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•
13. Feb. 2026
•
Lennart
@lennartgrlk
Willkommen zur Stochastik, einem spannenden Teilgebiet der Mathematik, das sich... Mehr anzeigen
Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Im Baumdiagramm werden bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Ästen dargestellt: P(A) → P<sub>A</sub>(B) → P(A∩B). Willst du die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P<sub>B</sub>(A) berechnen, kannst du entweder das Baumdiagramm umkehren oder den Satz von Bayes anwenden.
Die Vierfeldertafel ist ein weiteres Hilfsmittel zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Sie zeigt die Schnittmengen von Ereignissen und deren Gegenereignissen übersichtlich in einer Tabelle.
💡 Merke: Bei Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit hilft es, zuerst die Informationen in ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel einzutragen, um die Zusammenhänge klar zu sehen.
Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der Wert, den die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Er berechnet sich als: E(X) = a₁·P + a₂·P + ... + a<sub>m</sub>·P(X=a<sub>m</sub>). Bei Glücksspielen spricht man von einem "fairen Spiel", wenn der Erwartungswert 0 ist.
Die Standardabweichung σ gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Sie wird berechnet als: σ = √(²·P + ... + (a<sub>m</sub>-μ)²·P(X=a<sub>m</sub>)). Das Quadrat der Standardabweichung nennt man Varianz V(X) = σ².
🧮 Praxistipp: Bei Aufgaben zum Erwartungswert hilft es, eine Tabelle mit allen möglichen Werten der Zufallsgröße und ihren Wahrscheinlichkeiten zu erstellen.
Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt , die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich ist, die Versuche unabhängig voneinander sind und eine feste Anzahl n an Wiederholungen durchgeführt wird.
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen: P = · p^k · ^. Dabei ist der Binomialkoeffizient (n über k), der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Objekte aus n verschiedenen auszuwählen.
Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt μ = n·p und die Standardabweichung σ = √. Mit der kumulierten Binomialverteilung P(X≤k) lassen sich Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen (im Taschenrechner mit bcd(k,n,p)).
📊 Klausurtipp: Für Aufgaben mit "höchstens", "mindestens", "mehr als" oder "weniger als" nutze die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten. "Mindestens k Erfolge" bedeutet P(X≥k) = 1-P.
Die Sigma-Regeln sind wichtige Faustregeln für Wahrscheinlichkeitsintervalle um den Erwartungswert μ. In der 1-Sigma-Regel liegen etwa 68% aller Werte im Intervall [μ-σ; μ+σ]. Die 2-Sigma-Regel umfasst ca. 95,5% aller Werte im Intervall [μ-2σ; μ+2σ], die 3-Sigma-Regel sogar 99,7%.
Für Prüfungen relevant sind auch die präziseren Intervalle:
Die LaPlace-Bedingung (σ>3) bestimmt, ob eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann. Ist sie erfüllt, kann die Normalverteilung als Näherung verwendet werden, was Berechnungen bei großen n deutlich vereinfacht.
🔍 Wichtig für die Klausur: Bei Aufgaben mit den Sigma-Regeln musst du oft zwischen "signifikanten Abweichungen" und "hochsignifikanten Abweichungen" unterscheiden.
In der beurteilenden Statistik schließt man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit oder umgekehrt. Mit Prognoseintervallen bestimmst du, in welchem Bereich eine Stichprobe bei bekannter Grundgesamtheit liegen sollte (Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe).
Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p der Grundgesamtheit mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt, basierend auf einer Stichprobe (Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit). Es wird berechnet als .
Für die Wahl des Stichprobenumfangs gilt: Wenn der Anteil p unbekannt ist, wähle n ≥ (1,96)²·0,25/d². Falls für p eine Schätzung vorliegt, nutze n ≥ (1,96)²·p·/d², wobei d die maximal zulässige Abweichung ist.
📏 Praxistipp: Bei Aufgaben zur Stichprobengröße musst du oft entscheiden, ob du die Formel mit oder ohne Schätzwert für p verwendest. Ohne Schätzwert nutze den ungünstigsten Fall p=0,5, der zur größtmöglichen Stichprobe führt.
Bei stetigen Zufallsgrößen kann X jeden Wert in einem bestimmten Intervall annehmen (im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen). Die Dichtefunktion f(x) beschreibt die Verteilung der Werte, wobei der Flächeninhalt unter der Kurve die Wahrscheinlichkeit P(a≤X≤b) = ∫ₐᵇ f(x)dx angibt.
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung mit der Dichtefunktion Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π))) · e^. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um μ, mit Wendepunkten bei μ-σ und μ+σ.
Bei Aufgaben musst du oft die Kenngrößen der Normalverteilung bestimmen:
📈 Klausurtipp: Bei der Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung musst du die Stetigkeitskorrektur beachten. Für P(a≤X≤b) berechnest du normCdf im Taschenrechner.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Thomas R
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Lennart
@lennartgrlk
Willkommen zur Stochastik, einem spannenden Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Wahrscheinlichkeiten und Zufallsprozessen beschäftigt. Diese Zusammenfassung hilft dir, die wichtigsten Konzepte für das Abitur zu verstehen und anzuwenden.
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Im Baumdiagramm werden bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Ästen dargestellt: P(A) → P<sub>A</sub>(B) → P(A∩B). Willst du die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P<sub>B</sub>(A) berechnen, kannst du entweder das Baumdiagramm umkehren oder den Satz von Bayes anwenden.
Die Vierfeldertafel ist ein weiteres Hilfsmittel zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Sie zeigt die Schnittmengen von Ereignissen und deren Gegenereignissen übersichtlich in einer Tabelle.
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Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der Wert, den die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Er berechnet sich als: E(X) = a₁·P + a₂·P + ... + a<sub>m</sub>·P(X=a<sub>m</sub>). Bei Glücksspielen spricht man von einem "fairen Spiel", wenn der Erwartungswert 0 ist.
Die Standardabweichung σ gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Sie wird berechnet als: σ = √(²·P + ... + (a<sub>m</sub>-μ)²·P(X=a<sub>m</sub>)). Das Quadrat der Standardabweichung nennt man Varianz V(X) = σ².
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Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt , die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich ist, die Versuche unabhängig voneinander sind und eine feste Anzahl n an Wiederholungen durchgeführt wird.
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen: P = · p^k · ^. Dabei ist der Binomialkoeffizient (n über k), der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Objekte aus n verschiedenen auszuwählen.
Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt μ = n·p und die Standardabweichung σ = √. Mit der kumulierten Binomialverteilung P(X≤k) lassen sich Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen (im Taschenrechner mit bcd(k,n,p)).
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Die Sigma-Regeln sind wichtige Faustregeln für Wahrscheinlichkeitsintervalle um den Erwartungswert μ. In der 1-Sigma-Regel liegen etwa 68% aller Werte im Intervall [μ-σ; μ+σ]. Die 2-Sigma-Regel umfasst ca. 95,5% aller Werte im Intervall [μ-2σ; μ+2σ], die 3-Sigma-Regel sogar 99,7%.
Für Prüfungen relevant sind auch die präziseren Intervalle:
Die LaPlace-Bedingung (σ>3) bestimmt, ob eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann. Ist sie erfüllt, kann die Normalverteilung als Näherung verwendet werden, was Berechnungen bei großen n deutlich vereinfacht.
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In der beurteilenden Statistik schließt man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit oder umgekehrt. Mit Prognoseintervallen bestimmst du, in welchem Bereich eine Stichprobe bei bekannter Grundgesamtheit liegen sollte (Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe).
Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p der Grundgesamtheit mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt, basierend auf einer Stichprobe (Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit). Es wird berechnet als .
Für die Wahl des Stichprobenumfangs gilt: Wenn der Anteil p unbekannt ist, wähle n ≥ (1,96)²·0,25/d². Falls für p eine Schätzung vorliegt, nutze n ≥ (1,96)²·p·/d², wobei d die maximal zulässige Abweichung ist.
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Bei stetigen Zufallsgrößen kann X jeden Wert in einem bestimmten Intervall annehmen (im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen). Die Dichtefunktion f(x) beschreibt die Verteilung der Werte, wobei der Flächeninhalt unter der Kurve die Wahrscheinlichkeit P(a≤X≤b) = ∫ₐᵇ f(x)dx angibt.
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung mit der Dichtefunktion Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π))) · e^. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um μ, mit Wendepunkten bei μ-σ und μ+σ.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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