Vektoren

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16² = √50² 8² Mittelpunkt einer Strecke AB Möglichkeit 1: OM = OA +₁ AB Beispiel: A(11213); B(4/312) 4-1 OM = 2 3-2 = 2-3, V₂² = √5² +7² + 3² 25+49 +9 = √√83 1.AB AB = Möglichkeit 2: OMOA +1 OB 1,5 2,5 +0,5 = 2,5 -0,5/ 12,5/ Parallelität von Strecken Um zu testen, ob zwei Strecken parallel sind, muss ob AB-DC (oder bei einem Rechteck auch AD-BC) DC Vektoren AB g: Parametergleichung einer Geraden Legt man an einen Punkt einen Vektor an (verlangerbar), kann man damit alle Punkte einer Geraden erreichen. Parametergleichung: X = + t. u Ortsvektor aller Punkte x auf der Geraden Stützvektor € Startpunkt ta 18/ O Pend Ti Beispiel: A(-31-215); g: x= Gerade g t: Parameter u Richtungsvektor, durch t verlängert/umgekehrt, u² #0 Beispiel: Geradenstellung aufstellen A(11213); B-11012) |-^-^ +t-10-2 g: x² = 2 -6) 12-3 Eine Gerade hat viele verschiedene Parametergleichungen Punktprobe Test, ob en Punkt P auf einer Geraden g liegt. Dafür den Punkt und die Gerade gleichstellen P+tv = OA? man prüfen, 2 + t. -2 F^ (2) - (2) 1 (0-0)-GE + t=-2 (muss für alle 3 Gleichungen gelten) -3 => 1+ 2+ = -3 t= -2 => 0 + t = 0+ (-2) = -2 ✓ 3-t=3-(-2) = 5√ Spurpunkte bestimmen Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen · X₁ X₂ Ebene X₂ x₂-x₂-Ebene Beispiel: X₁₂ ONT • X₁ X₁ Ebene: • S(x₂ 101 x₂) X₁ ·X₁X₂-Ebene! X₂ X₂ X3 Ebene: 0 X₁ Wenn eine Gerade eine Koordinatenebene schneidet, dann weiß man von mindestens einer Koordinate (0). 0 X₂ X₁₂ X₂ X₁ 0 X3 Um den Schnittpunkt zu bestimmen stellt man die Gerade und den entsprechenden Spurpunkt gleich. g: x = | 2 8-7 - (:) -- (3) X₁ X3 Ebene: 0 • S(x₁1 X₂ 10) •SO1x₁1x₂) Spurpunkt und Gerade gleichstellen Zeile mit 0 lösen, um t zu finden. + t. X₁ 2+1-13-3 x₂ = 2+1·2= 4X₂ = 4 =>= 1+t-(-^) → t=1² S(31410) => 0 = 2 + t → t= -2 = 2 +²2=X₂ = 2 + (-2)-2=-2→x₂=-2 --^/=> x₂ = 1 + (-2)-(-1) 3x₂ =3 S(01-213) -(5)-(-4) +t S(11 012) x₁ = 2 + (-1) · 1=1 →x₁=1 2+2tt--A => X₂ = 1 + (-1)-(-_^)=2x₂=2 Gegenseitige Lage von Geraden Bei einer gegenseitigen Lage von Geraden im Raum, unterscheidet Iman vier verschiedene Falle: (1) parallel und verschieden gilth Die Geraden g und h sind zueinander parallel und Verschieden. Um zu prüfen ob zwei Geraden parallel sind untersucht man die Richtungsveldtoren: Giltak? (en Richtungvektor ein Vielfaches vom anderen?) 9 37-(:). Ⓡ h:x=5 (2 1 Prüfen, ob Richtungsvektoren Vielfache sind: -3 = -3.1 Beispiel: g:- +S Wenn gl1 h, dann können die Geraden entweder parallel und verschieden oder parallel und identisch sein. Um das zu prüfen führt man eine Punktprobe durch: Prüfen, ob der Aufpunkt (Stutzvektor) von g auf ʼn liegt. Punktprobe: p= + S. B 2) parallel und identisch g=h Die Geraden g und h sind parallel und identisch. Zuerst, praft man durch die Richtungsvektoren, ob glih, Beispiel: (mit den Geraden aus 1) Punktprobe: -3 +S-3 Liegt der Punkt nicht auf h (Gleichung geht nicht auf), dann sind die Geraden g und h parallel und verschieden. falls ja macht man eine Punktprobe. Geht die Gleichung auf, dann sind g und h parallel und identisch. => 1-3-3s5-² - ()-(1)-6)=¯¯¯¯¨*}, 5 +S-3 => #2 X X glih }{ g#h ✓ Vektoren 3) Schnittpunkt gnh Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt S. Um zu prüfen, ob zwei Geraden sich schneiden, muss man davor erstmal prüfen, ob sie parallel sind. Nur, wenn sie das nicht sind können sie sich Schneiden. Man setzt die beiden Geradengleichungen gleich und last sie. P+ca=a Wenn das LGS eine eindeutige Lösung hat, dann schneiden sich die Geraden. + s. To gnh: --E)--(;). ~ ~-(;) - - () Beispiel g: --3 +2 h: 75 gHh (6)·()-0). -3 +25 => -1+0=6+28 (1) +1-3+2€-5+ (11) =>2-=7+40 (1) Aus (1) folgt: -1 + t = 6+2< 1+₁ <=> t = 7+20 → t eingesetzt in (11): -3+2·(7+2<) = 5+5 |T <=> -3+14+4 = 5+ <=> 6+45 = eingesetet: €=7*2-2)=3 2-6-0-0- +32 1-5 1-4r |: (3) <=> 6 =-3r C-3-2= t und r eingesetzt in (111): L.S.: 2-3 = -1 R.S.: 7+4·(-2)=-1] -✓ →gnh wenn das LGS aufgeht (eine Lösung), dann muss man entweder oder in eine der Geraden - gleichungen von g oder h einsetzen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. 3 => S(21 31-1) Wenn die Richtungsvektoren sehr große / komplexe Zahlen sind, kann man sie auch kürzen (alle 3 Zahlen. durch die selbe Zahl kürzen). (4) windschief Wenn die Geraden g und h nicht parallel sind und das LGS, um den Schnittpunkt zu bestimmen keine Lösung hat, dann sind die Geraden wind- schief. Windschiefe Geraden sind also weder parallel, nach schneiden sie sich. ง 10 8 8 = -(5)-(6), ~- -( * )--(4) h² = 2 +6 1-12 Beispiel: g:x=-4 gHh gnh: -0-0-0-6 +t = 2 =>2- = 10+4€ (1) +6³=>4+3 = 2 + 3€ (11) 1-12/ => 5+2€ = -12-6€ (111) Aus (1) folgt: 2-t = 10+ 4²1 -2 <=> t = 8 + 4r|:(-^) <=> t = -8-45= + < eingesetzt: €=-8-4-1-21= 0 in (11): -4+3-(-8-4x)=2+3r |T t eingesetzt. <=>-4-24-125 = 2+351-2 -30-12r = 3r | +125 - 30 = 16r 1:15 -2=5 It und r eingesetzt in (111): L.3.: 5+2.0 = 5 R.S.: 12-6-(-2) = 0) g und h sind windschief gan 4 + 4 5) Anzahl Lösungen Das Gleichungssystem pra= + s.6 (Geraden- gleichungen gleichgesetzt) hat... • parallel und verschieden:... keine Lösung parallel und identisch:... unendlich viele Lösungen · Schnittpunkt:... genau ane Lösung • windschief:... keine Lösung