Stochastik (Leistungsfach)

Alternativer Bildtext:

sechs schwarz gefärbt sind. a) Das Glücksrad wird 40-mal gedreht. Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: A: Es erscheint mindestens 20-mal „schwarz". B: Die Anzahl der Drehungen mit dem Ergebnis „schwarz" weicht um höchstens 20 % vom Erwartungswert dieser Anzahl ab. b) Bei einem Spiel dreht ein Spieler das Glücksrad dreimal. Erhält er genau zweimal „gelb", dann werden ihm 5 Euro ausbezahlt. Erhält er dreimal „gelb", dann werden ihm 15 Euro ausbezahlt. Ansonsten wird ihm nichts ausbezahlt. Untersuchen Sie, bei welchem Einsatz dieses Spiel fair ist. Aufgabe 6: ( /13 VP) Ein Restaurant bietet seinen Gästen verschiedene Menüs an. Neben fleischhaltigen Menüs gibt es zwei vegetarische Menüs M1 und M2. Im Durchschnitt entscheiden sich 15 % aller Gäste für das Menü M1 und 10 % aller Gäste für das Menü M2. Vereinfachend geht man davon aus, dass die Bestellungen unabhängig voneinander sind. a) An einem Tag kommen 120 Gäste, von denen jeder ein Menü bestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Genau 20 Gäste entscheiden sich für das Menü M1. B: Mehr als 25 und weniger als 40 Gäste wählen ein vegetarisches Menü. C: Die ersten 10 Gäste bestellen ein fleischhaltiges Menü und insgesamt werden an diesem Tag 25 vegetarische Menüs bestellt. b) Geben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment und ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem folgenden Term berechnen lässt: 1-0,7510 -10.0,759 -0,25 c) Das Restaurant hat Zutaten für die Zubereitung von genau 50 Menüs M1 gelagert. Bestimmen Sie, wie viele Gäste höchstens im Restaurant essen dürfen, damit die Vorräte für das Menü M1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % ausreichen. d) Neben dem Restaurant soll in einiger Zeit eine Baustelle eingerichtet werden. Es wird befürchtet, dass aufgrund des Lärms weniger Gäste kommen werden. Deshalb soll die Nullhypothese Ho: „Mindestens 10 % der Gäste werden aufgrund des zu erwartenden Lärms nicht mehr ins Restaurant kommen." auf Basis einer Umfrage unter 200 Gästen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. e). Vor der Konzeption des Tests zog die Restaurantleitung in Erwägung einen Lärmschutz errichten zu lassen und stellte folgende Überlegungen an: 1: Wenn der Lärmschutz errichtet wird, obwohl der Lärm weniger als 10 % der Gäste stört, entstehen unnötige Ausgaben. II: Wenn der Lärmschutz nicht errichtet wird, obwohl der Lärm mindestens 10 % der Gäste stört, entgehen dem Restaurant Einnahmen. Erläutern Sie, für welchen dieser beiden Fälle die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens mit obigem Test auf 5 % begrenzt werden kann. Beurteile folgende Aussage: Liegt beim obigen Test das Umfrageergebnis im Ablehnungsbereich, dann trifft die Nullhypothese mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht zu. VIEL ERFOLG!!! a) f(x)= 4x². sin (e²x) f'(x) = 8x. sin(e²x) + 4x² cas (e²x). 2e²x 8x (sin(e²x) + XR²x.cos (e²x)) r esx-6e³x + Sex=0 ex. (e4*-6e²x+5)=0 10 Subst. Resubst.: ечк 22 MUE= 29/102= X²-4=044 X₁²= 2 X-₂=-2 -68²x+ 5 = 0r 2= 2x X₁= -62+5=O 2=5 6± √(-6)2-4-1-5¹ 2 r e²x=5 lln 2x=4n5 1:2 ins 2 (1= n503 52 i πI (x²-4). sin (x-7)=0 2 r X₂ [0₁2] (= { 1, 2, 317 3 2₂=1 ezx=116m 2x = ln 16:2 X = n1 2 х=0 x= [0₁2] sin(x-1)=0 X3 = 1 Xu= 311 2 Skizze sin(x) 515 nudt 1,5/1,5 212 Nr. 2 ed 14.3 X 4 lne? >7 4. ((ne + (ne) 57 4. (1+1) >7 [4(nx Je² 4 weiße E: 2 mal weiß P(E)= MVE: 877 W.A. Ja, der Wert des Integrals ist größer als Sieben. x rote Kugeln 4 4+x X1127 = 3+x 12 (4+x). (3+x) 12 12+4x+3x+x2 72 12+7x+x2 2 Kugeln ohne zurücklegen (4. Ine ²) - (4 unni x² +7x-60 =0 X₁ = -12 = −7± 1F 2 -7 ± √72-4-(-60) 2 =4 6 The 72 = 12+7x+x² 1-17 7x+x² = 60 (-60 r x₂ = 5 1.6 = 4 (ne² w r 1.(12+7x+x²) ( 4. гид w r2. 2. Zug A: Es sind Srote Kugeln, da die Anzahl der Kugeln nicht negativ sein kann r No.4 3 Schwarze zwei rote eine grüne a) Beide Kugeln haben versch. Farben 33 급 S G 31 59 SI r P(E)= 1-³(Ē) - ^- ( 1 · ² + 3. 1) - 1 - ( ²² + 1² ) = 5 15 15 b) Die zweite Kugel ist schwarz oder grün P(E)= 1 - ² + 1 - 1 + 1.3 + 1. 1 + 1 · 3 = 1² + 1/60 + 1² + 1/1/0 + 1/1/00 35 65 5 70 6 L Aus un kein grün aber aus Uz grün D S 30 c) U2: 3 rote, 2 grüne 43: 1schwarze +3 30 30 20 30 ohne Zurücklegen Aus Un eine Kugel in U2; Aus U2 eine Kugel in U3 P(E)= 5.2 6 5 +1.1 62 10+1 30 Gegenereignes: Beide gleiche Farbe Aus un grün und Uz grün -13 36 Nr.5 Prei= 4 al h= 40 b) n=3 Pschwarz X: Amal Ergebnis Schwarz g: Gewinn g(€15-a = 6 X ist Buo, &- verteilt : P(X= 20) = 1-PCX ≤ 19) = 0,9256 r A: Die wk, dass 20-mal schwarz erscheint, beträgt ca. 92,56%. E(X)= M = n⋅p = 24 Höchstens 20% Absweichung: 19,2-28,8 P(20≤x≤28) P(X ≤28) - P(K≤ 19) = 0,8547 Рдесь Einsatz: a = ? H 0.4 10 15-a ha PCX=g) 0,288 0,064 0,648 E(X)=(5-a): 0,288 +0,064. (15-a) +0,648-(-a) -a 15.12.20 E(x1=0 (5-a). 0,288 +0,064- (15-a) - 0,648a = 0 1,44-0,288 +0,96-0,064a-0₁648=0 1-2₁4 (-(-_^) A: Die WK, dass die Anzahl der schwarzen Treffer um höchstens 20% vom Erwartungs- wert abweicht, beträgt ca. 85,47%. WK 2-md geld X: Anzahl gelb Xist B3:0,4-verteitt PCX-2) = 0₁288 P(X=3) = 0,064 = -2,4 a=2₁48 A: Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz 2,40€ betragen. 515 Mr. C Pm- 0,15 Puz=0₁1 a) n=120 X. Anzahl Gäste mit Menu 1 Xist B₁z0; 0,15 - Verteilt A: Mit 8,57% WK nehmen genau P(X=20) = 0,0857 &57% r 20 Gäste Menn in. B X: Anzahl Gäste veg. Menie X ist B₁20, 0₁25 - verteilt Plas< X < 40) = P(X ≤39) - P(X ≤25) = 0,8031 A: Mit ca. 80,31% WK nehmen zwischen 25 und 40 Gäste ein veg. Menu. Die ersten 10 fleischhaltig und insg. 25 vegetarische Menas PCC) = 0,75 10 • PCX= 25) = 0₂0028 = 0₁ 28% A: Mit einer WK von ca. 0,28% nehmen die haltiges und insgerant. 25 Gäste ein veg. Menui. (6) X immernoch Bazo, 0,25-verteilt (Anzahl veg. Menüs) ersten 10 ein fleisch- 1-0,75 1⁰ -10.0,75⁹-0,25 Zufallsexperiment: 10 Gäste kommen in das Restaurant und bestellen mit einer WK von 25% ein vegetarischer Gericht und mit einer WK von 75% ein Meni mit Ereignis: Es wählen von 10 Gästen weniger als 9 ein fleischhaltiges Gericht Fleisch. c) 50 Meniis M₁ n=? ks 50 Gäste mit X: Anzahl veg. Gerichte (M wird gewältt) p=0,15 P(X<50) 20,95 PCX ≤50) 0,9646 0,9578 n 265 268 270 271 0,9499 A: Es dürfen max. / höchstens 270 Gäste kommen. 0,95260,95 = n=270 Ho' Pz 0,1 p<0,^ no 200 x = 5% X: Anzahl Gäste, die nicht mehr kommen Bei wahrer Milihypothese ist X binomial verteil mit Broocan- P(X=g) ≤0,05 r PCX ≤g) 0,0080 0,0320 <0,05⇒ g≤12. 00566 g 10 Linksseitig 12 13 123 F Ā= {0; 1₁. Entscheidungsregel. Wenn maximal 12 Personen, die befragt wurden. nicht mehr kommen würden. So wird Ho verworfen und H₂ angenommen. F Für welchen der Fälle kann WK des Eintretens mit obigen Test auf 5% begrenzt werden? F A. Nur der Fehler 1. Art / canin kaliculiert und damit begrenzt werden. Das bedeutet, dass to verworfen wird, obwohl Ho stimmt. Mit dem obigem linksseitigen Test kann also der Fehler 1.. irt berechnet/ begrenzt werden, dass der Lärmschutz nicht errichtet wird, obwohl min. 10% der Gäste nicht mehr kommen würden. Das Eintreten des 2. Falls (11.) kann also begrenzt werden, durch den dem Restaurant Einnahmen entgehen würden. Der 1. Fall (Felder 2. Art) kann nicht e) Ja, da dann Ho verworfen wird. Dennoch kann Ho stimmen. Diesen Fall, also der Fehler 1. Art, wird jedoch auf 5% begrenzt (Signifikaniniveau). Die WK, dass man sich beim Verwerfen von Ho irst, wenn das Umfrageergebnis im Ablehnungsbereich liegt, liegt also unter 5%. In dem Fall ist der Fehler 1. Art: P(X6-12) = 3,₁2%. Deshallo trifft bel einen Ergebnis im Ablehnungsbereich die Nullhypothese welder wie sie kalkuliert werden. aber nicht mit yoher Wk! Даз калл ша nicht sagen! Man kann also sagen wahrscheinlich nicht zu. Jalud ist. 12/13 A7118