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3D-Koordinatensystem Online: Vektoren Zeichnen und Spurpunkte Berechnen

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24.9.2021

Mathe

Vektoren

3D-Koordinatensystem Online: Vektoren Zeichnen und Spurpunkte Berechnen

Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht die präzise Beschreibung von Punkten und Vektoren im dreidimensionalen Raum. Es bildet die Grundlage für komplexe geometrische Berechnungen und Darstellungen.

Hauptpunkte:

  • Punkte werden durch drei Koordinaten (x₁, x₂, x₃) definiert
  • Vektoren beschreiben Verschiebungen zwischen Punkten
  • Vektoroperationen wie Addition und Skalarmultiplikation sind möglich
  • Geraden lassen sich durch Parametergleichungen darstellen
  • Die gegenseitige Lage von Geraden kann analysiert werden
...

24.9.2021

30914

Punkte im 3D-Koordinatensystem
Ziel: Beschreibung von Punkten im Raum
frühere Vorgehensweise:
1
YA
î
I
3 in ₁ -
Richtung
P
P(314)
4 in x₂-/y

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Der Betrag eines Vektors und Mittelpunktberechnung

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des zugehörigen Pfeils und lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Formel: |v| = √v12+v22+v32v₁² + v₂² + v₃²

Diese Formel ist besonders nützlich, um Abstände zwischen Punkten im 3D-Koordinatensystem zu ermitteln.

Beispiel: Für den Vektor v = 3,4,53,4,5 beträgt der Betrag |v| = √32+42+523² + 4² + 5² = √50

Die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke AB kann auf zwei Arten erfolgen:

  1. Über den Ortsvektor: OM = OA + ½AB
  2. Durch Mittelung der Koordinaten: OM = ½OA+OBOA + OB

Highlight: Die Parallelität von Strecken lässt sich durch den Vergleich ihrer Richtungsvektoren überprüfen.

Die Parametergleichung einer Geraden ermöglicht es, alle Punkte auf der Geraden zu beschreiben:

x = a + t · u

Dabei ist a der Stützvektor StartpunktStartpunkt, u der Richtungsvektor und t der Parameter.

Vocabulary: Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Die Bestimmung von Spurpunkten ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse von Geraden im Raum und hilft bei der Visualisierung ihrer Lage im 3D-Koordinatensystem.

Punkte im 3D-Koordinatensystem
Ziel: Beschreibung von Punkten im Raum
frühere Vorgehensweise:
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Gegenseitige Lage von Geraden im Raum

Die Analyse der gegenseitigen Lage von Geraden im 3D-Koordinatensystem ist ein fundamentaler Aspekt der räumlichen Geometrie. Es werden vier verschiedene Fälle unterschieden:

  1. Parallel und verschieden
  2. Parallel und identisch
  3. Sich schneidend
  4. Windschief nichtinderZusammenfassungerwa¨hnt,abereinwichtigerFallnicht in der Zusammenfassung erwähnt, aber ein wichtiger Fall

Definition: Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Um die Parallelität zu überprüfen, untersucht man die Richtungsvektoren der Geraden:

Beispiel: Für die Geraden g: x = 2,1,22,1,2 + s3,1,1-3,1,-1 und h: x = 5,2,15,2,1 + t3,1,1-3,1,-1 sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, also sind die Geraden parallel.

Nach der Feststellung der Parallelität muss geprüft werden, ob die Geraden identisch oder verschieden sind. Dies geschieht durch eine Punktprobe:

Highlight: Bei der Punktprobe wird untersucht, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.

Wenn die Punktprobe ergibt, dass ein Punkt der einen Geraden nicht auf der anderen liegt, sind die Geraden parallel und verschieden. Andernfalls sind sie identisch.

Vocabulary: Schneiden sich zwei Geraden, so haben sie genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt.

Die Bestimmung des Schnittpunkts erfolgt durch das Gleichsetzen der Parametergleichungen beider Geraden. Dies führt zu einem Gleichungssystem, dessen Lösung die Koordinaten des Schnittpunkts liefert.

Die Fähigkeit, die gegenseitige Lage von Geraden zu analysieren, ist essenziell für viele Anwendungen in der 3D-Koordinatengeometrie, wie beispielsweise in der Computergrafik oder der Robotik.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

30.914

24. Sept. 2021

3 Seiten

3D-Koordinatensystem Online: Vektoren Zeichnen und Spurpunkte Berechnen

M

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@marlene_cata

Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht die präzise Beschreibung von Punkten und Vektoren im dreidimensionalen Raum. Es bildet die Grundlage für komplexe geometrische Berechnungen und Darstellungen.

Hauptpunkte:

  • Punkte werden durch drei Koordinaten (x₁, x₂, x₃) definiert
  • Vektoren beschreiben Verschiebungen zwischen Punkten
  • Vektoroperationen wie... Mehr anzeigen

Punkte im 3D-Koordinatensystem
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Der Betrag eines Vektors und Mittelpunktberechnung

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des zugehörigen Pfeils und lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Formel: |v| = √v12+v22+v32v₁² + v₂² + v₃²

Diese Formel ist besonders nützlich, um Abstände zwischen Punkten im 3D-Koordinatensystem zu ermitteln.

Beispiel: Für den Vektor v = 3,4,53,4,5 beträgt der Betrag |v| = √32+42+523² + 4² + 5² = √50

Die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke AB kann auf zwei Arten erfolgen:

  1. Über den Ortsvektor: OM = OA + ½AB
  2. Durch Mittelung der Koordinaten: OM = ½OA+OBOA + OB

Highlight: Die Parallelität von Strecken lässt sich durch den Vergleich ihrer Richtungsvektoren überprüfen.

Die Parametergleichung einer Geraden ermöglicht es, alle Punkte auf der Geraden zu beschreiben:

x = a + t · u

Dabei ist a der Stützvektor StartpunktStartpunkt, u der Richtungsvektor und t der Parameter.

Vocabulary: Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

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Gegenseitige Lage von Geraden im Raum

Die Analyse der gegenseitigen Lage von Geraden im 3D-Koordinatensystem ist ein fundamentaler Aspekt der räumlichen Geometrie. Es werden vier verschiedene Fälle unterschieden:

  1. Parallel und verschieden
  2. Parallel und identisch
  3. Sich schneidend
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Definition: Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Um die Parallelität zu überprüfen, untersucht man die Richtungsvektoren der Geraden:

Beispiel: Für die Geraden g: x = 2,1,22,1,2 + s3,1,1-3,1,-1 und h: x = 5,2,15,2,1 + t3,1,1-3,1,-1 sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, also sind die Geraden parallel.

Nach der Feststellung der Parallelität muss geprüft werden, ob die Geraden identisch oder verschieden sind. Dies geschieht durch eine Punktprobe:

Highlight: Bei der Punktprobe wird untersucht, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.

Wenn die Punktprobe ergibt, dass ein Punkt der einen Geraden nicht auf der anderen liegt, sind die Geraden parallel und verschieden. Andernfalls sind sie identisch.

Vocabulary: Schneiden sich zwei Geraden, so haben sie genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt.

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Punkte und Vektoren im 3D-Koordinatensystem

Im dreidimensionalen Raum werden Punkte durch drei Koordinaten x1,x2,x3x₁, x₂, x₃ beschrieben. Dies ermöglicht eine präzise Lokalisierung im 3D-Koordinatensystem x-y-z. Vektoren spielen eine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Verschiebungen zwischen Punkten.

Definition: Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt im Raum.

Vektoren haben besondere Eigenschaften:

  • Alle Pfeile eines Vektors sind parallel zueinander
  • Sie haben die gleiche Länge
  • Sie zeigen in dieselbe Richtung

Beispiel: Für die Punkte A5,3,05,3,0 und B7,2,47,2,4 ergibt sich der Vektor AB = 2,1,42,-1,4

Besondere Vektoren sind:

  • Der Nullvektor 0,0,00,0,0, der keine Verschiebung bewirkt
  • Der Ortsvektor, der vom Ursprung zu einem Punkt führt

Highlight: Vektoren können miteinander kombiniert, verlängert oder verkürzt werden, was vielfältige geometrische Operationen ermöglicht.

Beim Rechnen mit Vektoren gelten wichtige Rechenregeln wie das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Diese Regeln erleichtern komplexe Berechnungen im 3D-Koordinatensystem.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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