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Mathe

Geometrie

Abstandsrechnung

Abstand zweier punkte

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13. Sept. 2022

•

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Vektoren Klausurvorbereitung - Übungsaufgaben und Lösungen

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Hannah

@hxnnsph

Die Vektorrechnung ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik der... Mehr anzeigen

Q2 Mathe GK Teil A (10 BE) Bearbeitungszeit: 20 Minuten Klausur 2 - 17/06/2021 D Nan Aufgabe A1 (5 BE) Gegeben sind die Punkte A(61-2|1) und

Grundlagen der Parameterdarstellung von Geraden

Diese Aufgaben behandeln grundlegende Konzepte der Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum.

Aufgabe A1: Parameterform von Geraden

In dieser Aufgabe geht es um die vektorielle Geradengleichung in Parameterform:

  • Gegeben: Punkte A6∣−2∣16|-2|1 und B4∣1∣54|1|5
  • Gesucht: Parameterdarstellung der Geraden g_AB Prüfung, ob ein bestimmter Punkt auf der Geraden liegt Bestimmung einer echt parallelen Geraden

Bei der Parameterform einer Geraden wird ein Parameter eingeführt, der es ermöglicht, jeden Punkt auf der Geraden zu beschreiben.

Wichtiges Konzept: Die Parameterdarstellung einer Geraden hat die Form x⃗=a⃗+t⋅v⃗\vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor OrtsvektoreinesPunktesaufderGeradenOrtsvektor eines Punktes auf der Geraden, v⃗\vec{v} der Richtungsvektor und tt der Parameter ist.

Für eine parallele Gerade muss der gleiche Richtungsvektor verwendet werden, aber der Stützvektor muss sich unterscheiden.

Aufgabe A2: Viereck als Rechteck nachweisen

  • Gegeben: Viereck ABCD mit den Punkten A8∣3∣28|3|2, B11∣5∣111|5|1, C9∣10∣59|10|5 und D6∣8∣66|8|6
  • Gesucht: Nachweis, dass ABCD ein Rechteck ist

Diese Übung zur Vektorrechnung erfordert die Überprüfung der Eigenschaften eines Rechtecks:

  • Überprüfung, ob gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind
  • Überprüfung, ob aufeinanderfolgende Seiten senkrecht zueinander stehen

Für diesen Nachweis werden Vektorbeträge und Skalarprodukte eingesetzt.

Q2 Mathe GK Teil A (10 BE) Bearbeitungszeit: 20 Minuten Klausur 2 - 17/06/2021 D Nan Aufgabe A1 (5 BE) Gegeben sind die Punkte A(61-2|1) und

Anwendung der Vektorrechnung: Bungalow und Schattenwurf

Diese Aufgabe zeigt die praktische Anwendung der Vektorrechnung bei einem Architekturproblem.

Aufgabe B1: Bungalow mit Solarmodulen und Schattenwurf

Die Aufgabe behandelt einen Bungalow im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  • Der Bungalow hat rechteckige Wände, die senkrecht zur x-y-Ebene stehen
  • Die Dachfläche ist parallel zur x-y-Ebene
  • Ein Fahnenmast wirft einen Schatten auf den Bungalow

Teilaufgaben umfassen:

  • Bestimmung fehlender Koordinaten von Punkten des Gebäudes
  • Berechnung der Kosten für Solarmodule auf dem Dach
  • Berechnung von Schattenpunkten

Anwendungsbeispiel: Bei Bewegungsaufgaben mit Vektoren wie dem Schattenwurf wird die Richtung des Lichts durch einen Vektor v⃗=(−3 −12 −2)\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \ -12 \ -2 \end{pmatrix} dargestellt. Der Schattenpunkt kann durch eine Parameterform bestimmt werden.

Für die Berechnung der Dachfläche müssen wir erkennen, dass es sich um einen Teil eines Quadrats handelt, von dem eine "Ecke" abgeschnitten wurde. Dies ist ein typisches Beispiel für Übungen Vektoren Klasse 12.

Bei der Bestimmung der Schattenpunkte muss eine Gerade entlang des Lichtstrahls mit dem Dach oder den Wänden des Bungalows geschnitten werden – eine klassische Anwendung der Vektorrechnung im Raum.

Q2 Mathe GK Teil A (10 BE) Bearbeitungszeit: 20 Minuten Klausur 2 - 17/06/2021 D Nan Aufgabe A1 (5 BE) Gegeben sind die Punkte A(61-2|1) und

Flugzeugbewegungen im Raum und Schattenwurf

In dieser Aufgabe werden Bewegungen von Flugzeugen im dreidimensionalen Raum mithilfe der Vektorrechnung analysiert.

Aufgabe B2: Flugbahnen und Geschwindigkeiten

Zwei Flugzeuge F1 und F2 bewegen sich entlang verschiedener Geraden im Raum:

  • Gegeben: Gerade g₁: x⃗=(14 3 0)+r(20 6 1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 14 \ 3 \ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 20 \ 6 \ 1 \end{pmatrix} Gerade g₂: x⃗=(15 −4 4)+s(−3 2 −1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \ -4 \ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}

Die Aufgaben umfassen:

  • Nachweis, dass sich die Flugrouten nicht kreuzen
  • Berechnung der Geschwindigkeit eines Flugzeugs
  • Bestimmung des Neigungswinkels einer Flugbahn
  • Überlegungen zum Schattenwurf des landenden Flugzeugs

Schlüsselkonzept: Um zu zeigen, dass sich zwei Geraden nicht schneiden, muss man prüfen, ob ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und ob das durch die Stützvektoren und Richtungsvektoren aufgespannte Gleichungssystem keine Lösung hat. Dies ist typisch für eine Vektorrechnung Klausur PDF.

Für die Geschwindigkeitsberechnung nutzt man die Formel v=stv = \frac{s}{t}, wobei die Strecke ss aus dem Betrag des Vektors zwischen den beiden Positionen berechnet wird.

Der Neigungswinkel wird mithilfe trigonometrischer Funktionen bestimmt, indem man den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Flugbahn und der x-y-Ebene berechnet.

Bei der letzten Teilaufgabe muss man überlegen, unter welchen Bedingungen der Schatten eines bewegten Objekts stillstehen könnte – eine interessante Anwendung des räumlichen Vorstellungsvermögens in Verbindung mit der analytischen Geometrie.



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4.9/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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•

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•

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Hannah

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Die Vektorrechnung ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik der Oberstufe und bildet die Grundlage für die analytische Geometrie. In dieser Zusammenfassung behandeln wir eine Klausur Vektoren Mathe LK, die typische Aufgaben zur Vektorrechnung enthält. Wir werden Parameterdarstellungen von... Mehr anzeigen

Q2 Mathe GK Teil A (10 BE) Bearbeitungszeit: 20 Minuten Klausur 2 - 17/06/2021 D Nan Aufgabe A1 (5 BE) Gegeben sind die Punkte A(61-2|1) und

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Grundlagen der Parameterdarstellung von Geraden

Diese Aufgaben behandeln grundlegende Konzepte der Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum.

Aufgabe A1: Parameterform von Geraden

In dieser Aufgabe geht es um die vektorielle Geradengleichung in Parameterform:

  • Gegeben: Punkte A6∣−2∣16|-2|1 und B4∣1∣54|1|5
  • Gesucht: Parameterdarstellung der Geraden g_AB Prüfung, ob ein bestimmter Punkt auf der Geraden liegt Bestimmung einer echt parallelen Geraden

Bei der Parameterform einer Geraden wird ein Parameter eingeführt, der es ermöglicht, jeden Punkt auf der Geraden zu beschreiben.

Wichtiges Konzept: Die Parameterdarstellung einer Geraden hat die Form x⃗=a⃗+t⋅v⃗\vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor OrtsvektoreinesPunktesaufderGeradenOrtsvektor eines Punktes auf der Geraden, v⃗\vec{v} der Richtungsvektor und tt der Parameter ist.

Für eine parallele Gerade muss der gleiche Richtungsvektor verwendet werden, aber der Stützvektor muss sich unterscheiden.

Aufgabe A2: Viereck als Rechteck nachweisen

  • Gegeben: Viereck ABCD mit den Punkten A8∣3∣28|3|2, B11∣5∣111|5|1, C9∣10∣59|10|5 und D6∣8∣66|8|6
  • Gesucht: Nachweis, dass ABCD ein Rechteck ist

Diese Übung zur Vektorrechnung erfordert die Überprüfung der Eigenschaften eines Rechtecks:

  • Überprüfung, ob gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind
  • Überprüfung, ob aufeinanderfolgende Seiten senkrecht zueinander stehen

Für diesen Nachweis werden Vektorbeträge und Skalarprodukte eingesetzt.

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Anwendung der Vektorrechnung: Bungalow und Schattenwurf

Diese Aufgabe zeigt die praktische Anwendung der Vektorrechnung bei einem Architekturproblem.

Aufgabe B1: Bungalow mit Solarmodulen und Schattenwurf

Die Aufgabe behandelt einen Bungalow im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  • Der Bungalow hat rechteckige Wände, die senkrecht zur x-y-Ebene stehen
  • Die Dachfläche ist parallel zur x-y-Ebene
  • Ein Fahnenmast wirft einen Schatten auf den Bungalow

Teilaufgaben umfassen:

  • Bestimmung fehlender Koordinaten von Punkten des Gebäudes
  • Berechnung der Kosten für Solarmodule auf dem Dach
  • Berechnung von Schattenpunkten

Anwendungsbeispiel: Bei Bewegungsaufgaben mit Vektoren wie dem Schattenwurf wird die Richtung des Lichts durch einen Vektor v⃗=(−3 −12 −2)\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \ -12 \ -2 \end{pmatrix} dargestellt. Der Schattenpunkt kann durch eine Parameterform bestimmt werden.

Für die Berechnung der Dachfläche müssen wir erkennen, dass es sich um einen Teil eines Quadrats handelt, von dem eine "Ecke" abgeschnitten wurde. Dies ist ein typisches Beispiel für Übungen Vektoren Klasse 12.

Bei der Bestimmung der Schattenpunkte muss eine Gerade entlang des Lichtstrahls mit dem Dach oder den Wänden des Bungalows geschnitten werden – eine klassische Anwendung der Vektorrechnung im Raum.

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Flugzeugbewegungen im Raum und Schattenwurf

In dieser Aufgabe werden Bewegungen von Flugzeugen im dreidimensionalen Raum mithilfe der Vektorrechnung analysiert.

Aufgabe B2: Flugbahnen und Geschwindigkeiten

Zwei Flugzeuge F1 und F2 bewegen sich entlang verschiedener Geraden im Raum:

  • Gegeben: Gerade g₁: x⃗=(14 3 0)+r(20 6 1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 14 \ 3 \ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 20 \ 6 \ 1 \end{pmatrix} Gerade g₂: x⃗=(15 −4 4)+s(−3 2 −1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \ -4 \ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}

Die Aufgaben umfassen:

  • Nachweis, dass sich die Flugrouten nicht kreuzen
  • Berechnung der Geschwindigkeit eines Flugzeugs
  • Bestimmung des Neigungswinkels einer Flugbahn
  • Überlegungen zum Schattenwurf des landenden Flugzeugs

Schlüsselkonzept: Um zu zeigen, dass sich zwei Geraden nicht schneiden, muss man prüfen, ob ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und ob das durch die Stützvektoren und Richtungsvektoren aufgespannte Gleichungssystem keine Lösung hat. Dies ist typisch für eine Vektorrechnung Klausur PDF.

Für die Geschwindigkeitsberechnung nutzt man die Formel v=stv = \frac{s}{t}, wobei die Strecke ss aus dem Betrag des Vektors zwischen den beiden Positionen berechnet wird.

Der Neigungswinkel wird mithilfe trigonometrischer Funktionen bestimmt, indem man den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Flugbahn und der x-y-Ebene berechnet.

Bei der letzten Teilaufgabe muss man überlegen, unter welchen Bedingungen der Schatten eines bewegten Objekts stillstehen könnte – eine interessante Anwendung des räumlichen Vorstellungsvermögens in Verbindung mit der analytischen Geometrie.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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