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Wie man Dreiecke und Pyramiden ganz leicht berechnet

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Wie man Dreiecke und Pyramiden ganz leicht berechnet
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Amandine Pisvin

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Die Berechnung von Dreiecksgrößen in Klasse 10cG Mathematik steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Sie umfasst verschiedene geometrische Aufgaben, darunter die Höhenberechnung einer Tanne, die Analyse gleichschenkliger Dreiecke und die Oberflächenberechnung quadratische Pyramide Formel. Zusätzlich wird die Halbzylinder Wasserbehälter Volumenberechnung behandelt.

  • Anwendung trigonometrischer Funktionen zur Lösung praktischer Probleme
  • Berechnung von Dreiecksseiten und -winkeln mit Hilfe des Sinussatzes
  • Oberflächenberechnung geometrischer Körper wie Pyramiden
  • Volumenberechnung eines halbzylindrischen Wasserbehälters

17.8.2021

3264

0 Á Mathematikarbeit Nr. 2 Klasse 10cG A Aufgabe 1: Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten 27 m lang ist und die Sonnenstrahlen unter ei

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Page 2: Solutions for Problems 1 and 2

This page provides detailed solutions for the first two problems of the exam.

Problem 1 Solution: The height of the fir tree is calculated using the tangent function. Given a shadow length of 27m and a sun angle of 38.5°, the tree's height is determined to be 21.48m.

Example: tan(38.5°) × 27m = height of the tree

Problem 2 Solution: For the isosceles triangle with base c = 22m and angle a = 80°, the solution involves:

  1. Calculating the remaining angles (y = 50°)
  2. Using the cosine function to find the length of the equal sides (b ≈ 63.38m)

Highlight: These solutions demonstrate the practical application of Trigonometrie Textaufgaben und Lösungen Klasse 10 PDF.

0 Á Mathematikarbeit Nr. 2 Klasse 10cG A Aufgabe 1: Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten 27 m lang ist und die Sonnenstrahlen unter ei

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Page 6: Completion of Problem 6

This page completes the solution for Problem 6, calculating the surface area of the square pyramid.

The solution involves:

  1. Calculating the area of the square base: 4² = 16 cm²
  2. Determining the area of one triangular face: (1/2) × 4 × 14.14 ≈ 28.28 cm²
  3. Multiplying the face area by 4 and adding the base area

Total surface area = 4 × 28.28 + 16 ≈ 129.12 cm²

Example: Surface Area = Base Area + (Number of Sides × Triangular Face Area)

Highlight: This problem demonstrates the application of both 2D and 3D geometry concepts, typical in Körperberechnung Aufgaben Klasse 10 mit Lösungen.

0 Á Mathematikarbeit Nr. 2 Klasse 10cG A Aufgabe 1: Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten 27 m lang ist und die Sonnenstrahlen unter ei

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Page 7: Solution for Problem 7 (Part A)

This page begins the solution for Problem 7, which involves calculating the surface area of a half-cylinder water trough with a diameter of 1.30m and length of 3.85m.

Part A of the solution focuses on determining the amount of zinc sheet needed to construct the trough:

  1. Calculating the area of the rectangular sides: 1.30m × 3.85m × 2 = 10.01m²
  2. Determining the area of the semicircular end caps: π × (1.30/2)² ÷ 2 × 2 ≈ 1.33m²
  3. Adding these areas together: 10.01m² + 1.33m² = 11.34m²

Vocabulary: Half-cylinder - A three-dimensional shape formed by cutting a cylinder in half lengthwise.

Highlight: This problem combines concepts from Körperberechnung Klasse 10 Gymnasium with practical applications.

0 Á Mathematikarbeit Nr. 2 Klasse 10cG A Aufgabe 1: Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten 27 m lang ist und die Sonnenstrahlen unter ei

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Page 4: Solutions for Problems 4 and 5

This page provides solutions for Problems 4 and 5, demonstrating advanced applications of trigonometry.

Problem 4 Solution: To find the distance between the endpoints of two paths that diverge at a 98° angle with lengths 4.1km and 5.8km, the law of cosines is applied:

d² = 4.1² + 5.8² - 2(4.1)(5.8)cos(98°)

The result shows the endpoints are approximately 7.56km apart.

Problem 5 Solution: This problem involves calculating a mountain's height using two elevation angles (α = 30.11° and β = 35.25°) measured from the ends of a 200m baseline.

The solution uses trigonometric ratios and the law of sines to determine:

  1. The distance from point A to the mountain's base (1288.42m)
  2. The mountain's height (646.38m)

Highlight: These problems exemplify real-world applications of trigonometry, aligning with Anwendungsaufgaben Trigonometrie.

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Page 1: Introduction and Problem Set

This page introduces a mathematics exam for 10th-grade students, presenting seven challenging problems covering trigonometry and geometry.

Key problems include:

  1. Calculating the height of a fir tree using its shadow length and sun angle
  2. Solving for unknown values in an isosceles triangle
  3. Determining side lengths and angles in a triangle
  4. Finding the distance between endpoints of two paths
  5. Calculating a mountain's height using elevation angles
  6. Computing the surface area of a square pyramid
  7. Determining the surface area and volume of a half-cylinder water trough

Highlight: The exam covers a wide range of trigonometric and geometric concepts, emphasizing practical applications and problem-solving skills.

Vocabulary: Isosceles triangle - A triangle with two equal sides and two equal angles.

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Page 3: Solution for Problem 3

This page focuses on solving Problem 3, which involves a triangle with two known sides (a = 73m, b = 64m) and one known angle (α = 80°).

The solution process includes:

  1. Using the law of sines to find angle β
  2. Calculating angle γ using the fact that angles in a triangle sum to 180°
  3. Applying the law of cosines to determine the length of side c

Example: c² = a² + b² - 2ab cos(γ)

The final results are:

  • c ≈ 44.41m
  • β ≈ 62.81°
  • γ ≈ 37.19°

Highlight: This problem showcases the application of multiple trigonometric concepts in a single question, typical of Trigonometrie Aufgaben Klasse 10 Gymnasium.

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Page 8: Solution for Problem 7 (Part B)

This final page completes the solution for Problem 7, calculating the volume of water the half-cylinder trough can hold.

The volume is calculated using the formula for a cylinder, halved:

V = (π × r² × length) ÷ 2 V = (π × (0.65m)² × 3.85m) ÷ 2 V ≈ 2.56 m³

Converting to liters: 2.56 m³ = 2,560 liters

Example: 1 m³ = 1,000 liters

Highlight: This problem showcases the practical application of volume calculations, an important aspect of Geometrie Aufgaben Klasse 10 PDF.

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Page 5: Continuation of Problem 5 and Start of Problem 6

This page concludes the solution for Problem 5 and begins Problem 6.

Problem 5 (continued): The page shows the final calculations confirming the mountain's height as 646.38m, demonstrating the consistency of the trigonometric approach from both measurement points.

Problem 6: This problem involves calculating the surface area of a square pyramid with base side length a = 4cm and slant height hk = 14cm.

The solution begins by calculating the pyramid's height (h) using the Pythagorean theorem:

h² = hk² - (a/2)² h ≈ 13.66cm

Vocabulary: Slant height - The distance from the apex of a pyramid to the middle of one of the base edges.

Highlight: This problem introduces Körperberechnung Aufgaben Klasse 10 PDF, focusing on 3D geometry calculations.

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Problem 1 Solution: The height of the fir tree is calculated using the tangent function. Given a shadow length of 27m and a sun angle of 38.5°, the tree's height is determined to be 21.48m.

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  1. Using the law of sines to find angle β
  2. Calculating angle γ using the fact that angles in a triangle sum to 180°
  3. Applying the law of cosines to determine the length of side c

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  • c ≈ 44.41m
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V = (π × r² × length) ÷ 2 V = (π × (0.65m)² × 3.85m) ÷ 2 V ≈ 2.56 m³

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Example: 1 m³ = 1,000 liters

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Problem 6: This problem involves calculating the surface area of a square pyramid with base side length a = 4cm and slant height hk = 14cm.

The solution begins by calculating the pyramid's height (h) using the Pythagorean theorem:

h² = hk² - (a/2)² h ≈ 13.66cm

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