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Vektorrechnung

Winkel zwischen zwei vektoren

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5. Okt. 2021

•

4 Seiten

Lernzettel Analytische Geometrie: Grundlagen und Vektoren einfach erklärt

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Lysann.Marlin

@lysann.marlin

Analytische Geometrie und Vektorrechnung- Ein umfassender Überblick über dreidimensionale... Mehr anzeigen

<p>Die analytische Geometrie beschreibt die Lagebeziehungen von Geraden, die im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie umfasst die Grund

Vektoroperationen und Berechnungen

Die Vektorrechnung umfasst grundlegende Operationen wie Addition, Subtraktion und die Arbeit mit Gegenvektoren.

Definition: Der Gegenvektor -a⃗ hat die gleiche Länge und Richtung wie a⃗, aber eine entgegengesetzte Orientierung.

Example: Bei der Vektoraddition werden die Vektoren aneinandergehängt, der Summenvektor verläuft vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Vektors.

Highlight: Vektoroperationen finden Anwendung bei Punktverschiebungen und Abstandsberechnungen.

<p>Die analytische Geometrie beschreibt die Lagebeziehungen von Geraden, die im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie umfasst die Grund

Vektorlängen und Mittelpunktsberechnungen

Die Berechnung von Vektorlängen und die Bestimmung von Streckenmittelpunkten sind zentrale Konzepte der analytischen Geometrie.

Definition: Die Länge eines Vektors wird durch die Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten berechnet.

Example: Für einen Vektor a⃗ = 3,4,23,4,2 beträgt die Länge |a⃗| = √32+42+223² + 4² + 2²

Highlight: Der Mittelpunkt einer Strecke kann über verschiedene Methoden bestimmt werden, etwa durch Vektoraddition oder -subtraktion.

<p>Die analytische Geometrie beschreibt die Lagebeziehungen von Geraden, die im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie umfasst die Grund

Geradengleichungen und Punktproben

Die Darstellung von Geraden mittels Vektoren und die Überprüfung von Punktlagen sind wichtige Anwendungen.

Definition: Eine Gerade wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor oder durch zwei Punkte eindeutig bestimmt.

Example: Für eine Gerade durch die Punkte A4,0,44,0,4 und B0,4,00,4,0 lautet die Parameterform: g: x⃗ = 4,0,44,0,4 + t−4,4,−4-4,4,-4

Highlight: Die Punktprobe ermöglicht die Überprüfung, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem man den Parameter t berechnet.

<p>Die analytische Geometrie beschreibt die Lagebeziehungen von Geraden, die im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie umfasst die Grund

Grundlagen der Analytischen Geometrie und Vektoren

Das dreidimensionale Koordinatensystem bildet die Basis der analytischen Geometrie. Die drei Hauptebenen werden definiert durch:

  • xy-Ebene FußbodenFußboden: Alle Punkte mit z-Koordinate = 0
  • yz-Ebene SmartboardseiteSmartboardseite: Alle Punkte mit x-Koordinate = 0
  • xz-Ebene FensterseiteFensterseite: Alle Punkte mit y-Koordinate = 0

Definition: Ein Vektor wird durch Länge, Richtung und Orientierung charakterisiert.

Vocabulary: Der Ortsvektor ist ein spezieller Vektor, der immer im Ursprung beginnt.

Example: Ein Punkt A2,3,2.52,3,2.5 wird durch den Ortsvektor a⃗ = 2,3,2.52,3,2.5 beschrieben.

Highlight: Die zeichnerische Darstellung folgt der alphabetischen Reihenfolge der Koordinaten.



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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Analytische Geometrie und Vektorrechnung - Ein umfassender Überblick über dreidimensionale Koordinatensysteme und Vektoroperationen.

• Die analytische Geometrie Grundlagen umfassen das dreidimensionale Koordinatensystem mit xy-, yz- und xz-Ebenen
• Vektoren Grundlagenwerden sowohl zeichnerisch als auch algebraisch erklärt, mit Fokus auf... Mehr anzeigen

<p>Die analytische Geometrie beschreibt die Lagebeziehungen von Geraden, die im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie umfasst die Grund

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Vektoroperationen und Berechnungen

Die Vektorrechnung umfasst grundlegende Operationen wie Addition, Subtraktion und die Arbeit mit Gegenvektoren.

Definition: Der Gegenvektor -a⃗ hat die gleiche Länge und Richtung wie a⃗, aber eine entgegengesetzte Orientierung.

Example: Bei der Vektoraddition werden die Vektoren aneinandergehängt, der Summenvektor verläuft vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Vektors.

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Vektorlängen und Mittelpunktsberechnungen

Die Berechnung von Vektorlängen und die Bestimmung von Streckenmittelpunkten sind zentrale Konzepte der analytischen Geometrie.

Definition: Die Länge eines Vektors wird durch die Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten berechnet.

Example: Für einen Vektor a⃗ = 3,4,23,4,2 beträgt die Länge |a⃗| = √32+42+223² + 4² + 2²

Highlight: Der Mittelpunkt einer Strecke kann über verschiedene Methoden bestimmt werden, etwa durch Vektoraddition oder -subtraktion.

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Geradengleichungen und Punktproben

Die Darstellung von Geraden mittels Vektoren und die Überprüfung von Punktlagen sind wichtige Anwendungen.

Definition: Eine Gerade wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor oder durch zwei Punkte eindeutig bestimmt.

Example: Für eine Gerade durch die Punkte A4,0,44,0,4 und B0,4,00,4,0 lautet die Parameterform: g: x⃗ = 4,0,44,0,4 + t−4,4,−4-4,4,-4

Highlight: Die Punktprobe ermöglicht die Überprüfung, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem man den Parameter t berechnet.

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Grundlagen der Analytischen Geometrie und Vektoren

Das dreidimensionale Koordinatensystem bildet die Basis der analytischen Geometrie. Die drei Hauptebenen werden definiert durch:

  • xy-Ebene FußbodenFußboden: Alle Punkte mit z-Koordinate = 0
  • yz-Ebene SmartboardseiteSmartboardseite: Alle Punkte mit x-Koordinate = 0
  • xz-Ebene FensterseiteFensterseite: Alle Punkte mit y-Koordinate = 0

Definition: Ein Vektor wird durch Länge, Richtung und Orientierung charakterisiert.

Vocabulary: Der Ortsvektor ist ein spezieller Vektor, der immer im Ursprung beginnt.

Example: Ein Punkt A2,3,2.52,3,2.5 wird durch den Ortsvektor a⃗ = 2,3,2.52,3,2.5 beschrieben.

Highlight: Die zeichnerische Darstellung folgt der alphabetischen Reihenfolge der Koordinaten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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