Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme (LGS) sind die Grundlage vieler mathematischer Probleme. Mit Äquivalenzumformungen kannst du sie vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern:

1. Gleichungen vertauschen
2. Eine Gleichung mit einer Zahl (≠ 0) multiplizieren
3. Eine Gleichung zu einer anderen addieren

Bei der Lösung eines LGS gibt es drei mögliche Fälle:

• Eindeutig lösbar: Genau eine Lösung, keine Widerspruchszeile
• Unlösbar: Keine Lösung, enthält Widerspruchszeile
• Nicht eindeutig lösbar: Unendlich viele Lösungen, enthält triviale Zeile $0 = 0$

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein systematisches Lösungsverfahren. Dabei eliminierst du schrittweise Unbekannte durch Äquivalenzumformungen, bis ein Dreiecksschema entsteht. Durch Rückeinsetzen kannst du dann alle Unbekannten bestimmen.

💡 Merke: Bei einem überbestimmten System (mehr Gleichungen als Variablen) gibt es oft Widersprüche. Bei unterbestimmten Systemen (weniger Gleichungen als Variablen) hast du typischerweise unendlich viele Lösungen.

Lineare Gleichungssysteme lassen sich vielseitig anwenden:

• Rekonstruktion von Funktionen
• Mischungsprobleme (z.B. Kaffeesorten, Chemikalien)
• Geometrische Probleme
• Rätselaufgaben (z.B. Kinokartenprobleme)
• Verkehrsflussanalyse an Kreuzungen

Der Lösungsweg folgt immer dem gleichen Schema: Variablen festlegen, LGS aufstellen und lösen, Schlussfolgerungen ziehen.

Dreidimensionales Koordinatensystem

Das dreidimensionale Koordinatensystem erweitert die bekannte Ebene um eine dritte Dimension. Die drei Koordinatenachsen x, y und z stehen im Ursprung senkrecht aufeinander und teilen den Raum in acht Oktanten.

Die Koordinatenebenen entstehen durch jeweils zwei Achsen:

• x-y-Ebene: Punkte mit z = 0
• x-z-Ebene: Punkte mit y = 0
• y-z-Ebene: Punkte mit x = 0

Bei der Positionsbestimmung im Raum gelten diese Regeln:

• Punkte auf der x-Achse haben die Form $x₁/0/0$
• Punkte auf der y-Achse haben die Form $0/y₁/0$
• Punkte auf der z-Achse haben die Form $0/0/z₁$

Für den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum gilt:

A$a₁/a₂/a₃$ und B$b₁/b₂/b₃$ |AB| = √$(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²$

💡 Praxistipp: Mit dieser Formel kannst du auch überprüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig ist (zwei gleich lange Seiten) oder rechtwinklig ist (Satz des Pythagoras: a² = b² + c²).

Diese Abstandsformel ist besonders nützlich für einfache räumliche Berechnungen wie:

• Überprüfung der Gleichschenkligkeit eines Dreiecks (zwei Seiten müssen gleich lang sein)
• Test auf Rechtwinkligkeit (Pythagoras-Bedingung)
• Berechnung des Umfangs einer geometrischen Figur

Vektoren - Einführung

Vektoren sind ein mächtiges Werkzeug, um Positionen und Verschiebungen im Raum zu beschreiben. Ein Vektor hat sowohl Länge als auch Richtung und wird typischerweise als Pfeil dargestellt.

Im dreidimensionalen Raum wird ein Vektor durch drei Koordinaten in einer Spalte angegeben: $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Es gibt zwei wichtige Arten von Vektoren:

• Der Ortsvektor bestimmt eindeutig die Lage eines Punktes A im Koordinatensystem
• Der Verschiebevektor $\vec{PQ}$ beschreibt die Verschiebung von Punkt P zu Punkt Q

Für einen Verschiebevektor gilt: $\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{pmatrix}$

Die Länge eines Vektors (auch als Betrag bezeichnet) berechnest du mit: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

💡 Beachte: Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q ist gleich dem Betrag des Verschiebevektors $\vec{PQ}$.

Um einen Punkt P an einem Punkt A zu spiegeln, verdoppelst du den Verschiebevektor $\vec{AP}$:

1. Berechne den Vektor von A nach P
2. Addiere diesen Vektor zu P
3. Das Ergebnis ist der gespiegelte Punkt P'

Rechnen mit Vektoren

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren werden die entsprechenden Koordinaten addiert oder subtrahiert: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{pmatrix}$

Bei der Skalarmultiplikation wird jede Koordinate mit der reellen Zahl multipliziert: $s \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} s \cdot a_1 \\ s \cdot a_2 \\ s \cdot a_3 \end{pmatrix}$

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Vektoren sind komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.

💡 Wichtig: Mit dem Skalarprodukt kannst du auch den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Eine Linearkombination von Vektoren hat die Form $r\vec{a} + s\vec{b}$, wobei r und s reelle Zahlen sind.

Für ein rechtwinkliges Dreieck kannst du zwei Bedingungen prüfen:

1. Vergleiche die Seiten: $|c|^2 = |a|^2 + |b|^2$ (Pythagoras)
2. Das Skalarprodukt der beiden kürzeren Seiten muss Null sein

Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit dem Kreuzprodukt berechnen: $A = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Geraden im Raum

Eine Gerade im Raum wird durch einen Stützvektor $\vec{a}$ und einen Richtungsvektor $\vec{b}$ beschrieben:

$g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b}$

Dabei ist r ein Parameter, der jedem Punkt auf der Geraden eindeutig einen Wert zuordnet.

Mit der Punktprobe kannst du überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt:

1. Setze die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein
2. Löse nach r auf
3. Ergibt sich ein Widerspruch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen:

1. Setze die Gleichungen gleich
2. Löse nach den Parametern auf
3. Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden lässt sich mit dem Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren berechnen: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{m_1} \cdot \vec{m_2}}{|\vec{m_1}| \cdot |\vec{m_2}|}$

💡 Beachte: Der Schnittwinkel sollte unter 90° sein. Andernfalls nimm die Winkeldifferenz $180° - α$.

Für die Lagebeziehung von Geraden gibt es vier Möglichkeiten:

• identisch: beide Geraden sind dieselbe
• echt parallel: Geraden haben parallele Richtungsvektoren, schneiden sich aber nicht
• schneidend: Geraden haben einen gemeinsamen Punkt
• windschief: Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen:

• Setze x=0 für den Schnittpunkt mit der yz-Ebene
• Setze y=0 für den Schnittpunkt mit der xz-Ebene
• Setze z=0 für den Schnittpunkt mit der xy-Ebene

Ebenen im Raum

Eine Ebene wird durch einen Punkt und zwei nicht kollineare Vektoren festgelegt. Es gibt zwei Darstellungsformen:

Parametergleichung: $E: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}$

Dabei ist $\vec{a}$ der Stützvektor und $\vec{u}, \vec{v}$ sind linearunabhängige Richtungsvektoren. Die Parameter r und s durchlaufen die reellen Zahlen.

Koordinatengleichung: $E: ax + by + cz = d$

Der Vektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

💡 Tipp: Du kannst zwischen den Darstellungsformen wechseln: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einer Parameterform liefert den Normalenvektor für die Koordinatenform.

Für die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene gibt es drei Möglichkeiten:

• schneidend: Die Gerade durchsticht die Ebene in einem Punkt
• echt parallel: Gerade und Ebene haben keinen gemeinsamen Punkt
• identisch: Die Gerade liegt vollständig in der Ebene

Den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnest du mit: $\alpha = \arcsin \frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$

Den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnest du mit: $\alpha = \arccos \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$

Mit der Punktprobe kannst du prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt:

1. Setze die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein
2. Prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist

Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke:

1. Stelle eine Lotgerade auf (mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor)
2. Berechne den Lotfußpunkt (Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene)
3. Bestimme den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und dem Lotfußpunkt