat. Zwei) schon andeutet dreht sich hier alles um ein Begriffspaar, nämlich „ja oder nein". Habe ich einen Treffer gelandet oder nicht? Habe ich eine Erfolg oder einen Nicht-Erfolg zu verbuchen? Solchen „entweder oder" Experimenten mit nur 2 möglichen Resultaten liegt die Binomialverteilung zugrunde. Man nennt diese auch Bernoulli Experimente. Beispiel Münzwurf: →nur Kopf oder Zahl kann man erhalten → mit der Binomial verteilung kann man so ein Bernoulli Experiment beschreiben und bestimmen wie wahrscheinlich es ist dass du bei n Würfen r Treffer landest Definition: Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Verteilungen. Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment entsteht durch n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments. Man unterscheidet also nur zwischen Erfolg und Nicht-Erfolg. Formel: P(X=r)-(7) p² (1-P) n→ Anzahl der Durchführungen P→ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer r→ Anzahl der Treffer Stochastik Binomialkoeffizent: Binomialkoeffizent modelliert die Anzahl an Wegen die es gibt, aus n Versuchen r erfolgreich durchzuführen. (2)← ,n über r"* (²) = x² - (0-1)! mit n=n(n-1) (n-2)... ! → Fakultät man definiert: 0! - 1 Bsp: 6!= 6·5·4·3·2·1 = 720 * Binomialkoeffizent () GTR: OP TN F6F3-F3→nCr Taschenrechner: Bcd (untere, obere Grenze;n;p) Bpd (rin;p) Binomialverteilung: Beispiel: -> Eine Studie zufolge sind 30% aller Menschen Linkshändler. In deiner Klasse sind 25 Schüler. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 6 Linkshänder? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 2 Linkshänder? a) Pas (X-6)-(5)-0,36 (1-0,3)²5-60,14717 b) Pas (X≤2)= P(X=0) + P²3 (X=1) + Pas (X=2) Beispiel Baumdiagramm: W f X=d= w f 4! 21.21 25-0 = (25) 0,3° · (1-0,3) ³+ (²³5) · 0,3² · (1-0,3) ²5²-1 + =6 (1) Anzahl der Möglichkeiten w fw f Typische Fragestellungen: genau k Treffer: P(X=R) höchstens k Treffer: P(X≤R) weniger als k Treffer: P(X<R) mehr als k Treffer: P (X²) mindestens k,, aber höchstens ka Treffer: Stochastik Merkmale: -> 1. Es gibt nur 2. Möglichkeiten (Bsp. Richtig oder falsch) -> 2. die Wahrscheinlichkeit bleibt im wesentlichen gleich P(R₁ ≤X²R₂) P(w) = + P(f) - 1-4 = 3/ w f -0,3(1-0,3)= 0,0089b Beispiel Rechnungen zur Binomailverteilung: Beispiel 1: Eine Münze wird sechsmal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen folgende Ereignisse? a) genau dreimal Wappen b) weniger als dreimal Wappen c) mehr als dreimal Wappen n=6; p = 1 a) P(x= 3) = (3) (1) ³ (1) 6-3 - (4) ³. (4) ³ 11 8 = = = 6! 3!-(6-3)! = 720 36 = 20 20 b) P(x<3)=P(x-2) + P(X= 1) + P(X= 0) 1 64 - (5) (1) (94) (4) + (6)· (1° (4) + 5~0,3125 6! 1 6! 6! + 24/4 1!-5! 64 0! 6! 64 पा 32 + 6.5.4.3.2.1 1 2-1-4-32-1 64 323232 c) P(X>3) = P(X=4) + P (X=5) + P (X=6) t 6.$-4-3-2-1 1-$-4.32.1 64 -(5)-(4) (+6) (³ (9+ (2) (1) ² (2⁰ 6! 6! 64 +61.0! Stochastik + + 6.8.4.3.2.1 46-5-4-321 64 Beispiel Rechnungen zur Binomailverteilung: Beispiel 2: In Deutschland liegt der Anteil der Linkshänder schätzungsweise bei 12%. Ermitteln sie die Mindestanzahl an Personen, die man untersuchen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% eine Person bei der Untersuchung ein Linkshänder ist. n=?, r²1 p=0,12; Pn: 0,42 (X= 1) = 0,95 Pn;0,12 (X-0)≤ 0,05 GTR Wertetabelle Bcd (0;x; 0,12) Start: 0 End: 100 Step: 1 ⇒ n=23 Stochastik ohne GTR: P(x=r) = (2) pr. pn-² Pn;012 (X=0) ≤ 0,05 <P(X=0)=(0) 0,12 0,88 0,88 n.log(0,88) n oder Solve N(Binomialcd) n-o n = 23 ≤ 0,05 ≤ 0,05 ² log (0,05) 1: log (0,88) >log (0,05) log (0,88 Beispiel 3: (baut auf Beispiel 2 auf) -> In früheren Zeiten wurden Kinder, die eine Linkshändigkeit zeigten, in der Erziehung zur Nutzung der rechten Hand angeleitet, sodass in älteren Untersuchungen zur Linkshändigkeit ein deutlich geringer Anteil von Linkshändern ermittelt wurde. Von einer älteren Untersuchung ist bekannt, dass in einer Gruppe von 20 Personen die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Linkshänder zu finden, bei 15% lag. Berechnen Sie, wie groß der Anteil an Linkshändern in dieser Gruppe mindestens war. n=20; r²3; P=0,15 P₂0;p (X=3) 0,15 P(x≤2) ≤ 0,85 20-0 P-(20) p² (1-p) ²0-2 + (20) .p¹. (1-p) 20-1 + (200) · po. (1-p) ²00 ≤ 0,85 < p = 0,677 Wenn die Zahl im log kleiner als 1 ist, ist sie negativ das heißt das Zeichen dreht sich 0,08 + 0,07- 0,06 0,05- 0,04 0,03 0,02- 0,01- 0- 30 P(X=r) 99,7% 95,4% 68,3% 50 Rechen Beispiel: Ho H₁: P+ 0,5 n= 150 M= 75 10 Bereich % innerhalb % außerhalb 0,674 0 50% 50% 10 68,27 % 31,73% 1,282 o 80% 20% 1,645 o 90% 10% 20 95,45 % 4,55% 30 99,73% 0,27% √150 (1-2) x6, 124 n-100 P-0,5 -> Fläche unter der Kurve zeigt die Wahrscheinlichkeit -> gesamte Fläche ergibt gesamt 1, da die Wahrscheinlichkeit nicht über 1 gehen kann -> Mit Integral wäre das zu schwer zu berechnen -> dafür gibt es die Tabellen σ = 1,96 Intervall (gegeben) 1,966,124 212 75-12=63 75+12=87 I[63,87 60 -> Man möchte eine Fläche berechnen: -> sie ist symmetrisch -> der Bereich den wir haben ist auf beiden Seiten gleich weit vom Erwartungswert entfernt Stochastik Beispiel: -> man untersucht die Durchschnitts Größe von Männer und Frauen: -> Erwartungswert: 170 cm -> Standardabweichung: 10 cm Sigmaregel: -> 1 Sigma -> 10 cm Abweichung -> 2 Sigma -> 20 cm Abweichung -> 3 Sigma 30 cm Abweichung und so weiter...... Bild: -> Die Kurve zeigt wie Wahrscheinlich etwas ist -> dass der Erwartungswert gemessen wird ist Anzahlr am größten 70-> andere Größe ist unwahrscheinlich -> je unwahrscheinlicher desto weiter weg ist es vom Erwartungswert -> wie weit man in die beiden Richtungen schaut kann an als ein vielfaches von Sigma angeben -> die Wahrscheinlichkeit das etwas im 1 Sigma Intervall liegt ist immer gleich groß: ca. 68,27% -> die Wahrscheinlichkeit das etwas im 2 Sigma Intervall liegt ist immer gleich groß: ca. 95,45% => Sigma ist von Aufgabe zu Aufgabe anders, die Fläche vom Sigmabereich bleibt immer gleich Sigma Tabelle: Zweiseitiger Signifikanztest: -> bei manchen Situationen kennt man p nicht, aber man hat eine Vermutung (Hypothese) zur Trefferwahrscheinlichkeit Stochastik Wie geht man vor? 1. Man stellt eine Hypothese (Nullhypothese) auf. 2. Man stellt eine gegen Hypothese auf 3. Man legt einen Stichprobenumfang n und das Signifkanzniveau (z.B a = 5%) fest. 4. Als Testgröße X verwendet man die Trefferzahl für die Parameter m und p0. 5..man bestimmt einen Annahmebereich für die Hypothese (Intervall) [a;b] alle anderen Werte bilden den Ablehnungsbereich -> Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von X die kleinsten Zahlen a und b heraus, sodass P(X * a) > 2,5% und P(X * b) > 97,5% Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt dann höchstens Ɑ= 5% 4. Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch HO wird angenommen, wenn das Stichprobenergebnis im Annahmebereich liegt, sonst wird HO verworfen. Beispiel: Bei einer Lotterie zieht eine , Lotto-Fee" aus der Urne in ABB. eine Kugel. Falls eine rote Kugel von der Fee wirklich zufällig gezogen wird. Bestimmen Sie für einen Signifkanztest auf dem Signifikanzniveau 5% bei einem Stichprobenumfang von n= 50 den Annahmebereich für die Hypothese, Die Fee arbeitet einwandfrei". Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? n=50; p= // ŝ 1 Ho:p= H1: P+ M=50 // = 10 0 = 1 = √50⋅ 1/² · (1-1/2) ≈ 2,83 Werte tabelle Binomial cd (x.50, 3) Start: 0 End :50 Step 1 5,16 Intumswahrscheinlichkeit: P(X²4) = 1,85% 1-P(X=16)=P(17≤x≤50) = 1,44% Nullhypothese: Alternative: Linksseitiger Test: Es besteht der Verdacht, dass der Würfel zu wenig Sechsen liefert. Ho: p= 1/₂ 1 H₁: P² & -> Howird abgelehnt, wenn deutlich weniger Sechsen fallen, als zu erwarten sind. Der Ablehnungsbereich von Holiegt links vom Erwartungswert. Der zugehörige Annahmebereich hat die Form von A=[a;n] Ablehnungbereich von Ho links 5% a 1,640 μ=p Einseitiger Signifikanztest: Stochastik a die kleinste Zahl mit P(X ≤ a) > 5%, denn dann gilt: P(X< a) ≤ 5%. Aus der Wertetabelle ergibt sich für n=100 der Annahmebereich A=[11;100]. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt P(X≤ 10)=0,0427 2. Als Testgröße X verwendet man die Trefferzahl 3. Linksseitiger Test Nullhypothese: Ho: p=po oder p* po Alternative: H₁: p< po Man bestimmt den Annahmebereich [a;n] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit von X die kleinste Zahl a heraus, sodass P(X-*a) > 5% Fig. 1 Zusammengefasst: 1. Man legt den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau α( die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit, z.B. α=5%) fest. Rechtsseitiger Test: Es besteht der Verdacht, dass der Würfel zu viel Sechsen liefert. Nullhypothese: Ho: P = 1/² H₁: pst Alternative: -> HO wird abgelehnt, wenn deutlich mehr Sechsen fallen, als zu erwarten sind. Der Ablehnungsbereich von HO liegt rechts vom Erwartungswert. Der zugehörige Annahmebereich hat die Form von A=[0;b] 1-p) 24)=0,0427 Rechtsseitiger Test Nullhypothese: Ho: p-po oder p *po Alternative: H₁: p²po Man bestimmt den Annahmebereich [0;b] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit von X die kleinste Zahl b heraus, sodass P(X=*b) > 95% 11 = n b die kleinste Zahl mit P(X ≤ b) > 95%, denn dann gilt: P(X> b) ≤ 5%. Aus der Wertetabelle ergibt sich für n=100 der Annahmebereich A=[0:23]. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt P(X ≥ 4. Man erhebt oder zieht eine Stichprobe vom Umfang n.Ho wird beibehalten, wenn die Trefferzahl X im Annahmebereich liegt, sonst wird Ho verworfen. Ablehnungbereich von Ho rechts 1,640 5% h n=100 p=0,5 α = 5%. Linksseitiger Test : Ho p= 0,5 H₁ :p<0,5 Wertetabelle: BinomialcD (X; 100; 1) Start: 0 End: 100 Step: 1 [42,100] Stochastik Einseitiger Signifikanztest Beispiele: Fehler beim Testen von Hypothesen: Fehler 1.Art: Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt (Ablehnungsbereich) Fehler 2.Art: Nullhypothese wird irrtümlich angenommen (Annahmebereich) Wertetabelle: Binomialco (X;50; 0,6) Start: 0 End: 50 -> Die Fehler beschreiben die Wahrscheinlichkeit wie wahrscheinlich es ist die Hypothese irrtümlich abzulehnen oder anzunehmen 1 Beispiel: -> Die Nullhypothese Ho: Po=0,6 soll bei einem Stichprobenumfang n=50 auf dem Signifikanzniveau 5% linksseitig getestet werden. Berechnen sie den Fehler 1.Art und 2.Art, falls in Wirklichkeit p=0,5 ist. Step: [24.50] Rechtsseitiger Test: Ho p= 0,5 H₁ :p>0,5 Wertetabelle: BinomialcD (X, 100, £) Start: 0 End: 100 Step: [0.58] Fehler 1. Art. PlX23) ≈ 0,0314 → GTR : Binomial CD (23; 50:0,6) Fehler 2. Art. p=0,5 1-P(X-23) * 0,6641→ GTR: 1- Binomial CD (23; 50;0,5) Wahrscheinlichkeitsdichte: -> Definition: Eine stetige Zufallsgröße X ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Wertebereich ein Intervall I CR ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird mit Hilfe der zugehörigen Wahr scheinlichkeitsdichte berechnet. Beispiel für eine stetige Zufallsgröße: In einer Zentrifuge befindet sich ein kleines Holzkügelchen, das durch mehrere Öffnungen die Zentrifuge verlassen kann. Die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge wird innerhalb von 2 Minuten auf einen maxi- malen Wert hochgefahren. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis das Kügelchen innerhalb dieser 2 Minuten die Zentrifuge verlassen hat (wobei die Kugel auf jeden Fall innerhalb von 2 Min die Zen- trifuge verlässt.) Es gibt also unendlich viele Werte für die Zufallsgröße im Intervall [0:2], alle Zahlen x mit 0<x 2 sind möglich. Die Zufallsgröße ist stetig. Eine Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integrieren erhält, nennt man Wahrscheinlich- keitsdichte. -> Kurz gefasst: Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I=[a;b], wenn gilt (1) fx20 für alle x EI (2) fon de-1 -> Anmerkungen: Stochastik (1) Durch (1) ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeiten von Teilintervallen nicht negativ sind. 2. Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Intervalls beträgt 1=100% 3. Man nennt f auch Dichtefunktion. 4. Eine Zufallsgröße X mit reellen Werten im Intervall I heißt stetig verteilt, wenn gilt: P(k₁ ≤ x ≤k₂)=√fox dx für alle K₁, K₂ € TR 5. Die Funktionswerte f(x) sind keine Wahrscheinlichkeiten. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße genau den Wert k annimmt, berechnet sich durch P(k₁ ≤ x ≤k₂)=√fdx = 0 D.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten sind exakt null. -> Zusammengefasst: Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I, z.B I= (a;b) wenn gilt: (1) fx²0 für alle x aus I und b (2) √foo dx=1 Eine reellwertige Zufallsgröße X mit Werten im Intervall I heißt stetig verteilt mit der der Wahrscheinlich- keitsdichte f, wenn für alle r,s aus I gilt Eine Zufallsgröße X mit Werten zwischen a und b und der Wahrscheinlichkeitsdichte f besitzt den = √x- fon dx a Erwartungswert: M=₂ Standardabweichung: √√xx-μ)². fom dx 8 =√ Beispielaufgaben: Es sei f(x). a) Weisen Sie nach, dass füber [0.3] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist b) Berechnen Sie den Erwartungswert für 0<x< 1 fir 1<x<3 (Geben Sie einen Term zur Berechnung der Standardabweichung an (Hinweis: Es ist nicht gefordert die Standardabweichung auch auszurechnen Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse an (1) PIX-0,5) (2) (12) (3) P(X2) b) M= √x + √x - [²²] + [**] = (¹) P(X=0,5) = (3) = 0,5 Sfx (1.1 = = 0 0,5 2) P( 1 < X<² 2 ) = √ ‡ dx = [ ²³ ×];}; = (-2) - (²-1) 7-7/ √x = [4x] -12² - 1/16 ·0²) + ( ²7/06 · 3² - 12/02 - 1²) 승 P(X²2) == /1+ / 2.0 = Stochastik a) √ dx + √/ dx = [^] + [×] alw + e = (3-1-1·0) + (33·3-3-3-1) 붕 () + => Wahrscheinlichkeitsdichte o=√ √JHX-M)² foo dx Stochastik Normalverteilung: -> Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern Mund &, wenn sie eine Gauß'sche Glockenfunktionf.,als Wahrscheinlickeitsdichte besitzt. Satz von de Moivre-Laplace: Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit un-p und o-vn-p(1-p) gilt: (a) P(X-k) - Bp (k)= o(k) und (b) P(a ≤x≤ b) = (x) dx. b+0,5 a-0,5 gilt für ganzzahlige Das bedeutet: Für stetige Zufallsgrößen, die normalverteilt sind, kann man also einfach die Normalverteilung benutzen, wie zuvor. Für ganzzahlige Zufallsgrößen muss man die Stetigkeitskorrektur durchführen. -> GTR: Integrale der Normalverteilung berechnen. OPTN -> STAT -> DIST -> NORM -> NCD Norm CD (untere Grenze, obere Grenze, O, μ) NPD (X; 0; M) Inv Norm (D (α; o; M) Ist die Umkehrung der Normal verteilung; man sucht für r: P(X²r) =α Beispielaufgaben: -> nicht ganzzahlig: 1 Man nimmt an, dass das Gewicht X (in Gramm) von Haselnüssen normal verteilt ist mit u-1 und a-0,3. Wie groß ist in diesem Modell die Wahrscheinlichkeit, dass für das Ge wicht X einer zufällig herausgegriffenen Hasel- nuss folgendes gilt? a) X < 0,8 10% 12% 10% 1000 Haselnüsse 01 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 b) X> 1,2 d) X 1,5 Fig. 1 c) 0,8 = X = 1,2 Gewichtsverteilung in einer Stichprobe aus 1000 Nüssen e) Formulieren Sie die Aussage der Sigmaregeln im Kontext dieses Beispiels. -> ganzzahlig: 2 Beim Auswiegen von 300 Kastanien ergab. sich für das Gewicht (in Gramm) der Mittel- wert 13,3 und die empirische Standardabwei- chung 4,2. Nehmen Sie an, das Gewicht X der Kastanien ist 13342 normalverteilt. Berechnen Sie damit die folgenden Wahrscheinlichkeiten. a) P(X<11) b) P(11 ≤X = 15) c) P(X>11) d) Vergleichen Sie diese Wahrscheinlichkeiten mit den relativen Häufigkeiten aus Fig. 2. 25% 20% 15% 10% 9% 300 Kastanien 1) M=1 α=0₁3 0.2 a) √P443 (x) dx 11:0,3 b) Pas (x) dx 11:03 () [P943 (XJ) dx PA3 (XJ) dx GTR 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 Gramm Häufigkeitsverteilung von Kastanien-Gewichten Fig. 2 GTR Norm CD (-1000; 08; 0,3; 1) = 0,2525 GTR GTR Norm CD 1,2, 1000, 0,3; 1) = 0,2525 C) Stazi Norm (D (08; 1,2; 0,3; 1) = (1, 495 Nom CD ( 1,5; 1000 ; 0,3; 1) = (0478 2) M=13₁3 α= 4₁2 10,5 a) √ 1913 15,5 6) 113,3; 4.2 (x) dx = 0,447 P13.3; 4,2 (x) dx 01255 P13,3; 4,2x) dx * 0,6659