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vollständige Funktionsuntersuchung und alles zur Ableitungsfunktion und dem Ableitungsbegriff

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 Klausurvorbereitung
↳ Jasper Zimmerting
Ableitungsfunktion bestimmen
ZEICHNERISCH:
RECHNERISCH:
= nx
n-1
Differenzen quotient:
AY
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Klausurvorbereitung ↳ Jasper Zimmerting Ableitungsfunktion bestimmen ZEICHNERISCH: RECHNERISCH: = nx n-1 Differenzen quotient: AY +- ៗ។ -2 5. 1+ 4 X X 6 m= Ableitungsregeln POTENZREGEL: f(x)=x² f'(x)=n. n.x Anderungsraten: mittlere und lokale Anderungsrate (Differenzen- und Differentialquotient) / Steigungs- und Ableitungsbegriff ABLEITUNG EINE KONSTANTEN: f(x)=( f'(x) = 0 FAKTORREGEL: fax)=c. g(x) ALLGEMEINE UMFORM-TABELLE: slx clx 5-0 3-0 J X A=x²² S x+= ²√x² f'(x) = c. g'(x) SUMMENREGEL: f(x)= g(x) +h(x) ➜ f'(x) = g'(x) +h'(x) f(x₂)-f(x₂) Der durchschnittliche Х2 -Ха Anstieg (m) beträgt zwischen x=0 und x=3 $1,6. (x₁1 f(x₂)) Differenzial quotient: f(x)=x² 1. (x₂|f(x₂)) 3 4 Das Steigungsproblem Welche Steigung hat die Funktion f an der Stelle xo? An welcher Stelle xo hat die Funktion f die vorgegebene Steigung m? Das Steigungswinkelproblem Wie groß ist der Steigungswinkel a einer Funktion f an der Stelle xo? Das Extremalproblem Wo liegen die Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion f? Anwendung des Ableitungsbegriffs Das Tangentenproblem Wie lautet die Gleichung der Tangente der Funktion f an der Stelle xo? Das Schnittwinkelproblem Wie groß ist der Schnittwinkel y der Funktionen f und g? 5 Das Berührproblem Welche Bedingungen müssen gelten, damit sich zwei Funktionen f und g an der Stelle xo berühren? Wie berechnent man die Lage des Berühr- punktes? 6 n = f'(x₁) X XE Xo XE Xo Xo a Tangente m m = f'(xo) g میرا f'(x) = 2x m = 2.2 m = 4 tan α = f'(x) α = arc tan f'(x) f'(x) = 0 t(x) = mx + n m = f'(x) y =la - Bl oder Y= 180°-la-Bl f(x) = g(x) f'(x) = g'(x) Beslimme die Gleichung der Tangente an der Stelle x₁=1 f(x)=x²3x²+2,25x f'(x) = 3x²+ 6x +2,25 m = 3x² +6x +2,25 m 11,25 11,25+ n= 1² +3.1² +2,25 MX-5 f6)-11,15 x-5 f(x) = mx +n Ableitung = Austieg (m) m+n=f(x) Vollständige Funktionsuntersuchung DEFINITIONS- UND WERTEBEREICH: D₁ :R; W₁...

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R ABLEITUNGEN: Bsp: f(x)= ax³ + bx² +ex +d f'(x)=30x² +2bx+c {"(x)=box + 26 f(x)=6₂ SYMMETRIE: Punktsymmetrie | Achsensymmetrie | keine Symmetrie verschiedene Expo. Exponenten ungerade Expo. gerade Expo. matematische -f(x) = f(-x) f(x) = f(-x) Formulierung ↳ durch mathem. Formulierung nachweisen! VERHALTEN IM UNENDLICHEN: Lim f(x) x → = ∞ ↳ B. S. 105 ff. Einsetzen! Lim f(x) X→→ Wohin strebt x? NULLSTELLEN/SCHNITTPUNKT MIT DER Y-ACHSE: f(x) = 0 42 x umstellen, pag-Formel, Polinom division... es entstehen unterschiedlich viele NS maximal so viel Sx, (x, 10); Sx₂ (x₂10); ... für den yawert Sy (0 If(0)) MONOTONIE: Bsp: x₂ = 2; x ₂ = 4 f'(x) = 0 ↳x-Werte umstellen (unterschiedlich viele) EXTREMPUNKTE: to beliebigen Wert unter 2 in f'(x) einsetzen 42 beliebigem Wert zwischen 2 and 6 in f'(x) einsetzen ↳ beliebigen Wert Wher & in in f'(x) einsetzen 14188 WENDEPUNKTE: f'(x) = 0 Lum EP'; 24 errechnen ↳ alle LI's in 2. Ableitung {"(2) < 0 => Lokaler Hochpunkt f"(4) >0 => Lokaler Tiefpunkt f"(x) = 0 f"(x) #0 0 in f(x) eingesetzt werden 1. Ansatz für die Gleichung von f f(x) = ax2+bx+c all erster Exponent hoch Rekonstruktion von Funktionen {²(1) > 0 => x≤29 (3) ·(3) < 0 ⇒ 2<x<3 f'(5) x>3 (5) > 0 GRAPH ZEICHNEN: vorter ermittelte Werte in Koordinateus. eintragen... RAR (1) Ansatz für die Funktionsgleichung f(x) = x³ + bx²+cx+d X 2. Eigenschaften von f (1) Nullstelle bei x = 4 (2) Extremum bei x = 2 (3) Geht durch P(3|-1,5) 3. Aufstellen eines Gleichungssystems (1) f(4)=0 ⇒ I 16a+4b+c=0 (2) f'(2)=0 ⇒ II 4a + b =0 (3) f(3) = -1,5 ⇒ III 9a+3b+c= -1,5 4. Lösung des Gleichungssystems IV=I-III: 7a+b=1,5 V=II-IV: -3a = -1,5 aus V: in IV: in I: a b = -2 c=0 5. Resultat: f(x) = 1/2x² - 2x f(x) = ax³ + bx²+cx+d f'(x) = 3ax² +2bx+c f"(x) = 6ax+2b (2) Eigenschaften der Funktion f 1. Wendepunkt W(0|0,5) (Wendestelle x = 0, Funktionswert y = 0,5) 2. Punkt P(11) 3. Steigung bei x = 1:1 f'(x) = 3x² +2bx+c (5) Resultat (2) Eigenschaften der Funktion f 1. f hat ein Extremum bei x = -1. 2. P(-1/2) liegt auf dem Graphen von f. 3. P(01) liegt auf dem Graphen von f. f(x) = 1 x³ + x + (3) Umsetzen der Eigenschaften in Gleichungen 1. f'(-1) = 0 2. f(-1) =2 3. f(0) = 1 Lösung: (1) Ansatz für die Funktionsgleichung Wir setzen die ganzrationale Funktion dritten Grades unter Verwendung der Parameter a, b, c und d allgemein an. Außerdem notieren wir die Funktionsterme von f' und f", da das Krümmungsverhalten mit im Spiel ist. - (4) Lösen des Gleichungssystems -2b+c= -3 b = 1 b c = 2 ⇒c=-1 d= 1 d = 1 3-2b+c=0 ⇒ −1+b-c+d=2 ⇒ d=1 (5) Resultat f(x)=x³+x²-x+1 (3) Umsetzen der Eigenschaften in Gleichungen 1. f" (0) = 0 f(0) = 0,5 2. f(1) = 1 3. f'(1) 1 = b=0 d = 0,5 (4) Lösen des Gleichungssystems a+c=0,5 ⇒c=0,5-a ⇒ 3a+0,5-a=1 ⇒ 2a=0,5 ⇒ 3a+c=1 a+b+c+d=1 3a+2b+c=1 a = 1/4 c = 1/4 x+0,5 hat die geforderten Eigenschaften, was man leicht überprüfen kann.

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