Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein zentrales Konzept, das beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis B ist, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Mathematisch ausgedrückt: P_A$B$ = P(A∩B)/P(A).

In Baumdiagrammen kannst du diese Zusammenhänge anschaulich darstellen. Du beginnst mit einem Ereignis P(A) und setzt dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten P_A(B) an die Äste, die zum Schnitt P(A∩B) führen.

Bei komplexeren Berechnungen hilft dir der Satz von Bayes, wenn du die Bedingung umkehren möchtest: P_B$A$ = (P(A)·P_A(B))/(P(A)·P_A$B$+P(nA)·P_nA(B)). Du kannst auch eine Vierfeldertafel nutzen, um Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen und Berechnungen zu vereinfachen.

💡 Praxistipp: Wenn du Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit löst, zeichne immer zuerst ein Baumdiagramm! Das hilft dir, die Struktur zu erkennen und Fehler zu vermeiden.

Zufallsgrößen und Erwartungswerte

Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Sie hilft dir, zufällige Vorgänge mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder mögliche Wert auftritt. Wichtig ist: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss immer 1 ergeben.

Der Erwartungswert μ = E$X$ gibt den Mittelwert an, den du bei vielen Wiederholungen des Experiments erwarten kannst. Du berechnest ihn mit der Formel E$X$ = a₁·P$X=a₁$ + a₂·P$X=a₂$ + ... + aₘ·P$X=aₘ$. Bei Spielen zeigt der Erwartungswert, ob sie "fair" sind $E(X$=0) oder ob du langfristig Gewinn oder Verlust machen wirst.

🧮 Merke: Die Standardabweichung σ und die Varianz σ² sind Maße für die Streuung der Werte um den Erwartungswert. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die möglichen Ergebnisse.

Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen $"Erfolg" mit Wahrscheinlichkeit p oder "Misserfolg" mit Wahrscheinlichkeit 1-p$. Wenn mehrere unabhängige Bernoulli-Versuche mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit durchgeführt werden, spricht man von einer Bernoulli-Kette.

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen. Die Formel von Bernoulli lautet: P$X=k$ = $\binom{n}{k}$ · p^k · $1-p$^$n-k$. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ = n!/$k!(n-k$!) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Erfolge auf n Positionen zu verteilen.

Bei der kumulierten Binomialverteilung berechnest du die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse wie "höchstens k Erfolge" $P(X≤k$) oder "mindestens k Erfolge" $P(X≥k$ = 1-P$X≤k-1$). Für größere Stichproben kannst du im Taschenrechner die Funktion bcd(k,n,p) verwenden.

🔍 Tipp für die Praxis: Bei Aufgaben zur Binomialverteilung achte genau auf die Formulierung! "Höchstens", "mindestens", "mehr als" und "weniger als" führen zu unterschiedlichen Berechnungen. Nutze die Tabelle aus deinen Notizen als Nachschlagewerk.

Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich erstaunlich einfach: μ = E$X$ = n·p. Das heißt, bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p erwartest du durchschnittlich n·p Erfolge.

Die Standardabweichung einer Binomialverteilung wird mit der Formel σ = √$n·p·(1-p$) berechnet. Sie gibt an, wie stark die tatsächlichen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können. Je größer die Standardabweichung, desto breiter streuen die möglichen Werte.

Wenn du wissen willst, wie viele Versuche mindestens nötig sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens M einen Erfolg zu erzielen, kannst du die Formel P$X≥1$ ≥ M umformen. Dies führt zu 1-$1-p$^n ≥ M, und durch Umstellung erhältst du n ≥ log_1-p$1-M$.

💡 Praktische Anwendung: In Auslastungsmodellen nutzt du die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mehrere unabhängige Nutzer gleichzeitig eine Ressource (wie eine Maschine) beanspruchen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p entspricht dabei dem Anteil der Zeit, in dem ein einzelner Nutzer die Ressource verwendet.

Sigma-Regeln und Prognoseintervalle

Die Sigma-Regeln helfen dir, bei binomialverteilten Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsintervalle zu bestimmen. Sie sind besonders nützlich, wenn die LaPlace-Bedingung (σ > 3) erfüllt ist.

Die wichtigsten symmetrischen Intervalle um den Erwartungswert μ sind:

• 68% der Werte liegen im 1-Sigma-Intervall $μ-σ; μ+σ$
• 95,5% der Werte liegen im 2-Sigma-Intervall $μ-2σ; μ+2σ$
• 99,7% der Werte liegen im 3-Sigma-Intervall $μ-3σ; μ+3σ$

Für statistische Tests verwendest du häufig das 95%-Intervall $μ-1,96σ; μ+1,96σ$ oder das 99%-Intervall $μ-2,58σ; μ+2,58σ$. Um das exakte Intervall zu berechnen, verwendest du die Formel $μ-z·σ; μ+z·σ$, wobei z der Wert ist, der dem gewünschten Konfidenzlevel entspricht.

⚠️ Wichtig für Prüfungen: Bei Prognoseintervallen schließt du von der Gesamtheit auf eine Stichprobe. Liegt ein Stichprobenergebnis außerhalb des 95%-Intervalls, spricht man von einer signifikanten Abweichung. Liegt es sogar außerhalb des 99%-Intervalls, handelt es sich um eine hochsignifikante Abweichung.

Konfidenzintervalle und Stichprobenumfang

Bei Konfidenzintervallen schließt du von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Um das Konfidenzintervall zu berechnen, verwendest du die Formeln:

• p_min ergibt sich aus der Gleichung n·p-1,96·σ = X
• p_max ergibt sich aus der Gleichung n·p+1,96·σ = X Dabei ist X das Stichprobenergebnis und n der Umfang der Stichprobe.

Wenn du den notwendigen Stichprobenumfang für eine gewünschte Genauigkeit d bestimmen willst, gibt es zwei Formeln:

1. Wenn p unbekannt ist: n ≥ (1,96)²·0,25/d²
2. Wenn für p eine Schätzung vorliegt: n ≥ $1,96$²·p·$1-p$/d²

💡 Praxistipp: Je kleiner die maximal zulässige Abweichung d sein soll, desto größer muss dein Stichprobenumfang sein. Die Beziehung ist quadratisch - wenn du die Genauigkeit verdoppeln willst, musst du den Stichprobenumfang vervierfachen!

Normalverteilung und stetige Zufallsgrößen

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen, kann eine stetige Zufallsgröße jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch eine Dichtefunktion f(x) beschrieben, für die gilt: f(x) ≥ 0 und ∫_-∞^∞ f$x$dx = 1.

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung. Ihre Dichtefunktion ist die Gaußsche Glockenkurve: Φ_μ,σ$x$ = (1/(σ·√(2π)))·e^{-$1/2$·$(x-μ$/σ)²}. Der Parameter μ gibt den Erwartungswert an (Maximum der Kurve), σ ist die Standardabweichung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt, berechnest du mit dem bestimmten Integral: P$a≤X≤b$ = ∫_a^b Φ_μ,σ(x)dx. Im Taschenrechner verwendest du dafür die Funktion normCdf(a,b,μ,σ).

🧮 Mathematischer Zusammenhang: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei μ-σ und μ+σ. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur Vertikalen durch μ. Diese Eigenschaften helfen dir, die Parameter μ und σ zu bestimmen, wenn du die Kurve analysierst.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Wenn die LaPlace-Bedingung (σ > 3) erfüllt ist, kannst du eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Das spart bei großen Stichproben viel Rechenarbeit!

Für die lokale Näherung einzelner Wahrscheinlichkeiten gilt: P$X=k$ ≈ φ_μ;σ(k). Im Taschenrechner verwendest du die Funktion normPdf(k,μ,σ).

Wichtiger ist die integrale Näherungsformel für Intervalle: P(a≤X≤b) ≈ Φ_μ;σ$b+0,5$ - Φ_μ;σ$a-0,5$. Die Addition/Subtraktion von 0,5 nennt man Stetigkeitskorrektur - sie verbessert die Genauigkeit der Approximation erheblich. Im Taschenrechner verwendest du normCdf$a-0,5,b+0,5,μ,σ$.

Mit dem Taschenrechner kannst du auch die Kenngrößen einer Normalverteilung bestimmen:

• Wenn μ und P$X<a$=k gegeben sind: Berechne σ mit normCdf(-10⁹⁹,a,μ,x) und löse nach x auf
• Wenn σ und P$X<a$=k gegeben sind: Berechne μ mit normCdf(-10⁹⁹,a,x,σ) und löse nach x auf

🔍 Klausurtipp: In Prüfungen musst du oft entscheiden, ob die Normalverteilung zur Approximation geeignet ist. Prüfe immer zuerst die LaPlace-Bedingung: Berechne σ = √$n·p·(1-p$) und prüfe, ob σ > 3 gilt. Erst dann darfst du die Normalverteilung verwenden!