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Lennart
23.11.2025
Mathe
Stochastik und beurteilende Statistik
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•
23. Nov. 2025
•
Lennart
@lennartgrlk
Willkommen zur Stochastik, einem spannenden Teilgebiet der Mathematik, das sich... Mehr anzeigen
Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Im Baumdiagramm werden bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Ästen dargestellt: P(A) → P<sub>A</sub>(B) → P(A∩B). Willst du die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P<sub>B</sub>(A) berechnen, kannst du entweder das Baumdiagramm umkehren oder den Satz von Bayes anwenden.
Die Vierfeldertafel ist ein weiteres Hilfsmittel zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Sie zeigt die Schnittmengen von Ereignissen und deren Gegenereignissen übersichtlich in einer Tabelle.
💡 Merke: Bei Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit hilft es, zuerst die Informationen in ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel einzutragen, um die Zusammenhänge klar zu sehen.
Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der Wert, den die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Er berechnet sich als: E(X) = a₁·P + a₂·P + ... + a<sub>m</sub>·P(X=a<sub>m</sub>). Bei Glücksspielen spricht man von einem "fairen Spiel", wenn der Erwartungswert 0 ist.
Die Standardabweichung σ gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Sie wird berechnet als: σ = √(²·P + ... + (a<sub>m</sub>-μ)²·P(X=a<sub>m</sub>)). Das Quadrat der Standardabweichung nennt man Varianz V(X) = σ².
🧮 Praxistipp: Bei Aufgaben zum Erwartungswert hilft es, eine Tabelle mit allen möglichen Werten der Zufallsgröße und ihren Wahrscheinlichkeiten zu erstellen.
Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt , die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich ist, die Versuche unabhängig voneinander sind und eine feste Anzahl n an Wiederholungen durchgeführt wird.
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen: P = · p^k · ^. Dabei ist der Binomialkoeffizient (n über k), der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Objekte aus n verschiedenen auszuwählen.
Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt μ = n·p und die Standardabweichung σ = √. Mit der kumulierten Binomialverteilung P(X≤k) lassen sich Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen (im Taschenrechner mit bcd(k,n,p)).
📊 Klausurtipp: Für Aufgaben mit "höchstens", "mindestens", "mehr als" oder "weniger als" nutze die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten. "Mindestens k Erfolge" bedeutet P(X≥k) = 1-P.
Die Sigma-Regeln sind wichtige Faustregeln für Wahrscheinlichkeitsintervalle um den Erwartungswert μ. In der 1-Sigma-Regel liegen etwa 68% aller Werte im Intervall . Die 2-Sigma-Regel umfasst ca. 95,5% aller Werte im Intervall , die 3-Sigma-Regel sogar 99,7%.
Für Prüfungen relevant sind auch die präziseren Intervalle:
Die LaPlace-Bedingung (σ>3) bestimmt, ob eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann. Ist sie erfüllt, kann die Normalverteilung als Näherung verwendet werden, was Berechnungen bei großen n deutlich vereinfacht.
🔍 Wichtig für die Klausur: Bei Aufgaben mit den Sigma-Regeln musst du oft zwischen "signifikanten Abweichungen" und "hochsignifikanten Abweichungen" unterscheiden.
In der beurteilenden Statistik schließt man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit oder umgekehrt. Mit Prognoseintervallen bestimmst du, in welchem Bereich eine Stichprobe bei bekannter Grundgesamtheit liegen sollte (Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe).
Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p der Grundgesamtheit mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt, basierend auf einer Stichprobe (Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit). Es wird berechnet als .
Für die Wahl des Stichprobenumfangs gilt: Wenn der Anteil p unbekannt ist, wähle n ≥ (1,96)²·0,25/d². Falls für p eine Schätzung vorliegt, nutze n ≥ (1,96)²·p·/d², wobei d die maximal zulässige Abweichung ist.
📏 Praxistipp: Bei Aufgaben zur Stichprobengröße musst du oft entscheiden, ob du die Formel mit oder ohne Schätzwert für p verwendest. Ohne Schätzwert nutze den ungünstigsten Fall p=0,5, der zur größtmöglichen Stichprobe führt.
Bei stetigen Zufallsgrößen kann X jeden Wert in einem bestimmten Intervall annehmen (im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen). Die Dichtefunktion f(x) beschreibt die Verteilung der Werte, wobei der Flächeninhalt unter der Kurve die Wahrscheinlichkeit P(a≤X≤b) = ∫ₐᵇ f(x)dx angibt.
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung mit der Dichtefunktion Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π))) · e^. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um μ, mit Wendepunkten bei μ-σ und μ+σ.
Bei Aufgaben musst du oft die Kenngrößen der Normalverteilung bestimmen:
📈 Klausurtipp: Bei der Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung musst du die Stetigkeitskorrektur beachten. Für P(a≤X≤b) berechnest du normCdf im Taschenrechner.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Lennart
@lennartgrlk
Willkommen zur Stochastik, einem spannenden Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Wahrscheinlichkeiten und Zufallsprozessen beschäftigt. Diese Zusammenfassung hilft dir, die wichtigsten Konzepte für das Abitur zu verstehen und anzuwenden.
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Im Baumdiagramm werden bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Ästen dargestellt: P(A) → P<sub>A</sub>(B) → P(A∩B). Willst du die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P<sub>B</sub>(A) berechnen, kannst du entweder das Baumdiagramm umkehren oder den Satz von Bayes anwenden.
Die Vierfeldertafel ist ein weiteres Hilfsmittel zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Sie zeigt die Schnittmengen von Ereignissen und deren Gegenereignissen übersichtlich in einer Tabelle.
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Der Erwartungswert μ = E(X) ist der Wert, den die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Er berechnet sich als: E(X) = a₁·P + a₂·P + ... + a<sub>m</sub>·P(X=a<sub>m</sub>). Bei Glücksspielen spricht man von einem "fairen Spiel", wenn der Erwartungswert 0 ist.
Die Standardabweichung σ gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Sie wird berechnet als: σ = √(²·P + ... + (a<sub>m</sub>-μ)²·P(X=a<sub>m</sub>)). Das Quadrat der Standardabweichung nennt man Varianz V(X) = σ².
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Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt μ = n·p und die Standardabweichung σ = √. Mit der kumulierten Binomialverteilung P(X≤k) lassen sich Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen (im Taschenrechner mit bcd(k,n,p)).
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In der beurteilenden Statistik schließt man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit oder umgekehrt. Mit Prognoseintervallen bestimmst du, in welchem Bereich eine Stichprobe bei bekannter Grundgesamtheit liegen sollte (Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe).
Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p der Grundgesamtheit mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt, basierend auf einer Stichprobe (Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit). Es wird berechnet als .
Für die Wahl des Stichprobenumfangs gilt: Wenn der Anteil p unbekannt ist, wähle n ≥ (1,96)²·0,25/d². Falls für p eine Schätzung vorliegt, nutze n ≥ (1,96)²·p·/d², wobei d die maximal zulässige Abweichung ist.
📏 Praxistipp: Bei Aufgaben zur Stichprobengröße musst du oft entscheiden, ob du die Formel mit oder ohne Schätzwert für p verwendest. Ohne Schätzwert nutze den ungünstigsten Fall p=0,5, der zur größtmöglichen Stichprobe führt.
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Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung mit der Dichtefunktion Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π))) · e^. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um μ, mit Wendepunkten bei μ-σ und μ+σ.
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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Stochastik, einschließlich der empirischen Regel, Signifikanztests, Binomialverteilung, Bernoulli-Experimente, stochastische Prozesse und Matrizen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Themen und deren Anwendungen in der Statistik. Ideal für Abiturienten im Leistungskurs.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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