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Vektoren und Geraden im Raum

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 VEKTOREN UND
GERADEN IM RAUM
HINTERGRUNDWISSEN:
Oreidimensionales Koordinatensystem
43-Achsen:X₁, X2, X3
Gräumlicher Eindruck:
√x²²
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VEKTOREN UND GERADEN IM RAUM HINTERGRUNDWISSEN: Oreidimensionales Koordinatensystem 43-Achsen:X₁, X2, X3 Gräumlicher Eindruck: √x²² P3 ↑x3 Pa=(2³) ·P(P₁1P₂1P3) PX - 3 (113) √7 (2) XT (312) 2 es (²³²) *-. *₁ Ed S(314) Abstände von Punkten im Raum Für den Abstand zweier Punkte A(a,lazlaz) & B (bulb₂1b3) gilt: AB=1(b₁-a₂₁) ²+ (b₂-a₁₂) + (03-0₂)²³² xS A(21010) B(21410) CC-21410) D(01216) -1. A X3 6 S -4 13 VEKTOREN: -beschreiben verschiebungen von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt im Koordinatensystem - um die Koordinaten eines Verschiebungsvektors zu bestimmen, Subtrahiert man die Koordinaten des Ausgangspunktes von denen des Zielpunktes: 1×₂ XQ (415) I Pa = (-3) = (²) 23 ist der Gegenvektor von R³ = (3²= 3) = (-²2) -^ 4 1 2 4 På AB=√(2-2)²+(4-01²¹ =√16² = 4 [LE] AS =√(20)² + (0-2)²+60*² = √ 44² [LE] oder AB-LABI-1)=√ 0² +4² +0² = 1 16 = 4 [LE]" Der selbe Vektor, nur in die entgegengesetzte Richtung verlaufend Beginnt ein Vector im Ursprung, wird er Ortsvektor genannt: of = (²-0) = (2²) → 07 - Ortsvektor des Punktes = X₁ 2 2 - Länge eines Pfeils, der den Vektor darstellt, nennt man Betrag des Velctors a entspricht dem Abstand von Ausgangs- zu Zielpunkt des Vektors →→ 1³1 =√₁,₂² + a² + 93² A RECHNEN MIT VEKTOREN: Wenn zwei verschiebungen hintereinander auftreten, ergibt sich eine neve Verschiebung: ak på pa + QR = PR PR = P₁ + QR = ( ² ) + ( 4₁ ) = (3+4)= (3) →R GEGENSEITIGE LAGE VON VEKTOREN: ✓ Kollinearitât: - Wenn 2 Vektoren Vielfache voneinander sind, dann heißen sie kollinear ↳die zugehörigen Pfeile sind parallel zueinander: 3=(-²5) B=(-40) sind kollinear, weil (-3). r =...

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(-4₁0 ) = ² ²2² also 2.3 = b. (²10) zveinander orthogonale Velctoren - Skalarprodukt - zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden & ihr Skalarprodukt () ist b²₂²) = a₁·b₁ + a₂·b₂+ az· b3. ba Skalarprodukt: ). (61²3) = a₁ 4). ✓ = (*) w = (3) = Wenn man eine Verschiebung mehrmals durchführt, ergibt sich eine neve Verschiebung: AB 9: ² = OP + r. u ↑ ↑ Pliegt auf der Parameter r Richtungs- Stützveltor Richtungsvektor Geraden VER vektor GERADENGLEICHUNG AUFSTELLEN - Eine Gerade kann folgendermaßen dargestellt werden: 2 + r. J 个 个 Der Vektor Der Vektor heiß+ Richtungsvektor. Ĵ Gerade durch AC31415) und B(21115): 9²x=0A+r. AB Paramel erform einer Geraden (3) + (-³) رد -6 A 4 AB = a + a² + â = ( ₂ ) + ( ² ) + (2)=(³) oder AB-3-2-3-(1)-(3:2)-(3) ✓ · ₁ = ( ₁² ) · ( ²³₂ ) = -8 + 9-1=0 → √ & sind orthogonal zueinander . Jede Gerade lässt sich durch die Form R=p+c•✓₂ beschreiben. heist Stützvektor & ist der Ortsvektor zu einem Punkt P, der auf der Geraden liegt. PUNKTPROBE-LIEGT EIN PUNKT AUF DER GERADEN? (C71819) → - Liegt C auf der Geraden durch 4 u. B? AC31415) B(21115) 9= ¯℃ (-› ( 2 ) + r · (-¹) = ( 2 ) == {(liegt nicht auf Rechnung: 7=3===> -4 = (=)r der Geraden → Wenn Cauf g liegen würde, käme für r nur ein Wertraus GEGENSEITIGE LAGE VON GERADEN Vorgehensweise ja 2. Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor auf der Geraden h? → Punct probe nein ja/ Die Geraden sind Die Geraden verlaufen identisch parallel 1. Sind die Richtungsvektoren ✓ & û zueinander parallel? → Kollinearität überprüfen Beispiel: a) g³x² = ( 1 ) +₁₁ (²²³) _h²x = ( ² ) + ₁² (15) tr. =>√=4₁² Kollinearität: r. (1) = (-3) (=) r=4₁² 2=³r=4,5 (۱۲۰ →g&h sind parallel oder identisch Punktprobe: (3) +r (²²) - (2) r· (7³)-(1) (r=0 For { → Es gibt keine gemeinsamen Punkte, daher verlaufen g&h parallel. nein Hat die Gleichung p+r ·ů = ₁ +5 · V eine Lösung? →Lineares Gleichungssystem läsen. ja ✓ \ nein Die Geraden schneiden sich + Schnittpunkt berechnen b) ( ²3² ) + t ⋅ ( 7²³ ) = (239²2 c) |AB| = 1 (4²³) | = |-|(-3)² + 4²¹ = 5 [km] 2 Der Truck fährt doppelt so schnen (=) Beispiel: b) g²7=(1) +r·(1) h:x=(§) + s. (²2) Kollinearitāt: r. (²²) = ( 1 ) { Die Geraden sind zveinander windschief (=)=1 =/=0 →g & h schneiden sich oder verlaufen wind Schief g=h²> ( 2 ) +r ( 8 ) = (3) + s (= 2 ) |1+r=6-48 ₁ =3-25 | (=) 2+r=5-2s |r+45=5|c=r=1 25= 2 = ³5=1 LL = {1;1} r+25=3 →g & h schneiden sich Schnittpunkct: 03 = (₂) +- (^^)=(}) S(21113) Bewebungsaufgabe-Beispiel Ein Truck fährt auf einem Highway um 10 Uhr vom Punkt A(3/5) in 3 Minuten zum Punkt B(0/9). Gleichzeitig startet eine Harley im Punkt C(-6/17) & fährt in derselben Zeit bis zum Punkt D (-4,5/15). a)Vergleichen sie die Routen vom Truck und der Harley. b) Die beiden Fahrzeuge treffen sich im Punkt P(-3/13). Wann treffen sie sich? c) Wer fährt schneller? t Zeit in 3-Minuten-Schritten a) Truck: t = √²A + t・ AB · (^/₁²5 ) = ( ²³ ) ==²=-²/2 -→Richtungsvektoren sind kollinear, : (F) (3³) + +- (²²³) ↳ negatives S Start d.h. die Routen verlaufen paraller Harley: h: 2 - OC + t・ CO = (₁17) + L. (11/²) ↳sie fahren in entgegengesetzte Richtung Liegt (auf E? 4 (3³) + t ( ²³ ) = (1²) ²= 3 + C liegt auft, d.h. es ist der seube Highway. =>t=3 z=2 Nach 6 Minuten, also um 10.06 Uhr treffen sie sich. | Col=1 (~^-²2) | = 1 + 1,5² + (-2)²¹ = 2₁5 [km] wie die Harley.

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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