Gegenseitige Lage von Geraden im Raum
Die Analyse der gegenseitigen Lage von Geraden im 3D-Koordinatensystem ist ein fundamentaler Aspekt der räumlichen Geometrie. Es werden vier verschiedene Fälle unterschieden:
- Parallel und verschieden
- Parallel und identisch
- Sich schneidend
- Windschief (nicht in der Zusammenfassung erwähnt, aber ein wichtiger Fall)
Definition: Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Um die Parallelität zu überprüfen, untersucht man die Richtungsvektoren der Geraden:
Beispiel: Für die Geraden g: x = (2,1,2) + s(-3,1,-1) und h: x = (5,2,1) + t(-3,1,-1) sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, also sind die Geraden parallel.
Nach der Feststellung der Parallelität muss geprüft werden, ob die Geraden identisch oder verschieden sind. Dies geschieht durch eine Punktprobe:
Highlight: Bei der Punktprobe wird untersucht, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.
Wenn die Punktprobe ergibt, dass ein Punkt der einen Geraden nicht auf der anderen liegt, sind die Geraden parallel und verschieden. Andernfalls sind sie identisch.
Vocabulary: Schneiden sich zwei Geraden, so haben sie genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt.
Die Bestimmung des Schnittpunkts erfolgt durch das Gleichsetzen der Parametergleichungen beider Geraden. Dies führt zu einem Gleichungssystem, dessen Lösung die Koordinaten des Schnittpunkts liefert.
Die Fähigkeit, die gegenseitige Lage von Geraden zu analysieren, ist essenziell für viele Anwendungen in der 3D-Koordinatengeometrie, wie beispielsweise in der Computergrafik oder der Robotik.
