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Stochastik und Statistik: Von Wahrscheinlichkeiten bis Sigma-Regeln

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Lennart

4.11.2021

Mathe

Stochastik und beurteilende Statistik

Stochastik und Statistik: Von Wahrscheinlichkeiten bis Sigma-Regeln

Willkommen zur Stochastik! In diesem Kurs lernst du wichtige Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik kennen, die dir helfen, zufällige Ereignisse mathematisch zu analysieren und vorherzusagen. Von bedingten Wahrscheinlichkeiten bis zur Normalverteilung - diese Werkzeuge wirst du für viele Anwendungen im Alltag und in deiner weiteren Ausbildung brauchen.

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4.11.2021

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Mathematik
eA
Semester 2
- Stochastik - Inhaltsverzeichnis
Wahrscheinlichkeitsrechnung..
Vierfeldertafel..
Bedingte Wahrscheinlichkeit..
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Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein zentrales Konzept, das beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis B ist, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Mathematisch ausgedrückt: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).

In Baumdiagrammen kannst du diese Zusammenhänge anschaulich darstellen. Du beginnst mit einem Ereignis P(A) und setzt dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten P<sub>A</sub>(B) an die Äste, die zum Schnitt P(A∩B) führen.

Bei komplexeren Berechnungen hilft dir der Satz von Bayes, wenn du die Bedingung umkehren möchtest: P<sub>B</sub>(A) = (P(A)·P<sub>A</sub>(B))/(P(A)·P<sub>A</sub>(B)+P(nA)·P<sub>nA</sub>(B)). Du kannst auch eine Vierfeldertafel nutzen, um Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen und Berechnungen zu vereinfachen.

💡 Praxistipp: Wenn du Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit löst, zeichne immer zuerst ein Baumdiagramm! Das hilft dir, die Struktur zu erkennen und Fehler zu vermeiden.

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Zufallsgrößen und Erwartungswerte

Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Sie hilft dir, zufällige Vorgänge mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder mögliche Wert auftritt. Wichtig ist: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss immer 1 ergeben.

Der Erwartungswert μ = E(X) gibt den Mittelwert an, den du bei vielen Wiederholungen des Experiments erwarten kannst. Du berechnest ihn mit der Formel E(X) = a₁·P(X=a₁) + a₂·P(X=a₂) + ... + aₘ·P(X=aₘ). Bei Spielen zeigt der Erwartungswert, ob sie "fair" sind (E(X)=0) oder ob du langfristig Gewinn oder Verlust machen wirst.

🧮 Merke: Die Standardabweichung σ und die Varianz σ² sind Maße für die Streuung der Werte um den Erwartungswert. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die möglichen Ergebnisse.

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Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen ("Erfolg" mit Wahrscheinlichkeit p oder "Misserfolg" mit Wahrscheinlichkeit 1-p). Wenn mehrere unabhängige Bernoulli-Versuche mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit durchgeführt werden, spricht man von einer Bernoulli-Kette.

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen. Die Formel von Bernoulli lautet: P(X=k) = (nk)\binom{n}{k} · p^k · (1-p)^(n-k). Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} = n!/(k!(n-k)!) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Erfolge auf n Positionen zu verteilen.

Bei der kumulierten Binomialverteilung berechnest du die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse wie "höchstens k Erfolge" (P(X≤k)) oder "mindestens k Erfolge" (P(X≥k) = 1-P(X≤k-1)). Für größere Stichproben kannst du im Taschenrechner die Funktion bcd(k,n,p) verwenden.

🔍 Tipp für die Praxis: Bei Aufgaben zur Binomialverteilung achte genau auf die Formulierung! "Höchstens", "mindestens", "mehr als" und "weniger als" führen zu unterschiedlichen Berechnungen. Nutze die Tabelle aus deinen Notizen als Nachschlagewerk.

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Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich erstaunlich einfach: μ = E(X) = n·p. Das heißt, bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p erwartest du durchschnittlich n·p Erfolge.

Die Standardabweichung einer Binomialverteilung wird mit der Formel σ = √(n·p·(1-p)) berechnet. Sie gibt an, wie stark die tatsächlichen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können. Je größer die Standardabweichung, desto breiter streuen die möglichen Werte.

Wenn du wissen willst, wie viele Versuche mindestens nötig sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens M einen Erfolg zu erzielen, kannst du die Formel P(X≥1) ≥ M umformen. Dies führt zu 1-(1-p)^n ≥ M, und durch Umstellung erhältst du n ≥ log<sub>1-p</sub>(1-M).

💡 Praktische Anwendung: In Auslastungsmodellen nutzt du die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mehrere unabhängige Nutzer gleichzeitig eine Ressource (wie eine Maschine) beanspruchen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p entspricht dabei dem Anteil der Zeit, in dem ein einzelner Nutzer die Ressource verwendet.

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Sigma-Regeln und Prognoseintervalle

Die Sigma-Regeln helfen dir, bei binomialverteilten Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsintervalle zu bestimmen. Sie sind besonders nützlich, wenn die LaPlace-Bedingung (σ > 3) erfüllt ist.

Die wichtigsten symmetrischen Intervalle um den Erwartungswert μ sind:

  • 68% der Werte liegen im 1-Sigma-Intervall [μ-σ; μ+σ]
  • 95,5% der Werte liegen im 2-Sigma-Intervall [μ-2σ; μ+2σ]
  • 99,7% der Werte liegen im 3-Sigma-Intervall [μ-3σ; μ+3σ]

Für statistische Tests verwendest du häufig das 95%-Intervall [μ-1,96σ; μ+1,96σ] oder das 99%-Intervall [μ-2,58σ; μ+2,58σ]. Um das exakte Intervall zu berechnen, verwendest du die Formel [μ-z·σ; μ+z·σ], wobei z der Wert ist, der dem gewünschten Konfidenzlevel entspricht.

⚠️ Wichtig für Prüfungen: Bei Prognoseintervallen schließt du von der Gesamtheit auf eine Stichprobe. Liegt ein Stichprobenergebnis außerhalb des 95%-Intervalls, spricht man von einer signifikanten Abweichung. Liegt es sogar außerhalb des 99%-Intervalls, handelt es sich um eine hochsignifikante Abweichung.

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Konfidenzintervalle und Stichprobenumfang

Bei Konfidenzintervallen schließt du von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Um das Konfidenzintervall zu berechnen, verwendest du die Formeln:

  • p<sub>min</sub> ergibt sich aus der Gleichung n·p-1,96·σ = X
  • p<sub>max</sub> ergibt sich aus der Gleichung n·p+1,96·σ = X Dabei ist X das Stichprobenergebnis und n der Umfang der Stichprobe.

Wenn du den notwendigen Stichprobenumfang für eine gewünschte Genauigkeit d bestimmen willst, gibt es zwei Formeln:

  1. Wenn p unbekannt ist: n ≥ (1,96)²·0,25/d²
  2. Wenn für p eine Schätzung vorliegt: n ≥ (1,96)²·p·(1-p)/d²

💡 Praxistipp: Je kleiner die maximal zulässige Abweichung d sein soll, desto größer muss dein Stichprobenumfang sein. Die Beziehung ist quadratisch - wenn du die Genauigkeit verdoppeln willst, musst du den Stichprobenumfang vervierfachen!

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Normalverteilung und stetige Zufallsgrößen

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen, kann eine stetige Zufallsgröße jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch eine Dichtefunktion f(x) beschrieben, für die gilt: f(x) ≥ 0 und ∫<sub>-∞</sub><sup></sup> f(x)dx = 1.

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung. Ihre Dichtefunktion ist die Gaußsche Glockenkurve: Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π)))·e<sup>-(1/2)·((x-μ)/σ)²</sup>. Der Parameter μ gibt den Erwartungswert an (Maximum der Kurve), σ ist die Standardabweichung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt, berechnest du mit dem bestimmten Integral: P(a≤X≤b) = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> Φ<sub>μ,σ</sub>(x)dx. Im Taschenrechner verwendest du dafür die Funktion normCdf(a,b,μ,σ).

🧮 Mathematischer Zusammenhang: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei μ-σ und μ+σ. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur Vertikalen durch μ. Diese Eigenschaften helfen dir, die Parameter μ und σ zu bestimmen, wenn du die Kurve analysierst.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

2.718

22. Aug. 2025

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@lennartgrlk

Willkommen zur Stochastik! In diesem Kurs lernst du wichtige Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik kennen, die dir helfen, zufällige Ereignisse mathematisch zu analysieren und vorherzusagen. Von bedingten Wahrscheinlichkeiten bis zur Normalverteilung - diese Werkzeuge wirst du für viele Anwendungen im... Mehr anzeigen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein zentrales Konzept, das beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis B ist, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Mathematisch ausgedrückt: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).

In Baumdiagrammen kannst du diese Zusammenhänge anschaulich darstellen. Du beginnst mit einem Ereignis P(A) und setzt dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten P<sub>A</sub>(B) an die Äste, die zum Schnitt P(A∩B) führen.

Bei komplexeren Berechnungen hilft dir der Satz von Bayes, wenn du die Bedingung umkehren möchtest: P<sub>B</sub>(A) = (P(A)·P<sub>A</sub>(B))/(P(A)·P<sub>A</sub>(B)+P(nA)·P<sub>nA</sub>(B)). Du kannst auch eine Vierfeldertafel nutzen, um Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen und Berechnungen zu vereinfachen.

💡 Praxistipp: Wenn du Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit löst, zeichne immer zuerst ein Baumdiagramm! Das hilft dir, die Struktur zu erkennen und Fehler zu vermeiden.

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Zufallsgrößen und Erwartungswerte

Eine Zufallsgröße (X, Y oder Z) ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Sie hilft dir, zufällige Vorgänge mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder mögliche Wert auftritt. Wichtig ist: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss immer 1 ergeben.

Der Erwartungswert μ = E(X) gibt den Mittelwert an, den du bei vielen Wiederholungen des Experiments erwarten kannst. Du berechnest ihn mit der Formel E(X) = a₁·P(X=a₁) + a₂·P(X=a₂) + ... + aₘ·P(X=aₘ). Bei Spielen zeigt der Erwartungswert, ob sie "fair" sind (E(X)=0) oder ob du langfristig Gewinn oder Verlust machen wirst.

🧮 Merke: Die Standardabweichung σ und die Varianz σ² sind Maße für die Streuung der Werte um den Erwartungswert. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die möglichen Ergebnisse.

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Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen ("Erfolg" mit Wahrscheinlichkeit p oder "Misserfolg" mit Wahrscheinlichkeit 1-p). Wenn mehrere unabhängige Bernoulli-Versuche mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit durchgeführt werden, spricht man von einer Bernoulli-Kette.

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen. Die Formel von Bernoulli lautet: P(X=k) = (nk)\binom{n}{k} · p^k · (1-p)^(n-k). Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} = n!/(k!(n-k)!) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Erfolge auf n Positionen zu verteilen.

Bei der kumulierten Binomialverteilung berechnest du die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse wie "höchstens k Erfolge" (P(X≤k)) oder "mindestens k Erfolge" (P(X≥k) = 1-P(X≤k-1)). Für größere Stichproben kannst du im Taschenrechner die Funktion bcd(k,n,p) verwenden.

🔍 Tipp für die Praxis: Bei Aufgaben zur Binomialverteilung achte genau auf die Formulierung! "Höchstens", "mindestens", "mehr als" und "weniger als" führen zu unterschiedlichen Berechnungen. Nutze die Tabelle aus deinen Notizen als Nachschlagewerk.

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Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich erstaunlich einfach: μ = E(X) = n·p. Das heißt, bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p erwartest du durchschnittlich n·p Erfolge.

Die Standardabweichung einer Binomialverteilung wird mit der Formel σ = √(n·p·(1-p)) berechnet. Sie gibt an, wie stark die tatsächlichen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können. Je größer die Standardabweichung, desto breiter streuen die möglichen Werte.

Wenn du wissen willst, wie viele Versuche mindestens nötig sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens M einen Erfolg zu erzielen, kannst du die Formel P(X≥1) ≥ M umformen. Dies führt zu 1-(1-p)^n ≥ M, und durch Umstellung erhältst du n ≥ log<sub>1-p</sub>(1-M).

💡 Praktische Anwendung: In Auslastungsmodellen nutzt du die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mehrere unabhängige Nutzer gleichzeitig eine Ressource (wie eine Maschine) beanspruchen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p entspricht dabei dem Anteil der Zeit, in dem ein einzelner Nutzer die Ressource verwendet.

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Sigma-Regeln und Prognoseintervalle

Die Sigma-Regeln helfen dir, bei binomialverteilten Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsintervalle zu bestimmen. Sie sind besonders nützlich, wenn die LaPlace-Bedingung (σ > 3) erfüllt ist.

Die wichtigsten symmetrischen Intervalle um den Erwartungswert μ sind:

  • 68% der Werte liegen im 1-Sigma-Intervall [μ-σ; μ+σ]
  • 95,5% der Werte liegen im 2-Sigma-Intervall [μ-2σ; μ+2σ]
  • 99,7% der Werte liegen im 3-Sigma-Intervall [μ-3σ; μ+3σ]

Für statistische Tests verwendest du häufig das 95%-Intervall [μ-1,96σ; μ+1,96σ] oder das 99%-Intervall [μ-2,58σ; μ+2,58σ]. Um das exakte Intervall zu berechnen, verwendest du die Formel [μ-z·σ; μ+z·σ], wobei z der Wert ist, der dem gewünschten Konfidenzlevel entspricht.

⚠️ Wichtig für Prüfungen: Bei Prognoseintervallen schließt du von der Gesamtheit auf eine Stichprobe. Liegt ein Stichprobenergebnis außerhalb des 95%-Intervalls, spricht man von einer signifikanten Abweichung. Liegt es sogar außerhalb des 99%-Intervalls, handelt es sich um eine hochsignifikante Abweichung.

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Konfidenzintervalle und Stichprobenumfang

Bei Konfidenzintervallen schließt du von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Das 95%-Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall genannt) gibt an, in welchem Bereich der wahre Anteil p mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Um das Konfidenzintervall zu berechnen, verwendest du die Formeln:

  • p<sub>min</sub> ergibt sich aus der Gleichung n·p-1,96·σ = X
  • p<sub>max</sub> ergibt sich aus der Gleichung n·p+1,96·σ = X Dabei ist X das Stichprobenergebnis und n der Umfang der Stichprobe.

Wenn du den notwendigen Stichprobenumfang für eine gewünschte Genauigkeit d bestimmen willst, gibt es zwei Formeln:

  1. Wenn p unbekannt ist: n ≥ (1,96)²·0,25/d²
  2. Wenn für p eine Schätzung vorliegt: n ≥ (1,96)²·p·(1-p)/d²

💡 Praxistipp: Je kleiner die maximal zulässige Abweichung d sein soll, desto größer muss dein Stichprobenumfang sein. Die Beziehung ist quadratisch - wenn du die Genauigkeit verdoppeln willst, musst du den Stichprobenumfang vervierfachen!

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Normalverteilung und stetige Zufallsgrößen

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen, die nur bestimmte Werte annehmen, kann eine stetige Zufallsgröße jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch eine Dichtefunktion f(x) beschrieben, für die gilt: f(x) ≥ 0 und ∫<sub>-∞</sub><sup></sup> f(x)dx = 1.

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung. Ihre Dichtefunktion ist die Gaußsche Glockenkurve: Φ<sub>μ,σ</sub>(x) = (1/(σ·√(2π)))·e<sup>-(1/2)·((x-μ)/σ)²</sup>. Der Parameter μ gibt den Erwartungswert an (Maximum der Kurve), σ ist die Standardabweichung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt, berechnest du mit dem bestimmten Integral: P(a≤X≤b) = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> Φ<sub>μ,σ</sub>(x)dx. Im Taschenrechner verwendest du dafür die Funktion normCdf(a,b,μ,σ).

🧮 Mathematischer Zusammenhang: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei μ-σ und μ+σ. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur Vertikalen durch μ. Diese Eigenschaften helfen dir, die Parameter μ und σ zu bestimmen, wenn du die Kurve analysierst.

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Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Wenn die LaPlace-Bedingung (σ > 3) erfüllt ist, kannst du eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Das spart bei großen Stichproben viel Rechenarbeit!

Für die lokale Näherung einzelner Wahrscheinlichkeiten gilt: P(X=k) ≈ φ<sub>μ;σ</sub>(k). Im Taschenrechner verwendest du die Funktion normPdf(k,μ,σ).

Wichtiger ist die integrale Näherungsformel für Intervalle: P(a≤X≤b) ≈ Φ<sub>μ;σ</sub>(b+0,5) - Φ<sub>μ;σ</sub>(a-0,5). Die Addition/Subtraktion von 0,5 nennt man Stetigkeitskorrektur - sie verbessert die Genauigkeit der Approximation erheblich. Im Taschenrechner verwendest du normCdf(a-0,5,b+0,5,μ,σ).

Mit dem Taschenrechner kannst du auch die Kenngrößen einer Normalverteilung bestimmen:

  • Wenn μ und P(X<a)=k gegeben sind: Berechne σ mit normCdf(-10<sup>99</sup>,a,μ,x) und löse nach x auf
  • Wenn σ und P(X<a)=k gegeben sind: Berechne μ mit normCdf(-10<sup>99</sup>,a,x,σ) und löse nach x auf

🔍 Klausurtipp: In Prüfungen musst du oft entscheiden, ob die Normalverteilung zur Approximation geeignet ist. Prüfe immer zuerst die LaPlace-Bedingung: Berechne σ = √(n·p·(1-p)) und prüfe, ob σ > 3 gilt. Erst dann darfst du die Normalverteilung verwenden!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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