Stochastik

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mehreren Ausgängen kann nicht vorausgesetzt werden 3. mehrstufige Z.E. mehrere Z.E., die nacheinander durchgeführt werden Bsp: mit Baumdiagramm → 1-21=6 Mächtigkeit der Ereignismenge → 1521 = 6 werfen einer Münze werfen eines würfels werfen einer Kugel im Roulettspiel 2 •3 - {Bild; Zahl} 1. Stufe 2. Stufe Ergebnisse 121= 2 |52|=6 1521 = 37 2 wahrscheinlichkeitsberechnung Absolute / relative Häufigkeit n: k: Sicheres Ereignis. unmögliches Ereignis: Zahl der würfe / Versuche Anzahl der Treffer n absolute Häufigkeit: k ces relative Häufigkeit Ereignisse und ihre Verknüpfungen Ereignis : Teilmenge A der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments alle möglichen Ereignisse von . Ereignisraum 1521 Mächtigkeit : 2 tritt immer ein ! { } leere Menge ebnisse A absolute H. Anzahl versuche 20 8 0.4 L 0.2 016 40 M 21 Baumdiagramm 0,52 0.8 0,7 IL 0.4 60 23 M 0.37 1. Pfadregel 0,4 0,25 = 0.1 wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades = 1 0.3 ī Pfadregeln und Erwartungswert wiederholung Grundbegriffe / Regeln Das Glücksrad wird 2x gedrent (Zufallsexperiment) Ergebnismenge: S = { br: rb; bb ; rr Darstellung mittels Baumdiagramm Wkt für Ergebniss ir P(bb) = Produktregel ! Ereignis ( Mehrere Ergebnisse möglich). E = mindestens einmal grün P(E)= P(gr) + P (rg) + P ( gg) = Summenregel! 9 16 4 = 56.25% 3 3 16 16 + <|= 16 9 Els = 43,7% Gegenereignis: E ... kein grün" P(E) = 1 - P (E) = 56,2 % 4 1. Drehen 2. Drehen Pfadregeln Produktregel Summenregel: Die wkt eines Ergebnisses erhält man, indem man die Wkten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert Die wkt eines Ereignisses E erhålt man, indem man die wkten der zu E genòrigenden Ergebnisse addiert Bsp: Zufallsgröße + Erwartungswert Gewinnspiel mit Glücksrad von oben. Einsatz 1€ 2x drehen Genau einmal rot 2x rot keinmal rot Zufallsgröße ( Zufallsvariable) Spieles in € Gewinn x2 P(X= x₁) P(X=-1) P(x = 0) P(X= 4) Erwartungswert : 9 E (X) = (-1). 16 => Spiel nicht fair 16 g 16 P(gr) + 1 16 +0 Einsatz zurück 5€ Auszahlung 0€ Auszahlung O 4 6 16 16 6 16 X beschreibt den Gewinn des P (rg) werte für x. -1 ; 0 ; 4 wkt - verteilung 4 6 16 Ist das Spiel fair? 5 16 muss genau O ergeben. da es sonst nicht fair wäre ≈ -0.31 Definition Für eine Zufallsgröße X, die die werte. ×₁; ×₂ ; x3 ; xn annehmen kann, definiert man den Erwartungswert von x E (x) durch n E(x) = { i=1 X, P ( X = x ₁ ) = X ₁ · P(X= × ₁) + ×₂ P ( X = X ₂) +. + xn P( X = xn) E(x) gibt an, welcher wert von X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn 0 ist die varianz von X durch n 2 var (x) = { (x₁ - E(x))´ · P(X= x; ) x. - i=1 2 (x₁ - E (x))²· P(X=1) + + (xn - E(x))² · P(X= xn) die Standartæbweichung von X durch G = √√var (x) var (x) und G sind Maße für die Streuung von x um E (x) al B B B A 5 Bedingte wahrscheinlichkeit A А B PA (B) 6 ģ P(A) P(A) 10 Darstellung mittels relativer Häufigkeit A A Besitzt einen Hund B: ist eine weibliche Person P(A) »^₁ B la 28 7 Antwort: 1. Frage P(A) = 5/ 0.5 = P(B) 0.5 = P(B) 1 PA (B) Frage: wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass eine zufällig gewählte person ein Haustier hat? wie ändert sich die wahrscheinlichkeit, wenn man weiß, dass sie weiblich ist? 9 2. Frage P (A) = P(ANB) P(B) ^ 17 P(Ā) PA (B) P(An B) B A "^ Damit kann man immer die Wahrscheinlichk. angeben Hund und weiblich kein Hund und nicht weiblich PA (B) weibliche Personen B 4 9 Definition Bedinkte wkt Für 2 Ereignisse A und B (P(A) 0) heißt PB (A) = P (ANB) P(B) bedingte wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter cler Bedingung, dass 8 eingeten ist. Baumdiagramme und Vierfeldertafeln Vierfeldertafeln dienen der zusammenfassenden Darstellung zweier Merkmale (A/B) mit jeweils zwei Ausgängen : absolute / relative Häufigkeiten A Ā relative Häufigkeit B ↓ allgemein P(An B) PB (A) = B P(An B) P(ANB) apsolute Häufigkeit " Anzahl du spielst Basketball, triffst von 10 würfen 2 mal ->Einen Treffer : 2 A P(B) PB (A) = Bsp Basketball : = 0.2 10 → relative Häufigkeit liegt bei 20%. Satz von Bayes = B P(An B) Beding Wahrscheinlichkeiten und unabhängigkeit P(An B) P (B) P(ANB) P(B) B ↓ absolute Häufigkeit Anzahl Versuche Wahrscheinlichkeit Berechnung bedingte wahrscheinlichkeit Ā A. B seien Ereignisse mit P(A) * O P(An B) P(B) B ↓ ↓ P(An B) P(An B) P(ANB) B P(A) Σ P(Ā) Σ 1 und P (B) 0 P(A) PA (B) P(A) PA(B) + P(Ā) PĀ (B) Die totale wahrscheinlichkeit PA (B) B I. PA (B) = PB (A) = PB (A) = P(BNA) P(B) P(A) A PA (B) E(X) = 2 "Gewinn. B Stochastische unabhängige Ereignisse varianz Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn.. gilt: V (X) = Wahrscheinlichkeitsverteilung P (B) P(A) P(A) Ā P-(B) Eine Zuordnung x → IR, die in jedem Ergebnis eines Zufallversuchs genau eine reelle Zahl zugeordnet, heißt Zufallsgröße / Zufallsvariable 2 G = √var (x) Erwartungswert E(X) = x, P(x = x₁) = X₁ P(X₁) + X₂ P(x₂) x3 P(X3) P(A) PA (B) P(A) PA (B) + P(Ā) PA (B) Σ (xi j=1 ↑ BSP Tabelle (Glücksrad mit 10 Feldern) x (Gewinn) P(x= x;) 6 300 P (B) I. P(ANB) = P(A) P(B) m Standartabweichung B i=1 8 1/ ↑ zB Gewinn Erwartungs +6 · 1²/30 +8·10 + 10 wahrscheinlichkeit von Gewinn +... wert 10 .E(x))². • P(x= x;) ↑ 승 whk. von Gewinn Bernoulli Experiment ( Treffer oder nicht Treffer) Glücksrad Dreimaliges Drehen genau einmal rot 4maliges Drehen genau zweimal rot Lösung Baumdiagramm <| J Bernoullikette Länge n : Bernoulli Experiment mit n wiederholungen T M/J </J T =1² N T -M/J Gegeben: =1² N =| > Formel von Bernoulli M/J ΝΤ Anzahl Treffer P (genau einmal rot) 3 Anzahl Pfade N 스니 M/J Zz N M/J Treffer Wkt p Zz 2 (4) · ( ² ) ² MJ 1-P 3 ساء 4 Für die wkt für genau k Treffer gilt n-k P₁ (X=K) = (²) Dk. (1-0) "₁" N Bernoulli-Kette der Längen mit Trefferwahrscheinlichkeit p Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der Treffer N Summe ergibt Längenketre: 3 Anzahl Nieten Alternative Schreibweise: Bn,p (k) Die Zufallsgröße x nennt man binomialverteilt mit den Parametern In und p → kurz: X~ Bn,p T 1 X ist Binomialverteilt mit den Parametern n und p 11 Binomialverteilung - Erwartungswert und Standartabweichung Bsp: Erwartungswert / Standartabweichung eine binomialverteilten zufallsgröße 10 maligen würfelwurf. x beschreibt die Anzahl der geworfenen Ger - B10: 1/1/ X~ B wkt verteilung von x: O 1 2 3 4 6 7 8 5 P(X=xi) 0.16151 0.3230 0.29071 0.1550 0,0542 0.0130 0.0021 0,00021 0 Achtung bel WTR - Tabelle L1 (1) = 0 das heißt die erste Spalte gibt P(O) an, und nicht P(1) Erwartungswert: E(X) = 0 0.1675 + 1 0,3230 +2 0,2907 +... +70,0002 = 1,6652 ≈ 1,67 Standartabweichung: G= √var (x) = Varianz var (x) = 10 i=0 2 (X; -M) ². P(x= x;) G≈ 1,767 1,3847 (×₂₁ E(x))²- P(X₁) + (x₂ - E(x))²- P(x₂) +...+ (x₂ - E(x))² - P(x7) Für eine Bn; p - verteilte Zufallsvariable gilt für E(x) μ und die Standartebweichung G= √n⋅p (1-P)² M E (x) G = 9 0 μ = n.p = n p 10 I wenn man 10x würfelt, dann trifft man 1.67 x die 6. n⋅p (1-P) 0 | kenngrößen am Histogramm Histogramm zur obigen verteilung P(x = k) 0.3 0,2 0.1 O 1 Säule mit höchster wkt 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M = 1,67 K Falls μ ganzzahlig, dann ist die nöchste Säule bei k = μ Für G gilt: Je größer G, desto breiter ist das Histogramm Für das Intervall [ 4-6; 4 +6] gilt: Sigma - Regel PIM-G ≤ x ≤ μ + G) ≈ 68.3% (falls G3 Gilt)