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Vektoren Lernzettel
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Lernzettel Vektoren -Parametergleichung -Beträge -Gegenseitige Lage von Geraden -Skalarprodukt -Winkel zwischen Vektoren -Matrixen
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Vektoren Definition: Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung. Vektoren geben eine Verschiebung in X₁, X₂ und X3 Richtung an vektor hat eine Richtung und eine Länge Vektoren im Koordinatensystem und Ebenen .3 X₁ -1 3 schritte vor- wärts 3 2 X₁-X3 Ebene 3 2 X₁² I -1 X3 -2. -3- - Ein -2 I x P (31211) Ein Schritt nach oben 2 Schrille nach rechts T 2 Beispiel: P(31211) Ebenen: Die X₁-X₂ Ebene, die x2-x3 Ebene und werden Koordinaten-ebenen genannt Bel Punklen in der X₁-X₂ Ebene ist die X3 Koordinate immer O Bei Punkten in der x₂-x3 Ebene ist die X, Koordinate immer 0 • Bei Punkten in der X₁-X3 Ebene ist die X2 koordinate immer O X3 X₂ 3 die X₁-X3 Ebene 2-X3 Ebene ←X₁-X2 Ebene Parametergleichungen von Geraden Jede Gerade im Raum lässt sich durch eine Gleichung der Form p +r.u beschreiben 1 9: x = Stütz- vektor •Diese Gleichung heißt Parameter gleichung der Geraden, & heißt Stützvektor und Richtungsvektor Aufstellung einer Geraden gleichung man benötigt 2 Punkle → für eine Gerade existieren mehrere Geracengleichungen Beispiel: A(21211), B C 4 16 1-2) 9: x = p + · ..Ű 9 x = 9 2 · (3) + - (1 - 2 ) r. 2 6 - X Richtungs- vektor Punkt probe 2 ・ (³) + · (~) 2 r (-4) 3 = Beispiel: g: g·* · ( ² ) + ‹ ( 3 ), -7 - 3 + 5r -5 = -1 + 25 + r 2 73 -10 = 5r -#-##-# 8 = 2 + (3r) 6 = - 3r A (-71-518) = 2r Beträge und vielfache von Vektoren Vektoren, die Vielfache von einander sind, heißen kollinear. Kollineare Vektoren sind parallel Länge von vektoren nennt man Betrag eines Vektors. Der Betrag eines Vektors entspricht dem Zwischen Start und Endpunkt...
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cles Vektors. al 2 2 a₁² + a₂² Abstand zwischen zwei AB=√(a₁ -b₂)² + (0₂-b₂) ² parallel ↳ identisch Punklen in einem Gegenseitige Lage von Geraden Es gibt vier verschiede ne Fälle, wie Geraden im Raum Zueinander liegen können ↳schneidend windschief 9 65 9 Abstand h Raum Schneiden sich nicht! Untersuchung von Lagebeziehungen Richtungsvektoren kollinear ? gemeinsamer Punkt ? ja ja identisch Beispiel: ← 9₁ * = ( ) + ² ( ³ ) 2 nein paralla X Gemeinsamen (1)-() -- () t sind die Richtungsvektoren kollinear ? x=2 3 + 4t 2. 6 + 8t 3 = 4 + 2t ja nein gemeinsamer Schnittpunkt 2 Geraden Schneiden sich → die Richtungsvektoren sind kollinear, somit sind sind die Geraden identisch oder parallel h²x - ( ² ) + t - ( ² ) = -2 = 4t -4 = 8t -1 = 2t nein Punkt berechnen / Punktprobe : windschiet → Somit sind 9 und n identisch <=> 0,5=t -0,5 = t L-0₁5 = t ↳ Punktprobe positiv Schnittpunkte von Geraden Schnittpunkte von Geraden werden durchs Gleichsetzen bestimmt Beispiel: 9₁x - (³) - + (-1/₂) t (h. ². (8) + ² ( ²7 ) tr g=h (3³) - - (3,₂) t <=> = √-3-t = -Ir -6 +2t= -2r 4-1/3t =1 r = 3,75 6 = 6 t = 0,75 nicht kollinear [3 + (-1t) = 6 + (−1r) 3 + 2t 9+ (-2r) 4 + (-1/3 t) = lr tr (²¹) -3 = -r+t (=) -6-2r -2t -4 = r - 13t Schnitt punktstelle berechnen 3 - (2²) + 0,75 (²21) 0,75 1,5 4 - 0,25 2, 251 4,5 3,75 Schnittpunkt bel S (2,2514,51 3,75) Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt von Vektoren wird gebraucht, um die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen vektoren auszurechnen 2 2 12 1² + 16 1² = 16 - 31² <=> (√ 0²₁ + a₂²³) (૧ <= a₁²+ a₂² + b₁² + b₂² <= a₁₁² +0.₂² +1,₁² + b₂²² = b₁² - 2a, b₁ + ₁ + b ₂²- 20₂b₂ + ²₂ O=2a, b, 2a₂b₂ = a b = a₁b₁ + a₂b² + a3 b3 a = 2 ²+ (√b²+ bi )² = (√(b₁-a₁)² + (b₂-9₂)` (b₁-a₁)² + (b₂-0₂) ² 2(a, b₁ + a₂b₂) = (a₁ b₁ + a₂ b₂) Anwendung des Skalarprodukts Beispiel: 92-(3)+(²). I S 8. (3); 6 (3) K a-6-(6²)· ( 3 ) = a b=0 9: O → wenn a∙b=0, dann sind a und a b (3), 6 - (-) -4 h: X = -5 -2 + 1·2+ 0·0 = 12 ia ist nicht orthogonal zu 6 0= (3) (-1) -(-³) + ² · (²³) 2.b, +3.(-4) + 0.3 = 2.b₁-12 1+12 12 = 2.b1 1:2 6 = 6₁ orthogonal überprüfen Sie, ob die Geraden g und h or tho- gonal sind Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass a b Bestimmung von zwei Punkten, die aut der Geraden Liegen beliebigen Wert für r einsetzen Beispiel: 9: x = (=) (1) + ₁. (1) r. r=1; 9²x - ( 1 ) +₁ (7²) - (8) Vektoren bestimmen, die zu a orthogonal sind Beispiel: a. (); 6. (³); a 2 = 0 (3)· () -- C₁+2C₂+3c3 =0 C₁ + 2c₂ + 3c3 = 0 261 + 363=0 gleichsetzen C = Bestimmung von Winkeln zwischen b⋅ 2 = 0 · (3³) · (&) -。 1) Eine Variable eliminieren Chier schon geschehen) d Beispiel: Skizze: 2) Eine Variable parametrisieren C₁ = t 2c + 363 = ' d und b - parametrisieren am Beispiel a [E COS d A (11-115), B (3121-4), C ( 51-11-2) (²+1)-(3) (4)-5/ 2t + = AB = after b = AC. t +26₂ + 3C 3 = 3c3 = 0 /5-1 (-1) +) (-2)-5/ t + 2C ₂+ 3C3 O 343 = -2t 2.6 18) 131 exte t + 2c₂ + 3. (-²t)=0 1 - 1/2 t= c₂ t - 2 = -2cz --²3t C3 C3 2.²/361 C3 = -2/3t :] t 2 - (1/2) - (1/1₂). .t 2/3t E 1-2t 1: Länge des Vektors (Betrag) |- 2c2 Vektoren Skalarprodukt 1: -2 121= -√√2² +3² +6-9)² = -√49 1 B1 = -√√ 4² + 0² + (−7)²¹ = -√√65 H 0° < < < 180° G klammern AC 2·6 - (3) · (;) . 3) Die übrigen varia - blen so avilösen, dass sle nur vom parameter abhängig sind COS α = 41 Die einzelnen Lösungen in einen vektor schreiben und den Parameter CIUS- Arkuscosinus 71 194.-65 Vorgehensweise = cos (0,908) ≈ 24,769° Skizze machen bestimmen entsprechende Vektoren Beispiel Textautgabe - Winkel berechnen • Eine Laterne hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit einer quadra - tischen Grundfläche gebene Punkle : è - (²-³) - (-10) A (51-510), B (51510), E (21-2115), G (-212115) al Berechnen Sie den Neigungswinkel a der kanten der Laterne vorwissen. Ursprung in der Mitte ; quadratischer ursprung → CC-51 510) = 121 = 1 = √3² +₁ 0,908 = AE - 2. (-31-²-(-2). (-3³) 12²1 - √ 10² + (-10)² + 601²³ = √200 ↑ 101,07 = 71 b) Berechnen Sie € a 78,93 + (-3)² + (-15)² = Summe der Innen- Winkel in einem Vier- eck immer 360° → Beträge ermitteln → Skalarprodukt berechnen → in Formel einsetzen - Winkel im GTR berechnen = -√243 AB=√100 AE = √243 2.2. (-::) (³). Cos d= d = cos¹ (0,272) = 74,217° den Innenwinkel der Laternenseiten (10) 7-6. (89) (-³1) = 60 √200 √243 ≈ 0,272 360° (78,93 -2) = 202,14 202.14° 2= 101,07° 60 30 = 30 cos 2 = 100-24301192 2= cos (0₁192) 78,93° Matrix Schreibweise 3xit 6x2 - 2x3 = -4 3x + 2x₂ + x3 = 0 15x,512 -5Kg = - -9 3 Aquivalenzumformungen: I) Tauschen von Zeilen 3 3 2 1 4.5 6 -2 -4 0 5 -5 -9 |- 3 6 -2 3 2 1 0 4,5 5 -5 -9, 3 -4 1.2 3 3 1,5 X₁ -2 -4 (EB)-6 3 2 5 -5 -9 6 Ziel: Stutenform /= zahl 2 x₂ -2 5 -5 X3 1 1.5 5 -5 3 2 1 O 3 6 -2 -4 2) Multiplizieren einer zelle mit einer Zahl C#0 6 12 -4 - 8 - CENE) 3 2 1.5 5 -5 -9 3 2 1 3) Eine Zeile ersetzen durch die Summe von zwei zeilen 8 -1 -4 र O O 5 -5-9 9 Konstanten Warum wendet man die Matrix Schreib- weise an ? Mit Hilfe des Gauß- Algorithmus Lösungen X₂ und x3 finden für (CAD)-(6 A) XII Lösen von Matrixen - Beispiel 3 3 1.5 3 6 4 -10 Os 3 3 O 6 -2 2 1 5 -5 X. 6 -2 4 -3 -4 O 5 10 3x₁ +6x2-2x3 = -4 3x + 3-4 = -4 - 1 3x, - 3x, = EXIT OPTN MAT (F2) Rret O -9 カーニ -2 4 33 -3 -4 10 18 Mat A - 3 1:3 - X₁ = 0 X₂ = 1 X3 2 |+| Matrixen mit Hilfe RUN-MAT MENU MAT (F3) 1:-1 1 O O 1.-2 1 addieren des mxn (=) X₁ = -1 X₂015 LX3 2 1 • Dimension m: Zeilen in Spalten EXE 1 2 <=> = 3 -3 -3 O 5x3= 10 *3=2 O 4x2-3x3-4 4x2 - 6 4x2 = 2 x2 = 015 3 6 -2 6 -2 -10 10 O J J 2 3 -4 -2 -4 1+6 1:4 GTRS bestimmen -1 5 ∞ 70 O 10 -3 -4 -4 B 2 7 ŵ ! addieren addition 3 1 | F 5 Lösungsmengen -1 (3B)-(388) ... 5 2 2 → Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung U = { } -5 1 2 -1 4 2 -3 6 4 8-12 BD)-(8E) 2 10 -20 3 -2 14 Lösungen Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele parametrisieren X3 = t 10x220t = 20 1+ 20t 10 x 2 = 20 20t 1:10 X2: 2 + 2+ 4x, + 8 (2+2t) - 12t = 24 4x + 16 + 16t -12t - 12t = 24 4x + 16 + 4t = 24 1-16 4t = 8 8-4t <= 4x + 1 0 0 0 4X1 X, 0 1 : 2-t 1 3 2 24 1 -4t 1:4 20 {(²+1), tar} 2+2t → Dieses Gleichungssystem besitzt eine Lösung u = { ( ² ) }
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(8) + ² ( ²7 ) tr g=h (3³) - - (3,₂) t <=> = √-3-t = -Ir -6 +2t= -2r 4-1/3t =1 r = 3,75 6 = 6 t = 0,75 nicht kollinear [3 + (-1t) = 6 + (−1r) 3 + 2t 9+ (-2r) 4 + (-1/3 t) = lr tr (²¹) -3 = -r+t (=) -6-2r -2t -4 = r - 13t Schnitt punktstelle berechnen 3 - (2²) + 0,75 (²21) 0,75 1,5 4 - 0,25 2, 251 4,5 3,75 Schnittpunkt bel S (2,2514,51 3,75) Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt von Vektoren wird gebraucht, um die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen vektoren auszurechnen 2 2 12 1² + 16 1² = 16 - 31² <=> (√ 0²₁ + a₂²³) (૧ <= a₁²+ a₂² + b₁² + b₂² <= a₁₁² +0.₂² +1,₁² + b₂²² = b₁² - 2a, b₁ + ₁ + b ₂²- 20₂b₂ + ²₂ O=2a, b, 2a₂b₂ = a b = a₁b₁ + a₂b² + a3 b3 a = 2 ²+ (√b²+ bi )² = (√(b₁-a₁)² + (b₂-9₂)` (b₁-a₁)² + (b₂-0₂) ² 2(a, b₁ + a₂b₂) = (a₁ b₁ + a₂ b₂) Anwendung des Skalarprodukts Beispiel: 92-(3)+(²). I S 8. (3); 6 (3) K a-6-(6²)· ( 3 ) = a b=0 9: O → wenn a∙b=0, dann sind a und a b (3), 6 - (-) -4 h: X = -5 -2 + 1·2+ 0·0 = 12 ia ist nicht orthogonal zu 6 0= (3) (-1) -(-³) + ² · (²³) 2.b, +3.(-4) + 0.3 = 2.b₁-12 1+12 12 = 2.b1 1:2 6 = 6₁ orthogonal überprüfen Sie, ob die Geraden g und h or tho- gonal sind Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass a b Bestimmung von zwei Punkten, die aut der Geraden Liegen beliebigen Wert für r einsetzen Beispiel: 9: x = (=) (1) + ₁. (1) r. r=1; 9²x - ( 1 ) +₁ (7²) - (8) Vektoren bestimmen, die zu a orthogonal sind Beispiel: a. (); 6. (³); a 2 = 0 (3)· () -- C₁+2C₂+3c3 =0 C₁ + 2c₂ + 3c3 = 0 261 + 363=0 gleichsetzen C = Bestimmung von Winkeln zwischen b⋅ 2 = 0 · (3³) · (&) -。 1) Eine Variable eliminieren Chier schon geschehen) d Beispiel: Skizze: 2) Eine Variable parametrisieren C₁ = t 2c + 363 = ' d und b - parametrisieren am Beispiel a [E COS d A (11-115), B (3121-4), C ( 51-11-2) (²+1)-(3) (4)-5/ 2t + = AB = after b = AC. t +26₂ + 3C 3 = 3c3 = 0 /5-1 (-1) +) (-2)-5/ t + 2C ₂+ 3C3 O 343 = -2t 2.6 18) 131 exte t + 2c₂ + 3. (-²t)=0 1 - 1/2 t= c₂ t - 2 = -2cz --²3t C3 C3 2.²/361 C3 = -2/3t :] t 2 - (1/2) - (1/1₂). .t 2/3t E 1-2t 1: Länge des Vektors (Betrag) |- 2c2 Vektoren Skalarprodukt 1: -2 121= -√√2² +3² +6-9)² = -√49 1 B1 = -√√ 4² + 0² + (−7)²¹ = -√√65 H 0° < < < 180° G klammern AC 2·6 - (3) · (;) . 3) Die übrigen varia - blen so avilösen, dass sle nur vom parameter abhängig sind COS α = 41 Die einzelnen Lösungen in einen vektor schreiben und den Parameter CIUS- Arkuscosinus 71 194.-65 Vorgehensweise = cos (0,908) ≈ 24,769° Skizze machen bestimmen entsprechende Vektoren Beispiel Textautgabe - Winkel berechnen • Eine Laterne hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit einer quadra - tischen Grundfläche gebene Punkle : è - (²-³) - (-10) A (51-510), B (51510), E (21-2115), G (-212115) al Berechnen Sie den Neigungswinkel a der kanten der Laterne vorwissen. Ursprung in der Mitte ; quadratischer ursprung → CC-51 510) = 121 = 1 = √3² +₁ 0,908 = AE - 2. (-31-²-(-2). (-3³) 12²1 - √ 10² + (-10)² + 601²³ = √200 ↑ 101,07 = 71 b) Berechnen Sie € a 78,93 + (-3)² + (-15)² = Summe der Innen- Winkel in einem Vier- eck immer 360° → Beträge ermitteln → Skalarprodukt berechnen → in Formel einsetzen - Winkel im GTR berechnen = -√243 AB=√100 AE = √243 2.2. (-::) (³). Cos d= d = cos¹ (0,272) = 74,217° den Innenwinkel der Laternenseiten (10) 7-6. (89) (-³1) = 60 √200 √243 ≈ 0,272 360° (78,93 -2) = 202,14 202.14° 2= 101,07° 60 30 = 30 cos 2 = 100-24301192 2= cos (0₁192) 78,93° Matrix Schreibweise 3xit 6x2 - 2x3 = -4 3x + 2x₂ + x3 = 0 15x,512 -5Kg = - -9 3 Aquivalenzumformungen: I) Tauschen von Zeilen 3 3 2 1 4.5 6 -2 -4 0 5 -5 -9 |- 3 6 -2 3 2 1 0 4,5 5 -5 -9, 3 -4 1.2 3 3 1,5 X₁ -2 -4 (EB)-6 3 2 5 -5 -9 6 Ziel: Stutenform /= zahl 2 x₂ -2 5 -5 X3 1 1.5 5 -5 3 2 1 O 3 6 -2 -4 2) Multiplizieren einer zelle mit einer Zahl C#0 6 12 -4 - 8 - CENE) 3 2 1.5 5 -5 -9 3 2 1 3) Eine Zeile ersetzen durch die Summe von zwei zeilen 8 -1 -4 र O O 5 -5-9 9 Konstanten Warum wendet man die Matrix Schreib- weise an ? 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