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Vektorrechnung

Vektorrechnung

 Vektoren
Punkte und Figuren im Raum
in einem räumlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P
durch seine 3 Koordinaten P4, P2. und P3 eindeu
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Rechnen mit Vektoren: - Punkte und Figuren im Raum - Rechnen mit Vektoren - Geraden im Raum - Gegenseitige Lage von Geraden - Schnitt von Geraden

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Vektoren Punkte und Figuren im Raum in einem räumlichen Koordinatensystem ist jeder Punkt P durch seine 3 Koordinaten P4, P2. und P3 eindeutig fest- gelegt und wird in der Form P(PA) P21P3) angegeben. Mittelpunkt: M 1:02월02 | 93103) (9:116) 2 Abstand zweier Punkte: d = Vektoren Ein vektor V (3) v2 beschreibt die verschiebung im Raum. chreit zu zweigegebenen Punkten A(a1192193) und B (011.02/03) verschiebt sich der vektor AB = den Punkt B.. 161-a1 62-92 den Punkt A auf Unter dem Betrag des vektors versteht man die Länge eines zugehörigen Pfeils.. Es gill1 : 1 | = |(~2²) = √ √² + √² + V3. gilt:||= Es ist AB Parallali illől ven Strecken nachweisen A(11213), B(31-21)C(2.251-1.317) D(0.2512.71.9) /2.25 10 - (-2: 1) (-2) a (²3 - 2 + )-(3) -2-2 und -4 1-3/ 7-9. Addition: ab Rechnen mit Vektoren /^ + (-2) 2+3. 3 + 5 (b₁-a₁)² + (02-92)² + (63-93) ². 3. (13) Subtraktion: a b = /2. C 2 + 3 5 13.11 3.2 3.3 b393/. . = ·(): () () (A) 3. 3 5 Multiplikation mit einer reellen zahl: 3:0 3₁ 5. 8. 7 → Vektor 3 a ist ein Vielfaches vom vektor a 1 }. ( D D D S → Lage vong und i Da die Geraden hund g identisch sind, sind auch die Geraden hundi zueinander parallel und verschieden. Schnitt von Geraden Die Geraden g 7-(2) und n * = (-2) + (1) 3 nicht zueinander parallel, da ihre Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind. Deshalb haben gunaheinen Schnittpunkt oder sie sind zueinander windschief. tr Wenn man überprüfen möchte, ob sich die Geraden in einer Punkt Schneiden oder zueinander windschief sind, setzt man die rechten Seiten...

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der Geradengleichung gleich: 3. -2 + + 13 Wenn es zahlen rundt gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist, dann schneiden sich die Geraden. Wenn es keine zahlen rundt gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist, sind die Geraden zueinander windschief. 1. + 2r .1.+ 3r. .2 tr = 1++. 3 = 3 V Š tr = 1 + + →7 + = 2r =-2 +3 + → r = 1 + 1 -> += 2₁ r = 1₁ Man berechnet die koordinaten des Schnittpunkts S, indem man r = 1 in die Gleichung fürg oder 1=2 in die Gleichung für heinsetzt. $(31413) Besitzł die Gleichung keine Lösung, Sind sie zueinander windschief.. 3 4. 3. bzw. S (-3) +2 nein sind 3. 4. Sind die Richtungsvektoren und Vielfache voneinander? ✓ja nein Liegt der Punkt P mit dem Ortsfaktor Pauf der Geradenn? ✓ja Hat die Gleichung Ptr.u=a+sv eine Lösung? ja 3 Die Geraden g und h sind Die Geraden gund h Die Geraden gund zueinanderparailei und Schneiden sich identisch sind zueinander parallel und ver- Schieden Punktprobe durchführen A (41512) Gerade g: X=(1) ++ (@)-(1) 5 1+3+ 4 1+14=5 0₁ +1 (-2)=2 Der Punkt I liegt nicht auf der Geraden.. Gegenseitige Lage von Geraden ·9 = P +· und h: x 9 und him Raum mit sind die beiden Geraden = a + s. V Wenn die Richtungsvektoren und vielfache voneinander Sind, dann sind die Geraden gunah zueinander parallel, dh. entweder parallel und identisch oder parallel und ver- schieden. Wenn die Geraden zueinander parallel und identisch sind, dann liegt der Geradenpunkt P auch aufh. Wenn die Geraden zueinander parallel und verschieden sind, dann liegt der Geradenpunkt P von g nicht auf h.. 9.: 7 →+= (in zweite und dritte zeile einsetzen) wahre Aussage falsche Aussage Die Richtungsvektoren von hund i sind vielfache des Richtungsvektoren von g, denn es ist: = +. S. + S Z + S (1) (2) (3) (2) (3) 5 (3) 12 h: x + 5 (2) = ² · (-²1) (-3) = -³ (1) 2 und 3 Lage von gund h (3) ++ mit. 2 L = 2. 5. =) Parallel und identisch. Lage von gundi -2+2+ = 1 - + = 1.5 += 115 in 2. zeile: -1 + 1.5-2=2 t=1.5 in 3. Zeile: 11 + 1, 5 (-4) = 5.V. (3) + + (²8) -(2): 4 ² 9 * (-3 - 2 ++ 5 + = 3=2 =) parallel Zeile: = 1 - Parallel und verschieden. 3 →? + 11 w/N ) > Der vektor (-4) --- (1) - Gegenvektor von 7 Der Vektor (8) heißt Nullvektor. berechnen und 2. a 3. b Linearkombinationen 5 * = (2) 5 - (-9) 2. 15 29 ► ² (3) ³(-) (1) (3) (3) + = + 12 8 -2 9 Drei Punkte zu einem Parallelogramm ergänzen A (1111-2) B (2151-1), C (-21610) 2-2 d a + BC 3 = ₁ B² (4) · (~ ² : ³) (4) (-2) = (2²) 0 (3121-4) 2. 0- (-1)) Geraden im Raum Parametergleichung einer Geraden Gegeben sind ein Punkt Pund ein Vektor uto eine Eine Gleichung der Torm g: x=₁+₁+ER beschreibt eine Gerade durch den Punkt P mit dem Richtung Svektoru. Der Vektor Parameter.. heißt Stützvektor, die reelle zahlt nennt man Möglichkeiten, Gleichungen zu beschreiben: 1. Man ersetzt den Richtungsvektor durch ein Vielfaches 31 des Richtungsvektors: 9: (3) Geradengleichung bestimmen P (21413). Q (31612) - 9₁³ X = P² + + · PQ = ( ²₁ ) I 2. Manersetzt den Stützvektor durch den Ortsvektor eines anderen Geraderpunktes.g: = ({}) 9 ·9 X = P ++·3. P.Q. = 4 18 42/ t 4 9 PQ (2) 9: X = 11 pa (0)*(3) 6 14 **()**(3) 2 = 2. G

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