Stochastische Unabhängigkeit und Bernoulli-Experimente

Die stochastische Unabhängigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht davon abhängt, ob A eingetreten ist oder nicht.

Definition: Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn P_B(A) = P(A) und P_A(B) = P(B).

Für stochastisch unabhängige Ereignisse gilt außerdem:

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Example: Beim Werfen zweier Würfel sind die Ereignisse "Erster Würfel zeigt eine 4" und "Zweiter Würfel zeigt eine 2" stochastisch unabhängig.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen: "Treffer" und "kein Treffer". Die Bernoulli Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern bei mehrfacher Wiederholung eines Bernoulli-Experiments:

P(X = k) = (n k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Vocabulary: Der Binomialkoeffizient (n k) gibt die Anzahl der möglichen Wege an, k Treffer aus n Versuchen zu erhalten.

Die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment sind:

1. Zwei mögliche Ergebnisse (Treffer und Nicht-Treffer)
2. Konstante Trefferwahrscheinlichkeit p
3. Stochastische Unabhängigkeit der Versuche

Zufallsgrößen und Erwartungswert

Eine Zufallsgröße X ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.

Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der Mittelwert der Ergebnisse bei mehreren Durchführungen des Experiments. Er berechnet sich wie folgt:

E(X) = x₁ · P(X=x₁) + x₂ · P(X=x₂) + ... + xn · P(X=xn)

Highlight: Der Erwartungswert gibt den langfristig zu erwartenden Durchschnitt der Zufallsgröße an.

Example: Bei einem Glücksspiel mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=1) = 0,3, P(X=2) = 0,3, P(X=3) = 0,2, P(X=4) = 0,2 beträgt der Erwartungswert E(X) = 2,3.