Strahlensätze - Lernzettel
Die Strahlensätze sind fundamentale Werkzeuge in der Geometrie, mit denen wir unbekannte Längen berechnen können. Sie sind besonders wichtig für Aufgaben zur Ähnlichkeit.
Erster Strahlensatz:
Wenn zwei Halbgeraden a und b mit gemeinsamen Anfangspunkt S von zwei Parallelen g und h geschnitten werden, dann gilt:
∣SA2∣∣SA1∣=∣SB2∣∣SB1∣
- Das Längenverhältnis der Strecken auf der einen Halbgerade ist gleich dem Verhältnis auf der anderen Halbgerade
Zweiter Strahlensatz:
Bei parallelen Geraden g und h gilt zusätzlich:
∣SA2∣∣SA1∣=∣A2B2∣∣A1B1∣ und ∣SB2∣∣SB1∣=∣A2B2∣∣A1B1∣
- Das Verhältnis der Strecken vom Scheitel zu den Parallelen ist gleich dem Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen
Erweiterter erster Strahlensatz:
Bei parallelen Geraden g und h gilt auch:
∣SA1∣∣A1A2∣=∣SB1∣∣B1B2∣ und ∣SA2∣∣A1A2∣=∣SB2∣∣B1B2∣
Praxistipp: Stelle bei Strahlensatzaufgaben die gesuchte Variable x immer in den Zähler eines Bruchs. Dies macht das Umformen der Formeln einfacher. Die Strahlensätze erscheinen häufig in PDF-Übungsblättern und Klassenarbeiten zur Ähnlichkeit und zentrischen Streckung.
Vorgehensweise bei Aufgaben:
- Fertige eine übersichtliche Skizze an
- Identifiziere, welcher Strahlensatz anzuwenden ist
- Schreibe die Formel mit Buchstaben auf
- Setze dann die bekannten Zahlen ein
- Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um
Mit den Strahlensätzen lassen sich viele Winkel- und Streckenlängenberechnungen elegant lösen, besonders bei Dreiecken und in Verbindung mit der zentrischen Streckung.