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19. Dez. 2025
•
Anni
@anni_iqaa
Die analytische Geometrie im Raum ist das Werkzeug, mit dem... Mehr anzeigen
Das dreidimensionale Koordinatensystem funktioniert wie ein GPS für den Raum. Jeder Punkt P wird durch drei Koordinaten beschrieben: P(x₁|x₂|x₃), sozusagen euer "Fahrplan" zum gewünschten Ort.
Vektoren sind eure Wegbeschreibungen im Raum – sie zeigen, wie ihr von einem Punkt zum anderen kommt. Die Formel ist simpel: "Spitze minus Anfang". Wollt ihr von A(-1|4|5) nach B(3|-2|6), rechnet ihr einfach: .
Der Ortsvektor führt immer vom Ursprung zu eurem Zielpunkt. Die Länge eines Vektors berechnet ihr mit – das ist praktisch der 3D-Pythagoras.
Merktipp: Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor.
Spiegeln von Punkten ist einfacher als gedacht: Je nachdem, woran ihr spiegelt, multipliziert ihr bestimmte Koordinaten mit (-1). An der x₁x₂-Ebene? Dann wird nur x₃ negativ. Am Ursprung? Alle drei Koordinaten werden negativ.
Das Rechnen mit Vektoren folgt logischen Regeln: Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise. Beim Vervielfachen mit einer Zahl r werden alle Komponenten mit r multipliziert – die Vektoren bleiben parallel zueinander.
Die Dreiecksregel ist wie eine Wegkette: Von P nach Q, dann von Q nach R führt direkt von P nach R. Bei Parallelogrammen sind gegenüberliegende Seiten gleich lang – das könnt ihr mit Vektorlängen überprüfen.
Praxis-Tipp: Für Dreieckstypen messt ihr einfach alle Seitenlängen: gleich = gleichseitig, zwei gleich = gleichschenklig, alle verschieden = unregelmäßig.
Den Mittelpunkt einer Strecke findet ihr mit der Formel – ihr addiert die Ortsvektoren und halbiert das Ergebnis. Das ist wie der Durchschnitt zweier Positionen.
Parameterdarstellungen von Geraden sind euer Universalwerkzeug: . Der Stützvektor gibt einen festen Punkt auf der Gerade an, der Richtungsvektor zeigt die Richtung. Mit dem Parameter r könnt ihr jeden beliebigen Punkt auf der Gerade erreichen.
Für eine Punktprobe setzt ihr die Koordinaten des fraglichen Punkts mit der Geradengleichung gleich. Ihr erhaltet drei Gleichungen, die ihr nach r auflöst – wenn r überall gleich ist, liegt der Punkt auf der Gerade.
Achtung: Der berechnete r-Wert muss auch im erlaubten Intervall liegen, falls die Gerade begrenzt ist!
Parallele Geraden erkennt ihr sofort: Ihre Richtungsvektoren sind identisch oder Vielfache voneinander. Zwei Geraden mit sind definitiv parallel.
Die Lagebeziehungen bestimmt ihr systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt ein Stützpunkt auf der anderen Gerade? Diese Fragen führen euch zu vier möglichen Ergebnissen: identisch, parallel, schneidend oder windschief.
Für Schnittpunkte setzt ihr beide Geradengleichungen gleich und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Habt ihr genau eine Lösung für r und s, schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt S bekommt ihr, indem ihr r oder s in eine der Geradengleichungen einsetzt.
CAS-Tipp: Nutzt "lin solve" im Algebra-Menü, um komplizierte Gleichungssysteme schnell zu lösen!
Das Skalarprodukt ist mega nützlich: Ist das Ergebnis 0, stehen die Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal).
Mit der Formel berechnet ihr Winkel zwischen Vektoren. Das Skalarprodukt verbindet Längen und Winkel elegant miteinander.
Spurpunkte sind die Stellen, wo eine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt. Für die x₁x₂-Ebene setzt ihr die dritte Komponente gleich 0 und löst nach r auf. Dann setzt ihr r in die komplette Geradengleichung ein – fertig ist euer Spurpunkt.
Eselsbrücke: Spurpunkt x₁x₂-Ebene → x₃ = 0, Spurpunkt x₂x₃-Ebene → x₁ = 0, Spurpunkt x₁x₃-Ebene → x₂ = 0.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anni
@anni_iqaa
Die analytische Geometrie im Raum ist das Werkzeug, mit dem ihr dreidimensionale Probleme mathematisch löst. Stellt euch vor, ihr müsst den Schnittpunkt zweier Flugbahnen berechnen oder herausfinden, ob zwei Straßen parallel verlaufen – genau dafür braucht ihr diese Konzepte.
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Das dreidimensionale Koordinatensystem funktioniert wie ein GPS für den Raum. Jeder Punkt P wird durch drei Koordinaten beschrieben: P(x₁|x₂|x₃), sozusagen euer "Fahrplan" zum gewünschten Ort.
Vektoren sind eure Wegbeschreibungen im Raum – sie zeigen, wie ihr von einem Punkt zum anderen kommt. Die Formel ist simpel: "Spitze minus Anfang". Wollt ihr von A(-1|4|5) nach B(3|-2|6), rechnet ihr einfach: .
Der Ortsvektor führt immer vom Ursprung zu eurem Zielpunkt. Die Länge eines Vektors berechnet ihr mit – das ist praktisch der 3D-Pythagoras.
Merktipp: Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor.
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Spiegeln von Punkten ist einfacher als gedacht: Je nachdem, woran ihr spiegelt, multipliziert ihr bestimmte Koordinaten mit (-1). An der x₁x₂-Ebene? Dann wird nur x₃ negativ. Am Ursprung? Alle drei Koordinaten werden negativ.
Das Rechnen mit Vektoren folgt logischen Regeln: Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise. Beim Vervielfachen mit einer Zahl r werden alle Komponenten mit r multipliziert – die Vektoren bleiben parallel zueinander.
Die Dreiecksregel ist wie eine Wegkette: Von P nach Q, dann von Q nach R führt direkt von P nach R. Bei Parallelogrammen sind gegenüberliegende Seiten gleich lang – das könnt ihr mit Vektorlängen überprüfen.
Praxis-Tipp: Für Dreieckstypen messt ihr einfach alle Seitenlängen: gleich = gleichseitig, zwei gleich = gleichschenklig, alle verschieden = unregelmäßig.
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Den Mittelpunkt einer Strecke findet ihr mit der Formel – ihr addiert die Ortsvektoren und halbiert das Ergebnis. Das ist wie der Durchschnitt zweier Positionen.
Parameterdarstellungen von Geraden sind euer Universalwerkzeug: . Der Stützvektor gibt einen festen Punkt auf der Gerade an, der Richtungsvektor zeigt die Richtung. Mit dem Parameter r könnt ihr jeden beliebigen Punkt auf der Gerade erreichen.
Für eine Punktprobe setzt ihr die Koordinaten des fraglichen Punkts mit der Geradengleichung gleich. Ihr erhaltet drei Gleichungen, die ihr nach r auflöst – wenn r überall gleich ist, liegt der Punkt auf der Gerade.
Achtung: Der berechnete r-Wert muss auch im erlaubten Intervall liegen, falls die Gerade begrenzt ist!
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Parallele Geraden erkennt ihr sofort: Ihre Richtungsvektoren sind identisch oder Vielfache voneinander. Zwei Geraden mit sind definitiv parallel.
Die Lagebeziehungen bestimmt ihr systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt ein Stützpunkt auf der anderen Gerade? Diese Fragen führen euch zu vier möglichen Ergebnissen: identisch, parallel, schneidend oder windschief.
Für Schnittpunkte setzt ihr beide Geradengleichungen gleich und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Habt ihr genau eine Lösung für r und s, schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt S bekommt ihr, indem ihr r oder s in eine der Geradengleichungen einsetzt.
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Das Skalarprodukt ist mega nützlich: Ist das Ergebnis 0, stehen die Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal).
Mit der Formel berechnet ihr Winkel zwischen Vektoren. Das Skalarprodukt verbindet Längen und Winkel elegant miteinander.
Spurpunkte sind die Stellen, wo eine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt. Für die x₁x₂-Ebene setzt ihr die dritte Komponente gleich 0 und löst nach r auf. Dann setzt ihr r in die komplette Geradengleichung ein – fertig ist euer Spurpunkt.
Eselsbrücke: Spurpunkt x₁x₂-Ebene → x₃ = 0, Spurpunkt x₂x₃-Ebene → x₁ = 0, Spurpunkt x₁x₃-Ebene → x₂ = 0.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Punkte im Raum, Vektoreigenschaften und lineare Kombinationen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über das 3D-Koordinatensystem, Kollinearität und Vektoroperationen. Ideal für Studierende, die sich auf analytische Geometrie vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Orthogonalität von Vektoren, die Kollinearität, die Aufstellung von Geraden und die Berechnung von Winkeln zwischen Schnittgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der räumlichen Positionierung vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über orthogonale Vektoren, das Skalarprodukt und deren Eigenschaften. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Orthogonalität, die Berechnung des Skalarprodukts und Beispiele zur Überprüfung der Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren und Geradengleichungen in 3D. Diese Klausur behandelt wichtige Konzepte wie Orthogonalität, Skalarprodukt und die Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik, die sich auf Prüfungen vorbereiten. Enthält sowohl hilfsmittelfreie als auch hilfsmittelgestützte Aufgaben.
MatheEntdecken Sie die Konzepte von Verbindungsvektoren, Nullvektoren und Gegenvektoren in einem 3D-Koordinatensystem. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Übungsaufgaben mit Lösungen, um Ihr Verständnis der Vektorproperties zu vertiefen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Vektorrechnung verbessern möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich orthogonaler Vektoren, linearer Kombinationen, kollinearer Vektoren und des Skalarprodukts. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Formeln, um das Verständnis der Vektoroperationen zu vertiefen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lena M
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Marcus B
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