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Vektoren Berechnen: Beispiele und Methoden

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Leonie und Kimi@leonie.kimi

Hier lernst du die wichtigsten Grundlagen zur analytischen Geometrie mit... Mehr anzeigen

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# SCHNITTPUNKT VON ZWEI GERADEN $\vec{OA}+z \cdot \vec{AB} = \vec{OA}+r \cdot \vec{AB}$ zwei Parameter gleichungen gleich setzen 1. Gleich

Schnittpunkt von zwei Geraden

Du findest Schnittpunkte, indem du zwei Parametergleichungen gleichsetzt. Das ist wie ein Gleichungssystem lösen - nur mit Vektoren!

Bei zwei Geraden g und h setzt du ihre Parametergleichungen gleich: OA⃗+rAB⃗=OC⃗+sCD⃗\vec{OA} + r \vec{AB} = \vec{OC} + s \vec{CD}. Dann rechnest du komponentenweise und erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Das System löst du mit dem Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren. Wenn du Werte für r und s findest, gibt es einen Schnittpunkt. Diese Parameter setzt du dann in eine der ursprünglichen Geradengleichungen ein, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.

Tipp: Mach immer die Probe! Setze deine Werte in alle Gleichungen ein - stimmt alles, hast du richtig gerechnet.

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# SCHNITTPUNKT VON ZWEI GERADEN $\vec{OA}+z \cdot \vec{AB} = \vec{OA}+r \cdot \vec{AB}$ zwei Parameter gleichungen gleich setzen 1. Gleich

Parametergleichung aufstellen

Eine Parametergleichung einer Geraden hat die Form: g⃗:x⃗=OA⃗+t⋅AB⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}. Du brauchst einen Startpunkt A und einen Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}.

Den Richtungsvektor berechnest du mit AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}. Einfach die Koordinaten von A von den Koordinaten von B abziehen!

Um zu prüfen, ob ein Punkt C auf der Gerade liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parametergleichung ein. Wenn für alle drei Komponenten derselbe t-Wert rauskommt, liegt der Punkt auf der Gerade.

Merksatz: Liegt ein Punkt auf der Gerade, muss der Parameter t für x-, y- und z-Komponente identisch sein!

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# SCHNITTPUNKT VON ZWEI GERADEN $\vec{OA}+z \cdot \vec{AB} = \vec{OA}+r \cdot \vec{AB}$ zwei Parameter gleichungen gleich setzen 1. Gleich

Berechnungen mit Vektoren

Der Richtungsvektor AB⃗\vec{AB} wird mit der Formel AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} berechnet. Du subtrahierst einfach die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts.

Die Länge eines Vektors (oder Abstand zweier Punkte) berechnest du mit: ∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}. Das ist der 3D-Pythagoras!

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit: MAB=OA⃗+12AB⃗M_{AB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}. Du gehst vom ersten Punkt aus und läufst die halbe Strecke zum zweiten.

Praktisch: Die Abstandsformel ist nur die Länge des Verbindungsvektors - dasselbe Prinzip!

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# SCHNITTPUNKT VON ZWEI GERADEN $\vec{OA}+z \cdot \vec{AB} = \vec{OA}+r \cdot \vec{AB}$ zwei Parameter gleichungen gleich setzen 1. Gleich

Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Du prüfst das, indem du schaust, ob a⃗=k⋅b⃗\vec{a} = k \cdot \vec{b} für einen konstanten Faktor k gilt.

Teile dazu jede Komponente des ersten Vektors durch die entsprechende Komponente des zweiten: k=a1b1=a2b2=a3b3k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}. Kommt überall dieselbe Zahl raus, sind die Vektoren kollinear.

Ist das Verhältnis nicht konstant, zeigen die Vektoren in verschiedene Richtungen und sind nicht kollinear.

Achtung: Kollineare Vektoren können auch entgegengesetzt gerichtet sein - dann ist k negativ!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Hier lernst du die wichtigsten Grundlagen zur analytischen Geometrie mit Vektoren und Geraden. Du erfährst, wie du Schnittpunkte findest, Parametergleichungen aufstellst und mit Vektoren rechnest - alles was du für deine Klausuren brauchst!

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Schnittpunkt von zwei Geraden

Du findest Schnittpunkte, indem du zwei Parametergleichungen gleichsetzt. Das ist wie ein Gleichungssystem lösen - nur mit Vektoren!

Bei zwei Geraden g und h setzt du ihre Parametergleichungen gleich: OA⃗+rAB⃗=OC⃗+sCD⃗\vec{OA} + r \vec{AB} = \vec{OC} + s \vec{CD}. Dann rechnest du komponentenweise und erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Das System löst du mit dem Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren. Wenn du Werte für r und s findest, gibt es einen Schnittpunkt. Diese Parameter setzt du dann in eine der ursprünglichen Geradengleichungen ein, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.

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Eine Parametergleichung einer Geraden hat die Form: g⃗:x⃗=OA⃗+t⋅AB⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}. Du brauchst einen Startpunkt A und einen Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}.

Den Richtungsvektor berechnest du mit AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}. Einfach die Koordinaten von A von den Koordinaten von B abziehen!

Um zu prüfen, ob ein Punkt C auf der Gerade liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parametergleichung ein. Wenn für alle drei Komponenten derselbe t-Wert rauskommt, liegt der Punkt auf der Gerade.

Merksatz: Liegt ein Punkt auf der Gerade, muss der Parameter t für x-, y- und z-Komponente identisch sein!

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Berechnungen mit Vektoren

Der Richtungsvektor AB⃗\vec{AB} wird mit der Formel AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} berechnet. Du subtrahierst einfach die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts.

Die Länge eines Vektors (oder Abstand zweier Punkte) berechnest du mit: ∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}. Das ist der 3D-Pythagoras!

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit: MAB=OA⃗+12AB⃗M_{AB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}. Du gehst vom ersten Punkt aus und läufst die halbe Strecke zum zweiten.

Praktisch: Die Abstandsformel ist nur die Länge des Verbindungsvektors - dasselbe Prinzip!

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Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Du prüfst das, indem du schaust, ob a⃗=k⋅b⃗\vec{a} = k \cdot \vec{b} für einen konstanten Faktor k gilt.

Teile dazu jede Komponente des ersten Vektors durch die entsprechende Komponente des zweiten: k=a1b1=a2b2=a3b3k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}. Kommt überall dieselbe Zahl raus, sind die Vektoren kollinear.

Ist das Verhältnis nicht konstant, zeigen die Vektoren in verschiedene Richtungen und sind nicht kollinear.

Achtung: Kollineare Vektoren können auch entgegengesetzt gerichtet sein - dann ist k negativ!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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