Transformationen der Logarithmusfunktion
Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über die verschiedenen Transformationen von Funktionen, speziell am Beispiel der Logarithmusfunktion. Es werden mehrere Arten von Transformationen erklärt, jeweils mit allgemeinen Formeln, konkreten Beispielen und erläuternden Skizzen.
Verschiebung in y-Richtung
Die Verschiebung einer Funktion in y-Richtung wird durch Addition oder Subtraktion einer Konstante erreicht.
Example: f(x) = log₂(x) + 2
Definition: Allgemeine Form: f(x) = loga(x) + c
Die Skizze zeigt, wie der Graph der Funktion um 2 Einheiten nach oben verschoben wird.
Highlight: c > 0 verschiebt den Graphen nach oben, c < 0 nach unten.
Verschiebung in x-Richtung
Bei der Verschiebung in x-Richtung wird die Konstante innerhalb der Klammer der Logarithmusfunktion subtrahiert oder addiert.
Example: f(x) = log₂(x + 2)
Definition: Allgemeine Form: f(x) = loga(x - c)
Die begleitende Skizze veranschaulicht die Verschiebung des Graphen um 2 Einheiten nach links.
Highlight: -c verschiebt den Graphen nach rechts, +c nach links. Die Konstante steht in der gleichen Klammer wie x.
Streckung und Stauchung in y-Richtung
Diese Transformation verändert die vertikale Skalierung des Graphen.
Example: f(x) = 2 · log₂(x)
Definition: Allgemeine Form: f(x) = c · loga(x)
Die Skizze zeigt, wie der Graph in y-Richtung gestreckt wird.
Highlight: c > 1 führt zu einer Streckung, 0 < c < 1 zu einer Stauchung.
Spiegelung an der x-Achse
Diese Transformation invertiert den Graphen vertikal.
Example: f(x) = -log₂(x)
Definition: Allgemeine Form: f(x) = -loga(x)
Die Skizze illustriert, wie der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.
Spiegelung an der y-Achse
Bei dieser Transformation wird der Graph horizontal invertiert.
Example: f(x) = log₂(-x)
Definition: Allgemeine Form: f(x) = loga(-x)
Die Skizze zeigt die Spiegelung des Graphen an der y-Achse.
Highlight: Die Spiegelung an der y-Achse ergibt sich durch negative x-Werte, die zu negativen y-Werten führen.
Diese detaillierte Übersicht der Transformation von Funktionen am Beispiel der Logarithmusfunktion bietet Studierenden ein tiefes Verständnis für die verschiedenen Möglichkeiten, Funktionsgraphen zu manipulieren. Die Kombination aus allgemeinen Formeln, konkreten Beispielen und erläuternden Skizzen macht die Konzepte leicht verständlich und anwendbar.
