Allgemeine Tangentengleichung

Die allgemeine Tangentengleichung wird hergeleitet und erklärt:

y = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

Dabei ist:

• f'(x₀) die Tangentensteigung am Berührpunkt
• x₀ die x-Koordinate des Berührpunktes
• f(x₀) die y-Koordinate des Berührpunktes

Definition: Die Tangentensteigung entspricht der Ableitung der Funktion am Berührpunkt.

Es wird gezeigt, wie diese Gleichung aus der allgemeinen Geradengleichung y = mx + c hergeleitet werden kann. Dies verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Steigung der Tangente und der Ableitung der Funktion.

Lösungsschritte für Tangentenprobleme

Um eine Tangente zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig:

1. Den y-Wert des Berührpunktes bestimmen
2. Die Tangentensteigung berechnen
3. Die Tangentengleichung aufstellen

Am Beispiel der Funktion f(x) = (2x + 4)² + 3 und dem Punkt P(-2|f(-2)) wird dies demonstriert:

1. y-Wert: f(-2) = (2*(-2) + 4)² + 3 = 4² + 3 = 19
2. Ableitung: f'(x) = 4*(2x + 4) = 8x + 16 Steigung im Punkt: f'(-2) = 8*(-2) + 16 = 0
3. Tangentengleichung: y = 0*x + 19 oder vereinfacht y = 19

Beispiel: Die Tangente an f(x) = (2x + 4)² + 3 im Punkt P(-2|19) hat die Gleichung y = 19.

Weitere Tangentenprobleme

Das Dokument behandelt auch komplexere Tangentenprobleme:

1. Tangente parallel zu einer Geraden: Gegeben: f(x) = 2x² - 4x + 3, Gerade g(x) = -2x + 5 Gesucht: Tangente parallel zu g

2. Tangente von einem Punkt außerhalb: Gegeben: f(x) = x² - 3x, Punkt P(1,5|-4,5) Gesucht: Tangente durch P

Highlight: Bei Tangenten parallel zu einer Geraden muss die Steigung der Tangente gleich der Steigung der gegebenen Geraden sein.

Für diese Probleme werden detaillierte Lösungsschritte präsentiert, die die Anwendung der Differentialrechnung und das Lösen von Gleichungen beinhalten.