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Koordinatengeometrie

MatheMathe827 aufrufe·Aktualisiert 2. Aug. 2026·5 Seiten

Analytische Geometrie - Mathe Grundkurs Lernmaterial

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Anni@anni_iqaa

Die analytische Geometrie im Raum ist das Werkzeug, mit dem...

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Analytische Geometrie Mathe gA – Seite 1

Dreidimensionales Koordinatensystem und Vektoren

Das dreidimensionale Koordinatensystem funktioniert wie ein GPS für den Raum. Jeder Punkt P wird durch drei Koordinaten beschrieben: P(x₁|x₂|x₃), sozusagen euer "Fahrplan" zum gewünschten Ort.

Vektoren sind eure Wegbeschreibungen im Raum – sie zeigen, wie ihr von einem Punkt zum anderen kommt. Die Formel ist simpel: "Spitze minus Anfang". Wollt ihr von A−1∣4∣5-1|4|5 nach B3∣−2∣63|-2|6, rechnet ihr einfach: AB⃗=(4−61)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4\\-6\\1 \end{pmatrix}.

Der Ortsvektor führt immer vom Ursprung zu eurem Zielpunkt. Die Länge eines Vektors berechnet ihr mit ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} – das ist praktisch der 3D-Pythagoras.

Merktipp: Der Gegenvektor −v⃗\vec{-v} zeigt in die entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor.

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Analytische Geometrie Mathe gA – Seite 2

Spiegelungen und Vektorrechnung

Spiegeln von Punkten ist einfacher als gedacht: Je nachdem, woran ihr spiegelt, multipliziert ihr bestimmte Koordinaten mit −1-1. An der x₁x₂-Ebene? Dann wird nur x₃ negativ. Am Ursprung? Alle drei Koordinaten werden negativ.

Das Rechnen mit Vektoren folgt logischen Regeln: Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise. Beim Vervielfachen mit einer Zahl r werden alle Komponenten mit r multipliziert – die Vektoren bleiben parallel zueinander.

Die Dreiecksregel PQ⃗+QR⃗=PR⃗\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} ist wie eine Wegkette: Von P nach Q, dann von Q nach R führt direkt von P nach R. Bei Parallelogrammen sind gegenüberliegende Seiten gleich lang – das könnt ihr mit Vektorlängen überprüfen.

Praxis-Tipp: Für Dreieckstypen messt ihr einfach alle Seitenlängen: gleich = gleichseitig, zwei gleich = gleichschenklig, alle verschieden = unregelmäßig.

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Analytische Geometrie Mathe gA – Seite 3

Mittelpunkte und Geradengleichungen

Den Mittelpunkt einer Strecke findet ihr mit der Formel m⃗=12(a⃗+b⃗)\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) – ihr addiert die Ortsvektoren und halbiert das Ergebnis. Das ist wie der Durchschnitt zweier Positionen.

Parameterdarstellungen von Geraden sind euer Universalwerkzeug: x⃗=a⃗+r⋅v⃗\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{v}. Der Stützvektor a⃗\vec{a} gibt einen festen Punkt auf der Gerade an, der Richtungsvektor v⃗\vec{v} zeigt die Richtung. Mit dem Parameter r könnt ihr jeden beliebigen Punkt auf der Gerade erreichen.

Für eine Punktprobe setzt ihr die Koordinaten des fraglichen Punkts mit der Geradengleichung gleich. Ihr erhaltet drei Gleichungen, die ihr nach r auflöst – wenn r überall gleich ist, liegt der Punkt auf der Gerade.

Achtung: Der berechnete r-Wert muss auch im erlaubten Intervall liegen, falls die Gerade begrenzt ist!

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Analytische Geometrie Mathe gA – Seite 4

Lagebeziehungen von Geraden

Parallele Geraden erkennt ihr sofort: Ihre Richtungsvektoren sind identisch oder Vielfache voneinander. Zwei Geraden mit v⃗g=v⃗h\vec{v}_g = \vec{v}_h sind definitiv parallel.

Die Lagebeziehungen bestimmt ihr systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt ein Stützpunkt auf der anderen Gerade? Diese Fragen führen euch zu vier möglichen Ergebnissen: identisch, parallel, schneidend oder windschief.

Für Schnittpunkte setzt ihr beide Geradengleichungen gleich und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Habt ihr genau eine Lösung für r und s, schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt S bekommt ihr, indem ihr r oder s in eine der Geradengleichungen einsetzt.

CAS-Tipp: Nutzt "lin solve" im Algebra-Menü, um komplizierte Gleichungssysteme schnell zu lösen!

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Analytische Geometrie Mathe gA – Seite 5

Skalarprodukt und Spurpunkte

Das Skalarprodukt u⃗⋅v⃗=u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 ist mega nützlich: Ist das Ergebnis 0, stehen die Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal).

Mit der Formel cos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} berechnet ihr Winkel zwischen Vektoren. Das Skalarprodukt verbindet Längen und Winkel elegant miteinander.

Spurpunkte sind die Stellen, wo eine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt. Für die x₁x₂-Ebene setzt ihr die dritte Komponente gleich 0 und löst nach r auf. Dann setzt ihr r in die komplette Geradengleichung ein – fertig ist euer Spurpunkt.

Eselsbrücke: Spurpunkt x₁x₂-Ebene → x₃ = 0, Spurpunkt x₂x₃-Ebene → x₁ = 0, Spurpunkt x₁x₃-Ebene → x₂ = 0.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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AnnaiOS-Nutzerin

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Koordinatengeometrie

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Analytische Geometrie - Mathe Grundkurs Lernmaterial

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Die analytische Geometrie im Raum ist das Werkzeug, mit dem ihr dreidimensionale Probleme mathematisch löst. Stellt euch vor, ihr müsst den Schnittpunkt zweier Flugbahnen berechnen oder herausfinden, ob zwei Straßen parallel verlaufen – genau dafür braucht ihr diese Konzepte.

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Dreidimensionales Koordinatensystem und Vektoren

Das dreidimensionale Koordinatensystem funktioniert wie ein GPS für den Raum. Jeder Punkt P wird durch drei Koordinaten beschrieben: P(x₁|x₂|x₃), sozusagen euer "Fahrplan" zum gewünschten Ort.

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Der Ortsvektor führt immer vom Ursprung zu eurem Zielpunkt. Die Länge eines Vektors berechnet ihr mit ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} – das ist praktisch der 3D-Pythagoras.

Merktipp: Der Gegenvektor −v⃗\vec{-v} zeigt in die entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor.

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Spiegelungen und Vektorrechnung

Spiegeln von Punkten ist einfacher als gedacht: Je nachdem, woran ihr spiegelt, multipliziert ihr bestimmte Koordinaten mit −1-1. An der x₁x₂-Ebene? Dann wird nur x₃ negativ. Am Ursprung? Alle drei Koordinaten werden negativ.

Das Rechnen mit Vektoren folgt logischen Regeln: Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise. Beim Vervielfachen mit einer Zahl r werden alle Komponenten mit r multipliziert – die Vektoren bleiben parallel zueinander.

Die Dreiecksregel PQ⃗+QR⃗=PR⃗\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} ist wie eine Wegkette: Von P nach Q, dann von Q nach R führt direkt von P nach R. Bei Parallelogrammen sind gegenüberliegende Seiten gleich lang – das könnt ihr mit Vektorlängen überprüfen.

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Mittelpunkte und Geradengleichungen

Den Mittelpunkt einer Strecke findet ihr mit der Formel m⃗=12(a⃗+b⃗)\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) – ihr addiert die Ortsvektoren und halbiert das Ergebnis. Das ist wie der Durchschnitt zweier Positionen.

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Lagebeziehungen von Geraden

Parallele Geraden erkennt ihr sofort: Ihre Richtungsvektoren sind identisch oder Vielfache voneinander. Zwei Geraden mit v⃗g=v⃗h\vec{v}_g = \vec{v}_h sind definitiv parallel.

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Mit der Formel cos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} berechnet ihr Winkel zwischen Vektoren. Das Skalarprodukt verbindet Längen und Winkel elegant miteinander.

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