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Vektoren
26.10.2021
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5. Aufgabe Eine antike Pyramide hat die Ecken 4(100|0|0), B(100 100|0). C(0|100 | 0) und D(0 0 0) und die Spitze S(50|50|100). Aus der Seitenfläche BCS ragt als Teil einer Hebevorrichtung senkrecht ein Balken PQ heraus, dessen Mitte T auf einer vertikalen Stütze RT steht. Es gilt P(50 60 80) und Q(50 100 100). [3 P.] ARAAB a) Stelle eine Parametergleichung der Ebene E auf, welche B, C und S enthält. 100 -100 -50 (Mögliches Kontrollergebnis: E: x = +1-50 100 0 B) Überprüfe, ob der Punkt P tatsächlich auf der Seitenfläche BCS liegt. ky Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke BC. [6 P.] [3 P.] d) Berechne die Länge der Stütze TR. (Tipp: Stelle dazu die Gleichung der vertikalen Gerade g auf, die den Punkt T enthält. Berechne dann den Punkt R als Schnittpunkt der Geraden g mit der Fläche BCS.) [11 P.] алу e) Zeige, dass der Punkte U(40|40|80) und der Kante DS der Pyramide liegt. Der Punkt V(60|40|80) liegt auf der Kante AS. Begründe, dass das Viereck UV ein Trapez (zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander) ist. f) Die Sonne scheint aus der Richtung des Vektors > = Schattenpunkt Z der Spitze S auf dem Boden. >>1 A Σ=25P. +55P. = 80P. AD P ZA S H 2 (3) 4 [6 P.] auf die Pyramide. Ermittle des [5 P.] Ty B Q RO M ↑ C 1 y Viel Erfolg!!! 3. Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems. 2x₁3x₂x3 = 1 2x₂ + 3x3 = 1 4X₁+ 2x₂ + 3x3 = 6 33/32 MIN 31/1/2 MIN MN...
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N 33/2 I 2x₁-3x₂-x3 =11_1(-²2) II Ux+ 2 x₂ + 3xy =6 u 2x2 + 3x3=1 I - 4x₁+6x₂+2x3 = - ZI I 4x₁+2x₂+3x₂=6 (5 P.) 3 = -2² ~ ²] + 74 I 2X-3X2-X3=^ A 8x₂ +5x3=4 ZL 2x₂ + 3x3 =1_1-1-4) -8x2-12x3= ZU I 2x₂-3x₂-x3 >1 T 2x2 + 3x3 =1 I +8x₂+5x3=4✓ -7x3=4₁ -2x3=-4 -2x3 = -4 1:(-7) x3 = -4 (V) 1 2x₂ + 3-(-4)=1 (~) 2x2+-12-1 Viel Erfolg!!! Hilfsmittelfreier Teil - Seite 2 von 3 2. Gegeben sind die Punkte A(3|2|0), B(0|2|4) und C(3|0|4). a) Stelle eine Gleichung der Ebene auf, die die Punkte A, B und C enthält. 3 0 [mögliche Kontrolllösung: E:x= 2+k +1 1 0 4 b) Berechne die Schnittpunkte der Ebene mit der x3-Achse. (Tipp: Überlege, was für die 3 Koordinaten des Schnittpunktes gelten muss, wenn die Ebene die x-Achse schneidet.) c) Überprüfe rechnerisch, ob P(3|1|2) in der Ebene liegt. d) Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Spannvektoren orthogonal zueinander sind. → Rechuwag! [4 P.] (5 P.) [3 P.) E: ✰ = (²³²) + k√ ² ) + 1 (²4) (b) xcarcinalen Schnittpunkt (8)___ (8-)+(-3) - C) P(31/12) один! (2) = (3) +* (23) + (2) I 3-3-3k I1=2 2= I 3=3-3k 0=-3k O=k I 1= 2-21 -1=21 SIN V -21L икти し v 1:(-3) 1-2 1:(-2) 1₁₂2=40+4 12 2= 2 V Der Punkt P liegt in der Ebene Sut! IO=34-3k 10=2 7t=4k+41 10=k of 4 I -21 1 1/2 = 1 V += 4.0+4. 12/2 t=2 (v) S(01012) (v) [3 P.] -2 a) A(31210) B(012141,C(31014) e: x= | +6 (² los fehlt Hinweise: 2. Teil - Mit den Hilfsmitteln GTR und Formelsammlung Es ist ausschließlich der GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) erlaubt. Ein zusätzlicher WTR (wissenschaftlicher Taschenrechner) ist verboten! Runde ggf. auf zwei Nachkommastellen. 4. Aufgabe Das Flugzeug F befindet sich im Steigflug, als es vom Kontrollturm I(-10|10|0) um 14:00 Uhr in A(8 8 4) und noch einmal um 14:02 Uhr in B(4|12|6) gesichtet wird. Später verschwindet es in der horizontalen Wolkenschicht, die in 9 km Höhe beginnt und in 10 km Höhe endet. Direkt beim Austritt aus der Wolkenschicht geht das Flugzeug vom Steigflug in den Horizontalflug über, ohne weitere Richtungsänderungen vorzunehmen (Angaben in km). Bei diesen Angaben liegt der Boden in der x1,x2-Ebene a) Bestimme eine Parametergleichung der Flugbahn f des Flugzeuges. b) Berechne die Fluggeschwindigkeit in km/h. c) Ermittle die Position Q, in der die Wolkendecke wieder verlassen wird. 10km 149 Alle Rechnungen sollen einen mathematischen Ansatz enthalten und es muss nachvollziehbar sein, wie Du die Aufgabe gelöst haben, auch bei Einsatz des GTR. (3 P.] [4 P.] [5 P.] d) Ein Hubschrauber H startet zeitgleich mit dem Flugzeug F um 14 Uhr in C(8 110) mit Kurs auf das Ziel D(4910). Ermittle, ob sich die Flugbahnen kreuzen. Falls ja, bestimme den Schrijs punte Kreuzungspunkt K (Hinweis: Du musst nicht ermitteln, ob die beiden tatsächlich kollidieren könnten.) [9 P.] F 1402 B AT R TR 10 T 9km 10km Bitte wenden! 1. Teil - Hilfsmittelfreier Teil Hinweis: Bearbeite alle Aufgaben auf den Blättern! Fertige ggf. zu den Aufgaben kleine Skizzen an, damit Dir die geometrischen Zusammenhänge deutlich werden. 1. Eine Gerade verläuft durch die Punkte P(2|3|-4) und Q(51-12). Stelle die Geradengleichung in Parameterform auf. Überprüfe, ob der Punkt R(-4|11|-16) auf der Strecke PQ liegt. [5 P.] 8:=(3+5 (5) Richtungsvektar -4 ^^ -16 I -4 = 2+55 (v) I M = 3-1s W) T-16= 4+25 (v) I-4=2+5s -6=55 b₁-a₁ bi-Q₂ 63-93 5 (v) 1-2 1:5 I 11=3-1s 1-3 8=-15 1:(-1) -8=5 (1) 11-16=-4+2s 1+4 -12 = 25 1:2 -6=s (v) 15-2 18-3 2+4 Der Punkt Riest nicht auf der Strecke PQ. Richt