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3D Koordininatensystem, Vektoren, Rechnen mit Vektoren, Grundlagen Vektoren, Gegenseitige Lage von Geraden, Betrag eines Vektors, Parametergleichung einer Geraden, Stützvekor, Richtungsvektor, Spurpunkte bestimmen

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Punkte im 3D-Koordinatensystem Ziel: Beschreibung frühere Vorgehensweise: 1 3 in Richtung von Punkten im Raum XA 1 1 P neue Vorgehensweise: 1 X3 P(314) 4 in x₂-ly-Richtung 3 in X₁-Richtung x ² 4 in x₂-Richtung | P(31412) x2 2 in X3- Richtung Vektoren Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum Zu zwei gegebenen Punkten A(@la₂[email protected]) und B(b1b₂lb) verschiebt der Vektor AB den Punkt A auf den Punkt B b₁ AB = 7-5 AB= 2-3 4-0 Beispiel: A (51310); B (71214) B Vektoren • Nullvektor: o 2 = -1 = Xs AB ! man rechnet immer Anfangspunkt @ Endpunkt A Besondere Vektoren: Alle Pfeile eines Vektors: 1) sind parallel Ortsvektor: OP Gegenvektor zu T= (2) gibt unendlich oft (siehe Skizze) ! Den Vektor -1 +₂ 2) sind gleich lang 3) zeigen in die gleiche Richtung → keine Verschiebung V₁ V₂ P₁ P₂ IPS V3 → macht die Verschiebung von rückgängig : -✓ = -√₂ ·V3 es →→ Ortsvektor von P(pelpalpa), Startet im Ursprung Rechnen mit Vektoren Vektoren kann man miteinander kombinieren und verlängem/verkürzen 1) Kambinieren: X₂ Q(213) QR=(2) (P(^[^) 2) Verlängern/Verkarzen 1 X₂ R(313) PR = (2) x (²) 43-(0²) --- (₁) = (11): Rechenregeln für Vektoren · 2² + b² = 5² +3² (Kommutativgesetz) · ☎ + (6 + 2) = (☎ +5) + ¯ (Assoziativgesetz) = 2u - 107 PR = P& + QR PR = (₂) + (²) (2) Хл X₁ • r· (s· №ª) = (r·s) · a (Assoziativgesetz) 2+0 0+2 1 2-3 = (2) = 2 (²) ·r · (☎ +b) = r·☎ +5.5°; (r+s)·²=5₁² + s. ☎ (Distributivgesetz) Kombiniert man die Addition und Vervielfachung von Vektoren, so erhält man eine Linearkombination r· J²+5.5² +t⋅ 2 Beispiel: (1): 70 +5.(-2. (V+)) = 7+5. (-2v-20) 7+50-10-10 (0----0-4-0) 2.0 2 1 22. März. 21 -2 Der Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors ist die Länge des zugehörigen Pfeils Es gilt: Beispiel (1): VA IVI V₂ ·...

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K₁J· OM = = 1 2 3 X₂ Beispiel (11): Abstand von A (-21710) und B(11214) |AB| = √(-2-1)² + (7-2)² + (0-4) ²² √√9+25+ 16² = √50⁰ Mittelpunkt einer Strecke AB Möglichkeit 1: OM = OA +1 AB Beispiel: A(11213); B(4/3/2) 1 + OM = A = AB AB V₂₁² + (4-1) 1,5 3-2 =12 0,5 2-3 . √5²+7²+ 3²¹ = √25+49+9² √83 Möglichkeit 2: OM=10A +1 OB 2,5 2,5 3 -0,5/ 12,5 + X₂ Parallelität von Strecken Um zu testen, ob zwei Strecken parallel sind, muss ob AB-DC (oder bei einem Rechteck auch AD = DC g' Parametergleichung: P X = AB Parametergleichung einer Geraden Legt man an einen Punkt einen Vektor an (verlängerbar), kann man damit alle Punkte einer Geraden erreichen. 1 X: Ortsvektor aller дох 0 3 Vektoren B Punkte x auf der Geraden : Stützvektor = Startpunkt Parameter + t. :C Beispiel: Geradenstellung aufstellen A(11213); B(-11012) 2 + t. u 2 1 -1 = t: ū: Richtungsvektor, durch t verlängert/umgekehrt, u #0 ta - ()--)-(3) 12-3 Eine Gerade hat viele verschiedene Param Punktprobe Test, ob en Punkt P auf einer Geraden g liegt. Dafür den Punkt und die Gerade gleichstellen P²+t₁ V² = OA? Beispiel: A (-31-215); g: x = x-(₁)-0 = 10 3 -3 PE=A u tuz Gerade g t-3 man prüfen, + t. -2 -^ - 2 1 -1 ametergleichungen => 1+ 2+ = -3 t= -2 => 0 + t = 0+ (-2) = -2 √₂ 3-t=3-(-2) = 5√ 5 => t=-2 (muss für alle 3 Gleichungen gelten) Spurpunkte bestimmen Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen X₁ X₂ - Ebene: → S (X₁1 X₂ X₂ X₂ O • X₁ X₂ 0 X₁ X₂ X₁ -Ebene: 0 X₂-x3-Ebene: . Wenn eine Gerade eine Koordinatenebene schneidet, dann weiß man van mindestens einer Koordinate (0). 2 5-+-(C)-() t. = 2 2 дох • X₁ X₂-Ebene: Um den Schnittpunkt zu bestimmen stellt man die Gerade und den entsprechenden Spurpunkt gleich. Beispiel: X₁ 0 X₂ X3 Ebene X₂2 → 2 = 2 X₁ X3- Ebene: 0 X3 SO1x₁1x₂) S (x₂ 101 X₂) = -Spurpunkt und Gerade gleichstellen Zeile mit 0 lösen, um & zu finden. 2 (:)-(.* + 2 X3 + t. S(31410) 1 2 S(01-213) 1 2 s(11012) 2 2 + t. 2 F-1 => X₁₂=2+1·1= 3 →×₁₂= 3 x₂ = 2+1·2= 4 x ₂ = 4 3= 1 + t ⋅ (-^) → t=1 => 0 = 2 + t → t= -2 X₂ = 2 + (-2) -2 = −2x₂=-2 X₂ = 1+ (-2) (-1) = 3x₂=3 => x₁ = 2 + (-1) · 1 = 1 → × ₁ = 1 2 + 2t t= -1 X₂ = 1 + (-1)(-_^)=2x₂=2 Gegenseitige Lage von Geraden Bei einer gegenseitigen Lage von Geraden im Raum, unterscheidet man vier verschiedene Falle: (1) parallel und verschieden gllh Die Geraden Verschieden. ง und h sind zueinander parallel und Um zu prüfen ob zwei Geraden parallel sind untersucht man die Richtungsveltoren: Giltak? (ein Richtungvektor ein Vielfaches vom anderen?) 9 -3 Prüfen, ob Richtungsvektoren Vielfache sind: -3 6 h Wenn gl1 h, dann können die Geraden entweder parallel und verschieden oder parallel und identisch sein. glih ✓ Punktprobe: Um das zu prüfen führt man eine Punktprobe durch: Prüfen, ob der Aufpunkt (Stützvektor) von g auf ʼn liegt: Punktprobe: p= + 3. B Beispiel: (mit den Geraden aus 1) 1 1 2 +S. 1 Beispiel: g: 7: 15 1-2 Liegt der Punkt nicht auf h (Gleichung geht nicht auf), dann sind die Geraden g und h parallel und verschieden. 2 (2) parallel und identisch g=h Die Geraden und h sind parallel und identisch. g Zuerst, praft man durch die Richtungsvektoren, ob glih,. falls ja macht man eine Punktprobe. Geht die Gleichung auf, dann sind g und h parallel und identisch. 9 5 3 h: x =5 2 -3 => 1-3-3ss. - B)-6)-6)=¯¯¯¯)- 5 +S-1-3 => #2 X X = -3.1 3 2 -3 + S. 1-3 gh Vektoren 3) Schnittpunkt gnh Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt S. Um zu prüfen, ob zwei Geraden sich schneiden, muss man davor erstmal prüfen, ob sie parallel sind. Nur, wenn sie das nicht sind können sie sich Schneiden. p+c·a=q Wenn das LGS eine eindeutige Lösung hat, dann schneiden sich die Geraden. gnh: 1-1 Beispiel: g: --3 2 gHh 9₂ -1 13 Man setzt die beiden Geradengleichungen gleich und last sie. 2 + s. To 6 *@)-0-0-0) +2 -3 5 7 =-3 2 + t2 +3. 2 |-A + Aus (1) folgt: -1+t=6+2< | +^ / h: x=5 7 t eingesetzt in (11): -3 +2₁ (7+25) = 5+5 | T <=> −3+14+4<= 5+ 1-5 <=> 6+4₁ = t = 7+28 →→r eingesetzt: t = 7+2 · (-2) = 3 2-1+t=6+2© (1) 1-3+2=5+ (11) =>2- € = 7+4 (111) <=> 6=-3r <=>-2= t und r eingesetzt in (111): L.S.: 2-3 = -1 2 = √ R.S. : 7 + 4· (-2) = −1. + r. 1-45 1: (-3) gnh wenn das LGS aufgent (eine Lösung), dann muss man entweder roder t in eine der Geraden - gleichungen von g oder h einsetzen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. 2 3 • S(2131-1) => Wenn die Richtungsvektoren sehr große/ komplexe Zahlen sind, kann man sie auch kürzen (alle 3 Zahlen durch die selbe Zahl kürzen). (4) windschief Wenn die Geraden g und h nicht parallel sind und das LGS, um den Schnittpunkt zu bestimmen keine Lösung hat, dann sind die Geraden wind- schief. Windschiefe Geraden sind also weder parallel, noch schneiden sie sich. -g 2 Beispiel: g: x=-4 + 9 3)-(3) gHh gnh: 1-3 :-4+t: 93 t 10 2 5/ 62 1-/12 ; eingesetzt 10 h: x = 2 + r. Aus (1) folgt: 2-t = 10 + 4²1 -2 <=> = t = 8 + 4₁| :(-1) F-12, + 8 6 -12 8 |=> 2-t = 10+ 48 (1) 13 >-4+3€ = 2 +38 (11) 1-12/ => 5+2+ = -12-66 (111) <=> t = - 8-45= r eingesetzt: € = -8-4-1-21=0 in (11): -4 +3-(-8-4<) = 2 +3₁ | T <=>-4-24-125 = 2+3< 1-2 -30-12r = 3r | +125 1:15 - 30 = 15r 2 = It und r eingesetzt in (111): L.S.: 5+2.0 = 5 R.S.: 12-6-(-2)=0f gang und h sind windschief # 5) Anzahl Lösungen Das Gleichungssystem p²+r. ☎ = a +s. To (Geraden- gleichungen gleichgesetzt) hat... parallel und verschieden:... keine Lösung parallel und identisch:... unendlich viele Lösungen Schnittpunkt:... genau eine Lösung windschief:... keine Lösung

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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K₁J· OM = = 1 2 3 X₂ Beispiel (11): Abstand von A (-21710) und B(11214) |AB| = √(-2-1)² + (7-2)² + (0-4) ²² √√9+25+ 16² = √50⁰ Mittelpunkt einer Strecke AB Möglichkeit 1: OM = OA +1 AB Beispiel: A(11213); B(4/3/2) 1 + OM = A = AB AB V₂₁² + (4-1) 1,5 3-2 =12 0,5 2-3 . √5²+7²+ 3²¹ = √25+49+9² √83 Möglichkeit 2: OM=10A +1 OB 2,5 2,5 3 -0,5/ 12,5 + X₂ Parallelität von Strecken Um zu testen, ob zwei Strecken parallel sind, muss ob AB-DC (oder bei einem Rechteck auch AD = DC g' Parametergleichung: P X = AB Parametergleichung einer Geraden Legt man an einen Punkt einen Vektor an (verlängerbar), kann man damit alle Punkte einer Geraden erreichen. 1 X: Ortsvektor aller дох 0 3 Vektoren B Punkte x auf der Geraden : Stützvektor = Startpunkt Parameter + t. :C Beispiel: Geradenstellung aufstellen A(11213); B(-11012) 2 + t. u 2 1 -1 = t: ū: Richtungsvektor, durch t verlängert/umgekehrt, u #0 ta - ()--)-(3) 12-3 Eine Gerade hat viele verschiedene Param Punktprobe Test, ob en Punkt P auf einer Geraden g liegt. Dafür den Punkt und die Gerade gleichstellen P²+t₁ V² = OA? Beispiel: A (-31-215); g: x = x-(₁)-0 = 10 3 -3 PE=A u tuz Gerade g t-3 man prüfen, + t. -2 -^ - 2 1 -1 ametergleichungen => 1+ 2+ = -3 t= -2 => 0 + t = 0+ (-2) = -2 √₂ 3-t=3-(-2) = 5√ 5 => t=-2 (muss für alle 3 Gleichungen gelten) Spurpunkte bestimmen Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen X₁ X₂ - Ebene: → S (X₁1 X₂ X₂ X₂ O • X₁ X₂ 0 X₁ X₂ X₁ -Ebene: 0 X₂-x3-Ebene: . Wenn eine Gerade eine Koordinatenebene schneidet, dann weiß man van mindestens einer Koordinate (0). 2 5-+-(C)-() t. = 2 2 дох • X₁ X₂-Ebene: Um den Schnittpunkt zu bestimmen stellt man die Gerade und den entsprechenden Spurpunkt gleich. Beispiel: X₁ 0 X₂ X3 Ebene X₂2 → 2 = 2 X₁ X3- Ebene: 0 X3 SO1x₁1x₂) S (x₂ 101 X₂) = -Spurpunkt und Gerade gleichstellen Zeile mit 0 lösen, um & zu finden. 2 (:)-(.* + 2 X3 + t. S(31410) 1 2 S(01-213) 1 2 s(11012) 2 2 + t. 2 F-1 => X₁₂=2+1·1= 3 →×₁₂= 3 x₂ = 2+1·2= 4 x ₂ = 4 3= 1 + t ⋅ (-^) → t=1 => 0 = 2 + t → t= -2 X₂ = 2 + (-2) -2 = −2x₂=-2 X₂ = 1+ (-2) (-1) = 3x₂=3 => x₁ = 2 + (-1) · 1 = 1 → × ₁ = 1 2 + 2t t= -1 X₂ = 1 + (-1)(-_^)=2x₂=2 Gegenseitige Lage von Geraden Bei einer gegenseitigen Lage von Geraden im Raum, unterscheidet man vier verschiedene Falle: (1) parallel und verschieden gllh Die Geraden Verschieden. ง und h sind zueinander parallel und Um zu prüfen ob zwei Geraden parallel sind untersucht man die Richtungsveltoren: Giltak? (ein Richtungvektor ein Vielfaches vom anderen?) 9 -3 Prüfen, ob Richtungsvektoren Vielfache sind: -3 6 h Wenn gl1 h, dann können die Geraden entweder parallel und verschieden oder parallel und identisch sein. glih ✓ Punktprobe: Um das zu prüfen führt man eine Punktprobe durch: Prüfen, ob der Aufpunkt (Stützvektor) von g auf ʼn liegt: Punktprobe: p= + 3. B Beispiel: (mit den Geraden aus 1) 1 1 2 +S. 1 Beispiel: g: 7: 15 1-2 Liegt der Punkt nicht auf h (Gleichung geht nicht auf), dann sind die Geraden g und h parallel und verschieden. 2 (2) parallel und identisch g=h Die Geraden und h sind parallel und identisch. g Zuerst, praft man durch die Richtungsvektoren, ob glih,. falls ja macht man eine Punktprobe. Geht die Gleichung auf, dann sind g und h parallel und identisch. 9 5 3 h: x =5 2 -3 => 1-3-3ss. - B)-6)-6)=¯¯¯¯)- 5 +S-1-3 => #2 X X = -3.1 3 2 -3 + S. 1-3 gh Vektoren 3) Schnittpunkt gnh Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt S. Um zu prüfen, ob zwei Geraden sich schneiden, muss man davor erstmal prüfen, ob sie parallel sind. Nur, wenn sie das nicht sind können sie sich Schneiden. p+c·a=q Wenn das LGS eine eindeutige Lösung hat, dann schneiden sich die Geraden. gnh: 1-1 Beispiel: g: --3 2 gHh 9₂ -1 13 Man setzt die beiden Geradengleichungen gleich und last sie. 2 + s. To 6 *@)-0-0-0) +2 -3 5 7 =-3 2 + t2 +3. 2 |-A + Aus (1) folgt: -1+t=6+2< | +^ / h: x=5 7 t eingesetzt in (11): -3 +2₁ (7+25) = 5+5 | T <=> −3+14+4<= 5+ 1-5 <=> 6+4₁ = t = 7+28 →→r eingesetzt: t = 7+2 · (-2) = 3 2-1+t=6+2© (1) 1-3+2=5+ (11) =>2- € = 7+4 (111) <=> 6=-3r <=>-2= t und r eingesetzt in (111): L.S.: 2-3 = -1 2 = √ R.S. : 7 + 4· (-2) = −1. + r. 1-45 1: (-3) gnh wenn das LGS aufgent (eine Lösung), dann muss man entweder roder t in eine der Geraden - gleichungen von g oder h einsetzen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. 2 3 • S(2131-1) => Wenn die Richtungsvektoren sehr große/ komplexe Zahlen sind, kann man sie auch kürzen (alle 3 Zahlen durch die selbe Zahl kürzen). (4) windschief Wenn die Geraden g und h nicht parallel sind und das LGS, um den Schnittpunkt zu bestimmen keine Lösung hat, dann sind die Geraden wind- schief. Windschiefe Geraden sind also weder parallel, noch schneiden sie sich. -g 2 Beispiel: g: x=-4 + 9 3)-(3) gHh gnh: 1-3 :-4+t: 93 t 10 2 5/ 62 1-/12 ; eingesetzt 10 h: x = 2 + r. Aus (1) folgt: 2-t = 10 + 4²1 -2 <=> = t = 8 + 4₁| :(-1) F-12, + 8 6 -12 8 |=> 2-t = 10+ 48 (1) 13 >-4+3€ = 2 +38 (11) 1-12/ => 5+2+ = -12-66 (111) <=> t = - 8-45= r eingesetzt: € = -8-4-1-21=0 in (11): -4 +3-(-8-4<) = 2 +3₁ | T <=>-4-24-125 = 2+3< 1-2 -30-12r = 3r | +125 1:15 - 30 = 15r 2 = It und r eingesetzt in (111): L.S.: 5+2.0 = 5 R.S.: 12-6-(-2)=0f gang und h sind windschief # 5) Anzahl Lösungen Das Gleichungssystem p²+r. ☎ = a +s. To (Geraden- gleichungen gleichgesetzt) hat... parallel und verschieden:... keine Lösung parallel und identisch:... unendlich viele Lösungen Schnittpunkt:... genau eine Lösung windschief:... keine Lösung