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Vektorrechnung und Analytische Geometrie: Aufgaben mit Lösungen für Abitur und Klasse 11/12 PDF

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nina

15.2.2021

Mathe

Vektorgeometrie

Vektorrechnung und Analytische Geometrie: Aufgaben mit Lösungen für Abitur und Klasse 11/12 PDF

Die Vektorrechnung und analytische Geometrie bilden fundamentale Konzepte der höheren Mathematik, die besonders in der gymnasialen Oberstufe relevant sind.

In der Vektorrechnung lernen Schüler zunächst die grundlegenden Operationen wie Addition von Vektoren, Vektoren subtrahieren und die Multiplikation mit Skalaren. Diese Grundoperationen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Konzepte. Die Vektorrechnung einfach erklärt beginnt mit der Darstellung von Vektoren in verschiedenen Formen - als Pfeil, als geordnetes Zahlenpaar oder als algebraischer Ausdruck. Die Vektor berechnen Formel umfasst dabei verschiedene Aspekte wie Längenberechnung, Winkelbestimmung und Orthogonalität.

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Parameterdarstellung, die in verschiedenen Kontexten auftaucht. Die Parameterdarstellung einer Geraden ermöglicht es, Geraden im Raum durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor zu beschreiben. Die Parameterdarstellung Ebene erweitert dieses Konzept auf zweidimensionale Flächen im dreidimensionalen Raum. Besonders in der analytischen Geometrie werden diese Konzepte vertieft und auf praktische Anwendungen übertragen. Die Parameterform in Koordinatenform umzuwandeln ist dabei eine wichtige Fähigkeit, die häufig in Übungen Vektoren Klasse 12 geübt wird. Für die Vorbereitung auf das Abitur sind besonders die Aufgabensammlungen wie Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen PDF und Analytische Geometrie Aufgaben Abitur hilfreich, da sie typische Prüfungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen enthalten.

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15.2.2021

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VEXTARENL
XB) (1/-1/3/10
131
Vektor
AA¹
AA'
-2
a₁-an
= az-az
az -a3
A¹ (-1/2/6)
Vektor von
A nach
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Def - Gegenvektor: Die Pf

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Grundlagen der Vektorrechnung und Geometrie

Die Vektorrechnung bildet einen fundamentalen Baustein der analytischen Geometrie. Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch seine Richtung und Länge eindeutig bestimmt ist. In der Analytische Geometrie werden Vektoren häufig als geordnete Zahlentripel a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ dargestellt.

Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke im Raum, die durch ihre Länge und Richtung charakterisiert wird. Der Ortsvektor beschreibt die Position eines Punktes relativ zum Koordinatenursprung.

Bei der Vektorrechnung unterscheiden wir zwischen verschiedenen grundlegenden Operationen. Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise und lässt sich geometrisch durch das Aneinanderfügen von Pfeilen veranschaulichen. Der Gegenvektor eines Vektors a⃗ ist -a⃗ und hat die gleiche Länge aber entgegengesetzte Richtung.

Beispiel: Für die Addition von Vektoren gilt: a⃗ + b⃗ = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃

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Vektoroperationen und Berechnungen

Die Vektorrechnung einfach erklärt umfasst verschiedene Rechenoperationen. Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl SkalarSkalar werden alle Komponenten mit dieser Zahl multipliziert. Die Rechnen mit Vektoren Multiplikation ist eine grundlegende Operation.

Merke: Bei der Skalarmultiplikation gilt: r · a⃗ = ra1,ra2,ra3r·a₁, r·a₂, r·a₃

Der Betrag eines Vektors berechnet sich nach der Formel |a⃗| = √a12+a22+a32a₁²+a₂²+a₃². Diese Vektor berechnen Formel ist essentiell für viele weiterführende Berechnungen.

Highlight: Die Länge eines Vektors ist stets positiv oder null und entspricht geometrisch der Länge des zugehörigen Pfeils.

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Lineare Abhängigkeit und Orthogonalität

In der Analytische Geometrie Aufgaben spielen die Konzepte der linearen Abhängigkeit und Orthogonalität eine zentrale Rolle. Zwei Vektoren sind linear abhängig kollinearkollinear, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist.

Definition: Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist eine wichtige Operation für die Bestimmung der Orthogonalität und des Winkels zwischen Vektoren. Diese Konzepte sind fundamental für Vektorgeometrie Übungen.

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Parameterdarstellung von Geraden

Die Parameterdarstellung einer Geraden ist eine wichtige Darstellungsform in der analytischen Geometrie. Eine Gerade wird durch einen Punkt AufpunktAufpunkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.

Formel: Die Parameterdarstellung einer Geraden lautet: g: x⃗ = p⃗ + t·r⃗ tRt ∈ ℝ

Bei der Parameterdarstellung Gerade Aufgaben ist der Aufpunkt p⃗ ein fester Punkt auf der Geraden, und r⃗ gibt die Richtung der Geraden an. Der Parameter t durchläuft alle reellen Zahlen und erzeugt so alle Punkte der Geraden.

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Ebenen in der Analytischen Geometrie: Aufstellung und Darstellungsformen

Die analytische Geometrie bietet verschiedene Möglichkeiten, Ebenen im dreidimensionalen Raum darzustellen. Besonders wichtig ist das Verständnis der unterschiedlichen Aufstellungsmethoden einer Ebene, die je nach gegebenen Elementen gewählt werden können.

Eine Ebene kann durch drei nicht-kollineare Punkte eindeutig bestimmt werden. Die Parameterdarstellung einer Ebene lässt sich dabei in der Form E: x = p + r·u + s·v darstellen, wobei p der Stützvektor und u, v die Richtungsvektoren sind. Diese Form ist besonders nützlich für die Vektorrechnung und ermöglicht eine anschauliche Darstellung der Ebene.

Definition: Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum, die durch verschiedene mathematische Darstellungen beschrieben werden kann.

Alternativ kann eine Ebene auch durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren oder durch zwei sich schneidende Geraden definiert werden. Bei der Aufstellung durch zwei parallele Geraden ist besondere Vorsicht geboten, da diese eine eindeutige Ebene aufspannen.

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Normalenform und Koordinatenform von Ebenen

Die Normalenform und Koordinatenform sind zentrale Konzepte in der Vektorgeometrie. Die Normalenform einer Ebene wird durch einen Stützvektor p und einen Normalenvektor n bestimmt, während die Koordinatenform durch die Koeffizienten n₁, n₂, n₃ und eine Konstante b charakterisiert wird.

Beispiel: Eine Ebene in Normalenform: xpx - p·n = 0 Eine Ebene in Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = b

Die Umwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen ist ein wichtiger Bestandteil der analytischen Geometrie. Dabei hilft das Verständnis der geometrischen Bedeutung jeder Form, um die passende Umwandlungsstrategie zu wählen.

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Umwandlung zwischen Ebenendarstellungen

Die Umwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen einer Ebene ist ein fundamentaler Bestandteil der Vektorrechnung. Von der Parameterform zur Normalform gelangt man durch Bildung des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren, während der Übergang von der Normalenform zur Koordinatenform durch Ausmultiplizieren erfolgt.

Highlight: Bei der Umwandlung von der Koordinatenform zur Parameterform gibt es zwei Hauptmethoden:

  1. Bestimmung dreier Punkte der Ebene
  2. Direktes Aufstellen mit frei wählbaren Parametern r und s

Die Parameterdarstellung einer Geraden kann als Spezialfall der Ebenendarstellung verstanden werden. Dabei ist besonders auf die korrekte Wahl der Stütz- und Richtungsvektoren zu achten.

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Besondere Ebenen und gegenseitige Lage

Die Koordinatenebenen sind spezielle Ebenen, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. In der Vektorgeometrie spielen sie eine wichtige Rolle bei der Analyse von Lagebeziehungen zwischen Ebenen.

Die gegenseitige Lage von Ebenen kann durch Vergleich ihrer Normalenvektoren bestimmt werden. Parallele Ebenen haben kollineare Normalenvektoren, während sich schneidende Ebenen nicht-kollineare Normalenvektoren aufweisen.

Vokabular:

  • Koordinatenebenen: Ebenen parallel zu den Koordinatenachsen
  • Schnittgerade: Schnittmenge zweier nicht-paralleler Ebenen
  • Normalenvektor: Vektor senkrecht zur Ebenenoberfläche

Die Bestimmung von Schnittgeraden zwischen Ebenen ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der analytischen Geometrie und erfordert die sichere Beherrschung der verschiedenen Darstellungsformen.

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Abstandsberechnung zwischen Punkten und Ebenen in der Analytischen Geometrie

Die Vektorrechnung und analytische Geometrie sind fundamentale Konzepte in der Mathematik, besonders wenn es um die Berechnung von Abständen zwischen geometrischen Objekten geht. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist eine wichtige Anwendung der Vektorrechnung, die häufig in Abitur-Aufgaben vorkommt.

Definition: Der Abstand d eines Punktes P zu einer Ebene E wird durch die Formel d = |pp0p-p₀·n| / |n| berechnet, wobei n der Normalenvektor der Ebene ist und p₀ ein beliebiger Punkt auf der Ebene.

Bei der Berechnung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Ebene ist die Parameterdarstellung der Ebene besonders hilfreich. Die Ebene kann in Koordinatenform mx₁ + nx₂ + rx₃ = b oder in Parameterform angegeben werden. Der Normalenvektor n = m,n,rm,n,r spielt dabei eine zentrale Rolle.

Beispiel: Für eine Ebene E: 3x₁-4x₂+2x₃=5 und einen Punkt A2,4,5-2,4,5 berechnet sich der Abstand wie folgt: d = |3·2-2-4·4+2·5-5| / √32+(43²+(-4²+2²) = |-6-16+10-5| / √29 = |-17| / √29 ≈ 3,16

Die Anwendung dieser Formeln erfordert sicheres Rechnen mit Vektoren, insbesondere die Addition von Vektoren und das Skalarprodukt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der räumlichen Geometrie.

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Mathe

4.154

15. Feb. 2021

11 Seiten

Vektorrechnung und Analytische Geometrie: Aufgaben mit Lösungen für Abitur und Klasse 11/12 PDF

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nina

@nina_oouy

Die Vektorrechnung und analytische Geometrie bilden fundamentale Konzepte der höheren Mathematik, die besonders in der gymnasialen Oberstufe relevant sind.

In der Vektorrechnung lernen Schüler zunächst die grundlegenden Operationen wie Addition von Vektoren, Vektoren subtrahieren und die Multiplikationmit Skalaren.... Mehr anzeigen

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Grundlagen der Vektorrechnung und Geometrie

Die Vektorrechnung bildet einen fundamentalen Baustein der analytischen Geometrie. Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch seine Richtung und Länge eindeutig bestimmt ist. In der Analytische Geometrie werden Vektoren häufig als geordnete Zahlentripel a1,a2,a3a₁, a₂, a₃ dargestellt.

Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke im Raum, die durch ihre Länge und Richtung charakterisiert wird. Der Ortsvektor beschreibt die Position eines Punktes relativ zum Koordinatenursprung.

Bei der Vektorrechnung unterscheiden wir zwischen verschiedenen grundlegenden Operationen. Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise und lässt sich geometrisch durch das Aneinanderfügen von Pfeilen veranschaulichen. Der Gegenvektor eines Vektors a⃗ ist -a⃗ und hat die gleiche Länge aber entgegengesetzte Richtung.

Beispiel: Für die Addition von Vektoren gilt: a⃗ + b⃗ = a1+b1,a2+b2,a3+b3a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃

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Vektoroperationen und Berechnungen

Die Vektorrechnung einfach erklärt umfasst verschiedene Rechenoperationen. Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl SkalarSkalar werden alle Komponenten mit dieser Zahl multipliziert. Die Rechnen mit Vektoren Multiplikation ist eine grundlegende Operation.

Merke: Bei der Skalarmultiplikation gilt: r · a⃗ = ra1,ra2,ra3r·a₁, r·a₂, r·a₃

Der Betrag eines Vektors berechnet sich nach der Formel |a⃗| = √a12+a22+a32a₁²+a₂²+a₃². Diese Vektor berechnen Formel ist essentiell für viele weiterführende Berechnungen.

Highlight: Die Länge eines Vektors ist stets positiv oder null und entspricht geometrisch der Länge des zugehörigen Pfeils.

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Lineare Abhängigkeit und Orthogonalität

In der Analytische Geometrie Aufgaben spielen die Konzepte der linearen Abhängigkeit und Orthogonalität eine zentrale Rolle. Zwei Vektoren sind linear abhängig kollinearkollinear, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist.

Definition: Vektoren sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist eine wichtige Operation für die Bestimmung der Orthogonalität und des Winkels zwischen Vektoren. Diese Konzepte sind fundamental für Vektorgeometrie Übungen.

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Parameterdarstellung von Geraden

Die Parameterdarstellung einer Geraden ist eine wichtige Darstellungsform in der analytischen Geometrie. Eine Gerade wird durch einen Punkt AufpunktAufpunkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.

Formel: Die Parameterdarstellung einer Geraden lautet: g: x⃗ = p⃗ + t·r⃗ tRt ∈ ℝ

Bei der Parameterdarstellung Gerade Aufgaben ist der Aufpunkt p⃗ ein fester Punkt auf der Geraden, und r⃗ gibt die Richtung der Geraden an. Der Parameter t durchläuft alle reellen Zahlen und erzeugt so alle Punkte der Geraden.

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Ebenen in der Analytischen Geometrie: Aufstellung und Darstellungsformen

Die analytische Geometrie bietet verschiedene Möglichkeiten, Ebenen im dreidimensionalen Raum darzustellen. Besonders wichtig ist das Verständnis der unterschiedlichen Aufstellungsmethoden einer Ebene, die je nach gegebenen Elementen gewählt werden können.

Eine Ebene kann durch drei nicht-kollineare Punkte eindeutig bestimmt werden. Die Parameterdarstellung einer Ebene lässt sich dabei in der Form E: x = p + r·u + s·v darstellen, wobei p der Stützvektor und u, v die Richtungsvektoren sind. Diese Form ist besonders nützlich für die Vektorrechnung und ermöglicht eine anschauliche Darstellung der Ebene.

Definition: Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum, die durch verschiedene mathematische Darstellungen beschrieben werden kann.

Alternativ kann eine Ebene auch durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren oder durch zwei sich schneidende Geraden definiert werden. Bei der Aufstellung durch zwei parallele Geraden ist besondere Vorsicht geboten, da diese eine eindeutige Ebene aufspannen.

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Normalenform und Koordinatenform von Ebenen

Die Normalenform und Koordinatenform sind zentrale Konzepte in der Vektorgeometrie. Die Normalenform einer Ebene wird durch einen Stützvektor p und einen Normalenvektor n bestimmt, während die Koordinatenform durch die Koeffizienten n₁, n₂, n₃ und eine Konstante b charakterisiert wird.

Beispiel: Eine Ebene in Normalenform: xpx - p·n = 0 Eine Ebene in Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = b

Die Umwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen ist ein wichtiger Bestandteil der analytischen Geometrie. Dabei hilft das Verständnis der geometrischen Bedeutung jeder Form, um die passende Umwandlungsstrategie zu wählen.

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Umwandlung zwischen Ebenendarstellungen

Die Umwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen einer Ebene ist ein fundamentaler Bestandteil der Vektorrechnung. Von der Parameterform zur Normalform gelangt man durch Bildung des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren, während der Übergang von der Normalenform zur Koordinatenform durch Ausmultiplizieren erfolgt.

Highlight: Bei der Umwandlung von der Koordinatenform zur Parameterform gibt es zwei Hauptmethoden:

  1. Bestimmung dreier Punkte der Ebene
  2. Direktes Aufstellen mit frei wählbaren Parametern r und s

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Besondere Ebenen und gegenseitige Lage

Die Koordinatenebenen sind spezielle Ebenen, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. In der Vektorgeometrie spielen sie eine wichtige Rolle bei der Analyse von Lagebeziehungen zwischen Ebenen.

Die gegenseitige Lage von Ebenen kann durch Vergleich ihrer Normalenvektoren bestimmt werden. Parallele Ebenen haben kollineare Normalenvektoren, während sich schneidende Ebenen nicht-kollineare Normalenvektoren aufweisen.

Vokabular:

  • Koordinatenebenen: Ebenen parallel zu den Koordinatenachsen
  • Schnittgerade: Schnittmenge zweier nicht-paralleler Ebenen
  • Normalenvektor: Vektor senkrecht zur Ebenenoberfläche

Die Bestimmung von Schnittgeraden zwischen Ebenen ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der analytischen Geometrie und erfordert die sichere Beherrschung der verschiedenen Darstellungsformen.

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Abstandsberechnung zwischen Punkten und Ebenen in der Analytischen Geometrie

Die Vektorrechnung und analytische Geometrie sind fundamentale Konzepte in der Mathematik, besonders wenn es um die Berechnung von Abständen zwischen geometrischen Objekten geht. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist eine wichtige Anwendung der Vektorrechnung, die häufig in Abitur-Aufgaben vorkommt.

Definition: Der Abstand d eines Punktes P zu einer Ebene E wird durch die Formel d = |pp0p-p₀·n| / |n| berechnet, wobei n der Normalenvektor der Ebene ist und p₀ ein beliebiger Punkt auf der Ebene.

Bei der Berechnung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Ebene ist die Parameterdarstellung der Ebene besonders hilfreich. Die Ebene kann in Koordinatenform mx₁ + nx₂ + rx₃ = b oder in Parameterform angegeben werden. Der Normalenvektor n = m,n,rm,n,r spielt dabei eine zentrale Rolle.

Beispiel: Für eine Ebene E: 3x₁-4x₂+2x₃=5 und einen Punkt A2,4,5-2,4,5 berechnet sich der Abstand wie folgt: d = |3·2-2-4·4+2·5-5| / √32+(43²+(-4²+2²) = |-6-16+10-5| / √29 = |-17| / √29 ≈ 3,16

Die Anwendung dieser Formeln erfordert sicheres Rechnen mit Vektoren, insbesondere die Addition von Vektoren und das Skalarprodukt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der räumlichen Geometrie.

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Parallelität von Ebenen und Abstandsberechnung

Die Parallelität von Ebenen ist ein wichtiges Konzept in der analytischen Geometrie. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind, das heißt, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Merke: Parallele Ebenen haben den gleichen Normalenvektor bisaufskalareVielfachebis auf skalare Vielfache und einen konstanten Abstand zueinander.

Bei der Berechnung des Abstands zwischen parallelen Ebenen kann die Formel d = |b₁-b₂| / |n| verwendet werden, wobei b₁ und b₂ die konstanten Terme der Ebenengleichungen sind und n der Normalenvektor einer der Ebenen ist. Diese Vektorgeometrie Übungen sind besonders relevant für Mathe Klasse 11 und 12.

Beispiel: Für die parallelen Ebenen E: 2x₁-4x₂-x₃=5 und F: 2x₁-4x₂-x₃=7 beträgt der Abstand: d = |5-7| / √22+(42²+(-4²+1-1²) = 2/√21 ≈ 0,436

Die Beherrschung dieser Konzepte ist essentiell für das Verständnis der räumlichen Geometrie und findet häufig Anwendung in Analytische Geometrie Aufgaben im Abitur.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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