Vektoren Lernzettel

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Raum zueinander liegen können ↳identisch ↳schneide nd windschief Raum 9 n -Schneiden sich nicht! 9 Untersuchung von Lagebeziehungen Richtungsvektoren kollinear ² ja ja gemeinsamer PUNKI 2 9 identisch Beispiel: ← nan paralla * = (¹²) + < (³) + t 3 + 4t 4 + 2t → x=2 nein gemeinsamer Schnittpunkt 2 ja sind die Richtungsvektoren kollinear ? (³). → die Richtungsvektoren sind kollinear, somit sind sind die Geraden identisch oder parallel Geraden Schneiden sich Gemeinsamen Punkt berechnen / Punktprobe: (3) - (3) -2 = 4t -4 = 8t -1 = 2t nx - (²) + +- (3) t. nein windschiet → Somit sind 9 und n identisch <=) -0.5=t -0,5-t -0,5 = t ↳Punktprobe positiv Schnittpunkte von Geraden Schnittpunkte von Geraden werden durchs Gleichsetzen bestimmt Beispiel: (³) - € (3) t h.x. (8) + (7) 9³ x = 9=h (8) - (5₂) - (8) + (7) t tr <=> ← 2 3+ (-it) 3+ 2 t 4 + (-1/st) = ir -3-t = -Ir -6 +2t= -2r 4-1/3 t =[ = 3,75 "nicht kollinear t = 0,75 = 6+ (-11) - 9+ (-25) Schnitt punktstelle berechnen 3. (1) + 0.75 (2) .().() 0,25 -3 = -5+t -6--2r -2t -4 = r - 13t 2,251 4,5 3.75 Schnittpunkt bei S(2,2514.513,75) Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt von vektoren wird gebraucht, um die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen vektoren auszurechnen 2 la 1² + 16 1² = 16 - 8/² <=>(√α²+q₂²) ²+ (√b²¹bi)* • (√(b₁-a₁)² + (b₁-a₂)²) ') ² <= a₁² + a₂² + b₁² + b₂² = (b₁-a)² + (bz - Q₂)² <= a₁₁² +0.₂² + b²² + b₂²= t₁²-20, b. ₁₁ + b₂²20₂b₂ + 0²/₂ 02a, b.-20₂b₂ ab=a₁b₁ + a₂b₂ + Q3b3 Anwendung des Beispiel: I 2) 2 (a, b₁ + a₂b₂) = (a, b, + a₂ b₂) á a·b - (1²)· (3) (3) × (²) * d a b=0 9 X = J Skalarprodukts (3³) → wenn a∙b=0, dann sind à und b a b S 0= n · R - (²³) + ² · (²³) =-5--2 +1.2 + 0.0 = 12 ia ist nicht orthogonal zu b 2.b, + 3 (-4) + 0.3 = 2.b₁-12 1+12 12 = 2.61 1:2 6 b₁ orthogonal überprüfen Sie, ob die Geraden g und h or tho- gonal sind Bestimmen Sie die fehlende Koordingle so, dass a Lt Bestimmung von zwei Punkten, die aut der Geraden liegen beliebigen Wert für r einsetzen Beispiel: 9 x = (-1) + ₁ - (1) r r=1; 9x = Beispiel: (-) + (³) - (8) a 2-0 Vektoren bestimmen, die zu a orthogonal sind → ()-( ) .. (=) 0 · ( ! ) ; 6 · ( 3 ); <- (;) C₁+2C₂+3c3 =0 C₁ + 2C₂ + 3c3 =0 261 + C₁ = t 3c3 = 0. 6.2=0 gleichsetzen ( (3) - parametrisieren 2c₁ + 1) Eine Variable climinieren Chier schon geschehen) 2) Eine Variable parametrisieren Bestimmung von Winkeln zwischen á b 181 181 ^ 2 8 -0 Beispiel: A (11-115), B (3121-4), C C(51-11-2) Skizze: 6 und b 3c3 = 0 ट a ( COS α = 6 am Beispiel I 2 - AB = 6 = AC = 5-1 (-1)+1 (-2)-5) [ 1241 363.0] 1.22 + 3c 1-2t + 2С1 + 3c3 = 0 3x3 = -2t t + 2c₂ + 3.6-¹3t)=0 C3 - ²/3t t - 2 C3 = -2cz - ²3t -1/2 t = c₂ <3 = -²/3t - (126) - (-1/₂). t - (†) 1:3 Skalarprodukt Longe des Veklars 8(betrag) Vektoren 1-2c₂ 1: -2 I 0° < < 180° 121= -√√2² +3² + (-9)²¹ = -√49 1 B1 = -√√ 4² + 0² +(-7) ²¹: √√65 klammern 3) Die übrigen varia- blen so aullösen, dass sle nur vom parameter abhängig sind 4) Die einzelnen Lösungen in einen vektor schreiben Parameter und den 2.6= 71 cosa √94-65 aus- Vorgehensweise = cos CO.908) 24,769* Arkuscosinus Skizze machen AC ·ē - (²3-³¹). (-18) bestimmen entsprechende Vektoren Beispiel Textaulgobe - Winkel berechnen Eine Laterne hat die Form eines Pyramidensiumptes mit tischen Grundfläche gebene Punkle A (51-510), B (51510), E (21-2115), 6 (-212115) al Berechnen Sie den Neigungswinkel der kanton der Laterne vorwissen. Ursprung in der Mitle; quadratischer Ursprung → CC-51 510) AE - 2. (-3-²-²).(-³) = 71 - 0,908 12²1-710² + (-10)² + (0)² = √200 b) Berechnen Sie 121= -√√√3² + (-3)² + (-15)² = -√√243 104,09 76.9 Summe der Innen- Winkel in einem Vier- eck immer 360° → Beträge ermitteln → Skalarprodukt berechnen 10 Formel einsetzen - Winkel im 6TR berechnen AB=√100 AE=1243 ez. (i) (ii) Cos d = einer 60 200 243 d = cos¹ (0.272) @ 74,217° den Innenwinkel der Laternenseiten 7.6. (1) (-²1) 360 (78.93 -2) = 202,14* 202.14° 2101,07* quadra - = 60 20,272 = 30 30 cos 100 12432 01192 =cus (0₁192) 276,93 Matrix Schreibweise 3x₁+ 6x₂2x3 = -4 3x₁ + 2x₂ + x3 =0 -15x, 512 -5xy=-9 3 Aquivalenzumformungen: 3 6-2 3 2 1) Tauschen von Zeilen -4 (EB)-(GED) 3 2 5 -5 -9 3 6-21-4 3 -2 -4 |-(GB) 3 2 1,5 5 -5 X₂ 3 6 -2 -4 1.2 3 2 1 0 4.5 5 -5 -9 3 2 X₁ finden 5 2) Multiplizieren einer zelle mit einer Zahl C=0 6 3 Ziel: Stutenform /= zahl X3 -5 -9 12 -4 -8 2 T 0 1.5 5 -5 -9 3 6 -2 -4 6 8 (GED)-(CEE) 3 2 5 -5 -9, 45 5 -5 -9 3) Eine Zeile ersetzen durch die Summe von zwei zeilen 9 -1 1Konstanten Warum wenget man die Matrix Schreib- weise an ² Mit Hilfe des Gouß- Algorithmus Lösungen X₂ und x3 für (60)-(6 A) XII Lösen von Matrien Beispiel 2 -3 -1 4 (B)--(B) (GB)-GB).. -3 -2 1--2 () C 3 6-2 -4 3 1.5 3 6 -2 4 -⠀⠀E) -3 -10 10 18 ▶ 2 5 -5 3 6-2 O 4 -3 O 05 3x, +612- 3x + 3-4 =-4 3x = -4 X. 3x = -3 4 -3 -4 addieren = 4 EXIT OPTN MAT (F2) Rret Matrixen mit Hilfe RUN-MAT MENU MAT (F3) - Dimension Mat A -9 x, = 0 X₂ = 1 _X3 = 2 -4 -4 10 x3 =-4 1 0 O m: Zeilen in EXE O man 1 XI = -1 X₂015 2 3 1 2 -3 5x3 = 10 x 3=2 Spalien des GTRS bestimmen 6 -2 -4 4x2-3x3-4 4x2 - 6 = -4 1+6 1:4 41₂ = 2 x2 = 0,5 -10 3 6-2 :::9). 4 -3 -4 -4 8 14 I 10 I -1 2 3 5 4 10 2 7 -3 addieren addition 3 -1 I 5 1 Lösungsmengen 2 3 3 -8 -5 0=1 4 → Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung 4 = { } 5 2 -3 6 4 8 - 12 24 (GB) GEE 2 2 10 -20 20 4 3 -2 14 besitzt unendlich Das Gleichungssystem viele Lösungen 2 parametrisieren X3-t 10x220t 20 1+ 206 10 x 2 = 20. 20t 1:10 2 + 21 4X, 16 + 4t = (ux, t 4t = 8 4X1 100 0 1 0 100 1 4x, + 8 (2+2t) - 12t - 24 4x + 16 + 16t-12t - 12t - 24 24 1-16 1-4t = 8-4t 2-t 1 3 ← 2 4- {(²²1), E CR} 1:4 Dieses Gleichungssystem besitzt eine Lösung 4 = {({ ) }