Analytische Geometrie: Lote, Mittelpunkte und Winkel im Raum
Die analytische Geometrie bietet präzise Methoden zur Berechnung wichtiger geometrischer Konstruktionen im dreidimensionalen Raum. Besonders relevant für das Abitur sind die Bestimmung von Fußpunkten, Mittelpunkten und Steigungswinkeln.
Der Fußpunkt eines Lotes ist ein fundamentales Konzept der analytischen Geometrie. Um den Fußpunkt F eines Lotes von einem Punkt P auf eine Gerade g zu bestimmen, konstruieren wir zunächst eine Hilfsebene E durch P, die orthogonal zur Geraden g verläuft. Der Schnittpunkt dieser Hilfsebene mit der Geraden g ergibt den gesuchten Fußpunkt.
Definition: Der Fußpunkt F ist der Punkt auf einer Geraden g, der den kürzesten Abstand zu einem gegebenen Punkt P aufweist. Die Verbindungsstrecke PF steht dabei senkrecht auf der Geraden g.
Bei der praktischen Berechnung nutzen wir den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Hilfsebene. Die Ebenengleichung wird durch Einsetzen des Punktes P konkretisiert, und durch Schneiden mit der Geradengleichung erhalten wir die Koordinaten des Fußpunktes.
Beispiel:
Für einen Punkt P3∣3,5∣4,5 und eine Gerade g mit der Gleichung x = 2∣3∣4,5 + r·−2∣2∣0 lässt sich der Fußpunkt F2,25∣2,75∣4,5 berechnen. Die Hilfsebene hat die Gleichung -2x₁ + 2x₂ = 1.