Alternativer Bildtext:

Werte -1,0 oder 4 annehmen Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewinn X P(X=x) - 1 g 16 ↓ P(rr) Erwartungswert von X: E(X)= (-1). 9 16 O 6 16 +0. // Prb+P(br) 3 ala ala P(86) = 1 1/2 = 16 4 습 E (X) = -0,31 -> Auf lange Sicht durchschnittlich zu erwartende Gewinn pro Spiel -0,31 Cent = -0,81 Bedingte Wahrscheinlichkeit- stochastische Unabhängigkeit P(An B) P(A) A und B sind stochastisch unabhängig wenn: P₁ (B)=P(B) / P(ANB) = P(A). PCB) "Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung das A eingetreten ist" = PA (B) = 2 Bernoulli- Experiment Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli- Experiment, wenn es genau zwei Ergebnisse hat, die 1. voneinander unabhängig sind und deren 2. Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert Anzahl der Durchführungen = Länge n Bernoulli- Formel P (X=K) = (^) · p².(^-p) ^-k Bn;p (k) (2) Anzahl der Pfade mit r Treffern: Binomialkoeffizient ( "n über k" ) : (^~^) = K !! n! k!·(n-k)! Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(x≤k) = P(x=0) + P(X»^) + ... + P(X=k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit WTR-Befehl 2nd Distr S. Binomialcdf SINGIE 1. Höchstens 7 Tretler mp P(x≤7) 2. Weniger als & Treffer noP (X<7) = P(x≤6) 7 8. mind. 7 Trefter ~P(X= 7) = 1-P(x≤6) 4. mehr als 7 Tretter ~P(x >7) = 1-P(X≤7) > 5. mind. 4 & weniger als 7 mo P(4≤x≤7) = 1- P(x≤3) + P(x≤6) 3 Erwartungswert und Histogramm Eine B -verteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert μ=n·p =√√₁·p(1-P) und die Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen. Wenn ganzzahlig ist, dann ist dich höchste Säule bei k= M Wenn nicht ganzzahlig ist, dann ist die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer, desto breiter das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X kann man grafisch in einem Histogramm Bestimmung Parameter n: Wie oft muss man mit einem Würfel würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln X: Anzahl Würfe mit Augenzahl 6 X ist binomialverteilt mit p= 1/6, n ist gesucht Jetzt Problemlösen mit der Binomialverteilung P(X22) ≤0,9 1- P(x≤1) =0,g - P(x ≤ 1) = -0,1 P(x≤1) ≤0₁1 berechnen mit TR : P(x = 2) = 1- P(x≤1) |-1 1.(-1) n=20. P(x≤1) ≈ 0, 1804 nəza: P(x≤1) ≈ 0,1130 n=22: PCX ≤1) ≈ 0,0978 -12 ungleichneitszeichen umdrehen PCX ≤1) für verschiedene Werten von n A: Man muss mind azmal würfeln um mit einer Wkt von mind. 80%. amal eine 6 zu würfeln J Bestimmung Parameter P: Ein Hersteller von Schokolinsen verkauft diese in Packungen mit je 124 Stück. Wie hoch muss der Anteil der grünen Schokolinsen sein, damit in einer Packung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne sind? X: Anzahl an grünen Schokolinsen X ist binomialverteilt mit n= 124, p= gesucht P(x230) 2018 1- P(x≤ 29 ) ≥ 0,8 1-1 - P(x=2g) = -0₁2 1.(-1) P ( X = 29) ≤ 0₁2 Im T2 verschiedene Werten X: Anzahl an richtigen Antworten X ist binomialverteilt mit p= 1/4 und n= 10 P(X=k) ≤0,08 P(X²80) = 1-P(x≤29) Bestimmung Parameter k: Ein Kandidat muss in einer Quizshow 10 Fragen hintereinander beantworten. Zu jeder Frage gibt es vier Antwort Möglichkeiten. Der Fernsehsender will, dass die Chance, dass jemand nur durch raten den Hauptpreis gewinnt, höchstens 5% beträgt. Bestimme die Mindestzahl an richtigen Antworten, die für das Gewinnen des Hauptpreises verlangt werden muss. mit 1- P(X²k-1) ≤0,05 1-1 - P(x≤k-1) ≤ -0,85 1·2·1) P(X²k-1) 20,85 те k=1=5 k = 6 |+1 von verschiedene e P(X= k) = 1- P(x≤K-1) Werte für k- berechnen a Normalverteilung - binomialverteilte Zufallsgröße nimmt nur endliche Werte an = diskrete Zufallsgröße - stetige Zufallsgrößen können jede reelle Zahl als Wert annehmen. Wird mithilfe von Integralen berechnet Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit Erwartungs wert M und Standardabweichung o. Die wahrscheinlichkeit, doss x certe zwischen 0 und 6 annimmt, beträgt Pla≤x≤ b) = (44₁0 (x)dx. Die Zugehörige Gauß'sche Glockenkurve hat einen Hochpunkt bei ₁₂₁=1 und Wendepunkte bei *213 MIO Bei einer nommelverteilten zufallsgröße beträgt die Wict., dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwart- ungswert abcueiche, etwa 628% P(μ-0≤x≤N+O) = yto Quio Colar 201603 M-O Alle einzelnen Ereignisse haben die Wkt. =0 Normalverteilte Zufallsgröße bestimmen normal calf Wiect, des Brötchen zw. 52 & 64g wiegt P(52≤x≤54) Bsp: P(x≤52) Höchstens 52g szg Mind.52 P(x282) 8 untere Grenze -Pobere Grenze 1000 Glockenicurve skizzieren: normal pdf