Vektorgeometrie

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nicht parallele vektoren sind linear abhängig Def - Orthogonale Vektoren- Skalarprodukt von Vektoren: Gegeben sind die Vektoren aq = (63) & b= Dann gilt: ал 101 [ã. 6 -(0212) 62 163/ a1 az = a₁.b₁+ a2-b2+ a3 b3 aufeinander (orthogonal), wenn à bo (93 Skalarprodukt Zwei Vektoren axbo stehen senkrecht à⋅ b = å = (^) ; b = (8) - (4)) Bsp:1 Sind die vektoren orthogonal zueinander? = 1·0+ (-1). 1+1-1 = 0 −1+1 = 0 a 16 Bsp:1 sind die jeweiligen Vektoren zu einander linear abhängig * -(3) 6-(24) 2 - (²) all 6 ? 2 4 = 3 à & 6 sind linear unabhängig X somit nicet parallel zueinander ble ? K. (-1/2) → *=-4 K. (-2) → K=-2 K. 1-47 →K=-2 =====K²/²+K=-=-= =k. こと・こ -2 -4 = k· 16 Bsp:2 zeigen sie, dass die vektoren a & 6 linear abhängig sind å 11 b 9 = k·(3) -6 3 = K.2 = k· (-1) Bsp:2 → K= -1 →K=_: эко-з + k=-3 +K=-3 Bestimmen Sie bi so, dass die vektoren à-(3) × 6 = (2) ²6 - (1) (-3) = senkrecht zu- einander stehen = 4·6₁ +3·2+1-(-2) 46₁ +6-2 1-4 4b₁ +4 -4 = 4b₁ -^=b₁ parameter darstellung EINER GERADEN < Allgemein gilt: g: p(Aufpunkt) S. 245/4 g: Stutzvektor g: P+ru 0 a) A (7/-3/-5) B(2/0/3) g: x= x = a + r. g= = = ( ²32 ) + < ( ²3³ ) -b+s AB .+r. AB 1 ) عمه rER Ridhitungsvektor PER 4 immer am Aufog 1x hin schreiben x = a +r* 4 AB; SER r* € bzw. g: al + x₁- Achse beschrieben b) → liegt auf der X₂ X3 -Ebene c) + Raumdiagonale x = ptr. PQ 4 winkelhalbierende der x2x3-Ebene O S. 247/17 → kein Stützvektor Sichtbar, da der Aufpunkt der Ursprung ist 4 Ursprungsgerade 26 -X₁-Achse (8) (i)- = =X₂-Achse x3-Achse AUFSTELLEN EINER EBENE DURCH 1. Drei Punkte: 2. Einen Punkt & eine x=p+ rū P AC 0100 g: E: x = p + r·ũ + s. PÀ 180 E: x = a + v. AB + S. AC E = = = p + oder: x= 3. Zwei sich schneidende Geraden: ) ģ+ Gerade rfR 4. zuei Parallele Geraden ³+ r.V+ 8. PQ _h: x = p + sv SER ~g: x² = ² + rū + r.ut s. QP 1 r&SER ; re I or rk SER 121 18 E: >= p +r· ū+s. V oder: E: x = q + r·ũ +5. v VER ¡SETR h: X²= q + r.³; g x =p+s =) Bei Windschiefen Geraden sind keine Ebenen möglich! g co ir&S tr normalens koordinatenform NOR MALFORM: Gegeben sind ein Stützuektor p & ein Normalvektor ñ KOORDINATENFORM Gegeben sind die Koeffizieuten M Der Vektor n=1²₂ из Parameterform X = P +r.u+su UMWANDLUNG (Einer form in eine andere) Mxv=n Ausmultiplizieren bleibt gleich ů x v ist ein Normalenvektor der Ebene € E: € · E nn, n2, n3 & die Koustaute 6. a) Von der Parameter form zur Normal form Bsp: €: +r. "Normalen form R-P²-ñ=OK (--(()))) 3 Punkte bestimmen, die die Gleichung lösen = 0 +S 3 übernehmen •P durch lösen der Gleichung bestimmen 0.(-3) -2.2 **)-(.* 2-3-(-3)-(-1) (-1). 23.0 E: (= - p ) · ñ = 0 = Koordinaten form n^x^+ 1₂x2+n3x3 = b ir&SER E: (²-³) · ñ = 3 = n -2 n₁x^+ nzxz + 13×3 = b Von der Normalen form zur Koordinatenform (= - (13 ) )· ( ² ) - E: - 4x₁ + 3x2 - 2x3 - (- 4 + 9 + 6) = 0 -4x+3x2-2x3-11=0 E: c) Von E: n^x + 1₂x₂ + 13×3 = b Bsp: E: 2х1 - 3x2+1x3 =8 2 ^ = (-²³) - (8) -( 8 )) (²³3) - E: -4x+ 3x₂-2x3 X^>> d) Von der Koordinaten form zur Parameterform Bsp 1: E: 2x1-3x2-x3 = -2 11 Möglichkeit: Man bestimmt sich drei Punkte → Parameterform aus drei Punkten 2 =) dürfen keine Vielfache A (-110/0), B (01012) ((^/^/^) E: >=(¯¨8) + r · (2 ) + s · (²1) 2) Möglichkeit: r&s frei wählbar X₁ c der Koordinaten form zur Normalen form + E : (x-p) · ñ=0 > M x2=S Е: 2х1 - 3х2 -X3 =-2 rasER voneinander sein 2+2r-3s (8) + r. (132) +5 (23), rusER O (Nach x unformen) risER → 2r-38-x3 = -2 +3=2+2r-3s Bsp 2: x1=r x3=S دلا r+x2=1 x₂ = X2 Normalen- form x1+x2 E: E: * = (8) + - (11) Koordinaten- form E: = 1 r&SER 1-r Besondere Ebenen Koordinatenebenen in Normalen - & Koordinaten form X₁ X₂-Ebene x1x3-Ebene X₂ X3 -Ebene ⇒ · (8) = 0 (8=8) lein x-Wert muss immer übrig bleiben) x3 = 0 +S - (8) · fil x2=0 =O 1x (p= Р00 (6) ×1=0 =O → Die Ebene E ist parallel zur x1x2-Ebene k verläuft durch den Punkt (0/0/2) · (** - (2))· (i) - º 0 x3 = 2 >) - E: x₁+xz Luenn ein x wegfällt-parallel zu der Achse) Normalenvektor liegt immer senkrecht zur Ebene = 4 (→) parallel zur x3 -Achse & durch den Punkt (4/0/0) GEGENSEITIGE LAGE VON EBENEN Bsp: Bsp 2: E: E₁: X₁ + 2x2 + 3x3 = -2 E₂: x₁-3x2 - 2x3= 5 F: ✪ 1 -1 I -1x1-3(-3 +r) - 2 3 -3 -2 0 -1 1 1-1 -3 -2 F: S 3 | ³ ) 5 -2.r=5 -^x1 X1 - 1x₁ +9-3r - 2r=5 - 1x1 -5r = -4 I +I 1-9 1+5r -4+5r 1·-(-1) →-x₂ + x3 = 3 -x2 +r=3 -x2 = 3-1 x2 = 3 +r = 4-5r · (✰ - (3)) · (³) -- E: 1 (= = (-2²)) · (²2) -- 2x1 + 1x² −1x3 −( 6+2) = O 2x1 + 1x2 -1x3 -8 = 0₁ 2x₁ + 1x2-1x3 = 8 4x₁+2x2 -2x3 - (4+4+4)=0 чхл + 2х2-2х3 - 12 =O 4x1+ 2x2-2x3 - 12 +x2x3 in 1+8 setze x3 = SER l-r 1-(-^) 1+12 - Geradengleichug aufsteller g: I ein * = (1/³) +- (²²³) ₁ ↳ Schnitt gerade 2 4 2 - 2 2 - 1 -2 2 -2 O -2 8 12 SER 1-1-2) ·16 I+II 12 11 1₂2) 2 чеке sindl edit parall zu- einander ABSTAND ELNES PUNKTES ZUR EBENE punktes Abstand d eines Punktes Alan laz las) von einer Ebene E für E: (-pl·ñ=0 für E: mx₁ + n₂x₂ + ³x3 = b a) d- b) E: 3x^-4x2 + 2x3=5 (1) + d= Bsp2: Die Ebenen E&F E: 2x1-4x2-x3=5 d= Bsp 1: Berechnen sie den Abstand des Punktes Al-2/415) von der Ebene E E: €: (*- ( 1 ) ) · (-²3). ((3)-(3))-(3) +1-31² d = NE = 2 =0 la-p).ñ In) -2.3+4·(4) +5.2 -5 √3² +1-4)² +2² d= (2) E: 2x₁-4x2-x3=5 |-|(1)·( ) |- = ñF = (-41) , wobei no -17 F: 2x1-4x2 - x3 = 7 (1) Begründen sie dase & F Parallel sind (2) Berechnen sie den Abstand von E &F 2.04.0-1.7 +5 √2² + (-4)² + (-1) ² √29 mantnzaz+0303 - b M²+ n₂² INormaleneinheitsvektor) + n₂ = IAT die Länge 1 hat -8-3-15 14 sind gegeben durch die Gleichungen 17 -26 293,16 14 -2 2 | = | 1²₁ | = | T = 26 ≈ 6,95 →) Normalenvektor der beiden Ebenen sind vielfaches voneinander & somit edut parallel P101017) abstand windschiefer Bsp: Die Gerade g k h verlaufen windschief Berechnen Sie den Abstand won d= : g. ² - (¯-²2 ) + ₁ - (²³3) VER r. д h: * = (§) + ² · ( 3 ) r (7).(!)). √(5)² + (-2)² +1² X₁ X₂ -Ebene X1 X3-Ebene X₂ X3 ITER -Ebene -3-3-(-11.4 g 4 2.(-1) - 1. (-3) 3.2 ) - () } ) = ки mit: 25+ 4 +1 (-9-(-4) 4-6 -2-(-3) (-)-(-) geraden RESONDERE ERENEN x = ( 8 ) + ( 8 ) + ₁( 8 ) X= ×= (8) +r(8) + 5*(;) SER x = ₁VER ² (8) + (( 3 ) + u (8) r.SER 45 + 2+ 4 √30 Der Vektor, der zu beiden Geraden sentralt ist 51 30 ≈ 9,31 X3 ebere mus O sein X₂ Ebene muss O sein. X₁ Ebere muss sein Die Ebene Everläuft parallel zur X1 X3 Ebene und durch den Punk (0/4/0) E: x = ( ² ) + r (³) + s (8)