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n verschiedene Dinge gibt es n! Möglichkeiten, diese auf n Plätzen anzuordnen man schreibt: n!= n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 → n Fakultät - wählt man aus n verschiedenen Dingen k auswählt, ohne n! Berücksichtigung der Reihenfolge so schreibt man: k!(n-k)! kürzer: (1) k - das nennt man Binomialkoeffizient Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung - Kriterien für ein Bernoulli-Experiment: es gibt zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg und Misserfolg) - die Wahrscheinlichkeit p ist für einen Erfolg bei jedem Einzelexperiment gleich groß - die Wiederholungen der Einzelexperimente sind voneinander unabhängig - es gibt eine feste Anzahl an Wiederholungen - treffen diese Kriterien zu, handelt es sich um eine n-stufige Bernoulli-Kette - bei Stichproben: - ist das Verhältnis von Gesamtheit zu Umfang der Stichprobe sehr groß, so kann man die Wahrscheinlichkeiten als binomialverteilt berechnen Formel von Bernoulli - P(X=k)= oder * pk * (1-p)n-k, mit k= 0,1,2,3,...,n - eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit allen Wahrscheinlichkeiten für k wird als Binomialverteilung bezeichnet Kumulierte Binomialverteilung - für eine n-stufige Bernoullikette mit X: Anzahl der Erfolge, heißt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X≤k) mit 0≤k≤n kumulierte Binomialverteilung - kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen (P(X≤k) im GTR: bcd(k,n,p)) Ereignis gesuchte Wahrscheinlichkeit Höchstens k Erfolge P(XSK) Weniger als k Erfolge P(X<k) = P(X≤k-1) Mehr als k Erfolge P(X>k) = 1- P(XSK) Mindestens k Erfolge P(X≥k) = 1- P(X<k-1) Mindestens a und höchstens b Erfolge P(a≤X<b) = P(X≤b) - P(X≤a-1) Auslastungsmodell es wird eine Unabhängigkeit der agierenden Personen und Maschinen vorausgesetzt - der Zeitraum wird in Zeitintervalle (f) unterteilt (Nutzung pro Stunde für 2 Minuten) - p= Maschine wird benutzt =(1/f), bspw. 2/60 → 1/30 n= Anzahl der Vorgänge - X: Anzahl der Erfolge Mindestanzahl an Versuchen für einen Erfolg - P(X≥1) ≥ M = P(X=0) ≥ M - P(X≥1) ≥ M = 1-p" > M - algebraisch: log₁-p (M), n≥ Ergebnis Erwartungswert einer Binomialverteilung - μ=E(X)= n*p Standardabweichung einer Binomialverteilung - o=√n*p*(1-p) Sigma-Regeln - LaPlace-Bedingung ist erfüllt wenn: o>3 - symmetrisches Intervall um µ - 90%-Intervall: 1,64 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 90% in dem Intervall) - 95%-Intervall: 1,96 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 95% in dem Intervall) - 99%-Intervall: 2,58 o-Umgebung (Anzahl der Erfolge liegt zu 99% in dem Intervall) - 68%-Intervall: o-Umgebung - 95,5%-Intervall: 2 o- Umgebung - 99,7%-Intervall: 3 o-Umgebung - Berechnung: [µ- z*o; µ+ z*o] - dann: Rundung des Intervalls auf ganze Zahlen (nach innen (a und b) und nach außen (x und y)) - dann: 1.) P(a≤X≤b) und 2.) P(x≤X≤y) → wann ist es im gesuchten %igen-Intervall Beurteilende Statistik Prognose- und Konfidenzintervalle Schluss von Gesamtheit auf Stichprobe wenn LaPlace-Bedingung erfüllt ist, benutzt man die 90%, 95% und 99% Prognoseintervalle (siehe Sigma-Regeln) - signifikante Abweichung: Stichprobenergebnis nicht verträglich mit 95%- Intervall - hochsignifikante Abweichung: Stichprobenergebnis nicht verträglich mit 99%-Intervall Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit - 95%-Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) → 1,96 o-Umgebung - die Anteile p liegen im Intervall [pmin; Pmax] - Berechnung: X: Stichprobenergebnis; n: Umfang der Stichprobe - n*p-1,96 o-X liefert das Ergebnis für Pmax - n*p+1,96 σ=X liefert das Ergebnis für Pmin - bei relativen Häufigkeiten: n= 1/n und X= X/n (vgl. mit absoluten) Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs - Bestimmung des Anteils p einer Gesamtheit - der Anteil in der Stichprobe soll um maximal d von p abweichen - 1.) p ist unbekannt, dann: n² - 2.) für p liegt eine Schätzung vor, dann: n> Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen - diskrete Zufallsgröße: Zufallsgröße nimmt nur bestimmte Werte (X=0,1,2,3,...) an -∞0 - stetige Zufallsgröße: Zufallsgröße kann jeden Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen - dabei gilt für alle reellen Zahlen x: f(x)≥0 f(x)dx=1 b - es gilt: P(a≤x≤b) = S f(x) dx a - der Flächeninhalt des Intervalls gibt die Wahrscheinlichkeit dessen an Normalverteilung Dichtefunktion der Normalverteilung - Pμ;0= 1 σ*√√2л 2 (1,96) *0,25 d - JM; *e -12/ (x-μ)² O µ;o (x) dx=1 1,96 ) *p*(1-p) d - alle Werte sind positiv - μ ist das Maximum, die Wendepunkte und die Funktion sind Achsensymmetrisch zur Achse durch das Maximum, bei µ-o und µ+o b - P(a≤x≤b) = S 9 μ:0 (x) dx → Dichtefunktion einer Normalverteilung a X μ₁0(x)=√¶μ;o(t)dt -∞ - P(X≤b) = μ;o(b) - die zugehörige Integralfunktion (Verteilungsfunktion) ist: Bestimmen der Kenngrößen bei Normalverteilungen - bei p: - Erwartungswert µ: Extremstelle (Maximum) - Wendestellen bei: µ-o und μ+o - bei : - Standardabweichung bestimmen: µ und P(X<...)=k gegeben, dann: normCdf(-10⁹⁹, ..., µ, x), dann: x-cal, y=k, → o - Erwartungswert bestimmten: o und P(X<...)=k gegeben, dann: normCdf(-10⁹⁹, ..., x, σ), dann: x-cal, y=k, → o - bei: P(X<a) + P(X>b) 1- P(a<x<b) → 1- normCdf(a,b,o, µ) Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung wenn die LaPlace-Bedingung erfüllt ist, also o>3, dann kann man eine Normalverteilung an eine Binomialverteilung annähern: - lokale Näherungsformel: P(X=k)= (n) * p* * (1-p)¹*≈ ¶µ¤ (k), im GTR: normPdf(k,¤, µ) b+0,5 - integrale Näherungsformel: P(a≤x≤b) = So(t)dt = µ;o(b+0,5) — Þµ;(a-0,5), im GTR: normCdf(a-0,5,b+0,5,¤, µ) a-0,5