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Stochastik Mündliches Abi

12.1.2022

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Pfadregeln und Erwartungswert
Baumdiagramm:
3
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flav
besitzt
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Pfadregeln:
Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä
Pfadregeln und Erwartungswert
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Pfadregeln:
Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä
Pfadregeln und Erwartungswert
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Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä
Pfadregeln und Erwartungswert
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Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä
Pfadregeln und Erwartungswert
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Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä
Pfadregeln und Erwartungswert
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Pfadregeln:
Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä

Pfadregeln und Erwartungswert Baumdiagramm: 3 = 16 flav besitzt TIJ Pfadregeln: Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert Zum Beispiel: Wahrscheinlichkeit für rot bei der ersten und blau bei der zweiten Drehung: P (rb)= 3/4 = 18,75% ۲۱۲ Summenregel- die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten der E gehörenden Ergebnisse addiert. Zum Beispiel: mindestens einmal blau P (E)= P(rb)+p(br)+P(bb)= + (6) राज 3 7 16 16 16 16 Ergebnis: z.B. "blau" bei der ersten & „rot" bei der zweiten Drehung; kurz: br Ergebnismenge: z.B. S= {rr; rb; br; bb} + Zufallsexperiment: Ein Versuch, der unter best. Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang = 43,75% Ereignis: zum Beispiel "mindestens einmal blau" oder E= {rb; br; bb} Gegenereignis: zum Beispiel E: "nie blau" P (E) = = 1 - P(E) = 1 - 7 = 256,25%. Für eine Zufallsgröße X, die die Werte X₁, X.. annehmen kann, definiert man den Erwartungswert von X durch E (X)x₁· P ( X = x ₁ ) + x₂ · P(x=x₂)+ xn-P(x= xn) E (X) gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn O ist. 1 Beispiel: - Einsatz: ein Euro, Rad wird zweimal gedreht genau einmal blau: man erhält seinen Einsatz zurück zweimal blau: man erhält fünf Euro - kein blau: man...

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erhält nichts Zufallsgröße: X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro, X kann die Werte -1,0 oder 4 annehmen Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewinn X P(X=x) O 4 JH 6 16 16 - 1 g 16 1 P(rr) Erwartungswert von X: Į P(rbl + P(br) 16 틋 -> P(86) = 1 · 1 = A ५ E(X)= (-1) + E (X) = -0,₁31 Auf lange Sicht durchschnittlich zu erwartende Gewinn pro Spiel -0,31 Cent ·0,81 Bedingte Wahrscheinlichkeit- stochastische Unabhängigkeit "Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung das A eingetreten ist" = PA(B)= P(An B) P(A) A und B sind stochastisch unabhängig wenn: P₁ (B) = PCB) / P(ANB) = P(A) · PCB) Bernoulli- Experiment Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli- Experiment, wenn es genau zwei Ergebnisse hat, die 1. voneinander unabhängig sind und deren 2. Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert Anzahl der Durchführungen = Länge n Bernoulli- Formel P(X=K) = (^) .pk .(^-p) ^-k (2) Anzahl der Pfade mit r Treffern: Binomialkoeffizient ( "n über k" ) (1^2) = K²² (1) k!·(n-k)1 WTR-Befehl Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(x≤k) = P(x=0) + P(X»^) + ... + P(X= k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit 2nd Distr 2. S. Binomialcdf 1. Höchstens 7 Tretler mo PCX≤7) Bn; p! p(K) SINGIE weniger als 7 Treffer mop (X<7)=P(X≤6) 8. mind. 7 Treffer ~₂P (X= 7) = 1- P(x≤6) 4. mehr als 7 Tretter ~PP (x >7) = 1-P(X≤7) 5. mind. 4 & weniger als 7 mo P(4≤ x < 7) = 1- P(x≤3) + P(x≤6) Erwartungswert und Histogramm -verteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert u=n·P Eine B und die Standardabweichung - Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X kann man grafisch in einem Histogramm darstellen. Wenn ganzzahlig ist, dann ist dich höchste Säule bei k= μ Wenn M nicht ganzzahlig ist, dann ist die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer, desto breiter das Histogramm P Bestimmung Parameter n: Wie oft muss man mit einem Würfel würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln Jetzt Problemlösen mit der Binomialverteilung X: Anzahl Würfe mit Augenzahl 6 X ist binomialverteilt mit p= 1/6, n ist gesucht P(X22) ≤0,9 1- P(x≤1) = 0,g - P(x≤ 1) = -0,1 P(x≤1) ≤0₁1 mit TR berechnen PCX = 2) = 1- P(x≤1) |-^ 1.(-1) -12 ungleichneitszeichen umdrehen PCX ≤1) für verschiedene n=zo: P(x≤1) ≈ 0, 1804 n=2₁: P(x≤1) ≈ 0,1180 n=22: PCX ≤ 1) = 0,0978 Werten von mind 22mal A: Man muss würfeln um mit einer Wkt von mind. 80%. Zmal eine 6 zu würfeln Bestimmung Parameter P: Ein Hersteller von Schokolinsen verkauft diese in Packungen mit je 124 Stück. Wie hoch muss der Anteil der grünen Schokolinsen sein, damit in einer Packung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne sind? X: Anzahl an grünen Schokolinsen X ist binomialverteilt mit n= 124, p= gesucht P(X230) ²0₁8 1-PCX≤ 29) 20₁8 1-1 - P(x≤2g) = -0₁2 1·(1) P ( X = 29) ≤ 0₁2 Im TR verschiedene Werten P(X=80) = 1- P(x≤29) Bestimmung Parameter k: Ein Kandidat muss in einer Quizshow 10 Fragen hintereinander beantworten. Zu jeder Frage gibt es vier Antwort Möglichkeiten. Der Fernsehsender will, dass die Chance, dass jemand nur durch raten den Hauptpreis gewinnt, höchstens 5% beträgt. Bestimme die Mindestzahl an richtigen Antworten, die für das Gewinnen des Hauptpreises verlangt werden muss. X: Anzahl an richtigen Antworten X ist binomialverteilt mit p= 1/4 und n=10 P(X=k) ≤0,05 1- P(X²k-1) = 0,105 1-1 - P(x≤k-1) ≤-0,85 1.(.1) P(X²k-1) = 0,95 те mit k=1=5 |+1 k = 6 von verschiedene P(X= k) = 1- P(x≤K-1) Werte für K-1 berechnen d Normalverteilung - binomialverteilte Zufallsgröße nimmt nur endliche Werte an = diskrete Zufallsgröße - stetige Zufallsgrößen können jede reelle Zahl als Wert annehmen. Wird mithilfe von Integralen berechnet Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit Erwartungs wert u und Standardabweichung o. Die Wahrscheinlichkeit, dass x certe scischen a und 6 b annimmt, beträgt Pla≤x≤b) - $44,₁0 Glox. (+) Die Zugehörige Gauß'sche Glockenkurve hat einen Hochpunkt bei X₁₂=1 und Wendepunkte bei X2₁8 >MIO Bei einer normalverteilten zufallsgröße beträgt die Wict., dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwart- ungswert abcueiche, etwa 628% M+0 P(μ-0≤x≤N+O) = 5 440 4xldr = 01633 M-O Alle einzelnen Ereignisse haben die Wkt. =0 Normalverteilte Zufallsgröße bestimmen normal cdf Wict, des Brötchen zw. 52 & sug wiegt P(52≤x≤54) Bsp: Höchstens szg P(x≤52) + untere Grenze -1000 Mind. 52 PCX282) -Pobere Grenze Glockenicurue skizzieren: normal pdf