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Lernzettel: Strahlensätze und Zentrische Streckung Aufgaben und Lösungen

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11.12.2021

Mathe

Lernzettel zu den strahelnsätzen und zur Zentrischenstreckung

Lernzettel: Strahlensätze und Zentrische Streckung Aufgaben und Lösungen

Geometrische Ähnlichkeit und zentrische Streckung gehören zu den faszinierendsten Konzepten der Mathematik, die uns helfen, die Welt um uns herum besser zu verstehen. Diese Prinzipien begegnen uns im Alltag häufiger als wir denken - von Karten und Bauplänen bis hin zu Fotografien und Projektionen. In diesem Lernmaterial werden wir die zentrische Streckung, den Strahlensatz und das Konzept der Ähnlichkeit erkunden. Diese mathematischen Werkzeuge ermöglichen es uns, Figuren maßstabsgetreu zu vergrößern oder zu verkleinern und unbekannte Längen in geometrischen Konstruktionen zu berechnen. Diese Fähigkeiten sind nicht nur für Klassenarbeiten wichtig, sondern haben auch praktische Anwendungen in vielen Bereichen.

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11.12.2021

4371

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
• m.a=a'
• k'•a' = a
• A-k^A'
· A'= k· A
auch Ähnlichkeitsfaktor
• Ist der

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Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Bei der zentrischen Streckung arbeiten wir mit:

  • Einem Streckungszentrum SS als Ausgangspunkt
  • Einem Streckungsfaktor kk auchA¨hnlichkeitsfaktorgenanntauch Ähnlichkeitsfaktor genannt

Wichtige Eigenschaften:

  • Der Streckungsfaktor bestimmt, ob eine Figur vergrößert oder verkleinert wird
  • Bei k < 1 wird die Figur verkleinert
  • Bei k > 1 wird die Figur vergrößert
  • Bei negativem Streckfaktor werden Punkte "gespiegelt"
  • Flächen verändern sich quadratisch: A' = k² · A

Ähnlichkeit von Figuren besteht, wenn:

  • Alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sind: aa=bb=cc\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}
  • Die entsprechenden Winkel gleich sind

Die Strahlensätze helfen uns, aus bekannten Längen unbekannte zu berechnen:

  • Erster Strahlensatz: SA1SA2=SB1SB2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|SB_1|}{|SB_2|}
  • Zweiter Strahlensatz: SA1SA2=A1B1A2B2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}
  • Erweiterter erster Strahlensatz: SA1SA2=SB1SB2=A1A2B1B2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|SB_1|}{|SB_2|} = \frac{|A_1A_2|}{|B_1B_2|}

Wichtige Formel: Bei den Strahlensätzen ist das Verhältnis der entsprechenden Strecken konstant. Dies ist die Grundlage für viele Berechnungen in der Geometrie und findet Anwendung in Klassenarbeiten der 9. Klasse.

Die Strahlensätze funktionieren sowohl bei parallelen als auch bei sich schneidenden Geraden, wobei die Formeln identisch bleiben.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
• m.a=a'
• k'•a' = a
• A-k^A'
· A'= k· A
auch Ähnlichkeitsfaktor
• Ist der

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Zentrische Streckung - Grundlagen

Die zentrische Streckung ist ein geometrisches Verfahren zur maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung von Figuren. Diese Methode ist besonders in der 9. Klasse ein wichtiges Thema.

So funktioniert eine zentrische Streckung:

  • Wir benötigen ein Zentrum Z als festen Bezugspunkt
  • Der Streckfaktor k bestimmt die Größenveränderung
  • Jeder Punkt der Originalfigur wird entlang des Strahls vom Zentrum aus verschoben

Beispiel einer zentrischen Streckung:

Um eine Figur mit dem Faktor k = 2 und dem Zentrum Z zu strecken:

  1. Wähle einen Eckpunkt A der Figur
  2. Zeichne den Strahl von Z durch A
  3. Trage auf diesem Strahl den Bildpunkt A' so ein, dass ZA' = 2 · ZA
  4. Wiederhole dies für alle Eckpunkte
  5. Verbinde die Bildpunkte zu einer neuen Figur

Merksatz: Bei der zentrischen Streckung mit Faktor k > 0 gilt stets: Die Entfernung jedes Bildpunkts vom Streckungszentrum ist genau k-mal so groß wie die des Originalpunkts. Für Übungen und Klassenarbeiten ist es wichtig zu wissen, dass bei k > 1 eine Vergrößerung und bei k < 1 eine Verkleinerung erfolgt.

Wichtige Eigenschaften:

  • Figur und Bildfigur sind stets zueinander ähnlich
  • Entsprechende Strecken sind parallel zueinander
  • Alle Winkel bleiben unverändert
  • Alle Strecken werden mit dem Faktor k multipliziert
  • Flächeninhalte werden mit k² multipliziert

Diese Eigenschaften machen die zentrische Streckung zu einem wertvollen Werkzeug in der Geometrie und finden Anwendung in vielen Alltagssituationen, von der Fotografie bis zur Architektur.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
• m.a=a'
• k'•a' = a
• A-k^A'
· A'= k· A
auch Ähnlichkeitsfaktor
• Ist der

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Zentrische Streckung - Konstruktion

Die zentrische Streckung ist ein wichtiges Verfahren, das in Arbeitsblättern und Klassenarbeiten häufig vorkommt. So führst du eine zentrische Streckung durch:

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  • Wähle ein Streckungszentrum S oftbereitsvorgegebenoft bereits vorgegeben
  • Lege einen Streckfaktor k fest Vergro¨ßerungsoderVerkleinerungsfaktorVergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor
  • Zeichne Strahlen von S durch jeden Eckpunkt der Ausgangsfigur
  • Trage auf jedem Strahl das k-fache der ursprünglichen Länge ab
  • Verbinde die neuen Punkte zur gestreckten Figur

Beispiel mit k = 2: In diesem Fall wird jede Strecke vom Zentrum S aus verdoppelt. Wenn ein Punkt A ursprünglich 3 Einheiten von S entfernt ist, wird der Bildpunkt A' 6 Einheiten von S entfernt sein.

Anwendungsbeispiel: In der Praxis wird die zentrische Streckung verwendet, um maßstabsgetreue Vergrößerungen zu erstellen. Beim Zeichnen mit k = 2 wird jeder Punkt doppelt so weit vom Zentrum entfernt platziert, was zu einer Figur führt, die in jeder Dimension doppelt so groß ist.

Zu beachten:

  • Die Form der Figur bleibt erhalten A¨hnlichkeitÄhnlichkeit
  • Alle Winkel bleiben gleich
  • Parallele Linien bleiben parallel
  • Bei einem Viereck werden alle vier Eckpunkte entsprechend gestreckt

Für die Konstruktion brauchst du:

  • Lineal
  • Zirkel fu¨rpra¨ziseMessungenfür präzise Messungen
  • Bleistift und Papier

Zentrische Streckung ist besonders wichtig für Aufgaben zum Zeichnen in der 9. Klasse und erscheint häufig in PDF-Arbeitsblättern und Übungen zur Ähnlichkeit.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
• m.a=a'
• k'•a' = a
• A-k^A'
· A'= k· A
auch Ähnlichkeitsfaktor
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Durchführung einer zentrischen Streckung

Die zentrische Streckung ist ein geometrisches Verfahren, das du in der Schule genau verstehen solltest. Hier lernst du, wie man sie praktisch durchführt.

Für positive Streckfaktoren k>0k > 0:

  1. Zeichne einen Strahl vom Streckzentrum S durch einen Punkt P der Ausgangsfigur
  2. Miss die Strecke SP und multipliziere diese Länge mit dem Streckfaktor k
  3. Trage die neue Länge kSPk · SP auf dem Strahl ab, um den Bildpunkt P' zu erhalten
  4. Wiederhole diesen Vorgang für alle wichtigen Punkte der Figur beiVieleckenalleEckpunktebei Vielecken alle Eckpunkte

Für negative Streckfaktoren k<0k < 0:

  1. Zeichne eine Gerade durch S und P
  2. Multipliziere die Länge SP mit dem Betrag von k
  3. Trage diese Länge auf der gegenüberliegenden Seite von S ab
  4. Du erhältst so den Bildpunkt P' auf der anderen Seite des Zentrums

Wichtiger Hinweis: Bei negativem Streckfaktor z.B.k=2z.B. k = -2 wird die Figur nicht nur vergrößert oder verkleinert, sondern zusätzlich am Streckzentrum S gespiegelt. Dies ist ein wichtiges Konzept für Aufgaben in Klassenarbeiten der 9. Klasse.

Praktische Tipps:

  • Nutze ein Lineal für genaue Messungen
  • Markiere das Streckzentrum S deutlich
  • Beschrifte alle Originalpunkte und ihre entsprechenden Bildpunkte
  • Zeichne die Strahlen dünn, damit die Konstruktion übersichtlich bleibt

Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor ist eine Kombination aus Streckung und Punktspiegelung und erscheint häufig in Übungen zur zentrischen Streckung.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

4.371

11. Dez. 2021

5 Seiten

Lernzettel: Strahlensätze und Zentrische Streckung Aufgaben und Lösungen

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@study_things

Geometrische Ähnlichkeit und zentrische Streckung gehören zu den faszinierendsten Konzepten der Mathematik, die uns helfen, die Welt um uns herum besser zu verstehen. Diese Prinzipien begegnen uns im Alltag häufiger als wir denken - von Karten und Bauplänen bis hin... Mehr anzeigen

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
• m.a=a'
• k'•a' = a
• A-k^A'
· A'= k· A
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Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Bei der zentrischen Streckung arbeiten wir mit:

  • Einem Streckungszentrum SS als Ausgangspunkt
  • Einem Streckungsfaktor kk auchA¨hnlichkeitsfaktorgenanntauch Ähnlichkeitsfaktor genannt

Wichtige Eigenschaften:

  • Der Streckungsfaktor bestimmt, ob eine Figur vergrößert oder verkleinert wird
  • Bei k < 1 wird die Figur verkleinert
  • Bei k > 1 wird die Figur vergrößert
  • Bei negativem Streckfaktor werden Punkte "gespiegelt"
  • Flächen verändern sich quadratisch: A' = k² · A

Ähnlichkeit von Figuren besteht, wenn:

  • Alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sind: aa=bb=cc\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}
  • Die entsprechenden Winkel gleich sind

Die Strahlensätze helfen uns, aus bekannten Längen unbekannte zu berechnen:

  • Erster Strahlensatz: SA1SA2=SB1SB2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|SB_1|}{|SB_2|}
  • Zweiter Strahlensatz: SA1SA2=A1B1A2B2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}
  • Erweiterter erster Strahlensatz: SA1SA2=SB1SB2=A1A2B1B2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|SB_1|}{|SB_2|} = \frac{|A_1A_2|}{|B_1B_2|}

Wichtige Formel: Bei den Strahlensätzen ist das Verhältnis der entsprechenden Strecken konstant. Dies ist die Grundlage für viele Berechnungen in der Geometrie und findet Anwendung in Klassenarbeiten der 9. Klasse.

Die Strahlensätze funktionieren sowohl bei parallelen als auch bei sich schneidenden Geraden, wobei die Formeln identisch bleiben.

Zentrische Streckung
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Zentrische Streckung - Grundlagen

Die zentrische Streckung ist ein geometrisches Verfahren zur maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung von Figuren. Diese Methode ist besonders in der 9. Klasse ein wichtiges Thema.

So funktioniert eine zentrische Streckung:

  • Wir benötigen ein Zentrum Z als festen Bezugspunkt
  • Der Streckfaktor k bestimmt die Größenveränderung
  • Jeder Punkt der Originalfigur wird entlang des Strahls vom Zentrum aus verschoben

Beispiel einer zentrischen Streckung:

Um eine Figur mit dem Faktor k = 2 und dem Zentrum Z zu strecken:

  1. Wähle einen Eckpunkt A der Figur
  2. Zeichne den Strahl von Z durch A
  3. Trage auf diesem Strahl den Bildpunkt A' so ein, dass ZA' = 2 · ZA
  4. Wiederhole dies für alle Eckpunkte
  5. Verbinde die Bildpunkte zu einer neuen Figur

Merksatz: Bei der zentrischen Streckung mit Faktor k > 0 gilt stets: Die Entfernung jedes Bildpunkts vom Streckungszentrum ist genau k-mal so groß wie die des Originalpunkts. Für Übungen und Klassenarbeiten ist es wichtig zu wissen, dass bei k > 1 eine Vergrößerung und bei k < 1 eine Verkleinerung erfolgt.

Wichtige Eigenschaften:

  • Figur und Bildfigur sind stets zueinander ähnlich
  • Entsprechende Strecken sind parallel zueinander
  • Alle Winkel bleiben unverändert
  • Alle Strecken werden mit dem Faktor k multipliziert
  • Flächeninhalte werden mit k² multipliziert

Diese Eigenschaften machen die zentrische Streckung zu einem wertvollen Werkzeug in der Geometrie und finden Anwendung in vielen Alltagssituationen, von der Fotografie bis zur Architektur.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
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Zentrische Streckung - Konstruktion

Die zentrische Streckung ist ein wichtiges Verfahren, das in Arbeitsblättern und Klassenarbeiten häufig vorkommt. So führst du eine zentrische Streckung durch:

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  • Wähle ein Streckungszentrum S oftbereitsvorgegebenoft bereits vorgegeben
  • Lege einen Streckfaktor k fest Vergro¨ßerungsoderVerkleinerungsfaktorVergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor
  • Zeichne Strahlen von S durch jeden Eckpunkt der Ausgangsfigur
  • Trage auf jedem Strahl das k-fache der ursprünglichen Länge ab
  • Verbinde die neuen Punkte zur gestreckten Figur

Beispiel mit k = 2: In diesem Fall wird jede Strecke vom Zentrum S aus verdoppelt. Wenn ein Punkt A ursprünglich 3 Einheiten von S entfernt ist, wird der Bildpunkt A' 6 Einheiten von S entfernt sein.

Anwendungsbeispiel: In der Praxis wird die zentrische Streckung verwendet, um maßstabsgetreue Vergrößerungen zu erstellen. Beim Zeichnen mit k = 2 wird jeder Punkt doppelt so weit vom Zentrum entfernt platziert, was zu einer Figur führt, die in jeder Dimension doppelt so groß ist.

Zu beachten:

  • Die Form der Figur bleibt erhalten A¨hnlichkeitÄhnlichkeit
  • Alle Winkel bleiben gleich
  • Parallele Linien bleiben parallel
  • Bei einem Viereck werden alle vier Eckpunkte entsprechend gestreckt

Für die Konstruktion brauchst du:

  • Lineal
  • Zirkel fu¨rpra¨ziseMessungenfür präzise Messungen
  • Bleistift und Papier

Zentrische Streckung ist besonders wichtig für Aufgaben zum Zeichnen in der 9. Klasse und erscheint häufig in PDF-Arbeitsblättern und Übungen zur Ähnlichkeit.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
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Durchführung einer zentrischen Streckung

Die zentrische Streckung ist ein geometrisches Verfahren, das du in der Schule genau verstehen solltest. Hier lernst du, wie man sie praktisch durchführt.

Für positive Streckfaktoren k>0k > 0:

  1. Zeichne einen Strahl vom Streckzentrum S durch einen Punkt P der Ausgangsfigur
  2. Miss die Strecke SP und multipliziere diese Länge mit dem Streckfaktor k
  3. Trage die neue Länge kSPk · SP auf dem Strahl ab, um den Bildpunkt P' zu erhalten
  4. Wiederhole diesen Vorgang für alle wichtigen Punkte der Figur beiVieleckenalleEckpunktebei Vielecken alle Eckpunkte

Für negative Streckfaktoren k<0k < 0:

  1. Zeichne eine Gerade durch S und P
  2. Multipliziere die Länge SP mit dem Betrag von k
  3. Trage diese Länge auf der gegenüberliegenden Seite von S ab
  4. Du erhältst so den Bildpunkt P' auf der anderen Seite des Zentrums

Wichtiger Hinweis: Bei negativem Streckfaktor z.B.k=2z.B. k = -2 wird die Figur nicht nur vergrößert oder verkleinert, sondern zusätzlich am Streckzentrum S gespiegelt. Dies ist ein wichtiges Konzept für Aufgaben in Klassenarbeiten der 9. Klasse.

Praktische Tipps:

  • Nutze ein Lineal für genaue Messungen
  • Markiere das Streckzentrum S deutlich
  • Beschrifte alle Originalpunkte und ihre entsprechenden Bildpunkte
  • Zeichne die Strahlen dünn, damit die Konstruktion übersichtlich bleibt

Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor ist eine Kombination aus Streckung und Punktspiegelung und erscheint häufig in Übungen zur zentrischen Streckung.

Zentrische Streckung
Streckungszentrum (s)
• Streckungsfaktor (k)
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Strahlensätze - Lernzettel

Die Strahlensätze sind fundamentale Werkzeuge in der Geometrie, mit denen wir unbekannte Längen berechnen können. Sie sind besonders wichtig für Aufgaben zur Ähnlichkeit.

Erster Strahlensatz: Wenn zwei Halbgeraden a und b mit gemeinsamen Anfangspunkt S von zwei Parallelen g und h geschnitten werden, dann gilt: SA1SA2=SB1SB2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|SB_1|}{|SB_2|}

  • Das Längenverhältnis der Strecken auf der einen Halbgerade ist gleich dem Verhältnis auf der anderen Halbgerade

Zweiter Strahlensatz: Bei parallelen Geraden g und h gilt zusätzlich: SA1SA2=A1B1A2B2\frac{|SA_1|}{|SA_2|} = \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|} und SB1SB2=A1B1A2B2\frac{|SB_1|}{|SB_2|} = \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}

  • Das Verhältnis der Strecken vom Scheitel zu den Parallelen ist gleich dem Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen

Erweiterter erster Strahlensatz: Bei parallelen Geraden g und h gilt auch: A1A2SA1=B1B2SB1\frac{|A_1A_2|}{|SA_1|} = \frac{|B_1B_2|}{|SB_1|} und A1A2SA2=B1B2SB2\frac{|A_1A_2|}{|SA_2|} = \frac{|B_1B_2|}{|SB_2|}

Praxistipp: Stelle bei Strahlensatzaufgaben die gesuchte Variable x immer in den Zähler eines Bruchs. Dies macht das Umformen der Formeln einfacher. Die Strahlensätze erscheinen häufig in PDF-Übungsblättern und Klassenarbeiten zur Ähnlichkeit und zentrischen Streckung.

Vorgehensweise bei Aufgaben:

  1. Fertige eine übersichtliche Skizze an
  2. Identifiziere, welcher Strahlensatz anzuwenden ist
  3. Schreibe die Formel mit Buchstaben auf
  4. Setze dann die bekannten Zahlen ein
  5. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um

Mit den Strahlensätzen lassen sich viele Winkel- und Streckenlängenberechnungen elegant lösen, besonders bei Dreiecken und in Verbindung mit der zentrischen Streckung.

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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