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Tangentenprobleme

Tangentenprobleme

 Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (2x + 4)² + 3.
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f
im Punkt P (-2|f(-2)
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (2x + 4)² + 3.
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1. Problemstellung 2. Allgemeine Tangentengleichung 3. Lösungsfindung 3.1. Tangentenproblem 2 3.2. Tangentenproblem 3 4. Übungsaufgaben

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Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (2x + 4)² + 3. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (-2|f(-2)). 10.11.20 Paula Gisch 1 Vorgehen: 1. y-Wert des Punktes bestimmen: ƒ(−2) = (2 * (-2) + 4)² + 3 f(-2) = 3 10.11.20 Paula Gisch 2 Vorgehen: 1. y-Wert des Punktes bestimmen: ƒ(−2) = (2 * (−2) + 4)² + 3 f(-2) = 3 2. Tangentensteigung bestimmen: f'(x) = mt f'(x) = 4 * (2x + 4) = 8x + 16 ƒ'(−2) = 8 * (−2) + 16 = 0 10.11.20 Paula Gisch 3 Vorgehen: 1. y-Wert des Punktes bestimmen: ƒ(−2) = (2 * (−2) + 4)² + 3 f(-2) = 3 2. Tangentensteigung bestimmen: f'(x) = mt ƒ'(x) = 4 * (2x + 4) = 8x + 16 ƒ'(-2) = 8 * (-2) + 16 = 0 3. Tangentengleichung berechnen, P(-2|f(-2)): y = m₂ * x + c mt 3 = 0 * (-2) + c C = 3 → y = 3 10.11.20 Paula Gisch 4 10.11.20 Tangentenprobleme GFS im LK Mathematik 5 Tangentenprobleme Problemstellung: Wie kann man Tangenten an den Graphen einer Funktion rechnerisch berechnen? Тур 1. Tangente in einem Punkt B des Graphen gegeben gesucht Allgemeine Tangentengleichung: y = f'(xo) * (x - x0) + f(xo) Funktion f; Punkt B (x。 | f(x₁)) auf dem Graphen f Tangente an B y-Wert des Punktes bestimmen: f(-2) = (2 * (-2) + 4)² + 3 = 4 y = 3 = Tangentensteigung bestimmen: f'(x) = mt f'(x) =...

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4 * (2x + 4) = 8x + 16 f'(-2) = 8 * (-2) + 16 = : 32 Tangentenprobleme Lösungsfindung - Tangentenproblem 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (2x + 4)² + 3 Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (-2 |f(-2)). Tangentengleichung berechnen, P (-2 |f(-2)): y = mt* x + c 4 = 32 * (-2) + C c = 32 32x + 68 | +64 2. Tangente parallel zu einer Geraden Funktion f; Gerade g Berührpunkt bestimmen: Tangente parallel zu g GFS LK Mathe Tangente parallel zu Gerade g, also gleiche Steigung m+ = -2 ● Ableitung = Steigung der Tangente: f'(x) = mt 4x - 4 = -2 x = 0,5 3. Tangente von einem Punkt P von außen Funktion f; Punkt P, der nicht auf dem Lösungsfindung - Tangentenproblem 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x² - 4x + 3. Lege eine Tangente an den Graphen an, die parallel zu der Geraden g mit g(x) = -2x + 5 verläuft. Graph von liegt Tangente durch P S. 1 Tangentenprobleme y-Wert bestimmen: f(0,5) = 2 * 0,5² - 4 * 0,5 + 3 = 1,5 Tangentengleichung bestimmen: y = f'(xo) * (x - x0) + f(xo) y = -2* (x -0,5) + 1,5 y = -2x + 2,5 Lösungsfindung - Tangentenproblem 3 Lege eine Tangente an den Graphen von f(x) an, die durch den Punkt P (1,5 -4,5) verläuft. Die Funktion von f(x) lautet: f(x)=x²-3x. Berührpunkt bestimmen: B (u |f(u)) Allgemeine Tangentengleichung mit u: y = f'(u) * (x - u) + f(u) f(u) und f'(u) einsetzen: f(x) = x²-3x → f(u) = u² − 3u f'(x) = 2x-3 f'(u) = 2u - 3 y = (2u-3)*(x-u) + (u² − 3u) Punkt P einsetzen, Gleichung nach u auflösen: -4,5 = (2u - 3) * (1,5 - u) + (u² - 3u) -4,5 = 3u - 2u² - 4,5 + 3u + u² - 3u 0 = 3u-u² Satz vom NP: u * (u - 3) = 0 U₁ = 3 U₂ = 0 → 2 Berührpunkte d.h. 2 Tangentengleichungen → B (0,5|1,5) Berührstellen in Tangentengleichung einsetzen: für u₁ = 3: y = (2u-3)*(x-u) + (u² - 3u) y = (2*3-3)*(x - 3) + (3² - 3*3) y = 3x - 9 für U₂ = 0: y = (2*0-3)* (x - 0) + (0²-3*0) y=-3x Quellen: ● Lambacher Schweizer Kursstufe: S. 33-34 / S. 333 Stefan Rosner: Mathe gut erklärt - Abitur 2019 Baden-Württemberg ● https://www.youtube.com/watch?v=vA25-mXrws4 ● https://www.youtube.com/watch?v=-rBOrGT9g1l https://www.youtube.com/watch?v=EmOwmKrZU80&t=32s ● https://www.youtube.com/watch?v=lwcYPuk0ahM GFS LK Mathe S. 2

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1. Problemstellung 2. Allgemeine Tangentengleichung 3. Lösungsfindung 3.1. Tangentenproblem 2 3.2. Tangentenproblem 3 4. Übungsaufgaben

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4 * (2x + 4) = 8x + 16 f'(-2) = 8 * (-2) + 16 = : 32 Tangentenprobleme Lösungsfindung - Tangentenproblem 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (2x + 4)² + 3 Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (-2 |f(-2)). Tangentengleichung berechnen, P (-2 |f(-2)): y = mt* x + c 4 = 32 * (-2) + C c = 32 32x + 68 | +64 2. Tangente parallel zu einer Geraden Funktion f; Gerade g Berührpunkt bestimmen: Tangente parallel zu g GFS LK Mathe Tangente parallel zu Gerade g, also gleiche Steigung m+ = -2 ● Ableitung = Steigung der Tangente: f'(x) = mt 4x - 4 = -2 x = 0,5 3. Tangente von einem Punkt P von außen Funktion f; Punkt P, der nicht auf dem Lösungsfindung - Tangentenproblem 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x² - 4x + 3. Lege eine Tangente an den Graphen an, die parallel zu der Geraden g mit g(x) = -2x + 5 verläuft. Graph von liegt Tangente durch P S. 1 Tangentenprobleme y-Wert bestimmen: f(0,5) = 2 * 0,5² - 4 * 0,5 + 3 = 1,5 Tangentengleichung bestimmen: y = f'(xo) * (x - x0) + f(xo) y = -2* (x -0,5) + 1,5 y = -2x + 2,5 Lösungsfindung - Tangentenproblem 3 Lege eine Tangente an den Graphen von f(x) an, die durch den Punkt P (1,5 -4,5) verläuft. Die Funktion von f(x) lautet: f(x)=x²-3x. Berührpunkt bestimmen: B (u |f(u)) Allgemeine Tangentengleichung mit u: y = f'(u) * (x - u) + f(u) f(u) und f'(u) einsetzen: f(x) = x²-3x → f(u) = u² − 3u f'(x) = 2x-3 f'(u) = 2u - 3 y = (2u-3)*(x-u) + (u² − 3u) Punkt P einsetzen, Gleichung nach u auflösen: -4,5 = (2u - 3) * (1,5 - u) + (u² - 3u) -4,5 = 3u - 2u² - 4,5 + 3u + u² - 3u 0 = 3u-u² Satz vom NP: u * (u - 3) = 0 U₁ = 3 U₂ = 0 → 2 Berührpunkte d.h. 2 Tangentengleichungen → B (0,5|1,5) Berührstellen in Tangentengleichung einsetzen: für u₁ = 3: y = (2u-3)*(x-u) + (u² - 3u) y = (2*3-3)*(x - 3) + (3² - 3*3) y = 3x - 9 für U₂ = 0: y = (2*0-3)* (x - 0) + (0²-3*0) y=-3x Quellen: ● Lambacher Schweizer Kursstufe: S. 33-34 / S. 333 Stefan Rosner: Mathe gut erklärt - Abitur 2019 Baden-Württemberg ● https://www.youtube.com/watch?v=vA25-mXrws4 ● https://www.youtube.com/watch?v=-rBOrGT9g1l https://www.youtube.com/watch?v=EmOwmKrZU80&t=32s ● https://www.youtube.com/watch?v=lwcYPuk0ahM GFS LK Mathe S. 2