Fächer

Mathe

Geometrie

Ebenen

Normalenvektor

Einfacher Leitfaden: Vektorrechnung und Analytische Geometrie mit PDFs und Lösungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Öffnen

Einfacher Leitfaden: Vektorrechnung und Analytische Geometrie mit PDFs und Lösungen

nina

@nina_oouy

84 Follower

Die Vektorrechnung ist ein grundlegendes Konzept der analytischen Geometrie, das die Berechnung und Manipulation von Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Raum ermöglicht. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Aspekte wie Vektordefinition, Vektoroperationen, Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen sowie verschiedene Darstellungsformen von Ebenen.

Vektoren werden als gerichtete Größen definiert und können geometrisch als Verschiebungen interpretiert werden
Grundlegende Vektoroperationen umfassen Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation und das Skalarprodukt
Parameterdarstellungen ermöglichen die Beschreibung von Geraden und Ebenen im Raum
Verschiedene Darstellungsformen von Ebenen (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform) werden erläutert und ineinander umgewandelt

Diese Zusammenfassung bietet eine solide Grundlage für Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen und ist besonders nützlich für Schüler der Klasse 11 und 12, die sich auf das Abitur vorbereiten.

15.2.2021

3736

VEXTARENL
XB) (1/-1/3/10
131
Vektor
AA¹
AA'
-2
a₁-an
= az-az
az -a3
A¹ (-1/2/6)
Vektor von
A nach
A'
Gegemektor zu
Def - Gegenvektor: Die Pf

Vektoroperationen und Berechnungen

Die zweite Seite behandelt wichtige Vektoroperationen und Berechnungen, die für Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen relevant sind. Der Betrag eines Vektors wird als Länge definiert und mit einer Formel berechnet.

Definition: Der Betrag eines Vektors AB wird berechnet als |AB| = √((b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²)

Die Seite erläutert grundlegende Vektoroperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar. Diese Operationen werden sowohl algebraisch als auch geometrisch dargestellt.

Beispiel: Die Addition zweier Vektoren a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

Es wird auch gezeigt, wie man den Mittelpunkt einer Strecke mithilfe von Vektoren berechnet. Diese Konzepte sind fundamental für Übungen Vektoren Klasse 12 und bilden die Grundlage für komplexere Anwendungen in der analytischen Geometrie.

Highlight: Das Kommutativgesetz gilt für die Vektoraddition: a + b = b + a

Die vorgestellten Berechnungsmethoden sind essenziell für das Lösen von Vektorgeometrie Übungen und helfen Schülern, ein tieferes Verständnis für die räumlichen Beziehungen zwischen Vektoren zu entwickeln.

Öffnen

Parameterdarstellung von Geraden

Die vierte Seite behandelt die Parameterdarstellung einer Geraden, ein wichtiges Konzept in der analytischen Geometrie. Die allgemeine Form einer Geradengleichung wird vorgestellt:

Definition: Die Parameterdarstellung einer Geraden lautet: g: x = p + r · u, wobei p der Stützvektor, u der Richtungsvektor und r ein reeller Parameter ist.

Es werden verschiedene Beispiele für Geradengleichungen gegeben, einschließlich Geraden, die auf bestimmten Ebenen oder Achsen liegen. Dies ist besonders nützlich für Parameterdarstellung Gerade Aufgaben.

Beispiel: Für eine Gerade durch die Punkte A(7, -3, -5) und B(2, 0, 3) lautet die Parameterdarstellung: g: x = (7, -3, -5) + r · (-5, 3, 8)

Die Seite erklärt auch spezielle Fälle wie Geraden, die auf der x₁-Achse liegen oder die Raumdiagonale bilden. Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis von Parameterdarstellung Vektoren und deren Anwendung in komplexeren geometrischen Problemen.

Highlight: Bei Ursprungsgeraden ist der Stützvektor der Nullvektor, und die Gleichung vereinfacht sich zu g: x = r · u.

Diese Inhalte sind besonders relevant für Schüler, die sich auf Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF Vektoren vorbereiten und die Grundlagen der Parameterdarstellung verstehen möchten.

Öffnen

Darstellungsformen von Ebenen

Die sechste Seite behandelt verschiedene Darstellungsformen von Ebenen und deren Umwandlung, ein wichtiges Thema in der analytischen Geometrie. Es werden drei Hauptformen vorgestellt:

Parameterform:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p ein Stützvektor und u und v Richtungsvektoren sind.
Normalenform:

Definition: E: (x - p) · n = 0, wobei p ein Stützvektor und n der Normalenvektor der Ebene ist.
Koordinatenform:

Definition: E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = b, wobei n = (n₁, n₂, n₃) der Normalenvektor und b eine Konstante ist.

Die Seite erklärt detailliert, wie man zwischen diesen Formen umwandelt, was für Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen PDF sehr nützlich ist.

Beispiel: Umwandlung von der Parameterform in die Normalenform durch Berechnung des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren.

Diese Umwandlungen sind entscheidend für das Lösen komplexer Analytische Geometrie Aufgaben Abitur und helfen beim Verständnis der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen im Raum.

Highlight: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren in der Ebene.

Die vorgestellten Konzepte sind besonders relevant für Schüler, die sich auf Übungen Vektoren Klasse 12 vorbereiten und die verschiedenen Aspekte der Ebenengeometrie verstehen möchten.

Öffnen

Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt

Die dritte Seite führt wichtige Konzepte der Vektorrechnung ein, die für Analytische Geometrie Aufgaben relevant sind. Zunächst wird die lineare Abhängigkeit von Vektoren erklärt.

Definition: Zwei Vektoren a und b sind parallel (linear abhängig), wenn es ein k gibt, so dass a = k · b gilt.

Das Konzept der Kollinearität wird eingeführt, wobei parallele Vektoren als kollinear bezeichnet werden. Die Seite geht dann zum Skalarprodukt von Vektoren über, einem zentralen Konzept in der Vektorrechnung.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) ist definiert als a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

Es wird erklärt, dass zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Dies ist besonders wichtig für Übungen Vektoren Klasse 12.

Beispiel: Für die Vektoren a = (1, -1, 1) und b = (0, 1, 1) wird gezeigt, dass sie orthogonal sind, da a · b = 1·0 + (-1)·1 + 1·1 = 0.

Die Seite enthält auch Beispiele zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit von Vektoren und zur Bestimmung von Vektorkomponenten, um Orthogonalität zu erreichen. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer Analytische Geometrie Aufgaben Abitur.

Öffnen

Aufstellen von Ebenengleichungen

Die fünfte Seite behandelt verschiedene Methoden zum Aufstellen von Ebenengleichungen, ein zentrales Thema in der analytischen Geometrie. Es werden vier Hauptansätze vorgestellt:

Ebene durch drei Punkte:

Definition: E: x = a + r · AB + s · AC, wobei A, B und C die gegebenen Punkte sind.
Ebene durch einen Punkt und eine Gerade:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p ein Punkt auf der Ebene, u der Richtungsvektor der Geraden und v ein Vektor senkrecht zu u ist.
Ebene durch zwei sich schneidende Geraden:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p der Schnittpunkt der Geraden und u und v die Richtungsvektoren der Geraden sind.
Ebene durch zwei parallele Geraden:

Definition: E: x = p + r · u + s · (q - p), wobei p und q Punkte auf den jeweiligen Geraden und u der gemeinsame Richtungsvektor ist.

Diese Methoden sind essentiell für das Lösen von Analytische Geometrie Aufgaben PDF und helfen beim Verständnis der Parameterdarstellung Ebene.

Highlight: Bei windschiefen Geraden ist es nicht möglich, eine Ebene aufzustellen.

Die vorgestellten Konzepte sind besonders wichtig für Schüler, die sich auf Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen Abitur PDF vorbereiten und die räumlichen Beziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen verstehen möchten.

Öffnen

Grundlagen der Vektorrechnung

Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Vektorrechnung ein. Ein Vektor wird als Zahlentripel definiert, das eine gerichtete Größe im dreidimensionalen Raum darstellt. Vektoren können geometrisch als Verschiebungen interpretiert werden, was anhand von Beispielen veranschaulicht wird.

Definition: Ein Vektor AA' = (a₁, a₂, a₃) ist ein Zahlentripel, das eine gerichtete Größe im Raum repräsentiert.

Beispiel: Der Vektor AA' = (-2, 1, 3) verschiebt den Punkt A(1, 1, 3) um -2 Einheiten in x₁-Richtung, +1 Einheit in x₂-Richtung und +3 Einheiten in x₃-Richtung.

Die Seite erklärt auch das Konzept des Gegenvektors und des Nullvektors. Ortsvektoren werden als spezielle Vektoren eingeführt, die den Koordinatenursprung mit einem bestimmten Punkt verbinden.

Highlight: Alle Pfeile, die einen Vektor repräsentieren, sind gleich lang, parallel zueinander und gleich gerichtet.

Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Vektorrechnung Aufgaben und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie.

Öffnen

Umwandlung von Ebenengleichungen

Die siebte Seite setzt die Erklärung der Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Ebenen fort, ein wichtiges Thema für Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen. Es werden detaillierte Schritte für folgende Umwandlungen gezeigt:

Von der Normalenform zur Koordinatenform:

Beispiel: Die Normalenform (x - (1, 3, -3)) · (4, -3, 2) = 0 wird in die Koordinatenform -4x₁ + 3x₂ - 2x₃ - 11 = 0 umgewandelt.
Von der Koordinatenform zur Parameterform: Es werden zwei Methoden vorgestellt: a) Bestimmung von drei Punkten, die die Gleichung erfüllen. b) Direkte Umwandlung durch Auswahl freier Parameter.

Beispiel: Die Koordinatenform 2x₁ - 3x₂ - x₃ = -2 wird in die Parameterform x = (-1, 0, 0) + r · (3, 2, 0) + s · (3, 0, -6) umgewandelt.

Diese Umwandlungen sind entscheidend für das Lösen von Analytische Geometrie Aufgaben PDF und helfen beim Verständnis der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen im Raum.

Highlight: Bei der Umwandlung in die Parameterform ist es wichtig, dass die gewählten Vektoren linear unabhängig sind.

Die vorgestellten Konzepte sind besonders relevant für Schüler, die sich auf Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF Vektoren vorbereiten und die Flexibilität im Umgang mit verschiedenen Ebenendarstellungen entwickeln möchten.

Öffnen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

Mathe

Geometrie

Ebenen

Normalenvektor

Einfacher Leitfaden: Vektorrechnung und Analytische Geometrie mit PDFs und Lösungen

nina

@nina_oouy

84 Follower

Vektoren werden als gerichtete Größen definiert und können geometrisch als Verschiebungen interpretiert werden
Grundlegende Vektoroperationen umfassen Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation und das Skalarprodukt
Parameterdarstellungen ermöglichen die Beschreibung von Geraden und Ebenen im Raum
Verschiedene Darstellungsformen von Ebenen (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform) werden erläutert und ineinander umgewandelt

15.2.2021

3736

Mathe

348

Vektoroperationen und Berechnungen

Definition: Der Betrag eines Vektors AB wird berechnet als |AB| = √((b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²)

Die Seite erläutert grundlegende Vektoroperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar. Diese Operationen werden sowohl algebraisch als auch geometrisch dargestellt.

Beispiel: Die Addition zweier Vektoren a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

Highlight: Das Kommutativgesetz gilt für die Vektoraddition: a + b = b + a

Parameterdarstellung von Geraden

Die vierte Seite behandelt die Parameterdarstellung einer Geraden, ein wichtiges Konzept in der analytischen Geometrie. Die allgemeine Form einer Geradengleichung wird vorgestellt:

Definition: Die Parameterdarstellung einer Geraden lautet: g: x = p + r · u, wobei p der Stützvektor, u der Richtungsvektor und r ein reeller Parameter ist.

Beispiel: Für eine Gerade durch die Punkte A(7, -3, -5) und B(2, 0, 3) lautet die Parameterdarstellung: g: x = (7, -3, -5) + r · (-5, 3, 8)

Highlight: Bei Ursprungsgeraden ist der Stützvektor der Nullvektor, und die Gleichung vereinfacht sich zu g: x = r · u.

Darstellungsformen von Ebenen

Die sechste Seite behandelt verschiedene Darstellungsformen von Ebenen und deren Umwandlung, ein wichtiges Thema in der analytischen Geometrie. Es werden drei Hauptformen vorgestellt:

Parameterform:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p ein Stützvektor und u und v Richtungsvektoren sind.
Normalenform:

Definition: E: (x - p) · n = 0, wobei p ein Stützvektor und n der Normalenvektor der Ebene ist.
Koordinatenform:

Definition: E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = b, wobei n = (n₁, n₂, n₃) der Normalenvektor und b eine Konstante ist.

Die Seite erklärt detailliert, wie man zwischen diesen Formen umwandelt, was für Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen PDF sehr nützlich ist.

Beispiel: Umwandlung von der Parameterform in die Normalenform durch Berechnung des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren.

Diese Umwandlungen sind entscheidend für das Lösen komplexer Analytische Geometrie Aufgaben Abitur und helfen beim Verständnis der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen im Raum.

Highlight: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren in der Ebene.

Die vorgestellten Konzepte sind besonders relevant für Schüler, die sich auf Übungen Vektoren Klasse 12 vorbereiten und die verschiedenen Aspekte der Ebenengeometrie verstehen möchten.

Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt

Die dritte Seite führt wichtige Konzepte der Vektorrechnung ein, die für Analytische Geometrie Aufgaben relevant sind. Zunächst wird die lineare Abhängigkeit von Vektoren erklärt.

Definition: Zwei Vektoren a und b sind parallel (linear abhängig), wenn es ein k gibt, so dass a = k · b gilt.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) ist definiert als a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

Es wird erklärt, dass zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Dies ist besonders wichtig für Übungen Vektoren Klasse 12.

Beispiel: Für die Vektoren a = (1, -1, 1) und b = (0, 1, 1) wird gezeigt, dass sie orthogonal sind, da a · b = 1·0 + (-1)·1 + 1·1 = 0.

Aufstellen von Ebenengleichungen

Die fünfte Seite behandelt verschiedene Methoden zum Aufstellen von Ebenengleichungen, ein zentrales Thema in der analytischen Geometrie. Es werden vier Hauptansätze vorgestellt:

Ebene durch drei Punkte:

Definition: E: x = a + r · AB + s · AC, wobei A, B und C die gegebenen Punkte sind.
Ebene durch einen Punkt und eine Gerade:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p ein Punkt auf der Ebene, u der Richtungsvektor der Geraden und v ein Vektor senkrecht zu u ist.
Ebene durch zwei sich schneidende Geraden:

Definition: E: x = p + r · u + s · v, wobei p der Schnittpunkt der Geraden und u und v die Richtungsvektoren der Geraden sind.
Ebene durch zwei parallele Geraden:

Definition: E: x = p + r · u + s · (q - p), wobei p und q Punkte auf den jeweiligen Geraden und u der gemeinsame Richtungsvektor ist.

Diese Methoden sind essentiell für das Lösen von Analytische Geometrie Aufgaben PDF und helfen beim Verständnis der Parameterdarstellung Ebene.

Highlight: Bei windschiefen Geraden ist es nicht möglich, eine Ebene aufzustellen.

Grundlagen der Vektorrechnung

Definition: Ein Vektor AA' = (a₁, a₂, a₃) ist ein Zahlentripel, das eine gerichtete Größe im Raum repräsentiert.

Beispiel: Der Vektor AA' = (-2, 1, 3) verschiebt den Punkt A(1, 1, 3) um -2 Einheiten in x₁-Richtung, +1 Einheit in x₂-Richtung und +3 Einheiten in x₃-Richtung.

Die Seite erklärt auch das Konzept des Gegenvektors und des Nullvektors. Ortsvektoren werden als spezielle Vektoren eingeführt, die den Koordinatenursprung mit einem bestimmten Punkt verbinden.

Highlight: Alle Pfeile, die einen Vektor repräsentieren, sind gleich lang, parallel zueinander und gleich gerichtet.

Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Vektorrechnung Aufgaben und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie.

Umwandlung von Ebenengleichungen

Von der Normalenform zur Koordinatenform:

Beispiel: Die Normalenform (x - (1, 3, -3)) · (4, -3, 2) = 0 wird in die Koordinatenform -4x₁ + 3x₂ - 2x₃ - 11 = 0 umgewandelt.
Von der Koordinatenform zur Parameterform: Es werden zwei Methoden vorgestellt: a) Bestimmung von drei Punkten, die die Gleichung erfüllen. b) Direkte Umwandlung durch Auswahl freier Parameter.

Beispiel: Die Koordinatenform 2x₁ - 3x₂ - x₃ = -2 wird in die Parameterform x = (-1, 0, 0) + r · (3, 2, 0) + s · (3, 0, -6) umgewandelt.

Diese Umwandlungen sind entscheidend für das Lösen von Analytische Geometrie Aufgaben PDF und helfen beim Verständnis der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen im Raum.

Highlight: Bei der Umwandlung in die Parameterform ist es wichtig, dass die gewählten Vektoren linear unabhängig sind.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Einfacher Leitfaden: Vektorrechnung und Analytische Geometrie mit PDFs und Lösungen

Vektoroperationen und Berechnungen

Parameterdarstellung von Geraden

Darstellungsformen von Ebenen

Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt

Aufstellen von Ebenengleichungen

Grundlagen der Vektorrechnung

Umwandlung von Ebenengleichungen

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Einfacher Leitfaden: Vektorrechnung und Analytische Geometrie mit PDFs und Lösungen

Vektoroperationen und Berechnungen

Parameterdarstellung von Geraden

Darstellungsformen von Ebenen

Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt

Aufstellen von Ebenengleichungen

Grundlagen der Vektorrechnung

Umwandlung von Ebenengleichungen

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.