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Vektoren
12.3.2021
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Thema: Vektorbegritt und Länge eines Vektors Merksätze und Beispiele: Die Verschiebung zwischen zwei Punkten P und Q bezeichnet man als Vektor. Man schreibt bspw.: a = PQ = 3. (x-Koordinate 2; y-Koordinate 3; z- (3) 4 Koordinate 4). 0 Vektor o=0 heißt Nullvektor. 0 Berechnung eines Verschiebungsvektors zwischen zwei Punkten: Punkte (b₁-a₁ A(a₁a2a3) und B(b₁ b2 | b3). Dann gilt: AB=b₂-a₂ b3 a 3 Jeder Punkt kann als Vektor dargestellt werden (sog. Ortsvektor) - Unterscheide zwischen Punkt und Vektor: Beispiel: P(2|3|4) oder OP = 3 Die Länge eines Vektors (den Betrag) berechnet man mit [v] = √v² + v² + v² Hinweis: Für den Abstand zweier Punkte berechnet man die Länge des Vektors AB und dann den Betrag. Für den Mittelpunkt einer Strecke gilt: M = (*₁+x2|Y₁+² | ²1+²2) Beispiel 1: Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen mit P(3|4|7) und Q(2|6|2) 2-3) - (-4)-(²) = 2 2-7 Es ist v = PQ Beispiel 2: Abstand zwischen zwei Punkten (Länge eines Vektors) bestimmen mit A(11-11-2) und B(5|716) Schritt 1: Verbindungsvektor zwischen A und B aufstellen: 5-1 = = (41) AB= 7- (-1) =8 \6-(-2), Schritt 2: Betrag des Vektors berechnen |AB| = |(4)² + (8)² + (8)² = 12 Thema: Rechnen mit Vektoren Merksätze und Beispiele: Vektoren werden koordinatenweise addiert/subtrahiert. Es ist: Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl (einem Skalar) multipliziert, indem jede seine Koordinaten mit s multipliziert wird. Es ist: (-3,5). -3 W = ū+ v = 2 -7 00 10,5 → Zwei Vektoren heißen parallel,...
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wenn sie Vielfache voneinander sind → Vektoren sind kollinear Beispiel: Prüfung eines Vektors auf Kollinearität: -2=r 4 kollinear für r=-0,5 AB= (²) -()+()-() 4 -3 = Mittelpunktsrechnung mithilfe von Vektoren: Beispiel: A(11012) und B(3|2|1) OM=OA + AB (9)+(1)-(1) = -0,5/ 0 2 -1,5, M(2|11-1,5) 3. Übungen: Pflicht: Arbeitsblatt Rechnen mit Vektoren Pflichtaufgaben sowie Buch S. 60 Aufgabe 15a)-d), S. 66 7a)-c) Vertiefung: Vertiefende Aufgaben auf AB sowie Buch S. 66 Aufgabe 10 Thema: Das Skalarprodukt - Orthogonalität von Vektoren Merksätze und Beispiele: U1 Beim Skalarprodukt wird den beiden Vektoren u = U₂ und v uz reelle Zahl zugeordnet. Man schreibt: v=u₁v₁+U₂v₂ +3v3. Merke: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Lvwenn u v=0 2 Beispiel: -4 und v = 3 8 1 2 8 ūv=-4·| 1 = 2.8+(-4)·1+3.(-4)=0 also ulv 3 V1 V2 eine V3 Unterscheide und Merke: Wenn Vektor mit Vektor multipliziert wird → Skalarprodukt anwenden → Zwei Vektoren wird eine Zahl zugeordnet Wenn Vektor mit Zahl multipliziert wird: Vervielfachung des Vektors Thema: Winkel zwischen zwei Vektoren Merksätze und Beispiele: Für den Winkel zwischen zwei Vektoren und gilt: cos(p) = 0° ≤ ≤180°. Skizze: L Beispiel: ū= 2 V = 0; Winkel zwischen u und v? 3 |u| = √√(-2)² + (2)² + (1)² = 3 ; |v| = √(4)² + (0)² + (3)² = 5 u v = (-2) 4+2·0+1· 3= −5; Einsetzen in Formel liefert: -5 1 cos(p)= ; also y 109,5° 3.5 3 Wichtig: Taschenrechner zuvor auf Gradmaß (DEG) stellen. Thema: Untersuchung von Figuren und Körpern ū.v |uv| mit Merksätze und Beispiele: Eigenschaften von Figuren/Nachweise mit Vektoren: Trapez: gegenüberliegende Seiten parallel (Kollinearität zweier gegenüberliegender Vektoren) Parallelogramm: jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel/gleichlang (Kollinearität jeweils zwei gegenüberliegender Vektoren/gleiche Beträge der Vektoren) Raute: alle Seiten sind gleich lang (alle Vektoren haben gleichen Betrag) Rechteck: gegenüberliegende Seiten parallel/gleichlang, rechter Winkel (Kollinearität jeweils zwei gegenüberliegender Vektoren/gleiche Beträge der Vektoren und Skalarprodukt zweier nebeneinander liegender Vektoren ergibt null) Quadrat: Alle Seiten sind gleich lang, rechter Winkel (alle Vektoren haben gleichen Betrag, Skalarprodukt zweier nebeneinander liegender Vektoren ergibt null) Beispiel: Gesucht ist ein Punkt D, sodass A(125), B(-188) und C(-7|5|10) zum Parallelogramm werden. Es ist OD OA + BC = = (-7-(-3 =-(-)-(²) 5-8 10-8 2+ -3 BC -1 und damit D(-5|-1|7) 7 Übung: Pflicht: Buch S. 84 Aufgabe 2 und 5 Vertiefung: Basis-Mittel: S. 59 Aufgabe 10 c) und d), Aufgabe 11, S. 82 Aufgabe 1 Erhöht: S. 84 Aufgabe 2