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Mathe
12. Dez. 2025
2.508
6 Seiten
Mi A @mia_msn
Mathematik kann kompliziert erscheinen, aber diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Konzepte aus der Analysis auf einen Blick.... Mehr anzeigen
Du kennst das Problem Wie findest du das Maximum oder Minimum einer Funktion in einer realen Situation? Extremalprobleme sind eigentlich nur ein systematisches Vorgehen in vier Schritten.
Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf - das ist die Größe, die du optimieren willst (meist Fläche, Volumen oder Kosten). Dann kommt die Nebenbedingung, die beschreibt, welche Einschränkungen es gibt. Im dritten Schritt bildest du die Zielfunktion, indem du eine Variable aus der Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzt.
Zum Schluss berechnest du das Maximum oder Minimum durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung. Mit der zweiten Ableitung prüfst du, ob es wirklich ein Maximum (f''(x) < 0) oder Minimum (f''(x) > 0) ist.
Merktipp Bei Flächenproblemen ist die Nebenbedingung meist der verfügbare Umfang oder das Material - genau wie beim Zaun-Beispiel mit 30m Zaunelemente.
Manchmal musst du rückwärts arbeiten Du bekommst Eigenschaften einer Funktion und sollst die Funktionsgleichung daraus rekonstruieren. Das ist wie ein mathematisches Rätsel, das sich systematisch lösen lässt.
Du startest mit der allgemeinen Form und bildest die nötigen Ableitungen. Dann übersetzt du alle gegebenen Informationen in Gleichungen Nullstellen werden zu f(x₀) = 0, Extrempunkte zu f'(x₀) = 0, Wendepunkte zu f''(x₀) = 0.
Das entstehende Gleichungssystem löst du nach a, b, c und d auf. Wichtig Du brauchst genauso viele Informationen, wie du unbekannte Parameter hast - bei einer Funktion 3. Grades also vier Bedingungen.
Praxistipp Eine Wendetangente liefert dir gleich zwei Informationen Der Punkt ist ein Wendepunkt und die Tangente hat eine bestimmte Steigung .
Exponentialfunktionen der Form f(x) = a·b^x beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse, die du überall im Leben findest - von Bakterienwachstum bis zu radioaktivem Zerfall. Das Besondere Die Variable x steht im Exponenten.
Für Punktproben setzt du einfach die Koordinaten in die Funktion ein und prüfst, ob die Gleichung stimmt. Bei Umkehrwerten löst du nach x auf und verwendest den Logarithmus. Das Schema ist immer Gleichung aufstellen → nach b^x umformen → log anwenden.
Schnittpunkte zweier Exponentialfunktionen findest du, indem du sie gleichsetzt und dann logarithmierst. Bei Wachstumsprozessen erkennst du den Startwert (Faktor a) und den Wachstumsfaktor (Basis b) direkt aus der Funktionsgleichung.
Wichtig Der Logarithmus ist dein Werkzeug, um Exponentialgleichungen zu lösen - ohne ihn kommst du bei diesen Aufgaben nicht weiter.
Funktionen zu verschieben, strecken oder spiegeln ist wie das Bearbeiten eines Bildes - du veränderst systematisch das Aussehen des Graphen. Diese Transformationen folgen festen Regeln, die du dir gut merken solltest.
Vertikale Verschiebungen bewegen den ganzen Graphen nach oben oder unten. Horizontale Verschiebungen sind trickreich f verschiebt nach rechts, f nach links - also genau umgekehrt, wie man denkt.
Streckungen und Stauchungen funktionieren über Faktoren a·f(x) verändert die Höhe, f(a·x) die Breite. Bei Spiegelungen machst du Vorzeichen -f(x) spiegelt an der x-Achse, f an der y-Achse.
Eselsbrücke Bei horizontalen Transformationen ist alles umgekehrt - f geht nach rechts, f(2x) staucht den Graphen zusammen.
Die Ableitung einer Funktion zeigt dir die Steigung an jedem Punkt - sie ist wie ein mathematisches Mikroskop, das Veränderungen sichtbar macht. An charakteristischen Punkten passieren besondere Dinge mit dieser Steigung.
Bei Extrempunkten ist die Steigung null, also f'(x) = 0. Die zweite Ableitung entscheidet f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt. Bei Wendepunkten ändert sich die Krümmung, erkennbar an f''(x) = 0.
Die Verbindung zwischen Funktion und Ableitung ist der Schlüssel Wo die Funktion steigt, ist die Ableitung positiv. Wo sie fällt, ist die Ableitung negativ. An Extremstellen wechselt das Vorzeichen der Ableitung.
Visualisierungstipp Stell dir die Ableitung als Geschwindigkeitsmesser vor - sie zeigt an, wie schnell und in welche Richtung sich die Funktion gerade bewegt.
Exponentialfunktionen f(x) = c·a^x sind die mathematische Beschreibung von Prozessen, die sich selbst verstärken oder abschwächen. Der Parameter c ist dein Startwert, a bestimmt, ob es Wachstum (a > 1) oder Zerfall (0 < a < 1) gibt.
Bei Wachstumsprozessen interessiert oft die Verdoppelungszeit - wie lange dauert es, bis sich ein Wert verdoppelt hat? Die Formel T₂ = log(2)/log(a) gibt dir die Antwort. Bei Zerfallsprozessen entsprechend die Halbwertszeit T₁ = log(0,5)/log(a).
Diese Funktionen sind streng monoton Wachstumsfunktionen steigen immer, Zerfallsfunktionen fallen immer. Das macht sie berechenbar und in der Praxis so nützlich - von Zinsenberechnung bis zur Medikamentendosierung.
Realitätsbezug Exponentialfunktionen beschreiben alles von Pandemie-Ausbreitungen bis zu Handy-Akkus - überall, wo Änderungen proportional zum aktuellen Zustand sind.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die verschiedenen Transformationen von Logarithmus-Funktionen, einschließlich Verschiebungen, Streckungen, Stauchungen und Spiegelungen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und allgemeine Skizzen, um das Verständnis der Funktionsänderungen zu erleichtern. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über logarithmische Funktionen vertiefen möchten.
MatheDiese Präsentation bietet eine umfassende Einführung in Logarithmusfunktionen, einschließlich ihrer Gesetze, Eigenschaften und Anwendungen in der Mathematik und anderen Bereichen. Erfahren Sie mehr über die Quotienten-, Produkt- und Potenzregel sowie die graphische Darstellung und historische Entwicklung der Logarithmen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Logarithmengesetze, einschließlich der Regeln für Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen für Schüler der 10. Klasse, um das Verständnis von Logarithmen und ihren Anwendungen zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen von Logarithmen und Exponentialgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt Definitionen, Gesetze der Logarithmen, besondere Logarithmen, sowie Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecke die wesentlichen Eigenschaften und Gesetze des Logarithmus. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Logarithmen zu beliebigen Basen, die Umkehrung von Potenzieren, sowie spezielle Logarithmen wie den dekadischen und natürlichen Logarithmus. Ideal für Studierende, die ein fundiertes Verständnis der logarithmischen Funktionen und deren Anwendungen entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Logarithmengesetze für Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele, um das Verständnis der logarithmischen Eigenschaften zu fördern. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Mi A
@mia_msn
Mathematik kann kompliziert erscheinen, aber diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Konzepte aus der Analysis auf einen Blick. Du lernst hier, wie du Extremalprobleme löst, Funktionen rekonstruierst und mit Exponentialfunktionen arbeitest - alles Themen, die garantiert in deinen Klausuren drankommen... Mehr anzeigen
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Du kennst das Problem: Wie findest du das Maximum oder Minimum einer Funktion in einer realen Situation? Extremalprobleme sind eigentlich nur ein systematisches Vorgehen in vier Schritten.
Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf - das ist die Größe, die du optimieren willst (meist Fläche, Volumen oder Kosten). Dann kommt die Nebenbedingung, die beschreibt, welche Einschränkungen es gibt. Im dritten Schritt bildest du die Zielfunktion, indem du eine Variable aus der Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzt.
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Exponentialfunktionen der Form f(x) = a·b^x beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse, die du überall im Leben findest - von Bakterienwachstum bis zu radioaktivem Zerfall. Das Besondere: Die Variable x steht im Exponenten.
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Die Ableitung einer Funktion zeigt dir die Steigung an jedem Punkt - sie ist wie ein mathematisches Mikroskop, das Veränderungen sichtbar macht. An charakteristischen Punkten passieren besondere Dinge mit dieser Steigung.
Bei Extrempunkten ist die Steigung null, also f'(x) = 0. Die zweite Ableitung entscheidet: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt. Bei Wendepunkten ändert sich die Krümmung, erkennbar an f''(x) = 0.
Die Verbindung zwischen Funktion und Ableitung ist der Schlüssel: Wo die Funktion steigt, ist die Ableitung positiv. Wo sie fällt, ist die Ableitung negativ. An Extremstellen wechselt das Vorzeichen der Ableitung.
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Exponentialfunktionen f(x) = c·a^x sind die mathematische Beschreibung von Prozessen, die sich selbst verstärken oder abschwächen. Der Parameter c ist dein Startwert, a bestimmt, ob es Wachstum (a > 1) oder Zerfall (0 < a < 1) gibt.
Bei Wachstumsprozessen interessiert oft die Verdoppelungszeit - wie lange dauert es, bis sich ein Wert verdoppelt hat? Die Formel T₂ = log(2)/log(a) gibt dir die Antwort. Bei Zerfallsprozessen entsprechend die Halbwertszeit T₁ = log(0,5)/log(a).
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Entdecken Sie die verschiedenen Transformationen von Logarithmus-Funktionen, einschließlich Verschiebungen, Streckungen, Stauchungen und Spiegelungen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und allgemeine Skizzen, um das Verständnis der Funktionsänderungen zu erleichtern. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über logarithmische Funktionen vertiefen möchten.
MatheDiese Präsentation bietet eine umfassende Einführung in Logarithmusfunktionen, einschließlich ihrer Gesetze, Eigenschaften und Anwendungen in der Mathematik und anderen Bereichen. Erfahren Sie mehr über die Quotienten-, Produkt- und Potenzregel sowie die graphische Darstellung und historische Entwicklung der Logarithmen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia S
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