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Stochastik - Binomialverteilte Zufallsgrößen

27.2.2021

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N 1 11 Binomialverteilte Zufallsgroßen →2 Mbqlidikuten walls 11.1 ZUFALLSGROBEN UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG Wahrscheinlichkeitsverteilung Bsp.: dreifacher Münzwurf mit einer fairen Münze Zufallsgröße X Anzahl bei Kopf beim werfen. dreier Münzen लेले सर्व K 6 Z งา 1 1 KIN AN 1 2 K Z Z Z K K JONKIN Erwarringswert E(X) = M 글 K Z Z NY N M = 0 ₁ ² + 1 Vananz V (X) V(X) = (0-1₁5) ² 8 (3-1,5)².1 3 8 standard abweichung 6 √ V (X) √0,75 X = 3 X = 2 X = 2 X = 1 X=2 X = 1 X = 1 X = 0 + + = 21 J 3 ~08660 = 3 O S (1-1,5) ². 014 R 03- 0,75 -0.2- T 94 Wert der zu wahrscheinlich - fallsgröße ai beit P(x = a;) 0 3 y 1 O 2 3 T _lex 8 3 8 Histogramm P(x= a;) E 3 2 + 1 8 3 8 Summe 1 ↓ Anzahl Werk d. Zufallsgr. Anzahl alla mas prade = 1,5 27 48 8 (2-1,5)². 3 8 ai Eine Zufallsgröße X ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis des Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße erhält man, indem man allen möglichen Werten der Zufallsgröße die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zuordnet. X = 3 01512 Kong R 949 R 9,5R 04 R 0:51 R 051 R - 0,51 0,49 R R ONS R Wiederholung Zufallsgrößen 0,51R છે. R x = 2 X = 2 X = 1 X = 2 X = 1 X = 1 n = 3 P = 0,51 Der zu erwartende Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung wird als Erwartungswert E(X) (Kurzschreibweise μ) der Zufallsgröße X bezeichnet. E(X) = μ = a₁ P(X = a₁₂) + a₂ P(X=a₂)+...+ an P(X = an) Die Varianz V(X) ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsgröße vom Erwartungswert. V(X) = (a₂-μ)². P(X = a₁) + (a₂-μ)². P(X=a₂) +...+(an-μ)². P(X=an) Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. o = √√V (X) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann in einem Histogramm graphisch dargestellt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Geburt eines Welpen ein Rüde erwartet werden kann, beträgt 51%....

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Die Hündin Ria wird drei Junge bekommen. X: Anzahl der Rüden, die Ria gebärt 0 = μ = 0·0₁117649 + 1.0,367 393+ 2.0, 382 347 +3-0,132651 = 1,53 004 0,3 a₁ 0 |V(X) = (0-1,5 3004²). 0,117649+ (1-1,53004) ² 0,367 393 + (2-1,53004)² 0,382347 + (3-1,53004)²-0,13 2651 0,2- 1 2 3 0,1 70,7457' = 0,8659 P(Xai) 0 = 0,7497 √V (X) P(X= a) 0,117649 0,367393 0,382347 0,132651 Summe 1 1 2 3 ai 11.2 BERNOULLI-KETTEN UND BINIOMALVERTEILUNG Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli - Versuch bezeichnet, wenn es nur zwei Ausgänge E und E gibt. E wird als Erfolg und E als Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Erfolgswahrscheinlichkeit 9 = 1-p_ ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Wiederholt man einen Bernoulli - Versuch n-mal in exakter Weise, d. h. die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert sich nicht, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Längen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Bsp. ALL Eine ideale Münze wird 50 mal geworfen und es wird die Anzahl von Zahl nohert. n = 50 Bei einem Knopf kann man die vorder von der Rückseite unters Der Kopf wird 20 mal geworfen und es wird die Anzahl von der Vorderseite nohert n=20 Ein ideale würfel wird 10 mal geworfen und die Anzahl der geworfenen der geworfenen Einsen nohert. 1 n = 10 1 P = 2 Ein ideales Tetraeder wird 8 mal geworfen. Es wird die Anzahl der geworfenen vieren nonert. n = 8 b 2 p = 1²/13/₁ = X sei die Anzahl der der Länge n mit der Dann gilt: Erwarhingswert: E(X) = M = n · p varianz: = n⋅ p・ (1-p) Standard abweichung: σ = √n.p. (1-p)" = = d V(X) F Bsp.: Bernoulli - Kelte der Länge n = 10 mit Erfolgs wahrscheinlichkeit p = 0,4 E (X) = M = n · p 14 4 = 4 Erfolge in einer Bernoulli Erfolgswahrscheinlichkeit p. 10-0.4 TV (X) 72,4 1,5492 V(X) = np. (1-p) Kelte 100,4 (1-0,4) = 2,4 Man kann bei 10 versuchen 4 Erfolge erwarten Dist →Bin. CD • Bsp. Var TW: ab 5.31 [(Summe)) X ~ ges! 3 = 15 K J = 5 B1007 0,3 M. 0₁ P(X=18) P(X=29) (E(X)) 100 = 30 P(X=18) 2 Σ k=0 B₁b; ({0₁1/23) √n.p (1-p) PX= 29 TR: MODE → Dist →→ Bin PD genau 4 Antworten →Var richtig? TR: MODE 0,3 höchstens 2 Antworten nching? TW S 42 = = 15-k 100 29 →Bei 100 versuchen kann 30 Erfolge erwarten. = 100 18) -0.3¹⁰ n = 100 100 0,3 (1-0,3 18. 0,782 ~ 0,3 29 + 11.3 KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG UND INTERVALLWAHR- SCHEINLICHKEITEN Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind ablesen mgl. Oftmals ist nicht nach der wahrscheinlichkeit für genau K Erfolge gefragt, sondern nach der wahrscheinlichkeit für hochstens, mindestens, mehrmals,... Erfolge. Multiple-choice Test 71 0,7 1 2 man *4.58 B₁00: 0,3 (1293) 100; →> Tabelle mit p = 0,3 k = 29 in Tabelle 0,024 Broo 0,3 ((183) *0,0856 15 - Fragen je 5 Antworten. X - Anzahl der richtigen Antworten X ~ Big TW-Schreibw. → Erwarningswert = B höchste Saule im Histogramm nor 11 " . P(X= 4) = (15) (2) (1) * 0,1876 -4 (Bernoulli) P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X =2) 15 . - (15) (3) · (4) + (15) ( 5 4 13 15 11 2 5 5 ~0,3980 →→kumulierte (aufsummierte) Biniomaty. 4 5 14 weniger als 2 Ant- P(X<2) = P(X ≤ 1) worfen richtig? mindestens 2 Ant- P(X≥2): worten richtig? mehr Is 2 Ant- worten richtig? mindestens 3 aber höchstens 8 Antworten richtig? Ereignis - P(X=0) + P(X=1) ~0,1671 genau k Erfolge höchstens k Erfolge weniger als k Erfolge mindestens k Erfolge mehr als k Erfolge mindestens a, höchstens b Erfolge 1 - P(X≤1) ~ 1-0,167.1 ~0,8329 P(X>2) = 1- P(X ≤2) ~10,3980 ~0,6020 P3≤X ≤8) S Zusammenfassung (unvollständig) Bin CD= 8 Bin CD=2 P(X≤8) - P(X≤2) ~0,9992- 0,3980 ~0,6012 Beschreibung mittels Zufallsgröße X = k X ≤k X <k X≥k X > k a ≤ x ≤ b Berechnen der Wahrscheinlichkeit mittels der (kumulierten) Binomialverteilung P(X = k) P(X ≤ k) P(X ≤ k − 1) 1- P(X ≤k-1) 1- P(X ≤k) P(X ≤ b) - P(X ≤a-1) 11.4 WEITERE GRUNDAUFGABEN Lange in der Bernoulli-Kette berechnen Bsp.: Jeder zehnte Haushalt in Deutschland besitzt einen Pay-TV-Anschluss. m alles über o ergibt 1 A X - Anzahl der Haushalte mit Pay-TV-Anschluss X Bn; 0,4 PX > 1) > 0, 99 1- P(X=0) ≥ 0,99 1-1 - P ( X = 0) ≥ -0,01 1:(-1) P ( X = 0) ≤ 0,01 Wie viele Haushalte müsste man mindestens für eine Stichprobe auswählen, damit in dieser Stichprobe mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens ein Haushalt mit Pay-TV-Anschluss ist. (n)-0,1° 0,9" ≤ 0,01 O 1 1 n 0,9 0,01 lin In (0,gh) ≤ In (0,01) n. In (0,9) ≤ In (0,01) In (0,01) In (0,9) n > ges. n :In (0₁9) n = 43,71 Man müsste mindestens 44 Haushalte auswählen