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Stochastik und beurteilende Statistik
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Stochastik und beurteilende Statistik
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Es handelt sich um eine ausführliche Dokumentation das Semesters 12.2 eines Mathe Leistungskurses. Dabei werde bedingte Wahrscheinlichkeiten, Binomial- und Normalverteilungen, Sigma-Regeln und Konfidenzintervalle behandelt. Note der Klausur: 14P.
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Mathematik eA Semester 2 Stochastik - Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung.... Vierfeldertafel..... Bedingte Wahrscheinlichkeit.. Wahrscheinlichkeitsverteilungen.. Zufallsgröße...... Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung. Erwartungswert einer Binomialverteilung... Standardabweichung einer Binomialverteilung.. Sigma-Regeln.......... Beurteilende Statistik...... Prognose- und Konfidenzintervalle.. Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen.. Normalverteilung.... .3 ..3 ..3 ..3 ..3 334556 .4 ..5 ..5 .6 6 677 .6 .7 .7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Vierfeldertafel A nicht A gesamt B P(ANB) P(nAnB) P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit - in einem Baumdiagramm: P(A) nicht B P(AnnB) P(nAnnB) P(nB) gesamt P(A) P(NA) 1 PA(B) P(ANB) - die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist, ist: PÂ(B)= P(An B) P(A) (P(A)*PB(A)) P(A)* PA (B)+P(nA)* PnA (B) - will man die Wahrscheinlichkeit für PÂ(A), kann man das Baumdiagramm umkehren oder man verwendet den Satz von Beyes: PB(A)= Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(X=k) zu - die Summe aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist 1 Zufallsgröße - Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl k zu - die Zufallsgröße wird mit X, Y oder Z bezeichnet Erwartungswert einer Zufallsgröße - der Erwartungswert einer Zufallsversuches ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintreffen des Ereignisses und der Anzahl der Versuche k - wenn X die Werte a₁, A2,..., am annimmt mit P(X=a₁.2,...,m) ist der Erwartungswert: - E(X)=µ= a₁*P(X=a₁)+a₂*P(X=a₂)+am*P(X=am) - gibt der Erwartungswert E(X) den Nettogewinn des Spielers wieder und ist der Erwartungswert 0, so handelt es sich um ein faires Spiel, da der Spieler langfristig weder Gewinn noch Verlust macht Standardabweichung und Varianz einer Zufallsgröße wenn eine Zufallsgröße die Werte a₁, a2,..., am annimmt mit P(X=a₁,2,...,m) ist die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung: - o=√(a₁-μ)²-P(X=a₁)+(a₂-µ)²·P(X=a₂)+...+(am-μ)²-P(X=am) - die Varianz einer Standardabweichung ist V(X)= σ² Binomialkoeffizient - Für n verschiedene...
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Dinge gibt es n! Möglichkeiten, diese auf n Plätzen anzuordnen man schreibt: n!= n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 → n Fakultät - wählt man aus n verschiedenen Dingen k auswählt, ohne n! Berücksichtigung der Reihenfolge so schreibt man: k!(n-k)! kürzer: (1) k - das nennt man Binomialkoeffizient Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung - Kriterien für ein Bernoulli-Experiment: es gibt zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg und Misserfolg) - die Wahrscheinlichkeit p ist für einen Erfolg bei jedem Einzelexperiment gleich groß - die Wiederholungen der Einzelexperimente sind voneinander unabhängig - es gibt eine feste Anzahl an Wiederholungen - treffen diese Kriterien zu, handelt es sich um eine n-stufige Bernoulli-Kette - bei Stichproben: - ist das Verhältnis von Gesamtheit zu Umfang der Stichprobe sehr groß, so kann man die Wahrscheinlichkeiten als binomialverteilt berechnen Formel von Bernoulli - P(X=k)= oder * pk * (1-p)n-k, mit k= 0,1,2,3,...,n - eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit allen Wahrscheinlichkeiten für k wird als Binomialverteilung bezeichnet Kumulierte Binomialverteilung - für eine n-stufige Bernoullikette mit X: Anzahl der Erfolge, heißt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X≤k) mit 0≤k≤n kumulierte Binomialverteilung -kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen ( P(X≤k) im GTR: bcd(k,n,p)) Ereignis Höchstens k Erfolge Weniger als k Erfolge Mehr als k Erfolge gesuchte Wahrscheinlichkeit P(XSK) |P(X<k) = P(X≤k-1) |P(X>k) = 1- P(X≤k) Mindestens k Erfolge P(X≥k) = 1- P(X≤k-1) Mindestens a und höchstens b Erfolge P(a≤X<b) = P(X≤b) - P(X≤a-1) Auslastungsmodell es wird eine Unabhängigkeit der agierenden Personen und Maschinen vorausgesetzt - der Zeitraum wird in Zeitintervalle (f) unterteilt (Nutzung pro Stunde für 2 Minuten) - p= Maschine wird benutzt =(1/f), bspw. 2/60 → 1/30 n= Anzahl der Vorgänge - X: Anzahl der Erfolge Mindestanzahl an Versuchen für einen Erfolg - P(X≥1) ≥ M = P(X=0) ≥ M - P(X≥1) ≥ M = 1-p" > M - algebraisch: log₁-p (M), n≥ Ergebnis Erwartungswert einer Binomialverteilung - μ=E(X)= n*p Standardabweichung einer Binomialverteilung - σ=√n*p*(1-P)
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Mathematik eA Semester 2 Stochastik - Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung.... Vierfeldertafel..... Bedingte Wahrscheinlichkeit.. Wahrscheinlichkeitsverteilungen.. Zufallsgröße...... Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung. Erwartungswert einer Binomialverteilung... Standardabweichung einer Binomialverteilung.. Sigma-Regeln.......... Beurteilende Statistik...... Prognose- und Konfidenzintervalle.. Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen.. Normalverteilung.... .3 ..3 ..3 ..3 ..3 334556 .4 ..5 ..5 .6 6 677 .6 .7 .7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Vierfeldertafel A nicht A gesamt B P(ANB) P(nAnB) P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit - in einem Baumdiagramm: P(A) nicht B P(AnnB) P(nAnnB) P(nB) gesamt P(A) P(NA) 1 PA(B) P(ANB) - die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist, ist: PÂ(B)= P(An B) P(A) (P(A)*PB(A)) P(A)* PA (B)+P(nA)* PnA (B) - will man die Wahrscheinlichkeit für PÂ(A), kann man das Baumdiagramm umkehren oder man verwendet den Satz von Beyes: PB(A)= Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(X=k) zu - die Summe aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist 1 Zufallsgröße - Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl k zu - die Zufallsgröße wird mit X, Y oder Z bezeichnet Erwartungswert einer Zufallsgröße - der Erwartungswert einer Zufallsversuches ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintreffen des Ereignisses und der Anzahl der Versuche k - wenn X die Werte a₁, A2,..., am annimmt mit P(X=a₁.2,...,m) ist der Erwartungswert: - E(X)=µ= a₁*P(X=a₁)+a₂*P(X=a₂)+am*P(X=am) - gibt der Erwartungswert E(X) den Nettogewinn des Spielers wieder und ist der Erwartungswert 0, so handelt es sich um ein faires Spiel, da der Spieler langfristig weder Gewinn noch Verlust macht Standardabweichung und Varianz einer Zufallsgröße wenn eine Zufallsgröße die Werte a₁, a2,..., am annimmt mit P(X=a₁,2,...,m) ist die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung: - o=√(a₁-μ)²-P(X=a₁)+(a₂-µ)²·P(X=a₂)+...+(am-μ)²-P(X=am) - die Varianz einer Standardabweichung ist V(X)= σ² Binomialkoeffizient - Für n verschiedene...
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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍