Laden im
Google Play
Stochastik Lernzettel Abiturinhalte
27.11.2022
20433
1190
Teilen
Speichern
Herunterladen
Binomialverteilung Eine Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli-Ex- perimenten mit den Ergebnissen 1 (,, Treffer") und 0 (, Niete"). Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahr- scheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer mithilfe der Bernoulli - Formel: n→ Anzahl der Versuche P→ Trefferw-keit k/r Anzahl der Erfolge Stochastile ✓Kettenlänge Bn;p (k)= P(X= k) = (2) pk. (1-p)n-k W-keit für genau k Treffer Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Bnip heißt Binomialverteilung. Die Zufallsgröße X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p. P(x = k) = P(x = 0) + P (X= 1) + ... + P(X= k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. Erwartungswert von X ist M=n.p Standardabweichung von X ist o n.p.(1-P) empirische Standardabweichung, S = weil es um Zahlen- werte geht, diese Formel nutzen M= Kenngrößen Kenngrößen für eine Stichprobe, welche die Werte x₁,..., Xn hat, liefert: Mittelwert x = 1 ⋅ (x₁ + x₂ + x3 + ... + xn) n Trefferwahrscheinlichkeit 0. Beispiel: Ziehen von zwei Kugeln ohne Zurücklegen X: Anzahl der roten Kugeln Wahrscheinlichkeitsverteilung: +1. 8 +2 15 weil es um Wahrscheinlichkeiten geht, diese Formeln nutzen · [(x₁ − × )² + (×₂ − × )² + ... + (xn− x)²] Theoretische Kenngrößen einer Zufallsgröße X. Erwartungswert μ = x₁ · P ( X = X₁) + X₂ · P(x = x₂) + ... + x₁ P(x = xn) Standardabweichung = (x₁-μ). P(x = x₁) + ......
Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.
Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern
Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.
4.9+
Durchschnittliche App-Bewertung
13 M
Schüler:innen lieben Knowunity
#1
In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern
900 K+
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...
iOS User
Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D
Philipp, iOS User
Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D
Lena, iOS Userin
Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.
Alternativer Bildtext:
+ (x₂ − µ)² · P(x = x₂), E 2 = 4 3.75 a 0 P(X= a) 1 M: „Mü" 1 2 82 15 15 5 : „Sigma" W-keit 15 2 σ= 8 +24 • / (0 - 3)² + + (₁ - 1)^² + · (² - 3)² - 2 = 4√5)² = 0.6 - 15 15 5 15 Allgemein bei einer großen Der Erwartungswert gibt an, welcher Wert durchschnittlich Zahl von Durchführungen des Zufallsexperiments zu erwarten ist. Er ist also eine Prognose für den mittelwert. Die Standardabweichung o gibt die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert an. Binomialverteilung : GTR-Befehle Ereignis genau k Erfolge höchstens k Erfolge weniger als k Er- folge mindestens k Erfolge mehr als k Erfolge mindestens a, höchstens b Er- folge oder: (2) P(x=k) Höhe der Säule: W-keit, mit "händisch" der dieser Wert ange- nommen wird Beschreibung mit Hilfe der Zufalls- größe X x = k x ≤ k x < K X ² 1 X > k a ≤ x ≤ b disch" in GTR eingeben Wahrscheinlichkeit der einzelnen Treffer alle Treffer (0 bis n) Berechnung mit Hil- fe der (kumulierten) Binomialverteilung P ( X = k) P(x = k) Anzahl k P(X<k)=P(X ≤ K-1) P(X>k)=1-P(X=k) P(a ≤ x ≤ b) P(x ² k) = 1-P(X²k-1) Binomial CD (k,n,n,p) → OPTN → rechts → histogramme Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parameter n und p, dem Er- wartungswert M=n·p und der Standardabweichung d = n.p. (1-P) erhält man folgende Näherungen: GTR-Befehl →F3 →n Cr Binomial PD (k, n, p) Binomial CD (k,n,p) Binomial CD (k-1, n. p) Binomial CD (k+1, m, n,p) Binomial CD(a, b, n, p) Sigma-Regeln 10|1.P(μ-0²X ≤M + 0) ~ 68,3% 202. PM-20≤x≤ μ20) ≈ 95,4% 30 3. P(μ-30 ≤ x ≤ M30) ≈ 99,7% 4. P (μ-1,640 X ² M +1.640) = 90% 5. P (M-1,960X²μ+ 1,960) ~ 95% 6. P (M-2,58 04X² M+2,580)~ 99% Vielfache der Standardabweichung o vom Erwartungswert M gebungen oder -intervalle Sigma-um- 0,1 0,09 0,08- 0,07 0,06 + 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0,20 P(X=K) 0,10+ 0,00 0,30 0,20 35 0,10- 0,00 99,7% 0 Eigenschaften von Histogrammen bei ist Säule am höchsten (maximum) [E(X)= M = n. p] → 125 0,4 = 50 0 n = 50 10 20 30 40 die Graphen der Binomialverteilung haben annähernd Glockenform zwei, Wendepunkte" (bei μ- und M+6)→im ersten Sigma-Intervall je größer die Standardabweichung d, desto breiter die Glockenkurve alle Säulen addiert: 100% oder 1 Bei Histogrammen mit fester Anzah n und verschiedenen Wahrscheinlichkei- ten p ergibt sich: 40 50 p= 0,6 95,4% 10 20 30 40 50 60 45 68% Op-0,1 Op=0.3 Op-0,5 Op=0,7 Op-0,9 50 On-10 On-20 On-40 On-80 10 n=125 Stichprobenumfang P = 0,4 55 20 60 Bei Histogrammen mit veränderlicher Anzahl n und fester Wahrscheinlich - keit p ergibt sich: 36 65 Anzahl k je größer p, desto weiter rechts liegt der Erwar- tungswert (Maximum) für p-0,5 liegt mittig je größer n, desto breiter und flacher die Säulen mit wachsendem n rückt weiter nach rechts (M wächst also quasi mit) je größer n, desto Symmetrischer wirkt das Vertei- lungsbild