Stochastik

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mit n=20 gesucht P, sodass P ( x ≥ 2) = 0,9 : O GTR gleiches Vorgehen, wie bei Berechnung v. n Bcd (2, 20, 20, p.) ≥ 0,9 → WICHTIG!: beachten, ob Schri He zu ungenau sind (notf. Zahl. verkleinern) Lösung: • SET Start: 0,18. End: 0,19 Step: 0,001 P = 0₁180 => P≈ 0,898 P = 0,₁181 ⇒ P ~ 0, 9 → Ansatz muss min. 0,18.1% betragen. bedingte wandscheinlichkeiten Beispiel: Wirkstoff. Vierfeldertafel Tablette ohne Wirkstoff Tablette mit Wirkstoff Gesamt. (P(L) Baumdiagramm = 0,5 P([) = 0.₁5. L Linderung 2% P(LW) L 48% P(Lnw) 50% PCL) P₁ (W) = 0,96 P₁ Cu = 0,04 PE (W) = 0,24 Р.т(и) = 0,76 Leine Linderung. 3.8% P(Int) P(WnL) P(L) 12% P(InW). 50% P(I). (w) p (Ln w) = 0,48 · Regel v. Bayes zur bedingten Wahrscheinlichkeit. · P₁ (W) =. Gesamt (w) PCL₁W) = 0,02 W | P (E₁W) = (W) P (InW) = 0,38 = 0,12 40%. 60% 100% NORMAVERTEUUNG Wahrscheinlichkeitsdichte Bedingungen gilt über einem Intervall I = [a, b], wenn . (₁.) f (x) > O für alle x E I (2) √² f(x) dx = 1. Erwartungswert: M=₁ u = √x+ f(x) dx Standardabweichung: G=√√(x-μ)²= f(x) dx Gaußische Glockenfunktion WICHTIG: Einzelwahrscheinlichkeit P(x=u) = 0 1 4 μ₁0 (X) = √ √√27 e.- Normalverteilt → reelwertige Zufallsgröße X mit Werten in I heißt stetig verteilt mit WD fi wenn für alle r, s aus I gilt: P( r ≤ x ≤s) = √²f(x) dx. (x-μ)² 20.2. Maximalstelle: X = μ₁₁ Y = ₁5-√√2TT. 1 Wendestelle: X = μ ± 0₁₁₁Y = 5-√√2 achsensymetrisch zu: X = µ шолж 0,5- 0,4 /0,3+ 0,2- 0₂1 y=Y0₁1 (x)] W2 Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern. μ und & wenn sie eine Gaußsche Glockenfunction Pμit als Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt. Normalverteilung mit dem GTR · Nutzung Inv N: Menu 1, OPT N, STAT, DIST., NORM → Grenzen herausfinden PCM-U ≤ x ≤ M+l) ~ 0.₁8. P(x ≤ y) = 0₁1 Ncd (untere Grenze, obere Grenze, 6, M) InvN (0,1; 1,8; 8, 2) ≈ 5,9 Npd ( Einzelwert, G,M) Inv N. (x, 5, μ). P(x = z) = 0₁1 Inv N CO, 9; 1,8, 8, 2) ≈ 10,5 Satz von Moivre - Laplace. → binomialverteilte Zufallsgröße X mit M=n⋅p und gilt: (₁) P(x=u) = Bpd (u, n, p.) ~ Yμ;E (U). b + 0,5 (2) P(a≤ x ≤ b) ~ S P M ; G (x) dx für a-0,5 G3 6 = √n⋅p⋅(1-P) terten mit der Normalversciening Vorgehen (1) Wahl von n und Bedeutung des Mittelwertes x aus n. Daten (2) Berechnung des Annahmebereichs , M + 1,96] A = [μ-₂₁1,96 € (bei = 5%) (3) Entscheidung & A → Beibehalten X A verwerfen Beispiel: M=500; G=5; x = 495; n = 10 S A=[500-1,96 500+1,96-10] ~[496,9; 503,099] S Die Hypothese wird ver- worfen, da X nicht im Annahmebereich liegt. HYPOTHESENTESTS Zweiseitiger Hypothesentest mit Binomialverteilung (1) Aufstellen mit. Nullhypothese Ho: P = Po & der Alternativhypothese. H₁: p. Po (2) Festlegung v. Stichprobenumfang n & Signifiuan zniveau & (3) beschreiben d. Textgroße X mit d. Treffer wahrscheinlichkeit po.. prüfen, ob x binomialverteilt ist (4) verwerfungsbereich von Ho als V = {0₁...₁ h₁}√ {1₂,..., n} V (5) Berechnen. d. Grenzen a 1. P ( x ≤u | Ho) ≤ = Bcd (6₁;n; p) ≤ å Inu B (in, p): эпил Probe mit Bcd (...) ≤ 2/2/ Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt höchstens x (6) Notieren des verwerfungsbereichs. (7) Ho wird beibehalten Ho wird verworfen GTR O O O d Menu 1 OPTN STAT DIST BINM 2.P (XZU₂ | H₂) = 2/2 <=> P ( x ≤ U₂ - 1 | H₂) = 1 - 2 / 2 a Bcd (u₂, n, n, p) ≤ 2/20 (=) Bcd (0,₂-1, hip). In UB (0, 1-2/2 in ₁ p) →=l₂-1. Probe mit Bcd (...) ≥ 1-2/2/2 Signifiuanzniveau X = 5% ✓ 2,5%. UB = max. Wahrscheinlichkeit, Vermutung zu verwerfen, obwohl sie wahr ist Annahmebereich M 2,5%. 600 Verwerfungsbereich mit Sigmaregeln (1) Festlegung.v.. Testgröße X Trefferwahrscheinlichkeit p. & Stichproben umfang n → binomial verteilt. Versuchsergebnis (2) >.O. <.P n (3) 16-Intervall ausrechnen (4) mit Signifilanzniveau 56 - Intervall ausrechnen. (5) Intervall festlegen (6) prüfen, ob Versuchsergebnis im Intervall liegt 1% 5% 10% ·2,58 1,96 1,64 Einseitiger Hypothesentest mit Binomial verteilung. 人。 Linsseitiger Test 2. Nullhypothese Ho:p=po o. P.=.Po Alternativhypothese Hip.<p.. 3. Festlegung d. Stichprobenumfangs n & d. Signifiuanz- niveaux 4. beschreiben Testgröße X mit Trefferwahrscheinlichkeit Po → binomial verteilt ? 5. Verwerfungs bereich v. Ho als V = {0₁...u}. 6. Berechnen d. Grenzen u durch. P ( x ≤ U / H₂ ) ≤ α 7. Verwerfungsbereich notieren 8. Ho beibehalten o. verwerfen linksseitig ∞=6% Verwerfungsbereich. 5% + M 95% Annahme bereich rechtsseitig : • ∞ = 5% 95% rechtsseitiger Test Null hypothese Ho: p = po o. .P.=Po Alternativhypothese H, p>p.. м Annahmebereich 5% verwerfungsbereich v. Ho als V = { u₁...,n} 10.001 Berechnen d. Grenzen u durch P ( X = U/ H₂) ≤ a <=> P(x ≤ U-11 H₂) = 1 - α verwerfungsbereich. 100 100 GTR непи. л. орTN, STAT, DIST, BINM linuss. InvB (x, n, p) эхи Probe mit: Bcd (...) ≤α rechtss : InvB(0,1-α, n, p) →~U-1 Probe mit: Bcd (...) ≥ 1-α Irrtumswahrsch. höchstens 4 mit Sigma regeln: →genau gleiches Vorgehen nur Berechnen d. Grenzen mit ausge- wähltem G-Intervall Linuss.: M - 5v. rechtss. : M. + 8 Fehler beim Testen. Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie wahr ist. → Fehler 1. Art. Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist → Fehler 2. Art Fehler 1. Art. → der Fehler 1.. Art, ist höchstens. &, da das signifilan zniveau die maximale Wahrscheinlichkeit. an, dafür das Ho verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Berechnung: 1.- P(x≤u) 008+ 906+ 0,04 0,02+ Annahmebereich 0,18+ 0,16+ 0,14- 0,12+ 0,10 p=0,5 Fehler 1. Art n = 20 2 4 Fehler 2. Art p=0,7 M 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24. Fehler 2. Art ·p ist in diesem Fall variabel. Berechnung: P(xp ≤u). Annahmebereich mit neuer Wahrscheinlich weit 0187 0,16+ 0,14+ 0,12+ 0,10 = Auftrittswahrsch. 0,08 p=0.5 0,06+ 0044 0,02+ n = 50 10 20 30 40 50 60 =▷ wenn man den Annahmebereich =D wenn man den von Ho vergrößert, um die wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu verkleinern, dann wird die wahrscheinlichweit für den Fehler 2. Art vergrößert p=0,7 Stichprobenumfang erhöht kann man die Wahrscheinlichkeit beider Fehler verringern ALLGEMEINE WAHRSCHEINLICHKELESVERTELLUNG Erwartungswert : μ = E(x) = x₁ ·P(x= x₁) + X₂ · P ( X = X ₂) +... Standard abweichung = G = -√(x₁ - M). ² · P. ( X = X ₁) +.. Tabelle der Wahrscheinlichkeitsvert.. Bsp. P(X=X) ·1 1 ло 2 : Mittelwert x = ₁2 (x₁+x₂ + x3 + mit GTR F2 = CALC F6 = SET GTR: Menu 2 für Statistik In List 1 in List 2 3. EXIT F1 = 1VAR STATISTISCHE KENNGRÖBEN 4. Daten eingeben Häufigkeiten eingeben 5. 1VAR X List: List 1 (bedeutet, dass die Daten aus Liste 1 genutzt werden) 1VAR Freq: List 2 (bedeutet, dass die Häufigkeiten aus Liste 2 genutzt werden) Die anderen Zeilen interessieren nicht 6 Mittelwert ist x, empirische Standardabweichung ist ox, Anzahl der Daten ist n empirische Standard abweichung xn) 5-1 // ((x₁-x)² + (x₂-x) ².) = WICHTIG! Faires Spiel, wenn E(X)=-ECx) ist und E(X)= Alternative ist: Menu 2 für Statistik In List 1 Daten eingeben (Kommen gleiche Daten mehrmals vor, mehrmals eingeben) F2 = CALC F6 = SET 1VAR X List: List 1 (bedeutet, dass die Daten aus Liste 1 genutzt werden) 1 (bedeutet, dass jeder Wert einmal berücksichtigt wird) 1VAR Freq: Die anderen Zeilen interessieren nicht EXIT F1 = 1VAR Mittelwert ist x, empirische Standardabweichung ist ox, Anzahl der Daten ist n Entsprechend kann man in Aufgabe 2 die Daten von A in List 1 eingeben, die von B in List 2. Wenn man dann in SET für ,, 1VAR X List:" ,,List 2" eingibt mit Freq 1, braucht man nicht zwischendurch löschen. Liste löschen: Will man eine ganze Liste löschen (z.B. List1), geht man mit dem Cursor auf List1, dann F6 bis DEL-ALL sichtbar ist, dann DEL-ALL.