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Vektoren/Geraden Lernzettel

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VEKTOR
geordnetes Zahlentriplet, Länge & Richtung eines Pfeils
VEKTOREN UND GERADEN
X₁X₂-Ebene
OX= OA+kv KER
-Ebene
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(³^) - ^ 4x3 12 VEKTOR geordnetes Zahlentriplet, Länge & Richtung eines Pfeils VEKTOREN UND GERADEN X₁X₂-Ebene OX= OA+kv KER -Ebene GEGENVEKTOR -Verschiebung durch den Vektor ✓ rückgängig machen (Umdrehen des Pfeils) -V₁ ABSTAND ZWEIER PUNKTE - entspricht der Länge des Verbindungsvektors AB = |AB| = √(b₁-a₂)² + (b₂=Q₂)² + (b₂¯Q₂)² X₁ X3 X₂ X3-Ebene VERVIELFACHEN EINES VEKTORS -zwei Vektoren vo, ut sind parallel zueinander, wenn sie Vielfache voneinander sind (=kollinear) ---- () () = - SAR - je zwei koordinatenachsen spannen eine Koordinatenebene auf Achsen & Ebenen sind paarweise orthogonal zueinander Einheiten auf x₂-Achse verkürzt (um k = 1. √2 * 0,7) SAB (x3-Koordinate=0) (x₂- Koordinate=0) (x, Koordinate = 0) - Summenvektor: 3=ã+b a₁ + b₁ Q₂ + b₂ Q3 by -Differenzvektor: --- () - (9) S23 SUMME UND DIFFERENZ ZWEIER VEKTOREN 0 :) - (10) az - - : gi - setzt man für den Parameter k irgendeine Zahl ein, ergibt sich der Ortsvektor Ox eines Punktes X PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN SPURPUNKTE EINER GERADEN = Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen SP mit x₁x₂-Ebene (x3 =0) SP mit XX3-Ebene (x₂ =0) SP mit x₂x3-Ebene (x₁ =0) NULLVEKTOR -hat die Länge - Gerade kann versch. Parameter darstellungen haben (Stutzvektor OA→ jeder Ortsvektor von Punkt auf Gerade mögl.) (Richtungsvektor ✔ → jedes Vielfache mögl.) 3=a+b a MITTELPUNKT EINER STRECKE OM=(OA+OB Aufpunkt ORTSVEKTOR - Vektor, der Koordinatenursprung O in den Punkt P verschiebt P=OP B -2 LÄNGE EINES VEKTORS = Betrag, Länge der Pfeile, die zum Vektor |v1 = √ √ ²³² + √₂² + √²³² S (01-213) Richtungsvektor SAS (11012) Stützvektor -A ₂^^- ^°^^= 2, 1. EINHEITSVEKTOR -hat die Länge -durch Norminierung jeder Vektor zum Einheitsvektor machbar ² = 6 A a A d-a-b =a+(-6) 2 S₂ (31410) 1 3 a 5 O x3 सै P ū gehören DREIECKSREGEL PQ+ QR = PR Q GERADE...

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DURCH ZWEI PUNKTE g: OX= OA+K AB OA+k(OB-OA) mit k ER = SKALARPRODUKT - reelle Zahl, ungerichtete Größe ū - v - () · (v) Man kommt von P auch über Q zu R. U₁ V₁ + Uz V₂ + Us' V3 (orthogonal) - Distributivgesetz wenn •v-o ☎• (b+c) =ã•b + đºĉ R LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN g=h 9. = 9=h A gl/h Liegt ein Punkt von I auf h? PUNKTPROBE EINER STRECKE 1. Punktprobe für P bzgl. g 2. Ist Parameter Osk≤1? *P? B P? +P? Sind die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander? SPIEGELUNG EINER GERADEN AN EINER EBENE 1.2 Punkte auf Geraden definieren (PQ) 2. beide Punkte spiegeln (Vorzeichen einer Koordinate ander) →erhalte p' und Q' 3. neue Gerade aus P' und Q' definieren gl/h mit gh 7/² ergibt nein sich ja: P liegt auf AB nein: P liegt auf g, aber nicht AB NORMALENFORM E: no (OX-OA) = O n ist ein Normalenvektor von E A ist Punkt der Ebene Ortsvektor a VEKTOREN UND GERADEN KOORDINATENFORM -aus d= nOÀ - Ox O E¹n₁x₁ +n₂x₂+nz Xz =d ergibt sich: g und h schneiden sich in einem Punkt S 9 PARAMETERDARSTELLUNG EINER EBENEN E: OX = OA +8¹ + r · V mit s, r ER - Richtungsvektoren ‡ und v‡ sind nicht parallel zueinander - setzt man für die Parameter 3, r irgendwelche Zahlen ein, ergibt sich der Ortsvektor Ox des Punktes X - eine Ebene hat verschiedene Parameter darstellungen nein дни Haben und h einen 9 gemeinsamen Punkt S? ñ nto NORMALENVEKTOR E ne 9 und h sind zu- einander windschief 9 → dot P(... Skalarprodukt →norm(... Vektorlänge Normalenvektor einer Ebene, wenn er orthogonal dazu ist -> orthogonal zu allen Richtungsvektoren schneiden sich nicht! axb = -3 PUNKTPROBE EINER GERADEN gi ox WINKEL ZWISCHEN VEKTOREN -für Winkel zw. zwei Vektoren ű v -mit Oºs α ≤ 180° a₂b3-a₂b₂ 936₁-963 a₁b₂-a₂b₁ cas (x) = α = arctan tov uov =OA+kV OA+kV-OB Q₁ + k·v₁ = b₁ Q₂ + K V₂ = b₂ Qs + k· V3 = b3 | TR Für ab und ab +õ axbotan axb1b PUNKTPROBE EINER EBENE Liegt 3 in Ebene E? OB = ₂ 163 - Parameterform: E: OX=OA +su + t · V OB=A+su+t-V - Normalenform im LGS lösen (siehe Gerade) E: (OX-OA) = O KREUZPRODUKT - Vektorprodukt = gilt: ein k als Lasung: B auf g mehrere k: 3 nicht auf g O ño (OB-OA) ²0 überprüfen - Koordinatenform E: M₁²X₁ + N₂² X₂ +Nz* x3 =d na b₁ = n₂b₂ +13-• b3 &d überprüfen Länge davon: |ã×|- |·|6) · sin(x) • TASCHENRECHNERBEFEHLE main → Aktion → Vektor →. **** →angle (... Winkel zw. 2 Vektoren → unit VC... Einheitsvektor a ist dabei der von a und To eingeschlossene Winkel → cross P(... Kreuzprodukt 8 Keyboard 2x drücken

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V

So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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