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Stochastik und beurteilende Statistik

4.11.2021

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Mathematik
eA
Semester 2
- Stochastik - Inhaltsverzeichnis
Wahrscheinlichkeitsrechnung..
Vierfeldertafel..
Bedingte Wahrscheinlichkeit..
Wah
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Mathematik eA Semester 2 - Stochastik - Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung.. Vierfeldertafel.. Bedingte Wahrscheinlichkeit.. Wahrscheinlichkeitsverteilungen... Zufallsgröße. Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung. Erwartungswert einer Binomialverteilung.. Standardabweichung einer Binomialverteilung. Sigma-Regeln.. Beurteilende Statistik.. Prognose- und Konfidenzintervalle.. Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen... Normalverteilung... 3 .3 3445w w w w .3 3 .3 .5 .6 .6 677 Wahrscheinlichkeitsrechnung Vierfeldertafel A nicht A gesamt B P(ANB) P(nAnB) P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit - in einem Baumdiagramm: P(A) nicht B P(AnnB) P(nAnnB) P(nB) gesamt P(A) P(NA) 1 PA(B) P(ANB) - die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist, ist: PA(B)= P(An B) P(A) - will man die Wahrscheinlichkeit für PB(A), kann man das Baumdiagramm umkehren oder man verwendet den Satz von Beyes: PB(A)= (P(A)* PB(A)) P(A)*PA (B)+P(NA)* PA (B) Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(X=k) zu - die Summe aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist 1 Zufallsgröße - Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl k zu - die Zufallsgröße wird mit X, Y oder Z bezeichnet Erwartungswert einer Zufallsgröße - der Erwartungswert einer Zufallsversuches ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintreffen des Ereignisses und der Anzahl der Versuche k - wenn X die Werte a₁, a2,..., am annimmt mit P(X=a1.2,...,m) ist der Erwartungswert: - E(X)=μ= a₁*P(X=a₁)+a₂*P(X=a₂)+am*P(X=am) - gibt der Erwartungswert E(X) den Nettogewinn des Spielers wieder und ist der Erwartungswert 0, so handelt es sich um ein faires Spiel, da der Spieler langfristig weder Gewinn noch Verlust macht Standardabweichung und Varianz einer Zufallsgröße - wenn eine Zufallsgröße die Werte a₁, a2,..., am annimmt mit P(X=a₁,2,...,m) ist die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung: · σ=√(a₁-µ)²·P(X=a₁1)+(a₂-µ)²· P(X=a₂)+...+(am-μ)². P(X=am) - die Varianz einer...

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Standardabweichung ist V(X)= 0² Binomialkoeffizient - Für n verschiedene Dinge gibt es n! Möglichkeiten, diese auf n Plätzen anzuordnen - man schreibt: n!= n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 - →n Fakultät - wählt man aus n verschiedenen Dingen k auswählt, ohne n! Berücksichtigung der Reihenfolge so schreibt man: k!(n-k)! kürzer: das nennt man Binomialkoeffizient oder Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung - Kriterien für ein Bernoulli-Experiment: - es gibt zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg und Misserfolg) - die Wahrscheinlichkeit p ist für einen Erfolg bei jedem Einzelexperiment gleich groß - die Wiederholungen der Einzelexperimente sind voneinander unabhängig - es gibt eine feste Anzahl an Wiederholungen - treffen diese Kriterien zu, handelt es sich um eine n-stufige Bernoulli-Kette - bei Stichproben: - ist das Verhältnis von Gesamtheit zu Umfang der Stichprobe sehr groß, so kann man die Wahrscheinlichkeiten als binomialverteilt berechnen Formel von Bernoulli - P(X=k)= (1) * pk * (1-p)¹*, mit k= 0,1,2,3,...,n - eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit allen Wahrscheinlichkeiten für k wird als Binomialverteilung bezeichnet Kumulierte Binomialverteilung - für eine n-stufige Bernoullikette mit X: Anzahl der Erfolge, heißt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X≤k) mit 0≤k≤n kumulierte Binomialverteilung - kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen (P(X≤k) im GTR: bcd(k,n,p)) Ereignis gesuchte Wahrscheinlichkeit Höchstens k Erfolge P(XSK) Weniger als k Erfolge P(X<k) = P(X≤k-1) Mehr als k Erfolge P(X>k) = 1- P(Xsk) Mindestens k Erfolge P(X≥k) = 1- P(X<k-1) Mindestens a und höchstens b Erfolge P(a≤x≤b) = P(X≤b) - P(X≤a-1) Auslastungsmodell - es wird eine Unabhängigkeit der agierenden Personen und Maschinen vorausgesetzt - der Zeitraum wird in Zeitintervalle (f) unterteilt (Nutzung pro Stunde für 2 Minuten) - p= Maschine wird benutzt =(1/f), bspw. 2/60 1/30 - n= Anzahl der Vorgänge - X: Anzahl der Erfolge Mindestanzahl an Versuchen für einen Erfolg - P(X≥1) ≥ M = P(X=0) > M - P(X≥1) ≥ M = 1-p" > M - algebraisch: log₁-p (M), n2 Ergebnis Erwartungswert einer Binomialverteilung - μ=E(X)= n*p Standardabweichung einer Binomialverteilung - o=√n*p*(1-P) Sigma-Regeln - LaPlace-Bedingung ist erfüllt wenn: o>3 - symmetrisches Intervall um - 90%-Intervall: 1,64 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 90% in dem Intervall) - 95%-Intervall: 1,96 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 95% in dem Intervall) - 99%-Intervall: 2,58 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 99% in dem Intervall) - 68%-Intervall: o-Umgebung - 95,5%-Intervall: 2 σ- Umgebung - 99,7%-Intervall: 3 o-Umgebung - Berechnung: [μ- z*o; μ+ z*o] - dann: Rundung des Intervalls auf ganze Zahlen (nach innen (a und b) und nach außen (x und y)) - dann: 1.) P(a≤x≤b) und 2.) P(x≤x≤y) → wann ist es im gesuchten %igen-Intervall Beurteilende Statistik Prognose- und Konfidenzintervalle Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe - wenn LaPlace-Bedingung erfüllt ist, benutzt man die 90%, 95% und 99% Prognoseintervalle (siehe Sigma-Regeln) signifikante Abweichung: Stichprobenergebnis nicht verträglich mit 95%- Intervall - - hochsignifikante Abweichung: Stichprobenergebnis nicht verträglich mit 99%-Intervall Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit - 95%-Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) 1,96 o-Umgebung die Anteile p liegen im Intervall [pmin; Pmax] - Berechnung: X: Stichprobenergebnis; n: Umfang der Stichprobe - n*p-1,96 σ=X liefert das Ergebnis für Pmax - n*p+1,96 σ=X liefert das Ergebnis für Pmin - bei relativen Häufigkeiten: n= 1/n und X= X/n (vgl. mit absoluten) Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs Bestimmung des Anteils p einer Gesamtheit - der Anteil in der Stichprobe soll um maximal d von p abweichen - 1.) p ist unbekannt, dann: n² - 2.) für p liegt eine Schätzung vor, dann: n² Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen - diskrete Zufallsgröße: Zufallsgröße nimmt nur bestimmte Werte (X=0,1,2,3,...) an - dabei gilt für alle reellen Zahlen x: f(x)20 · Ĵf(x)dx=1 - stetige Zufallsgröße: Zufallsgröße kann jeden Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen - es gilt: P(a≤x≤b) = - der Flächeninhalt des Intervalls gibt die Wahrscheinlichkeit dessen an Normalverteilung Dichtefunktion der Normalverteilung 1 σ*√2л - 2 1,96 d b f f(x) dx *0,25 b - P(X<b) = ( - 2 + (x-μ4) ² - Φμίσ= - alle Werte sind positiv - μ ist das Maximum, die Wendepunkte und die Funktion sind Achsensymmetrisch zur Achse durch das Maximum, bei µ-o und µ+o Ĵμ:0 (x) dx=1 -*e (1,96 ) *p*(1-p) d a - P(a≤x≤b) = ₁:0 (x) dx Dichtefunktion einer Normalverteilung - die zugehörige Integralfunktion (Verteilungsfunktion) ist: μ0(X)= ₁:0 (t)dt = Φμα(b) Bestimmen der Kenngrößen bei Normalverteilungen - bei p: Erwartungswert μ: Extremstelle (Maximum) - Wendestellen bei: µ-o und μ+o - bei : - Standardabweichung bestimmen: μ und P(X<...)=k gegeben, dann: normCdf(-10⁹⁹, ..., μ, x), dann: x-cal, y=k, 40 - Erwartungswert bestimmten: o und P(X<...)=k gegeben, dann: normCdf(-10⁹⁹9, ..., x, o), dann: x-cal, y=k, -0 - bei: P(X<a) + P(X>b) → 1- P(a<X<b) · → 1- normCdf(a,b,σ, µ) Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung - wenn die LaPlace-Bedingung erfüllt ist, also o>3, dann kann man eine Normalverteilung an eine Binomialverteilung annähern: - lokale Näherungsformel: P(X=k)= (1) * p** (1-P)¹*≈ Qµ:0 (k), im GTR: normPdf(k,o, μ) k b+0,5 - integrale Näherungsformel: P(a≤x≤b) = ₁;o(t)dt = μ;o(b+0,5) - :o(a-0,5), im GTR: normCdf(a-0,5,b+0,5,0, μ) a-0,5