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Lernzettel - Analytische Geometrie

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Lernzettel - Analytische Geometrie

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Analytische Geometrie
> alle Punkte die in der
yz - Ebene liegen, dessen
X-Koordinate ist O.
> alle Punkte die in der
xz - Ebene lieg

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Generelles über Vektoren Rechnungen mit Vektoren Geraden eines Vektors Geschwindigkeiten mit Vektoren

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> > < Analytische Geometrie > alle Punkte die in der yz - Ebene liegen, dessen X-Koordinate ist O. > alle Punkte die in der xz - Ebene liegen, dessen y-Koordinate 1st 0. Definition Vektor Zeichnerisch: > beschreibt die Tiefe Ortsvektor X / X₁ XZ-Ebene (Fensterseite) z/x3 A 03 02 3 X / XA beim Zeichnen wird die Reihenfolge des Alphabets" befolgt ein Punkt kann auf verschiedenen Wegen erreicht werden 1 Q₁ 1) Die Menge aller Pfeile die in Länge i übereinstimmen, nennt man Vektor > Vektor a kann durch beliebig viele Repräsentanten dargestellt werden, die untereinander parallelgleich sind. > beschreibt die z / X3 Algebraisch: > Jedes n-Tupel reeller Zahlen bildet einen vektor, stimmen sie in allen Zahlen und deren Reihenfolge überein, so sind sie gleich Bsp.: (11213) (1 12 13); (1 12 13) + (1132) y / x2 yz - Ebene (Smartboardseite) xy-Ebene (Fußboden) 2) Richung; 3) Orientierung Hōhe 4 > der Ortsvektor startet immer und endet im Punkt Bsp: (²³5); A(21312,5) 2,5 y / x₂ > alle Punkte die in der xy-Ebene liegen, dessen bordinate 1st O. ढे > beschreibt die Breite 10 10 10 im Ursprungu(o 10 10) A(a₁ 19₂ 10₂) Gegenvektor wenn zwei twei n- - Tupel sich in allen Vorzeichen aller Zahlen unterscheiden: > > -a ist der Vektor, der in Länge und Richtung mit à übereinstimmt, jedoch eine entgegengesetzte Orientierung aufweist. Vektor berechnung Addition: geometrisch: 10 8-6 rechnerisch: 10 Subtraktion: geometrisch: Verwendungszweck: > Punkt verschiebung 기 6 10 rechnerisch: > Die Vektoren werden aneinander" gehangen. (Anfang von 5 an Ende von a) Die Summe + 6 verläuft vom Anfang d zum Ende 6. a-b > ¯+6 - ()-(1)-(6) a+b b2 = ܐܘ = 03 63/ > Die Vektoren an beiden Anfangspunkten zusammenfügen > Der Differenzvektor a-6 verläuft vom...

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Ende zum Ende d. Verwendungszweck: > Vektorverschiebung > Abstand zwischen zwei Punkten > Länge eines Vektors > 0-5 - ()-(1)-(3) = a3- Punktverschiebung mit Vektoren (3) verschiebt A(11113) zu Á (-1/216) à (3) ૫ ૦ (૩) V - = AA = a-a = = = 62²10: 0² - ² + 1 - 9 ; ) - ( 1 ) = (8) = (3) falls AA BB CC V gilt ist z. B. ein Dreieck ABC identisch mit A'B'C' (verschoben). 1pt 19 Beispiel: P(01311); J (²³²); p'(?) OP = P = ($) OP + = = P² - P - V - (3) - (23) - (2) P (41012) = P² = (?) Beispiel: G(11311); R (51012) OG = g = (³) ; OR =†` = (§) GR - - - (8) - ( § ) - () = = weg Erel Start 10 Länge (Betrag) eines Vektors berechnen > reelle Zahl 101 a3/ OÀ = à - l Bsp.: a = (9) Beispiel: P₁ (41311); P₂ (6151-2) P= PROP₁ OP₁ = (1)-(3) - (²) = 101 = √√22² +2²+(-3)²¹ √14+4+9 17 > = Länge: Täl Länge: 101 = |(2)| Abstand zwischen zwei Punkten berechnen 1. Variante P = P₁ P₂ = OP₂-OP₁ → Ipl = √p₁²+ p₂²+ P3² - > = Vervielfachen eines Vektors Multiplikation mit einem Skalar a: √ä² 圓 Skalar reelle Zahl Sandert nicht die Richtung des Vektors, sondern nur die Länge und ggf. die Orientierung. M- Mittelpunkt, Strecke AB OM = 1/2 (OA+08) = Definition Vektor: a: [0] (unten rechts) = •√a₂₁² + a₂²³² + 0 ²³² √5² +4² +2²² 45 Bsp.: A(31-417), B(-918/3) OM = 1/₂ ( ( ²³ ) + ( 3 )) 112 () = (0) (Vektoraddition) dies ist genau dann der Fall, wenn sie parallel sind > a = m.6 all b > 10 = Lineare Abhängigkeit / prüfen von Vielfachheit gilt amb so sind à und 6 linear abhängig GTR oder: Mittelpunkt einer Strecke bestimmen 1. Variante 2. Variante M = Mittelpunkt, Strecke AB OM = OA +¹2 AB 1 2. Variante 1pl= | p₁p₂l = √(P2 - p^)² + (p₂-P₁³² + (P₂-P₁³²¹ ↳ falls 6-ra gilt GTR Beispiel: P₁ (41311); P₂ (6 151-2) 1p1 = |P₁P₂| = √(6-4)² + (5-3)² + (−2−1)² = √ 4 + 4 + 9 1 √ 17 menu 7-7-1 ↳norm (1 menu 7-7-1 norm (a) / norm ([P] - [a]) La famm r.a für r> / für o<r <d K für r < -1 a 11 b Beispiel: a = (3³), 5(!) → ( 1 ) = m. (³) M. ->> ↑ nicht parallel 6= 2m 3m = -13 663 = prüfe a= m. b 6 = m. a 3. Variante M= Mittelpunkt, Strecke AB OM = OÀ + 11₂ (08-JÀ) (Vektorsubtraktion) ED für -1 < < O 3-m 3-m -3-m oder Gerade eines Vektors berechnen Gegeben: Punkt A Eg (→ und Richtungsvektor u von g gix-a+tu mit te Beispiel: Gegeben: 2 Punkte A(41014) B(01410) Gesucht: Geradengleichung (in Parameterform) 9: x = a + t (6-0) 9₁ = (4) + +₁(84) - (4) + +- (2) tER t. I Ermittlung von Punkten auf Geraden > für + eine Bsp.: t-0 t = 1 ist Orts - bzw. Stützvektor) > > t=2 x = (-3) x 대 Tx 1x = = x = тогтот тот +0. zahl in die Gleichung einsetzen und ausrechnen TITT-TT 4. (4) (3) +2. Ermitteln, ob der Punkt auf der Geraden liegt > Gerade bilden Prüfen ob der Punkt auf der Gerade liegt kleiner als 0 = vor dem einem Punkt → zwischen 0 und 1 = zwischen zwei Punkten größer als 1 = hinter dem anderem Punkt liegt der Punkt auf der Geraden so ist op g: मै = = = Punktprobe Beispiele: 1) Liegt der Punkt P(81-418) auf der Geraden? 1-(6) P(41014) (å P(01410) (4) P(-418-4) 1350 [m pro Min] •60 = 81 km 1h = t →der Punkt liegt mit t= -1 auf der Geraden, vor dem einem Punkt B Geschwindigkeit mit Vektoren 1) Betrag des Vektors errechnen 2) ggf. von Meter pro Minute auf Kilometer pro 450 Bsp.: V = 1200/ ;IVI 1150²+600²+1200²² 1350 Gegeben: Punkt A und 3 Eg g:x=a + t. (AB) (wenn kein Richtungsvektor gegeben ist, muss dieser [AB] erst ausgerechnet werden) t. 2) Liegt der Punkt Q (311/2) auf der Geraden? (5=(8) +++ (5) (៥). 1- (8) (4) (4 (3) = Stunde umrechnen = t. 412 t für t liegt kein einheitlicher wert vor, deswegen liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden

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X-Koordinate ist O.
> alle Punkte die in der
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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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