Stochastik Mathemerkblätter

Alternativer Bildtext:

A.Pfadregel: (Produktregel): Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Places, ·der zu diesem Ereignis führt Vierfeldertafel - Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verknüpfung zweier Ereignisse A, B Aufbau: - 2. Pfadregel: (summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der · Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören B B. A P(ANB) (P(ANB) P.(A). A PLANB) P(B) P(ANB) PIB) P(A) 1 Bedlingte Wahrscheinlichkeit --Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt unter der Voraussetzung von A. L>PA (B) = P(ANB) P(A) P.(a). PLA) PAKET / BAD RAY BLE) PLANB) PLANB) PLANB) P(ANB) Stochastische Unabhängigkeit zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig L> Eintreten von A hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B -andern fulls heißen A und B stochastisch abhängig To lule Wahrscheinlichheit / Satz von Bayes. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: -> setzt sich ein Ereignis B aus mehreren sich gegenseitig ausschließenden Er- eighissen zusammen: es gilt: P(B) - PLANI· PAA(B) + P(A₂) · P₁₂ (B) .___ Satz von Bayes Bekannt sind die Wahrscheinlichkeiten P(A₁) des Ereignisses Ai, die sich gegenseilig ausschließen und zusammen das sichere Ereignis bilden. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt: PB (A₁) = P(Ain B) B(B) - Zufallsgröße = ordne! jedem Ereignis eines Zufallsexperiments elne reelle Zahl zu -Wahrscheinlichkeitsverteilung = gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten p die Zufallsgröße die möglichen Weile X.,.... annimmt -in Tabellen form: x; Zufallsgrößen x 1 P(x=x₁)|| P₁ P₂ Pn → Summe muss skets 1 ergeben: p₁ + P₂. +... pn ³1 1. Werle, die die Zufallsgröße x annehmen hann, auflisten 11. Zugehörige Wahrscheinlichleilen berechnen 111. Tabelle erstellen Kenngrößen von Wahrscheinlichheits- verteilung Daten darstellen und durch Kerngrößen beschreiben bevor man die Realität durch Wahrscheinlichkeitsmoclelle beschreibt, muss man sie durch zählen und messen erfassen. Die dabei anfallenden Daten leamman grafisch visualisieren und durch die Wenngrößen Mittelwert und Standardabweichung beschreiben. Allgemein Gegeben ist eine Urliste x₁₁×₂;×3: Mittelwert: x₁ + x₂ + xy + ². Allgemein.: geg. 3. relative Häufigkeitsverteilung mit den Werten ma, m... mn mit den relativen Häufigkeilen h₁, h2....hin mi hit m₂ h₂t mn ihn .xn) => man kann den Mittelwert aus der relativen. Häufigkeitsverteilung berechnen, indem man die Werte mit den relativen Häufig-. heiten multipliziert und dann die Prodluhk summiert. -> der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert xn · Die zugehörigen Vergrößen sind: · empirische Standardaweichung: ( wie groß die Streuung ist). --> Sie charakterisiert bei Messungen die Messungsgenauigkeit oder anders die Streuung der Werte um den Mittelwert X `P (x =w)| .x S Standardabweichungs-Intervall [x-s; x+s] mit dem Mittelpunkt = (+)?! /. S 4 6 Bsp: 49% 1% 1% 49% S= 0-6,49+ 2.0,01 +4-0,01 + 6-0,49 = 3 Bsp: Schuhgrößen: Mittelwert alle Schuhgrößen Test personen 1. Zufallsgröße festlegen 2. zugehörige Wahrscheinlichkeit ausrechnen (B aumdiagramm) 3. Tabelle aufstellen w 1 Bsp: Kennwerte aus einer relativen Häufigkeitsverteilung · bestimmen. > Mittelwert und Standardabweichung Geg: Urlisle mit Punkten und zugeh. Wahrscheinlichkeit: = 4.0,01 +.5・0, 0,0 + 15: 0,02 = 10,6 √(4-x-1²-0₁01 + (5 - ) ².0,00 + (15-1²-UP² = 1,97. --> in Vezimalzahlen der Prozente angeben! (0-3)²0,0m+ (2-3)²-0,49)+(4-3)² -6,49 + (6-3) ²-0,01] x.ux) Hilfsmittel: Baumdiagramm Erwartungswert und Standardabweichung von. theoretische Kerngrößen festlegen M =^ Erwartungswert @= Standard abweichung Hauligheilsverteilung charablerisiert man durch die Kenngrößen Mittelwert und empirischen Standardab- weichungs Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsverkilung als Modell angeben kann, so werden entsprechende theoretische Kenngroßen festgelegt, die man Erwartungswert M (lies mü) und Stanclardabweichung o (lies Sigma) hehnt. Sie ermöglichen eine Prognose der empirischen Kenngrößen x und s. - vorher: Urliste bzw. relative It! von empirischen Daten jetzt: theoretische relative Häufigkeiten. theoretische relative Häufigkeit (vorher: Orliste bzw.relative Häufigkeit von empirischen Daten) · ermöglichen eine Prognose der empirischen Kerngroßen x und s Hilfsmittel: Baumdiagramm -> Watum? Um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zufallsgrößen berechnen zu können - kleine Standardabweichung.= Werte liegen nah am Erwartungswert große Standardabweichung - Werk liegen weit von Erwartungswert weg Standardabweichung (große des Kreises um den Mittelwert) - mit einem Baumdiagramm kann man die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße:In). bestimen und damit die • Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X in einer Tabelle darstellen Zufallsvariablen /Zufallsgröße Zugehörige Wahrscheinlichkeiten. = 9 P(x=9) Allgemein geg. Zufallsgröße x. mit den Werten X₁₁ X₂ X3 ; P(x²+x₁), P(x=x₂), "P(X=*n) Erwartungswert von X ; μ = x₁ P(x= x ₁ ) + · P. (x = x ₂) + ·P (x = n) n -> einer Zufallsgröße X gibt an welcher Werl X im Durchschnitt bei einer großen Anzahl von Durchführungen zu erwarten ist -> was auf lange Sicht oft raushommt • Zufallsgroßen -> Der Erwartungswert wird wie der Mittelwert bei Daten berechnet; die relativen. Häufigheilen werden ersetzt durch entsprechende Wahrscheinlichkeiten. · Ein Spiel mit dem Erwartungswert ( für clen Gewinn nennt man fair. - eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1 heißt normiert oder standardisiert Standardabweichung von X 0= √ (x₁²M) ² P(x+x₁) + ... + (n =`M)². P(x = xn) ! Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert. M; stellt eine Prognose für die Standard- abweichungs dar Die Wahrscheinlichkeit, dass X. den Wert: 0 annimmit ist :: P(x= 0) = (Pfade des Baumdiagrams berechnen und eidclieren, bei denen x=0 rauskom!:) Erwartungswert und Standardabweichung der Wahrscheinlichbeitsverteilung sagen den Mittelwelt und die. empirische Standardabweichung der zu erwartenden Häufigkeitsverteilung voraus.. Bsp: 0,5 M= -0,5-0,625 + 0,5 6,375 = -0,125 o √ 2015 +0,125 1².0,625+ (0,5 + 0,125 12.0,375 h P(x=W - 0,5 3373 20,48 Bsp: M erwartende Treffer = Allgemein: Mittelwert (M, Zufallsgrope mit clen weiten x mit x₁, x2..xp; die relativen Häutigheiten Bsp: X= 9 mal drehen 1/72 3 슬 M = 9. (1 · 1 + 12.2 + 4·3) = 18 => Standardabweichung wächst um 2 1 -> den Faktor 3, wenn man die Summanderzahl verneunfacht o 7 -> 3.√ ļ aber den Erwartungswert dafür wieder durch 9 teilen a Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: x Erwartungswet > X-Untersuchungen (für eine Gruppe aus h=5 Personen erforderlich) P = 0,02% der Blutspenden mit Viren infiziert A gemischt 6 entweder 1 oder 1+5 = 6 ! =) 9 erst dam Einzeluntersuche. 4= 5 Personen gemischt Untersucht Einsatz 50ct 2 mal drehen -> bei zwei gleichen Farben = 1€ Wahrscheinlichkeit der Zufallsgroße Gewinn in €". - 3 Felder -3 Farben Baumdiagrammi 6,5 blau A 1 ворі m Plx=ml/ 0,25 9,25 95 ^^ grün 50 0125 /925-925 blau orange grün blau orange grün blau orange grün 25% 12,5% 12,5% 12,51 6,75% 6,25% 17,5% 6,25% 6,25% Gewinn 25% + 6,25% +625%=37,5% 0,25 5 1,5 2 1 30 orange 95, 25 34 8 25 Erwartungswert: M=2,16 Standardabweichung = 0,91 27 15/15 Faires Spiel 1.1. Schritt: Erwartungswert ansehen und überlegen, was er sein muss => das Spiel ist fair wenn der Erwartungswert Oist. Antwort satz 2. Schritt M = 0 -> • aufgrund des Textes erschließen wo man in der Tabelle eine Variable einsetzen muss (oven/ unten) 3. Schritt: In die Tabelle eine Variable (e) einsetze 4. Schritt... Gleichung lösen (mit Formel für den Erwartungswert) Mx 6,73 >> durchschnittlich 0₁7 richtige Antworten pro Tipp 0 0,76 => man wird wahrscheinlich nur Bsp : wenn. . wäre ist das Spiel fair M = .0-1 richtig haber setzt einen Euro aus Orne werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen Ls zwei rote und drei Blave zwei gleichfarbene Uugeln. 1. Erwartungswent berechnen: → Zufallsgröße X = Gewinn in £ hat die werte - 1 und a-1 P ( x = 1) = P({ b₁;vb²) = ²/3 - ²/1 + ²/² - ³/1 = 0,6 P(x a) = 1- P(x=-1) = 0,4 = (-1)-0,6 + (a-1) · 0,₁4 = 0,₁4a - 1 -> af zurüch x(Gewing). P(x=r) - 0,5 5 .8 'M = - 0,125 11. Wann ist das Spiel fair -> wenn gilt M = 0 => bei a= 2,5 0,4 => für ein faires Spiel muss der Auszahlungsbetrag 2,50€ betragen x P(x=r) 12100 5 e 8 33 1-e · { ₁ + (1-e). }/ -zerz-ze - ле е 0,5. 1 vorherigh Wele = -3/ • E= entspricht IMMER den Einsatz hier = 1€ > also muss man 2.b. - 1 = =ė ..^-e O 1 = 2-6 Gleichung } aufstellen. 0,375 = 9=5=e₁ :↓ Formel Einsatz: 1€ X-Gewinn in Euro g - O P(=-=g) | 1 | 2 | 승 ^ 19 1. Schrill: Müberlegen M = - 0,3 -e 2 ·Erwartungswert: -1.3 +0 4+1-26 + 4-1/2 - 3/10 - 03 ≈- Standardabweichung: 0,132 2. Schritt: Tabelle andern 1-e 2-05-e 1 승 15 3 스 10 P(x=4)| - e. 3+ (1-e). ½ + (2-3). 10+ (5-e). ²³/3e + 1/2 - 1/² e + 1/² - 10 e + ²32-275- -1e+ 7/0 15 - ле e ។ 15 = 0 = 0 = -7/10 = 710 = 0,7 -> 70 Cent Wie viele Lösungen damit zu erwartender Gewinn 0,45 € entspricht: Gewinn Lösungen M- 1000 + 300 + 20-200 +0.9795 = 0,45 |TV 1000 + 1200 دع => ES 1000 300 20 6 1 4 206 9795 X X X с P(6) € 13.777, 78 = x 6200 0,45 1-x X 6200 = 0,45x10,45 Antwortsatz: Es müssten ca. 13778 Lösungen eingehen, damit der zu erwartende Gewinn clem Porto von 0,45€ entspricht. 6 12(x =9) Bsp: 1x 1000€ 4x 300€ 200×20€ ->10.000 richtig eingegangene Lösungen 0€ 9795 10000 + 20€ 1 50 31 M = 50 ~ 0,62 0 x 11,98 e wie viele Lösunejen 4000 - 0,45 200 x + 12.006 0€ 20€ 300€ 1000€ 9795 옷 ㅣ숯 X 300€ 1 2500 20.200 +300+1000 € = 0,45 € 4000 1000 = 0,45€ 17.000 32.777 => es müsslen... Lösungen eingehen, damit ein Porto von 0,45€ eingjent = 945€ 1000€ 1 10.00 =X Binomidverteilung P gesucht Viele Vorgänge kann man durch binomial verteilte Zufallsgrößen X beschreiben: Die händische Berechnung der Wahrscheinlichkeiten über Clie Binomialkoeffizienter ist über mühsam. Schneller geht es, wenn man zwei auf Rechenhilfsmittel verfügbare Fuhlitionen nutzt. a die erste Funktion berechnet zur Trefferzahl. r. die Wahrscheinlichkeit: P(x=r) Brip (r). Überblich über die Säulendiagramme von Binomialverteilungen. = Binomialverteilung W. Die zweite Funktion berechnet die humulierte Wahrscheinlichkeit P(x ≤r), als o clie Summe P(x+6) + P(x = x)=Fn;p(r) = nutzt man zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, class die Werle einer Zufallsgröße X in einem vorgegebenen Intervall liegen.. Problemlosen mit Binomialverteilung. Vier Variablen n pir und P wenn man drei kennt kann man die letze lösen. Wahrscheinlichheit P bestimmen: Bsp.: 100 Tichets (n) 94 Plätze verfügbar (r) -0,9 aller Gäsk gebucht erscheinen W Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden alle Gäste einen Platz? P(+²94) = 0,94 = 94% Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss mehr als ein fluggast entschädigt werde = 1-0,976 = 0,0237 ~ 2,37% P/x = 96) = 1- P(x ≤ 95) ! mind. 2 mehr Fluggäste Gegenwahrscheinlichter (mehr als 1er=2=5 Fluggaste) => mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,37% ist mehr als ein Fluggast zu entschädige Binomialverteilung (Bernoulli-Experimente) Bernoulli-Experiment. Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli - Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit e, die Wahr- scheinlichkeit für eine Niele mit 9=1-p. Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli- Experiments heißt Bernoulli-Kette der Länge n. Die Trefferwahrscheinlichheit p. bleibt dabei konstant. · Voraussetzung: -nur 2 Ausgänge (Niele / Treffer) -Durchführungen sind unabhängig voneinander - es gibt n-Durchgänge --die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Erfolge - um die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer zu berechnen, wurde die Binomialverkeilung entdecht. Visualisiening: A A A 33/132/1³4/13 r fr fir f Binomial P(rn, p) schwarzes Komma benutzen P(x = 1) = 35 Binomialverteilte Zufallsgröße: Für die Zufallsgröße X, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Längen mit Treffer. wahrscheinlichheit P. angist, gilt: wie oft ich durchführe P ( X = v) = (P) pr (1-p)n-r = Binomialkoeffizient Kerfolgsquote => Bn; p = Binomialverteilung L₂ die Zu fullsgröße X heißt binomialverleit mit den Paramelern n undp Bsp: P(x-4) (8) 1 (1-1) 8-4 70 (1) 4 = 0,001 -> die wahrscheinlichkeit, dass man 4 mal gewinnt liegt bei 17% делаи /20% der h = wie oft ich das Experiment durchführe - r- wie oft ich in den Durchgängen erfolgreich war / clas in der Aufgate gewünschte Ergernis erziele. •p. • Treffer wahrscheinlichheit für einen Durchgang immer hinschreiben in der Klausur Eine Bernoulli- uette der Längen besteht aus in unabhängigen Bernoulli - Experimenten mit den Er- gebnissen 11, Treffer") und 0 (, Nieke")" Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für r Treffer mithilfe der Bernoulli - Formel: Bn; p (v) = P(x = v) = (n) pr. (1-p) ^= r; r = 0, h .z.b. 4 Münzen, zwei mal Wappen. Alle Sendungen angenommen: P(Y=10)=0, 3585 nimmt man n = 4 r=2 p=6₁5 => erschließen, denn eine Münze hat zwei Seiten = 1/2 mehr als P(x > __)` weniger als P(x≤) Erste Sendung p=0,95² = 0, 9025 = zwei einwandreie Sicherungen aus beliebige lade Bsp: mehr als 20 P(x> 2011- P(x-20) = _____ für L 0,9025 P 10 ber 9=3 und bei r- Wie groß Wahrscheinlichkeit, dass ein weit außerhalb des interalls liegt: -> 1- eine Wahrscheinlichkeit außerhalb des Intervalls पे ·Binomialkoeffizient: P(X= ...) Der Binomialhoeffizient (2) bezeichnet die Anzahl der Plade im Baumdiagramm, die zu. „V. Treffem ber. ·n versuchen " gehören. > Anzahl der Durchgänge 5! = Bsp: (5): 3!2! 1-r)! Anzahl der Treffer -per (({) ( 2 ) =_8! 21.61 (1-1)(n-1) 3: h r. Ir-11. (r-2)... 3.2.1 5.4321 3.2.1.2 87.65·4·3·2·4 2.168.4.-3.2.1 ->im Taschenrechner freien tal Man kann () Cluf verschieclene - mit dem GTR J.4.3.2:1 1.2.3 It and nach der Formel 5-4 =10) = = 20 = 10 56 = 28 2 Weisen berechnen: Taschenrechner: Binomialverteilung berechnen: (OPTN 11 F6 111. F3 TV. F3 ·V. vor den. C n einsetzen und hinter dem (r einsetzen. (n (r) -bei Gegenwahrscheinlichkeit direht 1- Binomalu, eingeben P(X= 0) NIE vergessen!! es können nur ganze Zahlen herauskommen. L. Pfade mit... Treffern wichtig: 0! = 1 Taschenrechner: Binomial (r, n,p) 1. OPTN FS (STAT). (11: F. 3- (DIST) IV. F. 5. (Binomial) V. F. 1 Bsp: angegeben h=15 p=0,2 => bestime P(x=4) ·1 - P(x = 0) => Gegenwahrscheinlichkeit Umformung muss in der Klausur dla skhen Anwenden der Bernoull; - formel": - es liegt eine Bernoullilieste der Länge 5 vor mit der Trefterwäht scheinlichkeitt p -.651. · fallen genau dreimal fünf oder sechs augen · PP ( X = 3) = ( ³ ) · (4) ³. (3) ²= 40 20,1646. 110 243 => mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% fallen genau dreimal 5 oder 6 Auger Schwarzes Kama benutze Bsp: 20% einer Bevölkerung sind linkshänder 10 zufällige Personen a hein linkshänder: P(x-0)- (16) 0,2° (1-42) 10-0 1-0,20 (1-0,2) 10 20, 1073 = - 10,73% U mindestens ein linkshänder alles - P(x = 0) h=10 p=012 P(x + 1) 1- P(x=0) = 1-0₁ 11 = 0,89 Bsp: mind. 4 und höchstens 6 COU Wähler 0 (44x46) => P(x = 4/+ P(x = 5) + P(x = 6) P(x²6) - P(x + 3) genau 5 P(x=5) höchstens 5: P(x = 6) = 1- P(x45²) - 1-461-39% mindestens 1100 gelesen: n = 5000 p=0₁2 V = 1000 P(x > 1000) = 1- P(x≤ 9999) P(x = r ) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + ... P(x=r) L so in der Klausur hinschreiben Bsp: _P(y≤ x ≤ 6) = P(x = 4)+ P(x + 5) + P(x = 6) / P(x ² 6) - P(X²3) -> zwischen 4 und 6. P(x1000) mindestens 1000 gelesen P(x = 5) = 1- P(x²4) P(X ≤5) höchstens S Taschenrechner 1. OPIN 11. FS ill. F3 V. FS v. F2 kumulierte Wahrscheinlichkeit P(x ≤r) -? Weniger P(x < 0) -> mehr P/x>0) GTR (r, n, p) Begriffe P(x=r) = _Bn; P (r.) .= normal. ·P(x ≤r) =. Fn; p.(r) .=kumuliert. Bsp: B₂6; 0,5 (10) = 0,176 = 17,6 % = Y = -180 Zimmer -200 Buchungen angenommen = n -0,9. dass ein Gast anreist = p. - großler Welt ist immer in immer ein Antwortsatz •·alle x die größer oder gleich drei sind 2 und kleiner fällt aus der Wahrscheinlichkeit raus. immer nur Zwischen und. höchslens... .Bsp: P (1 ≤ x ≤ 5). [ -> P ( x ²5) = P(x = 0) Ergelinis ! = PA ST.) P(X²72) == 1 - P(x ² 71 ) ! wenn 2/² immer eine Zahl abziehen Gegenwahrscheinlichkeit berechne at vergessen ! nicht P(x²221) = 1 - P(x ² 220) = 1 = 0,97 9² = -0,0201 = 2,01% Bsp: mehr als 1 Platz übrig P(x > 3) = Bsp: 100 Kugelschreiber mind 2 und höchstens 4 P = 0,03 n = 100 r = 2-4 P (2 x ≤4) = P(x ≤ 4) - P(x = 1) = 0,817-9,191 = 0₁6223 62,3% = Weniger als 30 P(x=29) >= mind <= höchsl. Voraussetzung: P₁.p,r. P(x=r) = p Problem: für P(x =1) heire Binomialverteilung. P(x<r) = P(x = 0) < Geg Wahrsch. v. p -> X für n eingeben L> unbekannte - immer darauf achten was P und was pist 1. Menü 27= Tabelle 3. OPTN 4. F6 5. F3 6. VIST (F1) 7. F5 8. BPO (FA)/BCD (F2) n gesucht (r;n;p) (Parameter) Bsp: p=0,9 v ²3 P=1 P(x 3) = 0, 9 P(x < 2) = P(x ² L>so weit nach unten bis es kleiner als < das ist → zugehörigen Wert rausschreiben = n p= √r. ²2n=X -> P ( 2; X; 4). 30 31 L> Weil nie der genaue Wert rauskommt ·0₁1. 6,163 0,091 A: Sie muss mindestens 31 Würfel einkaufen. man muss beides umdrehen · SET erweitern wenn Skalar nicht ausreicht Bsp: Wie groß muss eine Gruppe von Männern mindsein damit mind. 90% Wahrscheinlichkeit einer Farbenblin dil p=4% der männl Bevölkerung Rot-Grün- Schwäche P= 0,9 Wahrscheinlichheit Farben blind rein Furbenblinder P(x + 1) = 0,9 > -> mindestens P(x + 1) = P(x = 0) < 0,1 hier kleiner als 0,1 hier: 57 A: Die Gruppe muss aus mind 57 Männern bestehen. P-005 P.6,25 Bsp: -> mind. 50% der Treffer ->höchst. 5% Wahrscheinlichkeit Bsp: muss umgewandelt werden. r = mind. die Hälfte = 5 L> 10 Durchgänge P(x+5) $ 0,05/¹ 1²(x = 5) = P(x ≤ 4) = 0,75 Gegenwahrscheinlichkeit > (4, X, 0,75) t, 9 = 0,0489 bei 9 Durchgängen hat Tom mind 50% der Treffer h = 100 V 4 10 p= mindestens 0,8 P(x ≤ 10) > 0,8 immer umforen das P/x≤t)! P(10, 100, x) y2-Konstante = 0,8 ->V-Window einstellen ->x-max berechnen -26-Solve -> ISCT-Schnittpunkt => Y 2 = 0,8 => 0,082 Y= 0,8 A Fehlerquole darf 8,2% nicht überskigen. Bsp: wie viel darf p höchstens sein" ? -> mehr als 1 falsch übertragen => v>^ -> höchstens 10% h - 100 Ps 10% • kleiner als P(x1) = 0,1 4₂(x1) = 0,4 L> 5,3> zwei Kommaskellen nach links 0,0053 ↳p darf höchstens 0,0053 sein Bsp: n = 100 r ² 10 Р - mindestens 0,8 A.. Gleichung auiskellen P(x = 10) = 0,8 5.F.3 6.FA ·1. Menu 2. Graph (5) 3. OPTN 4. F6. 7. F.5 8. F2 (Bcd) 2. P/10, 100, X) p gesucht (Trefferwahrscheinlichkeit) 4₁ p = unbekannle 3. für 42 Monstante einstellen hier: 0,8. 4. V- Window einstellen. S. X-max berechnen 6. 6- Solve 2. ISCT = Schnitt punkt >> Y 2 = 0,8 => > · 0,082 (Schnittpunkt) 8. Antwortsatz · Fehlerquote darf 8,2% nicht überstergen - weil > 018 ! Bsp: n=201 P=0,99 r = -0 P(x = 0) > 0,99 P(0; 20;X). Y = 0,99 x= 0,0005. A: die Wahrscheinlichkeit eines Pixelfehlers beträgt höchstens go5% Bsp: h = 100 Y> A. p. ² 0,1 P(x-1) 50,1 P. (x².11.²0₁9. Y = 0,9 x 0, 0053 p=0,53% 7 immer auf. P(x≤rumformen. Gegenwahrscheinlichkeit Bsp: P · fehlerhafte Stüche Fehlerquote höchstens sein h = 100 ·r = 10. defeht P = 80% höchstens ->P(x²10) ²0₁8 (100,X, 10) > 0,₁8 Sigmaregeln => Intervalle bestimmen clie Grenzen der o - Intervalle werden als gamze zahlen angegeben da x nur ganzzahlige werke annimmt Mithilfe der Standardabweichung 6 lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, dass die Treffer- anzahl einer Bernoulli-Welle innerhalb einer sogenannten & Umgebung um den Erwartungswert liegt Erwartungswert: M=n·f · Varianz. n.p. (^-p) Standardabweichung: 0 = n² -> Abweichung untersuchen 1. - i no Regel plu 0<x<U+0) = 68,8% => treffer - Signa und + Sigma liegen bei 68,3% 2. 20-Regel: P(ju-20 ≤ x ≤ M+20) ~ 95,4%. 3, 30-Regel: P(M-30 ≤ x ≤ M + 30) ~ 99,7% 4. P/U 1,640 x 6+1, 640) @90% 5. P/M - 1,96 0 ≤ x ≤ M+1,960) ≈ 95%. 6. P/M - 2,590 +2,59) + 99% •Intervall: 68,3% der Daten. normal weicht um 20 von Erwartingruet ab · ungewöhnlich mehr als 20 Abweichons mehr als 30 = extrem außergewöhnliches Ereignis a Bsp: wekhem Intervall die Anzahl geleseher Exemplare mit ca. 95,4 %0 iger Wahrscheinlichkeit - 5000 Exemplare -80% ungeöffnet 20- Regel: P(μ-20 ≤ x ≤ M+20) = 95,4% и - пр M = 5000 0,2 = 1000 0 = √5000-0,2-(1-0,2 = 2057 √n.p.(1-p)( P (1000-2-20571 P [ 943, 43) + 943 2 943,43 944 I [ 944; 1056] Bsp 360 Tage=n 2₁7 = gut besucht=p M = 252 0 = 3√2101 28,69 = x = 1000 + 2.20521=95,4% ≤ x ≤ 1056,56 - 95,470 quy muss genommen werden, weil es im Intervall liegt L, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit: P(944x SAUS6) berechn Bsp: In welcher Grenze liegt die Anzahl der Sechser mit 95,4⁰ %iger Wahrscheinlich Lott 30- Intervall [226:278]> Abweichung um 30 => sehr ungewöhnlich Bsp: p-0,93 können schwimmen n = 300 1056 PM-1, 640 x M+1,640) = 90% M = 274 Q = 4,41 P (272 286) = 90°(² M-1, 640 = 271,75 м+ 1,640 = 286, 25 느 =>damit 90% Schwimmen können müssen zwischen 272 und 286 Personen müssen im Schwimmbad sein. 1056,58 Daken können graphisch dargestellt - je nachdem, welche Häufigheit man nimmt, erhält man eine graphische Darstellung der absoluten oder eine der rela- tiven Häufigkeiten Häufigkeiten werden durch die Flächeninhalle von Rechlechen dargestellt das Maximum befindet sich an der Stelle & bei der nächsthleineren/nächstgrößeren ganzen Zahl Histogramm ·(hilfsmi Helfreier Teil). > Binomialverteilung je... cesto. => bei Diagrammen verschiebung / Erwartungswert / Standardabweichung. Bsp: Je kleiner meine versüché sind umso höher ist die Wahrscheinlichkeit: Je kleiner das num so kleiner die Standardabweichung... Je größer das & desto größer wird die Standardabweiching -Werte clie weit vom Mittelwert enfternt liegen, erhöhen den Wert der empirischen Standardabweichungs. kleine Standardabweichung - Werte liegen nah am Erwartungswert = große Standardabweichung Werk legen weit von Erwartungswert weg • Wenn ʼn groß ist und p nicht zu nahe an Odder 1 lregt sind die Verteilungen glöckenförmig mit dem Maximum. in der Nähe des Erwartungswertes & und zwei, Wendestellen" im Abstand & vom Erwartungswert Bsp:-20% defent -> die Standard abweichung ist also bei Binomialverteilungen ein Maß für die Glochenbreite - je weiter die werk vom Mittelwert entfernt liegen desto größer ist die Standardabweichy - je höher die Versuchsanzahln bei einer festen Trefferwahrscheinlichkeit. p, desto flacher und breiter das Säulendiagramm. - je größer ʼn desto weiter rutscht das Maximum nach rechts. die Aussagen aber das Maximum lassen sich durch M=h⋅p begründen • die Aussagen über die Verteilungsbreite resultieren aus der Formel o = Ship-(1-P)! 20 werden geprüft -8. defeht 1 Versehen was man auf dem Diagram sieht : -Schaubild aller Resultate die auftreten homen mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit V r = 8 n = 20 P=0, ->wenn man alle Balken miteinander addiert muss 1 raus hommen - die höchste Saule Tot der Erwartungswert •P(x=r) A A | | | 2 | 3 3 d 2. um sich die Tabelle er- • klären's weit darstellen. (ein Teil des Diagrams) Wahrscheinlichkeiten für alle Treffermöglich- heilen als Graph dargestellt. B (n; pir). ·^ 스 2. b. OTvelfer / 0 1 ₂ hochsk Wahrscheinlich le ) 2 im durchschnitt iimer. 2 • Erwartungswert =2. können nax 3.sen ) 3 r (Anzahl der Treffer) 5 graphisches Darstellen der Binomialverteilung Einfluss der Parametern und p auf die Binomialverteilung: - Längen; Trefferwahrscheinlichkeit p - Anderung von p bei festem n: -> wachsende Trefferwahrscheinlichkeit p => Erwartungswert wird größer !>maximum der Verteilung wandert nach rechts ∙Anclerung von n bei feslem. pi - für größeres n wird sowohl der Erwartungswerts, als auch die Streuung größer 4. Maximum der Verteilung verschiebt sich nach rechts, Verteilung wird flacher und breiter Bsp: 68,3% (15,735 x 20,89) = 68,3% ( 16 ≤ x ≤ 20) = 68,3% M - 0 ≤ x ≤ M + O) 느 typische Fragestellingen - genau ✓ Treffer - P(==r) = (h). pr. (1-p)h`r - höchstens & Treffer = P(xer). - Weniger als r Treffer = P(x<r). P(xsr-1) - mindestens r Treffer = P(x >r) = 1- P(x ≤r - 1) - mehr als r Treffer = P(x>r) = P(x = x + 1) = 1- P(x≤r) - mindestens r₁, aber höchstens v₂ Treller = P(r₁ ≤x≤ √₂ ) = P(x²√₂ ) - P(x² √₂-1). Bsp: 10% fehlerhaft, 10 Bälle kontrollie 1) Genau drei Bälle fehlerhaft: P(x 3) = 5,74% 2.) Höchslens vier Bälle fehlerhaft: P(x ≤ 4) = 99,84% -3.) Mehr als drei Bälle fehlerhaft: P(+ >3) ~ 1-4,9872:-1,5860 - 4.) Mindestens zwei, aber höchstens 4 fehlerhall: P/2 ≤x≤4) -26,25% von Wahrscheinlichkeiten auf relative Häutigheilen schließen-Schwankungsintervall · Gesetz für Schwankungsintervale Bei einer Bemouillikette mit Longe 'n und Treffer wahrscheinlichhet p liegen fast alle der relativen Häufigkeiten im Schwankungsintervall ·P+ 2√ √P. (^-p. [p-2 √P. (1-P n › Länge des Intervalls halbiert sich, wenn man den Versuchsumfanc vervierfacht. Diese Intervalle lassen sich für Überschlagsrechnungen griffig nach oben abschätzen durch [ p²-√ P Von relativen Häufigkeiten auf Wahrscheinlichkeiten schließen - Vertrauensintervall Wenn bei einer Bernoullikette der Länge in die relative Trefferhäufigkeit h beobachet wird, bestimmt man die Gramendes Vertrauensintervalls I-[a; 6], in dem man die Gleichungen: von der Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen p.f =h nach p auflöst · Manerhält näherungsweise Is [n- 2 Jaw Punktschätzung Erwartungswert Manp ∙Bsp: im P(1-P), Intervallschätzung: Sigma - Regeln nutzen (Sicherheits wahrscheinlichkeit +9 L> Werk die innerhalb der 95 %- Umgebung liegen (-95%) verträglich mit i ·1> Werk die außerhalb der 95%- Umgebung liegen => signifikant abweichent daraus schließen, dass der Anteil p in der Gesamtheit nicht so ist wie vermutet. asXsb OsXs 101 0sXs 102 139sXs500 140 ≤X ≤ 500 102 ≤X ≤ 139 Beispiel 1 Uberprüfen, ob ein Anteil sich verändert hat (zweiseitige Fragestellung) In vergangenen Jahr hatte ein bestimmter Autohersteller einen Marktanteil von 24 %. Um zu überprüfen, ob in diesem Jahr eine Veränderung eingetreten ist, sollen die nächsten 500 Neuzulassungen ausgewertet werden. Eine Entscheidungsregel könnte lauten: Wenn in der Stichprobe vom Umfang n = 500 weniger als 102 oder mehr als 139 neu zugelas- ne Fahrzeuge des Autoherstellers sind, dann kann man davon ausgehen, dass sich der Marktanteil des Herstellers verändert hat; andernfalls sieht man keinen Anlass, den Marktan- tell von 24% in Frage zu stellen. Plas X s b) 0,02473 0,03174 0,02779 0,02192 0,95335 h(1-h) n zu erwartende Anzahl an Erfolgen. < 0,025 > 0,025 > 0,025 < 0,025 > 0,95 0.02473 bisom Car(500,0.24,0,101) binomiCar(500,0.24,0,102) 0.031736 binom Car(500,0.24,139,500) 0.027792 binom Caris00,0.24,140,500) 0.021921 0.953349 binom Car(500,0.24,102,139) => Stichprobenergebnisse innerhalb des Intervalls [102; 139] werden als verträglich mit p=0,24 angesehen, Ergebnisse außerhalb des Intervalls als signifik Erwartungswert u = 120. abweichend vom Beispiel 2 Überprüfen, ob eine Maßnahme notwendig ist (einseitige Fragestellung) Ein Unternehmen strebt für ihre Produkte einen Bekanntheitsgrad in der Bevölkerung von mindestens 50% an. Die Firmenleitung überlegt daher, ob eine Imagekampagne durchge- führt werden soll. Als Entscheidungsregel wird festgelegt: Wenn von 800 zufällig ausgewählten Personen weniger als 377 das Produkt kennen, soll eine besondere Imagekampagne durchgeführt werden; andernfalls hält man diese für überflüssig. Entscheidungsregel >> wie ein Stichproberer gebnis zu bevel ist Beispiel 1 (Forts.) Überprüfen, ob ein Anteil sich verändert hat (zweiseitige Fragestellung) Liegt dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,24 zugrunde, dann hat der Bereich zwischen den kritischen Werten k, = 102 und k, = 139 eine Wahrschein- lichkeit von P(102 ≤ x ≤ 139) = 0,953. Aufgrund der Entscheidungsregel kann es daher mit einer Wahrscheinlichkeit von a = P(X < 102) + P(X> 139)=0,0247 +0,0219-4,7% 55% zu einem Fehler 1. Art kommen: Liegt das Stichprobenergebnis im Intervall (0:101] oder im Intervall (140; 500], dann geht man fälschlicherweise davon aus, dass der Marktanteil sich verändert hat, obwohl dies nicht der Fall ist. Rückblick Kenngrößen für eine Stichprobe, welche die Werte x₁, ..., xk mit den re- lativen Häufigkeiten h₁, .... ,h liefert: Mittelwert x = x₁.h₁ + ... + xh und (empirische) Standardabweichung s= √(x₁ - x)²+h₁ + Theoretische Kenngrößen einer Zufallsgröße X: Erwartungswert u = x₁ P(X = x₁) + X₂ P(X=x₂)+...+xP(X= x₂) und Standardabweichung o=√(x-μ)² P(X= x₁) + .+ (x-μ)².P(X= xk). Binomialverteilung Eine Zufallsgröße X mit den Werten 0; 1; ...; n heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn für 0 ≤rsn gilt: P(X=r) = Bp (r) - ()-p' (1-p)- Der Erwartungswert von X ist u n-p. Die Standardabweichung von X ist o = √n.p.(1-p). Sigmaregeln für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert ju und Stan- dardabweichung σ: P(u-ko≤x≤ µ + k· σ) = ß (Näherung brauchbar, falls o > 3) 1 1,64 68,3% 90% k В Grundfrage der beurteilenden Statistik Schließen von der 1,96 95% ... + (xx-x)².hk - relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit bzw. von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit h(1-h) h+21 n 2 95,4% Man hat ein Gefäß mit N Kugeln, von denen eine unbekannte Zahl K rot ist. Die Wahrscheinlichkeit p = für ,rot" ist unbekannt. Man zieht in einer Stichprobe vom Umfang n (mit Zurücklegen) genau k rote Kugeln und erhält die relative Häufigkeit h=k. n' Man schätzt dann p durch k - h= (Punktschätzung)... und liegt meistens daneben n h(1-h) 1=h (Intervallschätzung) [p(1-p) TI - h außerhalb von p-21 Dies sind die 20-Intervalle. 2,58 99% 99,7% Oder man hat eine Vermutung über p, die man nur dann bezweifelt, wenn k außerhalb von [np-2√n p(1-p); np +2√n-p(1-p)] p(1-P) ;p +21 liegt. Ziehen von zwei Kugeln ohne Zurücklegen X: Anzahl der roten Ku- geln. Wahrscheinlichkeitsver- teilung siehe Tabelle. μ = 0 = 0,6 a P(X = a) 0 X: Anzahl der Wappen beim 50-maligen Werfen einer Münze. X ist binomialverteilt mit ≈ 3,5. p= 15 den Parametern n = 50 und p = 0,5. Für genau 25-mal W: P(X= 25) = 0,1123. Für höchstens 25-mal W: P(X ≤ 25) = 0,5561. Erwartungswert μ = 25. Standardabweichung o = μ-10-22; μ+ 10 = 28 mit Sigmaregel: P (22 ≤X ≤28) = 68,3% exakt: P(22sX ≤ 28) = 0, 6777... = 67,7% = [0,21; 0,39] Annahme p = 0,5 1 8 15 Intervallschätzung 03-07 0,3-0.7 I=0,3-210003+2 100 Bei 100-maligem Ziehen aus einem Beutel (mit Rücklegen) wurde 30-mal rot beobachtet. Punktschätzung für die Wahrscheinlichkeit: 100 = 0,3 2 20-Intervall der relativen Häufigk 0,5-2√/05-05 +2√565-PACE h = 0,3 liegt nicht in diesem inter wit muss die Annahme bezweiflets. VII Schlüsselkonzept: Wahrscheinlichkeit - Statistik 237 Die Folge der Zustandsverteilungen, die zu einem Prozesscliagramm. gehören, wird als stochastischer Prozess bezeichnet. Grundlagen Definition einer Matrix: -> rechlechiges Zahlenschema aus m Zeilen und in Spallen: алл a12 али .A .9 21. a22 azn a'm^. амг amm bauch mxn Matrix Addition und Subtraktion von Matrizen: ->in dem man die in den Matrizen an entsprechender Stelle stehenden Elemente addiert/ subtrahiert. ・A+B= ( au+b^ агл тогл азл F631 911 912 α13) ben biz biz 92₁ 922 923 + 621 622 623 азл азг азз 65₁ 63₂ 683. к алл v. a 21 1:934 KA = (x Shalare Multiplikation von Matrizen -seine Mahix A wird mit einer reelen Zahl + (Shalar) multipliziert indem man alle Matrixelamente mit der reelen Zahl'r multipliziert ) алл 021 изл аланылг a22 +622 α32 +632 r. 912 r. 022 4.932 Produlit matrix C-A-13 = ( (Stochastische Prozesse) Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. ->ist A eine, Matrix und ein Spallenvektor, dann ist das Produkt ein (mx1). Spallenvektor.. аль аль a 22 923 a32 933. r.9.13 v.423 V.03.2 ^^^ a 12 021 c22 азл азч 013 + 613) 923+623 033 +633 Multiplikation zweier Mährizen вел B21 взл аль 933 933 •· 622 + 913²632² виг калг сіллі a2₁-611 tazz-b2a +9₁.23²631... азлібла назговали азза взлі але хл. +012 X2 + 9,3-X3 921 x₁ +922. x₂ +₂3x3 азл ханаз2 *z назз'хз вег 613 622 623 633 L>nur wenn: Anzahl der Spallen der linken. Matrix gleich Anzahl · der Zeiten der rechten Matrix ist.. Übergangsmatrizen und Prozessdiagramme -Prozess, bei dem in festen Zeitabständen nur einer von unendlich vielen Zuständen angenommen werden kann -erfolgen alle Zustandswechsel von einem zum nächsten Beobachtungs- zeitpunkt zufällig und mit konstanten Übergangs wahrscheinlichkeiten, so heißt: → die Matrix A mit den Übergangswahrscheinlichkeiten - Übergangsmatrix → cas Diagramm mit den eingetragenen Wahrscheinlichheilen = Prozessdiagramm ´I> mit den beiden können Austauschprozesse oder stuchastische Prozesse be- schrieben werden -das Element air der Übergangsmatrix A gibt: -> bei Austauschprozessen den Anteil der beobachteten Objekte an, die vom Zustand zu in den Zustand Z₁ wechseln -bei stochastischen Prozessen die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das System vom Zustand zu in den Zustand zi übergeht Stochastische Matrizen -Zustandsverteilungen werden als Zustandsvektoren, zusammengefasst. ↳ Berechnungsvorschrift für die Folgeverteilung Vat1 einer gegebenen zustandsverteilung v² wird mithille Chergangsmatrix. Vclargestell als V₁₁² = U₁V₁²³ -die Mahix A ist eine stochastische Matrix, wenn: ->sie quadratisch ist -> sie nur nicht negative Matrixelemente enthält in jeder Spalte die Summe der Elemente 1 leträgt L> Matrix mit diesen Eigenschaften hehnt main stochastische Maha Bsp: zu Prozessdiagramm die Übergangsmatix angeben: von: Z₁ nackiza 0,7 73 22 92 22 0,1 0,4 0,2 014 ZZ 0,4 L>Übertragen der Übergangs wahrscheinlich leich 0,7 6,2 013 014 0,4 0₁6 => 3×3 >> quadralisch 0,1 0,3 0,6 0,2 670 of 0₂2 0,1 A alle Mahi elemente größer als O ->addnot man die Matrix eintrage ergilt sich imer der wel 1 • A ist eine stochastische Matrix Zustandsverteilung Multipliziert man einen Vektor Vi, der die Zustandsverkilung für einen bestimmten Beobachtungszeitpunkt angist, mit der Übergangs- matrix A, so erhält man den Vektor Vi+1 der Zustandsverteilung für den nächsten Beobachtungszeitpunkt Vita A.V; Der Vehtor. V. gibt die Anfangs- oder Startverteilung an Enthält die stochastische Übergangsmatrix A oder eine ihrer Polenzen A. nur echt positive Elemente, dann stabilisiert sich die Verteilung bei fortgesetzter Multiplikation mit der Übergangsmatrix A und es stellt sich auf lange Sicht gesehen eine stabile Grenzverteilung ein. Die Polenzen Ar der Übergangsmatrix nähern sich in dem Fall einer Grenzmakih 6an und es gilt G. V6 = V. Bsp: A = ( 8 / 71 0,2 6,4 6,6 1 => 1. Verteilung₂ berechnen für den nächsten Beobachtungszeitpunkt u die Anfangswelkiling To V₂ = A √² = ( 372 641 642). (2008). (490) 0,2 0, quo 0,2 94 0161 820 7 0,2 V₁3 L₂ V₂ = 900 400 800. 1150 950 A-J²2 =²₁²=> Gleichungssystem: x= 1150; y=0 z=950 906 400 800/ 11. lang fristige Zustandsverkilng unter Angabe der Grenzmatix 6 ermitteln: A 4ª ≈ A 50 x 6x (0212 93159 0,3158 6,421 0,2632 0,2632 0,4211 0,4211) langfristige Zustandsverteilung: V²= Gv₂ = (!!!) -V² = Fixvehtor -existieren eine stabile Grenzverteilung und damit ein Fixvektor, erfüllt dieser die Gleichung AV = V -ein Fixvektor, bei dem die Summe der Koordinaten 1 ergibt, beschreibt die langfristige prozentuale Verteilung Zustände in denen ein Prozess nach dem erreichen verhart, heißen absortierende Zustände. Im Prozessdiagramm besihen cliese Endzustände die Durchlaufwahrscheinlichkeit 1. Bsp: Übergangswahrscheinlichkeiten ergänzen; Übergangsmatrix angeben; begründen, dass absorbierender Prozess vorligt. Summen der Wahrscheinlichkeiten sind 0₁ 1, ca es ein stochastischer Prozess ist 0,2 +0₁ 3+w₁ = 1 W₂ +0,1 = 1 1 Prozesse mit absorbierenden Zuständen W3 = (=> 0₁ = 0,5 иг-да V₂ = A·³₁ = (012) V₂ = A=v₂ = (01/04/16) 6,791 W2 0,3 Wi 0,2 Übergangsmatrix: A = (01/1/3 099) 0,1 ->es liegt ein absorbierender Prozess vor, Erreichen nicht mehr verlassen werden kann. da der Zustand 23 nach Anfangsverteilung beschrieben durch den Vehlor to: V₁ = A + 20 = (01/1²/2 0,3 0,1 11. Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Prozess nah 3 Schrillen im absorbierenden Zustand befindet. دلیا --> mit einer Wahrscheinlichkeit von 79, 170 befindet man sich nach 3 Schillenim absorbierenden Zustand.