Abitur Mathe Analytische Geometrie und Stochastik

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· ( 1 - 2 10-3 = 0,155 Also beträgt die Wahrscheinlichkeit exakt 3 Mal eine 6 bei 10 Würfen zu Würfeln 15,5%. Erwartungswert E (X) = n- p = [X₁ · P(X=Xx;) i=1 Eine Münze wird 5 mal geworfen: p=0,5 h = 5 Varianz U(X) = n⋅ p⋅ 11-p) = E(X)-11-p) · U(X) = 2,5. (1-0,5) = 1,25 Standartabweichung: =√n.p.(^-p) o = √V(x)' Eigenschaften der Binomialverteilung Je größer p, desto weiter nach rechts verschiebt sich der Graph der Verteilung. Desto weiter Rechts liegt das Maximum. Für p=0,5 ist die Verteilung symmetrisch. Je größer n, desto flacher und symmetrischer wird die Verteilung. Symmetrie: B (n; p; k) = B (n; 1-p; n-k) Kumulierte Binomialverteilung Alle X von 0 bis 2. X=2 P. (X ≤ 2) = Σ (²) - p²: (1-P) ².* X=0 X ≥ 8 bei n = 10 : 2 Σ x=8 Abhängigkeit der Ereignisse Unabhängig ·P (AnB) = P(A) · P(B) Abhängig P (A^B) # P(A) · P(B) n = 5 Erwartungswert, Varianz & Standartabweichung X = Gewinn des Spielers. Es wird eine Kugel pro Runde gezogen. Es gibt 30 Kugeln. 18 Kugeln mit 1€ und 12 Kugeln mit -2€. 12 P ( X = -2) = ¹/² = ²/1/2 P ( X = 1) = 1/6 = ²/²/ 18 30 5 30 Erwartungswert: E(X) = X.p Der Spieler verliert pro Runde durchschnittlich 0,20€. E (X) = 1-²/² + (-2) · ²/²/2 = -1/ 1. Varianz: V(X) = (X- E(X) ²- p V (X) = (1 - (-1))²³ 3/2 + (-2-(-3))² · ²/3 = 25 . Standartabweichung: (X) = √√(x) 0 (X)=√ 1²¹ = 1,44 / 3 E F PIEAF) PIE.F) P(F) FP(EF) P(EF) P(F) P(E) P(E) 1 F IW R 9. 50 Ē 4 50 13 50 Beispiel: In einem kleinen Dorf leben 50 Personen. 13 davon fahren regelmäßig mit dem Rad. Von den 30 Männern im Dorf fahren 21 nicht mit dem Rad. Wie hoch ist die Wahrscheinlich, dass eine Person Weiblich ist und kein Rad fährt? DI R 21 50 Vierfeldertafel 16 50 37 50 30 50 20 50 Stochastische Abhängigkeit: PLEAF) = PIE) P(F) 1 Unter Bedingung (von z.B. E): P(F)=PIE) M: Männer F: Frauen R: Fahven Rad R: Fahven kein Rad P(F₁R)= 0 = 0,32 = 32% 16 50 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine weibliche Person kein Rad fährt: PF(R)= 16 50 : 37 16 50 37 = = 0,432 = 43,2% f(x) = Erwartungswert: h Hypergeometrische Verteilung Be) . (^ (Anzahl Anzahl Insgesamt n Anzahl der gesuchten Größe X Varianz: Anzahl der gesuchten Größe Anzahl Insgesamt Zum Beispiel: Es gibt 100 Taschen. 12% der Taschen sind kaputt. Eine Stichprobe aus 60 Taschen wird entnommen. 12% von 100 Taschen sind 12 Taschen E(X)= 60- 12 100 Anzahl der gesuchten Größe) V(x) = E(X)⋅ (1- Anzahl Insgesamt ·V(x) = 60·· ·(1-7020). 12 100 Insgesamt - Anzahl der gesuchten Größe öße) h-x Standartabweichung: 0(X) = √√(x)² 100-60 100-1 Anzahl Insgesamt Anzahl Insgesamt n - 1 Schema 1) Nullhypothese und Gegenhypothese aufstellen 2) Stichprobenumfang n, Irrtumswahrscheinlichkeit Beurteilende Stochastik Zweiseitiger Hypothesentest 3) Was ist die Prüfungsvariable X, Verteilung von X 4) Ablehnungsbereich K6 = {0₁ g₁} u {gr, n} 5) Entscheidungsregel Aufgabe: S117 №v. 9 a) (siehe die Seite davor) 1) Но: P= 0,6 ; Ні: р# 06 2) n = 100 d = 0,05 3) See X Anzahl der Menschen, die das Produkt kennen, X ist binomialverteilt (1100, 0,6 bei wahver Nullhy pothese) 4) Ablehnungsbereiclo: K= {0 g₁ } u {gv, in} P(X ≤ Duvel systematisches (²9₁) ≤ 0,025 < 0,05 12 weil iz Seiten überprüfen erhäll man a gL = 49. k von 45 bis 55 (um die so) p(xzgr) ≤0,025 Da P(X ≤go-1) + P(X=g₁) = 1 Tasclienvechner Kum Brom. Liste. k über 50 Duvch systematisches P(X zg₁)= 1- P(X < gr - 1) 1- P(X <g₁-1) ≤ 0,025 ·P(Xcg₁-1) > 0,975. überprüfen erhält man g₁-1= 69. Duvaus folgt gr = 1 = 69 gr = 69+1 = 70 Also ist K = {0₁ 49} 0 {70, 100} 5) Entscheidungsvegel: Von diesen geben nur noch 50 an, dass sie das Produkt kennen... Da 50 € K ist, muss man davon ausgehen, dass sich der Bekanntheitsgrad für dieses Produkt nicht geändert hat. Lage Punkt und Dreieck 1) Eine Ebene des Dreiecks aufstellen 2) Prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt (Punkt gleich die Ebene, oder in die Ebene die der Koordinatenform, setzen) 3) s und r ausrechnen Der Punkt liegt im Dreieck wenn: 0 < r ≤ 1 0 < s < 1 0 <s+r < 1 Lage Punkt und Viereck Ein Punkt liegt innerhalb eines Vierecks, wenn er innerhalb eines der zwei Dreiecke, die diesen Viereck bilden, liegt. D Schatten an einer Ebene Gegeben ist die Lichtquelle (als ein Punkt A) und ein Punkt (B), der auf eine Ebene (E) den Schatten wirft. 1) Eine Gerade (g) aufstellen, die von A zu B verläuft. 2) Die Gerade (g) mit der Ebene (E) schneiden. 3) Der Schnittpunkt ist der gesuchte Schatten. Hinweis: Bei z.B. x₁x₂- Ebene und g: x = -5 8 124/ Einfach: 24-15t = 0, da x₁ bei X₁Xx₂ Ebene o ist. 5 •-20 - 15/ ·t. + Fußpunkt F des Lotes von Punkt P auf Gerade g Aufstellen von einer Hilfsebene E, die durch P geht und orthogonal zu g ist. Die Hilfsebene mit der Geraden g Schneiden. 2 Beispiel: P(313,514,5) g : x - ( ²3 ) + r. (²3) Der Normalenvektor ist der Richtungsvektor der Geraden E: -2 X₁ + 2X₂ + 0x₂ = b P in die Ebene einsetzen: E: -2.3 +2.3,5+0+4₁5=6 => b=1 E: -2x₂+2x₂ = 1 Ebene und die Gerade schneiden: X₁ = 2-2r X₂=3+21 + 1. 2 einsetzen: -2 2 = 0 -2 (2-2) +2 (3+2r) = 1 : Für r in der Geradengleichung 0,5 einsetzen. Beispiel: 2 X = 3 14,5 4,5 r in die Gerade einsetzen: -2 (2,25 2,45 4,5 Die Koordinaten des Fußpunktes: (2,25 | 2,75|4,5) Mittelpunkt einer Geraden 8 Koordinaten des Mittelpunktes: (1|4|4,5) 8 = Steigungswinkel einer Geraden Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor (0|0|1) der Ebene x1x2. Abstand für r in der Geradengleichung einsetzen. Richtungsvektor der Geraden durch den Betrag des Vektors teilen, um auf die Länge 1 zu kommen. Punkt im Abstand zur Geraden Beispiel: Gesucht ist der Punkt P, der von der Geraden um 0,35 Einheiten entfern liegt. 1 g₁ x = ( 4 ) ₁ + ( ² ) +V 1 0³ - (4.)- = +0,35 (3) Koordinaten des Punktes P: (1,254,25|4,5) Ea und E a so zu bestimmen, dass Ea gleich Die Werte für x₁,x₂ und x, zu gleichen. Unterschiedliche Werte gleich setzen. Beispiel: E: 4X₁+4x₂-3x₂=-8 Ea: X₁ + X₂-ax₂ = 1-2a Ea mit 4 multiplizieren, um auf die gleichen Werte zu kommen: Ea: 4x1 +4x2-чах з=4-8с Unterschiedliche Werte gleich setzen: -3=-4α a ist gleich 23/1 -8=4-ва = ²/1/ => a= ist => α = 80 h: 2 = 200 65 n = 180 200 id= 65. 3. d = 3,83 40 -20 0 40² + -r-zo 10 √√(40+105)² + 70² x6 2 2 4 40 TO S ܘ ܂ 40+105 <<=250 . 4 An welchem Punkt erreicht die Gerade den Abstand von 250m zum gegebenen Punkt P? 1. Man sieht die Gerade als einen unbestimmten Punkt an. 2. Richtungsvektor zeischen dem unbestimmten Punkt der Geraden und dem Punkt P. 3. Betrag des Richtungsvektors gleich 250 setzen, da der Betrag die Länge bestimmt. 4. S ausrechnen und in die Geradengleichung einsetzen. Punkt ausrechnen. Gegebener Abstand Punkt/Gerade 40 K = x² = - (1220) +5 (10) P (401-266/10) Abstand=250m S 80 1.K: (40-220+ 105 | 60) Abstand Gerade/Gerade g₁ X = ( 8 ) + s ( ² ) <=250 (40+105) ² + 70² =250² 2 +2·40·105 +(105)² + 70² = 250² 1600 + 8005 + 1005²2² +70²= 250² S₁ = 20. S₂ = -28 S >O 2. KP 40 =-220+105 80 140 05) - (200) = (460-4019) -260 =40+105, 10 4. Sin k: 40 -220 +20 10 80 0 40 -20 80/ => Gesuchter Punkt d = |(p²³²-²³) ·ñ³² | |n²| Abstands Formel Punkt Ebene: ·|n²₁ · P²₁² + U₂². P₂²+ M²₂²: Ps-kl IRI d= = Gegebener Abstand Gerade/Ebene An welchem Punkt erreicht die Gerade den Abstand von 200m zur Ebene? 1. Die Gerade wird als ein unbestimmter Punkt angesehen. 2. Formel Punkt/Ebene benutzen. 3. Die Formel gleich 200 setzen und nach s auflösen. 4. S in die Geradengleichung einsetzen und den Punkt bestimmen. 40 2 = (-220) +5 (10) K = (401-220+105/10) E: 3x₁ - 4x₂ = - 400 80 E: M₁₂x₁₂ + 1₂² X ₂ + 1²₂x₂=b 1. K: X² 2. Formel: d = m₁p₁ + n₂p₂ + n₂p3 −6 √n₂₁² +² +n² 1400-405 5 = 2001.5 d_ (3-40-41-220 + 105) + 400 √3²+(-4) ². 1 1400-4051 5 4. Einsetzen und zwei d = | 1400-405 | = 1000 Wegen den Betragszeichen: 1400-405 = 1000 => S=10 1400-405 = 1000 => S = 60 mögliche Punkte bestimmen Vektorprodukt Ein Vektorprodukt ist dann gleich 0, wenn die Vektoren ein Vielfaches von einander sind. Ã × B = ( 0 ) = 0²° Bedeutung: A = r.B A-4 ABXAZ = A² 2 D A - 2.5 axb = 68.71 13 Flächeninhalt eines Trapezes: F = ВЕТ Flächeninhalt des Dreiecks Flächeninhalt des Dreiecks ABD plus BDC. 1. AB AB + 1/B2 × BBI = F × 13 Flächeninhalt des Parallelograms U= |(AB+ AD) AE | 1 Sin (68,28)= √29 6 Kreuzprodukt Flächeninhalt Trapez a Aus den vorherigen Aufgaben gegeben: | BE| = √√29 Winkel zwischen BE und BC: 68,28° sin (a) C h = √√29 · sin (68, 28) h = 5 F₁ = (a + 6)· h⋅ 1/ F₁ = (1EF1+1821) · 5 · 1 = = (8+12)·5· 1/1/2 = 50 Flächeninhalt beträgt 50 FE.