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Mathe
9. Dez. 2025
1.482
3 Seiten
Mila @mila0516
Dreiecke in der analytischen Geometrie zu untersuchen ist eigentlich ziemlich simpel, wenn du die richtigen Methoden kennst. Mit... Mehr anzeigen
Du fragst dich, wie man mathematisch beweist, welche Art von Dreieck vorliegt? Die Antwort liegt in Vektoren und deren Eigenschaften.
Für ein gleichschenkliges Dreieck berechnest du die Längen aller drei Seiten mit der Formel . Sind zwei Seitenlängen identisch, hast du ein gleichschenkliges Dreieck. Im ersten Beispiel mit den Punkten A(1|-2|2), B(3|2|1) und C(3|0|3) sind alle drei Seitenlängen unterschiedlich - also nicht gleichschenklig.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck nutzt du das Skalarprodukt. Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt null. Im zweiten Beispiel ergibt , was bedeutet Das Dreieck hat bei C einen rechten Winkel.
Tipp Für den Nachweis eines rechten Winkels musst du alle drei möglichen Vektorpaare testen - der rechte Winkel kann an jedem der drei Eckpunkte liegen!
Ein gleichseitiges Dreieck ist der Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks Hier müssen alle drei Seiten exakt gleich lang sein. Das erkennst du daran, dass gilt.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel . Diese Formel ist dein wichtigstes Werkzeug für Längenvergleiche.
Für Parallelogramme gilt eine einfache Regel Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Mathematisch bedeutet das und . Wenn du den vierten Punkt D suchst, nutzt du die Beziehung .
Merkhilfe Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Vektoren identisch - das macht die Berechnung des vierten Eckpunkts zum Kinderspiel!
Geradengleichungen in der Vektorform siehen komplizierter aus, als sie sind. Du brauchst nur einen Stützvektor (einen beliebigen Punkt auf der Gerade) und einen Richtungsvektor (die Richtung der Gerade).
Die allgemeine Form lautet . Dabei ist der Stützvektor, der Richtungsvektor und ein Parameter. Den Richtungsvektor erhältst du durch aus zwei gegebenen Punkten.
Um weitere Punkte auf der Geraden zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für ein. Mit im Beispiel erhältst du den Punkt P(5|-6|16).
Ob ein Punkt auf der Geraden liegt, prüfst du durch Gleichsetzen. Du setzt die Koordinaten des Punktes gleich der Geradengleichung und löst nach auf. Ergeben alle drei Gleichungen denselben -Wert, liegt der Punkt auf der Geraden - ansonsten nicht.
Praxis-Tipp Beim Prüfen von Punkten reicht es oft, nur zwei der drei Gleichungen zu lösen. Wenn diese schon unterschiedliche -Werte ergeben, liegt der Punkt definitiv nicht auf der Geraden!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Konzepte von Schnittpunkten und Abständen zwischen Linien im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Schnittpunkten, die Analyse von Richtungsvektoren und die Bestimmung von Abständen zwischen Punkten und Linien. Ideal für Schüler der Qualifikationsphase im Mathematikunterricht. (Lambacher Schweizer, S. 187-188)
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion und Linearkombination. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Vektoroperationen und deren geometrischen Interpretationen, ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Mila
@mila0516
Dreiecke in der analytischen Geometrie zu untersuchen ist eigentlich ziemlich simpel, wenn du die richtigen Methoden kennst. Mit Vektoren kannst du schnell herausfinden, ob ein Dreieck gleichschenklig, gleichseitig oder rechtwinklig ist.
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Du fragst dich, wie man mathematisch beweist, welche Art von Dreieck vorliegt? Die Antwort liegt in Vektoren und deren Eigenschaften.
Für ein gleichschenkliges Dreieck berechnest du die Längen aller drei Seiten mit der Formel . Sind zwei Seitenlängen identisch, hast du ein gleichschenkliges Dreieck. Im ersten Beispiel mit den Punkten A(1|-2|2), B(3|2|1) und C(3|0|3) sind alle drei Seitenlängen unterschiedlich - also nicht gleichschenklig.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck nutzt du das Skalarprodukt. Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt null. Im zweiten Beispiel ergibt , was bedeutet: Das Dreieck hat bei C einen rechten Winkel.
Tipp: Für den Nachweis eines rechten Winkels musst du alle drei möglichen Vektorpaare testen - der rechte Winkel kann an jedem der drei Eckpunkte liegen!
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Ein gleichseitiges Dreieck ist der Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks: Hier müssen alle drei Seiten exakt gleich lang sein. Das erkennst du daran, dass gilt.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel . Diese Formel ist dein wichtigstes Werkzeug für Längenvergleiche.
Für Parallelogramme gilt eine einfache Regel: Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Mathematisch bedeutet das und . Wenn du den vierten Punkt D suchst, nutzt du die Beziehung .
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Geradengleichungen in der Vektorform siehen komplizierter aus, als sie sind. Du brauchst nur einen Stützvektor (einen beliebigen Punkt auf der Gerade) und einen Richtungsvektor (die Richtung der Gerade).
Die allgemeine Form lautet: . Dabei ist der Stützvektor, der Richtungsvektor und ein Parameter. Den Richtungsvektor erhältst du durch aus zwei gegebenen Punkten.
Um weitere Punkte auf der Geraden zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für ein. Mit im Beispiel erhältst du den Punkt P(5|-6|16).
Ob ein Punkt auf der Geraden liegt, prüfst du durch Gleichsetzen. Du setzt die Koordinaten des Punktes gleich der Geradengleichung und löst nach auf. Ergeben alle drei Gleichungen denselben -Wert, liegt der Punkt auf der Geraden - ansonsten nicht.
Praxis-Tipp: Beim Prüfen von Punkten reicht es oft, nur zwei der drei Gleichungen zu lösen. Wenn diese schon unterschiedliche -Werte ergeben, liegt der Punkt definitiv nicht auf der Geraden!
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Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Konzepte von Schnittpunkten und Abständen zwischen Linien im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Schnittpunkten, die Analyse von Richtungsvektoren und die Bestimmung von Abständen zwischen Punkten und Linien. Ideal für Schüler der Qualifikationsphase im Mathematikunterricht. (Lambacher Schweizer, S. 187-188)
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion und Linearkombination. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Vektoroperationen und deren geometrischen Interpretationen, ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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