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Vektoren
Definition Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung
Vektoren geben eine Verschiebung in X₁, X₂ und Richtung an
- Ein vektor hat eine
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Vektoren Definition Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung Vektoren geben eine Verschiebung in X₁, X₂ und Richtung an - Ein vektor hat eine Richtung und eine Länge Vektoren im Koordinatensystem und Ebenen -2 -1 3 schrille vor. Horts 3 X₁ X3 Ebene 2 -1 -2 -3 -3 * P(31211) Ein Schritt nach oben 2 Schille nach rechts 2 Beispiel: P(31211) Ebenen Die x₁-x₂ Ebene, die x2-x3 Ebene und die X₁-X3 Ebene werden Koordinaten-ebenen genannt Bei Punklen in der *₁-*₂ Ebene ist die X3 Koordinale immer O •Bei Punklen in der X₂ X3 Ebene ist die X. Koordingle immer O Bei Punkten in der X₁-X3 Ebene ist die X2 koordingte immer o X3 X X₂ A2-X3 Ebene ←X₁-X₂ Ebene Parametergleichungen von Geraden Jede Gerade im Raum lässt sich durch eine Gleichung der Form 9: x= Průü *- ? Stütz vektor ·Piese Gleichung hept Parameter gleichung der Geraden, p heißt Stützvektor und Richtungsvektor Aufstellung einer Geraden gleichung man benötigt 2 Punkle für eine Gerade existieren mehrere Geraden gleichungen Beispiel: A(21211), B ( 4 16 1-2) 9: x= P + U (³) 9 - ¹ Richtungs- vektor beschreiben + r. = -5 ~g: x² ( * * · ()₁ + (²) 9 Punkt probe tr Baspier gi-() + (1), ()-(1)-(3) 3+5r 2-6 2r - (-2) -10 = 5r -B-RA-B -4 = 2r 2 + (3r) ), A (-71-518) 3r Beträge und Vielfache von Vektoren Vektoren, die Vielfache von einander sind, heißen kollinear. Kollineare Vektoren sind parallel Länge von vektoren nennt man Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors entspricht dem Abstand Zwischen Start und Endpunkt cles Vektors al a₁² + a₂² Abstand zwischen zwei Punklen in einem = √(a₁-b₂)² + ( + AB=√ parallel (0₂-b₂) ² Gegenseitige Lage von Geraden Es gibt vier verschiedene Fälle, wie Geraden im...

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Raum zueinander liegen können ↳identisch ↳schneide nd windschief Raum 9 n -Schneiden sich nicht! 9 Untersuchung von Lagebeziehungen Richtungsvektoren kollinear ² ja ja gemeinsamer PUNKI 2 9 identisch Beispiel: ← nan paralla * = (¹²) + < (³) + t 3 + 4t 4 + 2t → x=2 nein gemeinsamer Schnittpunkt 2 ja sind die Richtungsvektoren kollinear ? (³). → die Richtungsvektoren sind kollinear, somit sind sind die Geraden identisch oder parallel Geraden Schneiden sich Gemeinsamen Punkt berechnen / Punktprobe: (3) - (3) -2 = 4t -4 = 8t -1 = 2t nx - (²) + +- (3) t. nein windschiet → Somit sind 9 und n identisch <=) -0.5=t -0,5-t -0,5 = t ↳Punktprobe positiv Schnittpunkte von Geraden Schnittpunkte von Geraden werden durchs Gleichsetzen bestimmt Beispiel: (³) - € (3) t h.x. (8) + (7) 9³ x = 9=h (8) - (5₂) - (8) + (7) t tr <=> ← 2 3+ (-it) 3+ 2 t 4 + (-1/st) = ir -3-t = -Ir -6 +2t= -2r 4-1/3 t =[ = 3,75 "nicht kollinear t = 0,75 = 6+ (-11) - 9+ (-25) Schnitt punktstelle berechnen 3. (1) + 0.75 (2) .().() 0,25 -3 = -5+t -6--2r -2t -4 = r - 13t 2,251 4,5 3.75 Schnittpunkt bei S(2,2514.513,75) Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt von vektoren wird gebraucht, um die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen vektoren auszurechnen 2 la 1² + 16 1² = 16 - 8/² <=>(√α²+q₂²) ²+ (√b²¹bi)* • (√(b₁-a₁)² + (b₁-a₂)²) ') ² <= a₁² + a₂² + b₁² + b₂² = (b₁-a)² + (bz - Q₂)² <= a₁₁² +0.₂² + b²² + b₂²= t₁²-20, b. ₁₁ + b₂²20₂b₂ + 0²/₂ 02a, b.-20₂b₂ ab=a₁b₁ + a₂b₂ + Q3b3 Anwendung des Beispiel: I 2) 2 (a, b₁ + a₂b₂) = (a, b, + a₂ b₂) á a·b - (1²)· (3) (3) × (²) * d a b=0 9 X = J Skalarprodukts (3³) → wenn a∙b=0, dann sind à und b a b S 0= n · R - (²³) + ² · (²³) =-5--2 +1.2 + 0.0 = 12 ia ist nicht orthogonal zu b 2.b, + 3 (-4) + 0.3 = 2.b₁-12 1+12 12 = 2.61 1:2 6 b₁ orthogonal überprüfen Sie, ob die Geraden g und h or tho- gonal sind Bestimmen Sie die fehlende Koordingle so, dass a Lt Bestimmung von zwei Punkten, die aut der Geraden liegen beliebigen Wert für r einsetzen Beispiel: 9 x = (-1) + ₁ - (1) r r=1; 9x = Beispiel: (-) + (³) - (8) a 2-0 Vektoren bestimmen, die zu a orthogonal sind → ()-( ) .. (=) 0 · ( ! ) ; 6 · ( 3 ); <- (;) C₁+2C₂+3c3 =0 C₁ + 2C₂ + 3c3 =0 261 + C₁ = t 3c3 = 0. 6.2=0 gleichsetzen ( (3) - parametrisieren 2c₁ + 1) Eine Variable climinieren Chier schon geschehen) 2) Eine Variable parametrisieren Bestimmung von Winkeln zwischen á b 181 181 ^ 2 8 -0 Beispiel: A (11-115), B (3121-4), C C(51-11-2) Skizze: 6 und b 3c3 = 0 ट a ( COS α = 6 am Beispiel I 2 - AB = 6 = AC = 5-1 (-1)+1 (-2)-5) [ 1241 363.0] 1.22 + 3c 1-2t + 2С1 + 3c3 = 0 3x3 = -2t t + 2c₂ + 3.6-¹3t)=0 C3 - ²/3t t - 2 C3 = -2cz - ²3t -1/2 t = c₂ <3 = -²/3t - (126) - (-1/₂). t - (†) 1:3 Skalarprodukt Longe des Veklars 8(betrag) Vektoren 1-2c₂ 1: -2 I 0° < < 180° 121= -√√2² +3² + (-9)²¹ = -√49 1 B1 = -√√ 4² + 0² +(-7) ²¹: √√65 klammern 3) Die übrigen varia- blen so aullösen, dass sle nur vom parameter abhängig sind 4) Die einzelnen Lösungen in einen vektor schreiben Parameter und den 2.6= 71 cosa √94-65 aus- Vorgehensweise = cos CO.908) 24,769* Arkuscosinus Skizze machen AC ·ē - (²3-³¹). (-18) bestimmen entsprechende Vektoren Beispiel Textaulgobe - Winkel berechnen Eine Laterne hat die Form eines Pyramidensiumptes mit tischen Grundfläche gebene Punkle A (51-510), B (51510), E (21-2115), 6 (-212115) al Berechnen Sie den Neigungswinkel der kanton der Laterne vorwissen. Ursprung in der Mitle; quadratischer Ursprung → CC-51 510) AE - 2. (-3-²-²).(-³) = 71 - 0,908 12²1-710² + (-10)² + (0)² = √200 b) Berechnen Sie 121= -√√√3² + (-3)² + (-15)² = -√√243 104,09 76.9 Summe der Innen- Winkel in einem Vier- eck immer 360° → Beträge ermitteln → Skalarprodukt berechnen 10 Formel einsetzen - Winkel im 6TR berechnen AB=√100 AE=1243 ez. (i) (ii) Cos d = einer 60 200 243 d = cos¹ (0.272) @ 74,217° den Innenwinkel der Laternenseiten 7.6. (1) (-²1) 360 (78.93 -2) = 202,14* 202.14° 2101,07* quadra - = 60 20,272 = 30 30 cos 100 12432 01192 =cus (0₁192) 276,93 Matrix Schreibweise 3x₁+ 6x₂2x3 = -4 3x₁ + 2x₂ + x3 =0 -15x, 512 -5xy=-9 3 Aquivalenzumformungen: 3 6-2 3 2 1) Tauschen von Zeilen -4 (EB)-(GED) 3 2 5 -5 -9 3 6-21-4 3 -2 -4 |-(GB) 3 2 1,5 5 -5 X₂ 3 6 -2 -4 1.2 3 2 1 0 4.5 5 -5 -9 3 2 X₁ finden 5 2) Multiplizieren einer zelle mit einer Zahl C=0 6 3 Ziel: Stutenform /= zahl X3 -5 -9 12 -4 -8 2 T 0 1.5 5 -5 -9 3 6 -2 -4 6 8 (GED)-(CEE) 3 2 5 -5 -9, 45 5 -5 -9 3) Eine Zeile ersetzen durch die Summe von zwei zeilen 9 -1 1Konstanten Warum wenget man die Matrix Schreib- weise an ² Mit Hilfe des Gouß- Algorithmus Lösungen X₂ und x3 für (60)-(6 A) XII Lösen von Matrien Beispiel 2 -3 -1 4 (B)--(B) (GB)-GB).. -3 -2 1--2 () C 3 6-2 -4 3 1.5 3 6 -2 4 -⠀⠀E) -3 -10 10 18 ▶ 2 5 -5 3 6-2 O 4 -3 O 05 3x, +612- 3x + 3-4 =-4 3x = -4 X. 3x = -3 4 -3 -4 addieren = 4 EXIT OPTN MAT (F2) Rret Matrixen mit Hilfe RUN-MAT MENU MAT (F3) - Dimension Mat A -9 x, = 0 X₂ = 1 _X3 = 2 -4 -4 10 x3 =-4 1 0 O m: Zeilen in EXE O man 1 XI = -1 X₂015 2 3 1 2 -3 5x3 = 10 x 3=2 Spalien des GTRS bestimmen 6 -2 -4 4x2-3x3-4 4x2 - 6 = -4 1+6 1:4 41₂ = 2 x2 = 0,5 -10 3 6-2 :::9). 4 -3 -4 -4 8 14 I 10 I -1 2 3 5 4 10 2 7 -3 addieren addition 3 -1 I 5 1 Lösungsmengen 2 3 3 -8 -5 0=1 4 → Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung 4 = { } 5 2 -3 6 4 8 - 12 24 (GB) GEE 2 2 10 -20 20 4 3 -2 14 besitzt unendlich Das Gleichungssystem viele Lösungen 2 parametrisieren X3-t 10x220t 20 1+ 206 10 x 2 = 20. 20t 1:10 2 + 21 4X, 16 + 4t = (ux, t 4t = 8 4X1 100 0 1 0 100 1 4x, + 8 (2+2t) - 12t - 24 4x + 16 + 16t-12t - 12t - 24 24 1-16 1-4t = 8-4t 2-t 1 3 ← 2 4- {(²²1), E CR} 1:4 Dieses Gleichungssystem besitzt eine Lösung 4 = {({ ) }