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Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

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Grundlagen: Bekannte Funktionstypen erklärt

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Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung... Mehr anzeigen

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# zusammenfassung funktionstypen Lineare Funktionen Grundform: $x \mapsto m \cdot x + t$ Beispiel: $x \mapsto 2x - 5$ Maximale Definitio

Lineare und quadratische Funktionen

Lineare Funktionen erkennst du sofort an ihrer Form: f(x)=mx+tf(x) = mx + t. Der Graph ist immer eine gerade Linie - deshalb "linear". Bei m>0m > 0 steigt die Gerade, bei m<0m < 0 fällt sie.

Das Coole: Sie haben genau eine Nullstelle außer bei $m = 0$ und keine Extrempunkte. Die Symmetrie ist punktsymmetrisch zu jedem Punkt auf dem Graphen - das macht sie besonders vorhersagbar.

Quadratische Funktionen haben die Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c und sehen aus wie Parabeln. Der Scheitel ist ihr wichtigster Punkt - er ist entweder das Maximum oder Minimum.

Tipp: Die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac verrät dir sofort, wie viele Nullstellen es gibt: D>0D > 0 bedeutet zwei, D=0D = 0 bedeutet eine, D<0D < 0 bedeutet keine.

# zusammenfassung funktionstypen Lineare Funktionen Grundform: $x \mapsto m \cdot x + t$ Beispiel: $x \mapsto 2x - 5$ Maximale Definitio

Potenz- und ganzrationale Funktionen

Potenzfunktionen mit der Form f(x)=xnf(x) = x^n verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Bei geradem nn hast du eine U-Form mit Achsensymmetrie zur y-Achse. Bei ungeradem nn läuft die Kurve durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch.

Alle Potenzfunktionen haben ihre Nullstelle bei x=0x = 0. Das Steigungsverhalten hängt davon ab, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

Ganzrationale Funktionen sind wie Potenzfunktionen, nur komplizierter: f(x)=anxn+...+a1x+a0f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0. Sie können maximal so viele Nullstellen haben wie ihr Grad angibt.

Merkhilfe: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie (wenn das absolute Glied 0 ist).

# zusammenfassung funktionstypen Lineare Funktionen Grundform: $x \mapsto m \cdot x + t$ Beispiel: $x \mapsto 2x - 5$ Maximale Definitio

Gebrochen-rationale und trigonometrische Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen haben einen Bruch mit Polynomen. Das Wichtigste: Der Nenner darf nie null werden! Diese Stellen sind aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen und oft entstehen dort senkrechte Asymptoten.

Die Nullstellen findest du, indem du den Zähler null setzt - aber nur, wenn diese Stellen auch im Definitionsbereich liegen.

Trigonometrische Funktionen wie f(x)=asin⁡(bx+c)f(x) = a \sin(bx + c) oder f(x)=acos⁡(bx+c)f(x) = a \cos(bx + c) sind die Wellenreiter unter den Funktionen. Sie wiederholen sich ständig - das nennt man Periodizität.

Praxis-Tipp: Bei Sinus und Kosinus liegt die Wertemenge immer zwischen −a-a und aa. Das aa vor der Funktion streckt oder staucht die Amplitude.

# zusammenfassung funktionstypen Lineare Funktionen Grundform: $x \mapsto m \cdot x + t$ Beispiel: $x \mapsto 2x - 5$ Maximale Definitio

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit der Form f(x)=axf(x) = a^x (wobei $a > 0$ und $a ≠ 1$) sind echte Wachstums- oder Zerfallsexperten. Du kennst sie aus der Realität: Bakterienwachstum, Zinsen oder radioaktiver Zerfall.

Sie haben keine Nullstellen und keine Extrempunkte - dafür aber ein klares Steigungsverhalten. Bei a>1a > 1 wachsen sie exponentiell, bei a<1a < 1 fallen sie exponentiell ab.

Die Wertemenge ist immer ]0;+∞[]0; +∞[, das bedeutet die Funktion wird nie negativ und kommt der x-Achse nur unendlich nah.

Wichtig für Klausuren: Exponentialfunktionen sind weder achsen- noch punktsymmetrisch - das unterscheidet sie von vielen anderen Funktionstypen.



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

 

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Lineare und quadratische Funktionen

Lineare Funktionen erkennst du sofort an ihrer Form: f(x)=mx+tf(x) = mx + t. Der Graph ist immer eine gerade Linie - deshalb "linear". Bei m>0m > 0 steigt die Gerade, bei m<0m < 0 fällt sie.

Das Coole: Sie haben genau eine Nullstelle außer bei $m = 0$ und keine Extrempunkte. Die Symmetrie ist punktsymmetrisch zu jedem Punkt auf dem Graphen - das macht sie besonders vorhersagbar.

Quadratische Funktionen haben die Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c und sehen aus wie Parabeln. Der Scheitel ist ihr wichtigster Punkt - er ist entweder das Maximum oder Minimum.

Tipp: Die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac verrät dir sofort, wie viele Nullstellen es gibt: D>0D > 0 bedeutet zwei, D=0D = 0 bedeutet eine, D<0D < 0 bedeutet keine.

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Potenz- und ganzrationale Funktionen

Potenzfunktionen mit der Form f(x)=xnf(x) = x^n verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Bei geradem nn hast du eine U-Form mit Achsensymmetrie zur y-Achse. Bei ungeradem nn läuft die Kurve durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch.

Alle Potenzfunktionen haben ihre Nullstelle bei x=0x = 0. Das Steigungsverhalten hängt davon ab, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

Ganzrationale Funktionen sind wie Potenzfunktionen, nur komplizierter: f(x)=anxn+...+a1x+a0f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0. Sie können maximal so viele Nullstellen haben wie ihr Grad angibt.

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Gebrochen-rationale und trigonometrische Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen haben einen Bruch mit Polynomen. Das Wichtigste: Der Nenner darf nie null werden! Diese Stellen sind aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen und oft entstehen dort senkrechte Asymptoten.

Die Nullstellen findest du, indem du den Zähler null setzt - aber nur, wenn diese Stellen auch im Definitionsbereich liegen.

Trigonometrische Funktionen wie f(x)=asin⁡(bx+c)f(x) = a \sin(bx + c) oder f(x)=acos⁡(bx+c)f(x) = a \cos(bx + c) sind die Wellenreiter unter den Funktionen. Sie wiederholen sich ständig - das nennt man Periodizität.

Praxis-Tipp: Bei Sinus und Kosinus liegt die Wertemenge immer zwischen −a-a und aa. Das aa vor der Funktion streckt oder staucht die Amplitude.

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Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit der Form f(x)=axf(x) = a^x (wobei $a > 0$ und $a ≠ 1$) sind echte Wachstums- oder Zerfallsexperten. Du kennst sie aus der Realität: Bakterienwachstum, Zinsen oder radioaktiver Zerfall.

Sie haben keine Nullstellen und keine Extrempunkte - dafür aber ein klares Steigungsverhalten. Bei a>1a > 1 wachsen sie exponentiell, bei a<1a < 1 fallen sie exponentiell ab.

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Lineare Funktionen verstehen

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Stefan S

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Samantha Klich

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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