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Extremstellen und Grenzwerte leicht erklärt: Aufgaben und Beispiele

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Vorzeichenwechsel, Extremstellen mit 2. Ableitung & Grenzwertüberprüfung

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29. Aug. 2021

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Extremstellen und Grenzwerte leicht erklärt: Aufgaben und Beispiele

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Veronika 🦈

@veronikaslernzettel

Die Vorzeichenwechselmethodeist ein wichtiges Werkzeug zur Bestimmung von Extremstellen... Mehr anzeigen

vorzeichenweensel
⇒ um Hoch-, Tief- und Sattelpunkle zu bestimmen
f(x) = 3x² - 2x + 1
f'(x) = 6 x - 2
bspw.
notw. Bed
hinr. Bed.
leinen vzw.

Vorzeichenwechselmethode und Extremstellenbestimmung

Die Vorzeichenwechselmethode ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das zur Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten verwendet wird. Diese Methode ist besonders nützlich für das Extremstellen berechnen ohne 2. Ableitung.

Definition: Ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung einer Funktion deutet auf eine Extremstelle hin.

Bei der Anwendung der Vorzeichenwechselmethode werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Die erste Ableitung der Funktion wird berechnet.
  2. Die Nullstellen der ersten Ableitung werden ermittelt notwendigeBedingungnotwendige Bedingung.
  3. Das Vorzeichen der ersten Ableitung vor und nach den Nullstellen wird untersucht.

Beispiel: Für die Funktion fxx = 3x² - 2x + 1 ist die erste Ableitung f'xx = 6x - 2. Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = 1/3.

Die hinreichende Bedingung für Extremstellen wird durch den Vorzeichenwechsel bestimmt:

  • Ein Wechsel von + nach - deutet auf einen Hochpunkt hin.
  • Ein Wechsel von - nach + deutet auf einen Tiefpunkt hin.
  • Kein Vorzeichenwechsel weist auf einen Sattelpunkt hin.

Highlight: Die Vorzeichenwechselmethode kann auch zur Bestimmung von globalen Extremstellen in einem bestimmten Intervall verwendet werden, indem die Randpunkte des Intervalls zusätzlich untersucht werden.

Für komplexere Funktionen oder zur Überprüfung von Ergebnissen kann ein Extremstellen Rechner hilfreich sein. Zudem gibt es zahlreiche Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen PDF online, die zusätzliche Übungsmöglichkeiten bieten.

Vocabulary:

  • Extremstelle: Punkt, an dem eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum hat.
  • Wendepunkt: Punkt, an dem sich die Krümmung einer Funktion ändert.
  • Sattelpunkt: Punkt, an dem die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum hat, aber die erste Ableitung Null ist.

Die Vorzeichenwechselmethode ist auch nützlich für die Analyse von Grenzwerten von Funktionen. Sie kann helfen, das Verhalten einer Funktion an kritischen Stellen zu verstehen, was besonders bei der Grenzwertanalyse wichtig ist.

Example: Bei der Funktion fxx = x² im Intervall 0,500,50 würde man nicht nur die Nullstellen der ersten Ableitung untersuchen, sondern auch die Funktionswerte an den Intervallgrenzen f00 und f5050 vergleichen, um globale Extrema zu identifizieren.

Abschließend ist zu beachten, dass die Vorzeichenwechselmethode eine effiziente Alternative zur Verwendung der zweiten Ableitung darstellt, insbesondere wenn die Berechnung der zweiten Ableitung komplex oder zeitaufwendig ist. Sie ist ein wichtiges Werkzeug für Studenten und Mathematiker, um Extrempunkte zu berechnen und das Verhalten von Funktionen zu analysieren.


Was macht man bei einer Grenzwertuntersuchung?

Erste und letzte Stelle eines Intervalls untersuchen.

Die zweite Ableitung gleich Null setzen.

Eine Wertetabelle erstellen.

Die Funktion ableiten und integrieren.


Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathe

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Die Vorzeichenwechselmethode ist ein wichtiges Werkzeug zur Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten in der Analysis. Sie ermöglicht die Identifizierung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten ohne die Verwendung der zweiten Ableitung. Diese Methode ist besonders nützlich für Extremstellen berechnen ohne 2.... Mehr anzeigen

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Vorzeichenwechselmethode und Extremstellenbestimmung

Die Vorzeichenwechselmethode ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das zur Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten verwendet wird. Diese Methode ist besonders nützlich für das Extremstellen berechnen ohne 2. Ableitung.

Definition: Ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung einer Funktion deutet auf eine Extremstelle hin.

Bei der Anwendung der Vorzeichenwechselmethode werden folgende Schritte durchgeführt:

  1. Die erste Ableitung der Funktion wird berechnet.
  2. Die Nullstellen der ersten Ableitung werden ermittelt notwendigeBedingungnotwendige Bedingung.
  3. Das Vorzeichen der ersten Ableitung vor und nach den Nullstellen wird untersucht.

Beispiel: Für die Funktion fxx = 3x² - 2x + 1 ist die erste Ableitung f'xx = 6x - 2. Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = 1/3.

Die hinreichende Bedingung für Extremstellen wird durch den Vorzeichenwechsel bestimmt:

  • Ein Wechsel von + nach - deutet auf einen Hochpunkt hin.
  • Ein Wechsel von - nach + deutet auf einen Tiefpunkt hin.
  • Kein Vorzeichenwechsel weist auf einen Sattelpunkt hin.

Highlight: Die Vorzeichenwechselmethode kann auch zur Bestimmung von globalen Extremstellen in einem bestimmten Intervall verwendet werden, indem die Randpunkte des Intervalls zusätzlich untersucht werden.

Für komplexere Funktionen oder zur Überprüfung von Ergebnissen kann ein Extremstellen Rechner hilfreich sein. Zudem gibt es zahlreiche Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen PDF online, die zusätzliche Übungsmöglichkeiten bieten.

Vocabulary:

  • Extremstelle: Punkt, an dem eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum hat.
  • Wendepunkt: Punkt, an dem sich die Krümmung einer Funktion ändert.
  • Sattelpunkt: Punkt, an dem die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum hat, aber die erste Ableitung Null ist.

Die Vorzeichenwechselmethode ist auch nützlich für die Analyse von Grenzwerten von Funktionen. Sie kann helfen, das Verhalten einer Funktion an kritischen Stellen zu verstehen, was besonders bei der Grenzwertanalyse wichtig ist.

Example: Bei der Funktion fxx = x² im Intervall 0,500,50 würde man nicht nur die Nullstellen der ersten Ableitung untersuchen, sondern auch die Funktionswerte an den Intervallgrenzen f00 und f5050 vergleichen, um globale Extrema zu identifizieren.

Abschließend ist zu beachten, dass die Vorzeichenwechselmethode eine effiziente Alternative zur Verwendung der zweiten Ableitung darstellt, insbesondere wenn die Berechnung der zweiten Ableitung komplex oder zeitaufwendig ist. Sie ist ein wichtiges Werkzeug für Studenten und Mathematiker, um Extrempunkte zu berechnen und das Verhalten von Funktionen zu analysieren.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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