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Erwartungswert und Standardabweichung: Formeln und Aufgaben | Wahrscheinlichkeitsrechnung & Baumdiagramm Übungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Erwartungswert und Standardabweichung: Formeln und Aufgaben | Wahrscheinlichkeitsrechnung & Baumdiagramm Übungen

Zeze

@zeze1009

504 Follower

Die Erwartungswert und Standardabweichung Formel wird anhand von Würfelexperimenten und Urnenziehungen erklärt. Zentrale Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie Baumdiagramme, Verteilungstabellen und graphische Darstellungen werden erläutert. Der Fokus liegt auf der Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung für verschiedene Zufallsgrößen.

• Das Dokument behandelt grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.
• Es werden praktische Beispiele wie Würfelwürfe und Kugelziehungen verwendet.
• Formeln und Definitionen für Erwartungswert und Standardabweichung werden präsentiert.
• Verschiedene Darstellungsmethoden wie Baumdiagramme und Verteilungsdiagramme werden erklärt.

22.11.2021

1583

S.102 12
2. Aus der nebenstehenden Urne wird dreimal mit Zurücklegen eine Kugel
gezogen. X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
a) Wel

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Seite 2: Erwartungswert und Standardabweichung bei Würfelexperimenten

Diese Seite vertieft das Konzept des Erwartungswertes und führt die Standardabweichung ein. Anhand von zwei verschiedenen Würfeln werden Berechnungen durchgeführt und verglichen.

Definition: Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X wird als σ(X) = √[(x₁ - μ)² · P(X = x₁) + ... + (xm - μ)² · P(X = xm)] definiert, wobei μ der Erwartungswert ist.

Highlight: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X und hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst.

Beispiel: Für einen Würfel mit ungleichmäßiger Verteilung (Würfel A) wird ein Erwartungswert von etwa 2,83 und eine Standardabweichung von etwa 1,71 berechnet. Im Vergleich dazu hat ein regulärer Würfel (Würfel B) einen Erwartungswert von 3,5.

Vocabulary: Zufallsgröße - Eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängt und durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird.

Die Seite demonstriert, wie sich unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den Erwartungswert und die Standardabweichung auswirken. Dies ist besonders nützlich für das Verständnis von Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen in verschiedenen praktischen Anwendungen.

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Seite 1: Einführung in Zufallsgrößen und Erwartungswert

Diese Seite führt in die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, indem sie ein Experiment mit einer Urne und Kugelziehungen vorstellt. Es wird gezeigt, wie man ein Baumdiagramm erstellt und daraus eine Verteilungstabelle ableitet. Die Berechnung des Erwartungswertes wird anhand dieses Beispiels demonstriert.

Definition: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist das gewichtete arithmetische Mittel der Elemente xi der Wertemenge von X. Als Gewicht von xi dient die Wahrscheinlichkeit P(X = xi), mit der xi eintritt.

Formel: μ = E(X) = x₁ · P(X = x₁) + ... + xm · P(X = xm)

Beispiel: Bei einem Urnenexperiment mit roten und grünen Kugeln wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ziehen roter Kugeln berechnet. Die Werte für X (Anzahl der gezogenen roten Kugeln) reichen von 0 bis 3, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Highlight: Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung veranschaulicht die Verteilung der Ergebnisse und erleichtert das Verständnis der Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ausgänge.

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Seite 2: Erwartungswert und Standardabweichung bei Würfelexperimenten

Diese Seite vertieft das Konzept des Erwartungswertes und führt die Standardabweichung ein. Anhand von zwei verschiedenen Würfeln werden Berechnungen durchgeführt und verglichen.

Definition: Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X wird als σ(X) = √[(x₁ - μ)² · P(X = x₁) + ... + (xm - μ)² · P(X = xm)] definiert, wobei μ der Erwartungswert ist.

Highlight: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X und hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst.

Beispiel: Für einen Würfel mit ungleichmäßiger Verteilung (Würfel A) wird ein Erwartungswert von etwa 2,83 und eine Standardabweichung von etwa 1,71 berechnet. Im Vergleich dazu hat ein regulärer Würfel (Würfel B) einen Erwartungswert von 3,5.

Vocabulary: Zufallsgröße - Eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängt und durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird.

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Seite 1: Einführung in Zufallsgrößen und Erwartungswert

Definition: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist das gewichtete arithmetische Mittel der Elemente xi der Wertemenge von X. Als Gewicht von xi dient die Wahrscheinlichkeit P(X = xi), mit der xi eintritt.

Formel: μ = E(X) = x₁ · P(X = x₁) + ... + xm · P(X = xm)

Beispiel: Bei einem Urnenexperiment mit roten und grünen Kugeln wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ziehen roter Kugeln berechnet. Die Werte für X (Anzahl der gezogenen roten Kugeln) reichen von 0 bis 3, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

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