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Graphische Analysemethoden

Mathe4.049Aktualisiert 29. Sept. 20264 Seiten

Vektoren Berechnen: Beispiele und Methoden

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Leonie und Kimi@leonie.kimi
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Hier lernst du die wichtigsten Grundlagen zur analytischen Geometrie mit Vektoren und Geraden. Du erfährst, wie du Schnittpunkte findest, Parametergleichungen aufstellst und mit Vektoren rechnest - alles was du für deine Klausuren brauchst!
Vektoren: Alle Berechnungsweisen mit Beispiel – Seite 1

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Schnittpunkt von zwei Geraden

Du findest Schnittpunkte, indem du zwei Parametergleichungen gleichsetzt. Das ist wie ein Gleichungssystem lösen - nur mit Vektoren!

Bei zwei Geraden g und h setzt du ihre Parametergleichungen gleich: OA⃗+rAB⃗=OC⃗+sCD⃗\vec{OA} + r \vec{AB} = \vec{OC} + s \vec{CD}. Dann rechnest du komponentenweise und erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Das System löst du mit dem Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren. Wenn du Werte für r und s findest, gibt es einen Schnittpunkt. Diese Parameter setzt du dann in eine der ursprünglichen Geradengleichungen ein, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.

Tipp: Mach immer die Probe! Setze deine Werte in alle Gleichungen ein - stimmt alles, hast du richtig gerechnet.

Vektoren: Alle Berechnungsweisen mit Beispiel – Seite 2

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Parametergleichung aufstellen

Eine Parametergleichung einer Geraden hat die Form: g⃗:x⃗=OA⃗+t⋅AB⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}. Du brauchst einen Startpunkt A und einen Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}.

Den Richtungsvektor berechnest du mit AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}. Einfach die Koordinaten von A von den Koordinaten von B abziehen!

Um zu prüfen, ob ein Punkt C auf der Gerade liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parametergleichung ein. Wenn für alle drei Komponenten derselbe t-Wert rauskommt, liegt der Punkt auf der Gerade.

Merksatz: Liegt ein Punkt auf der Gerade, muss der Parameter t für x-, y- und z-Komponente identisch sein!

Vektoren: Alle Berechnungsweisen mit Beispiel – Seite 3

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Berechnungen mit Vektoren

Der Richtungsvektor AB⃗\vec{AB} wird mit der Formel AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} berechnet. Du subtrahierst einfach die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts.

Die Länge eines Vektors (oder Abstand zweier Punkte) berechnest du mit: ∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}. Das ist der 3D-Pythagoras!

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit: MAB=OA⃗+12AB⃗M_{AB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}. Du gehst vom ersten Punkt aus und läufst die halbe Strecke zum zweiten.

Praktisch: Die Abstandsformel ist nur die Länge des Verbindungsvektors - dasselbe Prinzip!

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Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Du prüfst das, indem du schaust, ob a⃗=k⋅b⃗\vec{a} = k \cdot \vec{b} für einen konstanten Faktor k gilt.

Teile dazu jede Komponente des ersten Vektors durch die entsprechende Komponente des zweiten: k=a1b1=a2b2=a3b3k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}. Kommt überall dieselbe Zahl raus, sind die Vektoren kollinear.

Ist das Verhältnis nicht konstant, zeigen die Vektoren in verschiedene Richtungen und sind nicht kollinear.

Achtung: Kollineare Vektoren können auch entgegengesetzt gerichtet sein - dann ist k negativ!

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