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- Baumdiagramm - Pfadregel - Gegenereignis - Erwartungswert - Binomialverteilung - Bernoulli - kumulierte Wahrscheinlichkeit - Histogramme - Normalverteilung

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Stochastik Baumdiagramme Baumdiagramm ―> Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen mehrstufiger Zufallsexperimente. mit zurücklegen In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln (R) und 40 blaue Kugeln (B). Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen: Erste Ziehung: Im Baum diagramm sieht man die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen. Summe beider Ergebnisse = 1 Zweite Ziehung: Beim zweiten hat man die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie beim ersten Zug, da die Kugeln wieder zurückgelegt werden. Bei jedem Zug liegt die gleiche Wahrscheinlichkeit vor. ohne zurücklegen In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln (R) und 40 blaue Kugeln (B). Es werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen: Erste Ziehung: Im Baum diagramm sieht man die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen. Summe beider Ergebnisse = 1 Zweite Ziehung: Beim zweiten Zug verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Zieht man z.B. im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, da sich die Anzahl der Kugeln insgesamt und die Anzahl der roten Kugeln um 1 verringert hat. Es befinden sich nur noch 59 rote und insgesamt 99 Kugeln in der Urne. 0,4 Gegenereignis Das Gegenereignis tritt dann ein, wenn das Ereignis nicht eintritt. [E) Ereignis: P (E) + P(Ē) = 1 [E] Gegenereignis: 1- P (Ē) = P(E) 600 0.6 DIB -R Pfadregeln 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der...

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Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. R 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Erwartungswert - der Erwartungswert gibt den auf lange Sicht zu erwartenden Durchschnittswert der Zufallsgröße an. - er wird mit E(X) oder μ (=Mü) abgekürzt. -Schlüsselwörter: ,,auf lange Sicht", „durchschnittlich" - Ist der Erwartungswert bei einem Glücksspiel = 0, dann ist dieses fair Formel: E(X) = μ = X₁ · P₁ + X₂ · P₂ + ... + Xn .Pn Beispiel: Würfel Augenzahl E (X) = (-1) + 4.0 (-1) + 4.0+ 1.2 = 1 Ź 6 1 2,3,4,5 6 10 -> das Spiel ist nicht fair Damit das Spiel fair wird, müsste man einen Einsatz von 1 € verlangen 6 Beispiel: Bei einer Lotterie zahlt man einen Einsatz von 0,50€ und dreht das Glücksrad zweimal. Bei zwei gleichen Farben wird 1€ ausbezahlt, sonst nichts. P(E) - 4 · 4 + ¼ · 4 · 4 · 4 - 3 → Erwartungswert für den Gewinn + 2 → 2€ Gewinn → 0€ Gewinn →-1€ Gewinn E(x) = 13-0₁5- (-0,125) - das Spiel ist nicht fair Beispiel: Ein Würfel wird 40x geworfen. n = 40 p=1 6 Stochastik Erwartungswert E(X) 40.1 = = 40 6 6 Erwartungswert bei einer Binomialverteilung Formel: E(X) = μ = n.p X -1 0 2 1 4 1 6 6 6 P(X) E(X) P= n ; n= Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der geworfenen Fünfen. Gesucht wird der Erwartungswert. E(x) P =~ 6,7 Es kann auch sein, dass anstatt E(X) auch mal n oder p gesucht wird. Formel: E(X) = n.p umstellen: X 1 0 P(X) 3 5 8 8 In einer Trommel befinden sich drei Lose. Diese tragen die Nummern 1, 2, 3. Ein Spieler zieht blind ein Los aus der Trommel und muss dafür den Einsatz e bezahlen. Ausgezahlt wird die gezogene Nummer. Bestimme e so, dass das Spiel fair ist. X = Gewinn des Spielers. X P(X) Der Erwartungswert von X beträgt also |E ( X ) = ¦ ¦ · ( 1 − e) + ¦ ¦ · (2 − e) + ½ · (3 − e) = 3 <co 1 2 Erwartungswert einer Zufallsgröße, faires Spiel -Erwartungswert E(X) - gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist -faires Spiel = E(X) = 0 4 damit das Spiel fair ist, müsste ein Einsatz von 5 € verlangt werden. 8 ^ Interpretation: wenn man sehr oft 40x würfelt, kann man auf lange Sicht durchschnittlich ca. 6,7 Fünfer erwarten. steht in der Aufgabe, dass der Erwartungswert ganzzahlig ist, so kann man ihn in einem Histogramm ablesen (höchste Säule). 1-e 2-e 3-e 1 1 1 3 3 3 (1+2+3-e-e-e) = 2-e. Die Bedingung E(X) = 0 liefert folgende Gleichung: 0-2-e ⇒e=2 Das Spiel ist für den Einsatz e = 2 fair. Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen (Treffer/Niete) heißt Bernoulli-Versuch. Bei jeder Wiederholung bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert (mit zurücklegen). n-k |P(x=R) = (R) · p² · (1-P) - Anzah der Pfade mit genau k Treffern bei n Versuchen Erwartungswert: μ = n p das Ergebnis, das erwartet wird. Standardabweichung: Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit genau k Treffern Stochastik Bernoulli := √n. p. (1-P)" a) Genau zwei Schwarzfahrer: k = 2 Binomialkoeffizient (Anzahl der Pfade) n Shift k = nCk kumulierte Wahrscheinlichkeit genau ein Treffer P(x=1) mindestens drei Treffer P(x>3 oder 1-P(x≤ a) höchstens ein Treffer P(x ≤1) mindestens drei Treffer und höchstens sieben Treffer P(3≤ x ≤7) = P(x≤7) - P(x≤2) mehr als drei Treffer P(x>3) = P(× ≤2) weniger als zwei Treffer P(x<2) Beispiel: Bei den Verkehrsbetrieben einer Stadt beträgt die Schwarzfahrquote 5%. k Ein Kontrolleur betritt eine Straßenbahn mit 10 Fahrgästen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kontrolleur c) Mindestens einen Schwarzfahrer: k=1,2,3 Anzal der Wiederholungen Anzahl der Treffer P(x - 2) = (10) · 0,05² 0,95 8 . = 0,0746 = 7,5% n = 10 p= 5%=0,05 b) Höchstens zwei Schwarzfahrer: Gegenereignis: P(x = 0 + P(x=1) + P(x=2) 59,9% + 31,5% + 7,5% = 98,9%. 0 1 2 P(x=k) 59,9% 31,5% 7,5% P(x31) = 1- P(x=0) - Taschenrechner bei P (x = k): Menü: 4:4:2 bei P (x≤k): Menü 4::1:2 ↳ höchstens = 1007. -59, 9%. = 40,1% bei P(x k): 1- P(x≤k) L mindestens 3 1% 4 0,01% Erwartungswert im Histogramm Histogramm -grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von x * -ist eine Art Säulendiagramm, bei der die Wahrscheinlichkeiten P (X = k) durch die Flächeninhalte und die Höhen der Säulen veranschaulicht werden. Beispiel: Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 60%. Er wirft 8- mal. Die Zufalls größe X Zählt, wieviele Treffer erzielt werden 0,25 + a) Berechne den Erwartungswert und interpretiere ihn: n = 8 = 0,6 Histogramm P(x=k) p= E (X) = 8.0,6 = 4,8 Interpretation: es ist zu erwarten, dass er von den 8 würfen 4,8 (also ca. 5) Körbe trifft. Binomialverteilung 3 Stochastik Histogramme Wenn der Erwartungswert ganzzahlig ist (z. B. E(X) = 5), dann ist der höchste Balken im Histogramm der Erwartungswert u - asymmetrisch - gerade Zahlen Normalverteilung n=10 p=0,3 M = 3 O = 1.45 Erwartungswert μ = n p Standartabweichungo √n.p (1-P) - Es gibt Einzel Wahrscheinlichkeiten: P(x-3) = 0,26 Je mehr Durchgänge, desto niedriger werden die Säulen und desto breiter und flacher wird das Histogramm. Das Histogramm verschiebt sich immer weiter rechts 013 Normalverteilung Gaußsche Glockenkurve Wsx *ws Erwartungswert μ ist der x-Wert vom Hochpunkt = - symmetrisch zur senkrechten durch den Hochpunkt - Kommazahlen Beispiel: Messung der Körpergröße bei einer zufällig ausgewählten männlichen Person. Die Körpergröße, das Gewicht oder die Intelligenz von Menschen ist normalverteilt. Mittlere Werte (Hochpunkte) sind wahrscheinlich, extreme Werte sind unwahrscheinlich. P(X) Standartabweichung -Wendestellen - Extremstellen - Es gibt keine Einzelwahrscheinlichkeiten, nur Intervallwahrscheinlichkeiten 0.05 0,04+ 0,03+ Eigenschaften des Histogramms Einfluss der Trefferwahrscheinlichkeit p Fläche im Intervall 2 3 0,02+ P<0,5 0,01 + linkslastiges Histogramm 0 P(X<k) und P(X>k) = Fläche unter der Kurve je kleiner Einfluss der Länge n P=0,5 symmetrisches Histogramm desto schmaler das Histogramm desto höher werden die Säulen M 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 P>0,5 rechtslastiges Histogramm je größer desto breiter das Histogramm desto kleiner/flacher werden die Säulen X (Größe in m)|

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. R 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Erwartungswert - der Erwartungswert gibt den auf lange Sicht zu erwartenden Durchschnittswert der Zufallsgröße an. - er wird mit E(X) oder μ (=Mü) abgekürzt. -Schlüsselwörter: ,,auf lange Sicht", „durchschnittlich" - Ist der Erwartungswert bei einem Glücksspiel = 0, dann ist dieses fair Formel: E(X) = μ = X₁ · P₁ + X₂ · P₂ + ... + Xn .Pn Beispiel: Würfel Augenzahl E (X) = (-1) + 4.0 (-1) + 4.0+ 1.2 = 1 Ź 6 1 2,3,4,5 6 10 -> das Spiel ist nicht fair Damit das Spiel fair wird, müsste man einen Einsatz von 1 € verlangen 6 Beispiel: Bei einer Lotterie zahlt man einen Einsatz von 0,50€ und dreht das Glücksrad zweimal. Bei zwei gleichen Farben wird 1€ ausbezahlt, sonst nichts. P(E) - 4 · 4 + ¼ · 4 · 4 · 4 - 3 → Erwartungswert für den Gewinn + 2 → 2€ Gewinn → 0€ Gewinn →-1€ Gewinn E(x) = 13-0₁5- (-0,125) - das Spiel ist nicht fair Beispiel: Ein Würfel wird 40x geworfen. n = 40 p=1 6 Stochastik Erwartungswert E(X) 40.1 = = 40 6 6 Erwartungswert bei einer Binomialverteilung Formel: E(X) = μ = n.p X -1 0 2 1 4 1 6 6 6 P(X) E(X) P= n ; n= Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der geworfenen Fünfen. Gesucht wird der Erwartungswert. E(x) P =~ 6,7 Es kann auch sein, dass anstatt E(X) auch mal n oder p gesucht wird. Formel: E(X) = n.p umstellen: X 1 0 P(X) 3 5 8 8 In einer Trommel befinden sich drei Lose. Diese tragen die Nummern 1, 2, 3. Ein Spieler zieht blind ein Los aus der Trommel und muss dafür den Einsatz e bezahlen. Ausgezahlt wird die gezogene Nummer. Bestimme e so, dass das Spiel fair ist. X = Gewinn des Spielers. X P(X) Der Erwartungswert von X beträgt also |E ( X ) = ¦ ¦ · ( 1 − e) + ¦ ¦ · (2 − e) + ½ · (3 − e) = 3 <co 1 2 Erwartungswert einer Zufallsgröße, faires Spiel -Erwartungswert E(X) - gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist -faires Spiel = E(X) = 0 4 damit das Spiel fair ist, müsste ein Einsatz von 5 € verlangt werden. 8 ^ Interpretation: wenn man sehr oft 40x würfelt, kann man auf lange Sicht durchschnittlich ca. 6,7 Fünfer erwarten. steht in der Aufgabe, dass der Erwartungswert ganzzahlig ist, so kann man ihn in einem Histogramm ablesen (höchste Säule). 1-e 2-e 3-e 1 1 1 3 3 3 (1+2+3-e-e-e) = 2-e. Die Bedingung E(X) = 0 liefert folgende Gleichung: 0-2-e ⇒e=2 Das Spiel ist für den Einsatz e = 2 fair. Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen (Treffer/Niete) heißt Bernoulli-Versuch. Bei jeder Wiederholung bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert (mit zurücklegen). n-k |P(x=R) = (R) · p² · (1-P) - Anzah der Pfade mit genau k Treffern bei n Versuchen Erwartungswert: μ = n p das Ergebnis, das erwartet wird. Standardabweichung: Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit genau k Treffern Stochastik Bernoulli := √n. p. (1-P)" a) Genau zwei Schwarzfahrer: k = 2 Binomialkoeffizient (Anzahl der Pfade) n Shift k = nCk kumulierte Wahrscheinlichkeit genau ein Treffer P(x=1) mindestens drei Treffer P(x>3 oder 1-P(x≤ a) höchstens ein Treffer P(x ≤1) mindestens drei Treffer und höchstens sieben Treffer P(3≤ x ≤7) = P(x≤7) - P(x≤2) mehr als drei Treffer P(x>3) = P(× ≤2) weniger als zwei Treffer P(x<2) Beispiel: Bei den Verkehrsbetrieben einer Stadt beträgt die Schwarzfahrquote 5%. k Ein Kontrolleur betritt eine Straßenbahn mit 10 Fahrgästen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kontrolleur c) Mindestens einen Schwarzfahrer: k=1,2,3 Anzal der Wiederholungen Anzahl der Treffer P(x - 2) = (10) · 0,05² 0,95 8 . = 0,0746 = 7,5% n = 10 p= 5%=0,05 b) Höchstens zwei Schwarzfahrer: Gegenereignis: P(x = 0 + P(x=1) + P(x=2) 59,9% + 31,5% + 7,5% = 98,9%. 0 1 2 P(x=k) 59,9% 31,5% 7,5% P(x31) = 1- P(x=0) - Taschenrechner bei P (x = k): Menü: 4:4:2 bei P (x≤k): Menü 4::1:2 ↳ höchstens = 1007. -59, 9%. = 40,1% bei P(x k): 1- P(x≤k) L mindestens 3 1% 4 0,01% Erwartungswert im Histogramm Histogramm -grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von x * -ist eine Art Säulendiagramm, bei der die Wahrscheinlichkeiten P (X = k) durch die Flächeninhalte und die Höhen der Säulen veranschaulicht werden. Beispiel: Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 60%. Er wirft 8- mal. Die Zufalls größe X Zählt, wieviele Treffer erzielt werden 0,25 + a) Berechne den Erwartungswert und interpretiere ihn: n = 8 = 0,6 Histogramm P(x=k) p= E (X) = 8.0,6 = 4,8 Interpretation: es ist zu erwarten, dass er von den 8 würfen 4,8 (also ca. 5) Körbe trifft. Binomialverteilung 3 Stochastik Histogramme Wenn der Erwartungswert ganzzahlig ist (z. B. E(X) = 5), dann ist der höchste Balken im Histogramm der Erwartungswert u - asymmetrisch - gerade Zahlen Normalverteilung n=10 p=0,3 M = 3 O = 1.45 Erwartungswert μ = n p Standartabweichungo √n.p (1-P) - Es gibt Einzel Wahrscheinlichkeiten: P(x-3) = 0,26 Je mehr Durchgänge, desto niedriger werden die Säulen und desto breiter und flacher wird das Histogramm. Das Histogramm verschiebt sich immer weiter rechts 013 Normalverteilung Gaußsche Glockenkurve Wsx *ws Erwartungswert μ ist der x-Wert vom Hochpunkt = - symmetrisch zur senkrechten durch den Hochpunkt - Kommazahlen Beispiel: Messung der Körpergröße bei einer zufällig ausgewählten männlichen Person. Die Körpergröße, das Gewicht oder die Intelligenz von Menschen ist normalverteilt. Mittlere Werte (Hochpunkte) sind wahrscheinlich, extreme Werte sind unwahrscheinlich. P(X) Standartabweichung -Wendestellen - Extremstellen - Es gibt keine Einzelwahrscheinlichkeiten, nur Intervallwahrscheinlichkeiten 0.05 0,04+ 0,03+ Eigenschaften des Histogramms Einfluss der Trefferwahrscheinlichkeit p Fläche im Intervall 2 3 0,02+ P<0,5 0,01 + linkslastiges Histogramm 0 P(X<k) und P(X>k) = Fläche unter der Kurve je kleiner Einfluss der Länge n P=0,5 symmetrisches Histogramm desto schmaler das Histogramm desto höher werden die Säulen M 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 P>0,5 rechtslastiges Histogramm je größer desto breiter das Histogramm desto kleiner/flacher werden die Säulen X (Größe in m)|