Mathe /

Zentrale Klausur EF Mathe

Zentrale Klausur EF Mathe

user profile picture

duygukuebra

124 Followers
 

Mathe

 

11/10

Klausur

Zentrale Klausur EF Mathe

 0411
Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2019
Mathematik
 0411
Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2019
Mathematik
 0411
Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2019
Mathematik

Kommentare (4)

Teilen

Speichern

226

Zentrale Klausur aus dem Jahr 2019 mit Lösungen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung (1) Berechnen Sie f'(1). ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 f(x)=-x³ +0,5.x² -2.x, XER. (3 Punkte) (2) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(1|ƒ(1)). (3 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: Bei einem Spiel wird das Glücksrad aus der Abbildung zweimal gedreht. Der Einsatz für das zweimalige Drehen beträgt 1 €. Erscheint zweimal das schwarze Feld, so bekommt man den Einsatz zurück und weitere 4€ ausgezahlt. Erscheint zweimal ein weißes Feld, so wird nur der Ein- satz zurückgezahlt. Andernfalls verliert man den Einsatz. Gewinn/ Verlust (1) Geben Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des folgenden Baumdia- grammes an. Geben Sie die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdiagramm an. To Hinweis: W ….....……………. W 3 …........... W - 1€ ......…….... Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 S Nur für den Dienstgebrauch! ▼ Abbildung (3 Punkte) (2) Ein Spiel ist „fair“, wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist. ......………….. (3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik 13 Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 3 65 f(x)= ·x³ +· ..X + XER. 1 16 16 Der...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 6 5 ♡ 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 -1 -2 -3 -4 f(x) Abbildung . N ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 Nur für den Dienstgebrauch! 22 ostx 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 an. a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse b) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. c) Die Sekante s verläuft durch den Tiefpunkt T| −2|- 49 16 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2 Punkte) (7 Punkte) 81 16 und den Hochpunkt H|2| des Graphen von f. (1) Zeichnen Sie die Sekante s in die Abbildung ein und bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von s. (2) Im Bereich von x = - -2 bis x=2 gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Gra- phen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s. Geben Sie eine solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rech- nung. Nur für den Dienstgebrauch! (A) Der Graph von g steigt im gesamten Bereich von x = -4 bis x = = 0. (B) Der Graph von g besitzt an der Stelle x = 5 einen lokalen Hochpunkt. d) Der Graph von wird so in Richtung der y-Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an. (3 + 3 Punkte) e) Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion g. Entscheiden Sie begründet, z. B. mithilfe des Graphen von f, für jede der beiden folgenden Aussagen (A) und (B), ob sie wahr oder falsch ist. (3 Punkte) (3 + 3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den erfolgreichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeister- titel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im 100 m-Lauf gewonnen. In dieser Aufgabe wird eine 70m lange Teilstrecke seines Finallau- fes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwin- digkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion v mit v(x) = -0,0061. x4 +0,1475.x³ −1,348 x² +5,65.x+2,6, x € IR, modelliert. 12 10 8 Dabei ist x die zurückgelegte Strecke in der Einheit 10m (d. h. x=2 entspricht 20m, x=3 entspricht 30 m usw.). v(x) ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in m/s. 6 Für 2 ≤ x ≤9 beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der 20 m-Markierung bis zur 90 m-Markierung. Der Graph von v ist in der Abbildung 2 dargestellt. v(x) 4 13 0 1 Abbildung 1 CC0 1.0 2 3 5 Abbildung 2 4 6 7 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 USA 915 V Nur für den Dienstgebrauch! Abbildung 1 6 8 9 10 X. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion v modellierte Momen- tangeschwindigkeit. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 a) Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis an der 50 m-Markierung auf zwei Nachkommastellen genau. [Zur Kontrolle: Der auf eine Nachkommastelle gerundete Wert beträgt 11,8 m/s.] b) Carl Lewis hat seine maximale Geschwindigkeit in dem Finallauf zwischen der 20 m- Markierung und der 90 m-Markierung erreicht. Bestimmen Sie rechnerisch diese maximale Geschwindigkeit. (9 Punkte) c) (1) Carl Lewis hat in seinem Finallauf für die 100m-Strecke vom Start bis zum Ziel 9,86 s benötigt. Weisen Sie nach, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit bei diesem Lauf ca. 10,14m/s betragen hat. d) In der nebenstehenden Abbil- dung 3 sehen Sie das Zeit-Weg- Diagramm einer Bewegung. Die t-Werte geben die Zeit in Se- kunden und die y-Werte die in dieser Zeit zurückgelegte Stre- cke in m an. (2) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion v, nach welcher zurückgelegten Strecke die Mo- mentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsge- schwindigkeit gewesen ist. Zusätzlich ist die Tangente an den Graphen an der Stelle t = 8 dargestellt. (1) Bestimmen Sie näherungs- weise die Steigung dieser Tangente. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y: zurückgelegte Strecke in Metern 2 Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 3 4 (2 Punkte) 5 6 Abbildung 3 (2 + 3 Punkte) 8 2 10 t: Zeit in Sekunden 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: ● 13 (2) Entscheiden Sie begründet, ob es sich bei dem Diagramm aus Abbildung 3 um das Zeit-Weg-Diagramm des Finallaufes von Carl Lewis handeln kann. e) Die Funktion v soll zu einer Funktion Veu transformiert werden, so dass eine Strecke von 20 Metern nicht mehr durch x=2, sondern durch x=20, eine Strecke von 30 Metern nicht durch x= 3, sondern durch x= 30 usw. festgelegt wird. Veu (x) ist wieder die zu- gehörige Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis in m/s. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 (1) Geben Sie an, durch welche Transformation der Graph der Funktion v in den Graphen der Funktion v₁ überführt wird. neu (A) v (x)=10.v(x) neu (C) Vy(x)=v(0,1-x) (2) Die Funktion ve wird durch eine der folgenden Gleichungen beschrieben. neu Geben Sie an, welche der Gleichungen die Funktion v beschreibt. neu (B) Vneu (x)= v(10.x) (D) V (x)=v(x-10) neu neu (2 + 2 Punkte) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) Nur für den Dienstgebrauch! (2 + 2 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Prüfungsteil Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Analysis Aufgabe 2: Stochastik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) 2. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgaben 3. Materialgrundlage entfällt 1 ZK M HT Seite 1 von 14 ¹ Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) Mehrstufige Zufallsexperimente • Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen ZK M HT Seite 2 von 14 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung"). Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung: (1) f'(x)=-3-x²+x-2. f'(1) -3.1² +1-2=-4. (2) Ansatz: t:y=-4.x+b. (1) Aufgabe 2: Modelllösung f(1) = -1³ +0,5-1²-2.1= -2,5. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(1|−2,5) liefert: -2,5=-4.1+b⇒b=1,5. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -4.x+1,5. Gewinn/ Verlust NIM W 419 0 € O W 2/3 13 S 29 - 1€ ......………... NI3 W 219 - 1€ ......…….... 13 Nur für den Dienstgebrauch! S ZK M HT Seite 3 von 14 1 3 S 4€ ….......….... (2) Erwartungswert für den Gewinn/Verlust: 2 41 · 0€ + ( ² + ² ) · (-1€) + 1¹.4 € = 0€. Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust, das Spiel ist also fair. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Modelllösung a) Der Graph der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt Modelllösung b) 3 3 f'(x) = - ·x²² + 16 Modelllösung c) Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen x = -2 und x = 2. (1) 3 Da zusätzlich f'(−3) 15 <0, f'(0)= ·>0 und f'(3)= <0 gilt, liegt sowohl an der 15 16 16 4 Stelle x=2 als auch an der Stelle x=2 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f' vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion f. 9 G + 3 ↓ -1 ↑f(x) 9 8 7 6 5 3 2 1 O O -1 -2 -3 -4 == 2 B Für die Steigung m, der Sekante s gilt: m 81 49 16 16 2-(-2) Nur für den Dienstgebrauch! S 65 16 X ZK M HT Seite 4 von 14 == 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 (2) x=0 ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als 3 1 die Sekante s, da gilt: f'(0) = ->-. 4 2 Modelllösung d) 49 Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von fum 16 Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von fum 81 16 ZK M HT Seite 5 von 14 Einheiten nach unten. Einheiten nach unten. Modelllösung e) Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von f positiv. Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle x=5 ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f vorliegt. [Hinweis: Die Tatsache, dass die Stelle x=5 eine Nullstelle von f ist, darf der Abbildung oh- ne weiteren Nachweis entnommen werden.] Aufgabe 4: Modelllösung a) 471 v(5)= 11,78. 40 Nach 50 m hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. 11,78 m/s betragen. Modelllösung b) v'(x)=−0,0244 ·x³ +0,4425 x² −2,696.x+5,65. Aus der notwendigen Bedingung v'(x)=0 für lokale Extremstellen ergibt sich die Lösung x₁ mit x₁ = 7,64. Zusätzlich gilt v'(0) = 5,65>0 und v'(10) = -1,46 <0. Daher liegt an der Stelle x₁ ein Vor- zeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v' und damit ein lokales Maximum von v vor. Wegen v(2) ≈ 9,59, v(x₁)≈ 12,08 und v(9)≈11,77 liegt bei x₁ auch das absolute Maximum von v im Intervall [2;9] vor. Nach ca. 76 m hat Carl Lewis mit etwa 12 m/s seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Nur für den Dienstgebrauch!

Mathe /

Zentrale Klausur EF Mathe

Zentrale Klausur EF Mathe

user profile picture

duygukuebra

124 Followers
 

Mathe

 

11/10

Klausur

Zentrale Klausur EF Mathe

Dieser Inhalt ist nur in der Knowunity App verfügbar.

 0411
Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2019
Mathematik

App öffnen

Teilen

Speichern

226

Kommentare (4)

A

Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

Zentrale Klausur aus dem Jahr 2019 mit Lösungen

Ähnliche Knows

7

Potenzfunktionen

Know Potenzfunktionen thumbnail

13

 

10

19

Mathe Abitur 2022

Know Mathe Abitur 2022 thumbnail

445

 

12

4

Extremwertprobleme

Know Extremwertprobleme  thumbnail

357

 

11/12/13

Integralrechnung

Know Integralrechnung thumbnail

310

 

11/12/13

Mehr

0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung (1) Berechnen Sie f'(1). ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 f(x)=-x³ +0,5.x² -2.x, XER. (3 Punkte) (2) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(1|ƒ(1)). (3 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: Bei einem Spiel wird das Glücksrad aus der Abbildung zweimal gedreht. Der Einsatz für das zweimalige Drehen beträgt 1 €. Erscheint zweimal das schwarze Feld, so bekommt man den Einsatz zurück und weitere 4€ ausgezahlt. Erscheint zweimal ein weißes Feld, so wird nur der Ein- satz zurückgezahlt. Andernfalls verliert man den Einsatz. Gewinn/ Verlust (1) Geben Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des folgenden Baumdia- grammes an. Geben Sie die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdiagramm an. To Hinweis: W ….....……………. W 3 …........... W - 1€ ......…….... Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 S Nur für den Dienstgebrauch! ▼ Abbildung (3 Punkte) (2) Ein Spiel ist „fair“, wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist. ......………….. (3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik 13 Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 3 65 f(x)= ·x³ +· ..X + XER. 1 16 16 Der...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich Einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 6 5 ♡ 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 -1 -2 -3 -4 f(x) Abbildung . N ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 Nur für den Dienstgebrauch! 22 ostx 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 an. a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse b) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. c) Die Sekante s verläuft durch den Tiefpunkt T| −2|- 49 16 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2 Punkte) (7 Punkte) 81 16 und den Hochpunkt H|2| des Graphen von f. (1) Zeichnen Sie die Sekante s in die Abbildung ein und bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von s. (2) Im Bereich von x = - -2 bis x=2 gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Gra- phen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s. Geben Sie eine solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rech- nung. Nur für den Dienstgebrauch! (A) Der Graph von g steigt im gesamten Bereich von x = -4 bis x = = 0. (B) Der Graph von g besitzt an der Stelle x = 5 einen lokalen Hochpunkt. d) Der Graph von wird so in Richtung der y-Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an. (3 + 3 Punkte) e) Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion g. Entscheiden Sie begründet, z. B. mithilfe des Graphen von f, für jede der beiden folgenden Aussagen (A) und (B), ob sie wahr oder falsch ist. (3 Punkte) (3 + 3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den erfolgreichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeister- titel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im 100 m-Lauf gewonnen. In dieser Aufgabe wird eine 70m lange Teilstrecke seines Finallau- fes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwin- digkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion v mit v(x) = -0,0061. x4 +0,1475.x³ −1,348 x² +5,65.x+2,6, x € IR, modelliert. 12 10 8 Dabei ist x die zurückgelegte Strecke in der Einheit 10m (d. h. x=2 entspricht 20m, x=3 entspricht 30 m usw.). v(x) ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in m/s. 6 Für 2 ≤ x ≤9 beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der 20 m-Markierung bis zur 90 m-Markierung. Der Graph von v ist in der Abbildung 2 dargestellt. v(x) 4 13 0 1 Abbildung 1 CC0 1.0 2 3 5 Abbildung 2 4 6 7 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 USA 915 V Nur für den Dienstgebrauch! Abbildung 1 6 8 9 10 X. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion v modellierte Momen- tangeschwindigkeit. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 a) Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis an der 50 m-Markierung auf zwei Nachkommastellen genau. [Zur Kontrolle: Der auf eine Nachkommastelle gerundete Wert beträgt 11,8 m/s.] b) Carl Lewis hat seine maximale Geschwindigkeit in dem Finallauf zwischen der 20 m- Markierung und der 90 m-Markierung erreicht. Bestimmen Sie rechnerisch diese maximale Geschwindigkeit. (9 Punkte) c) (1) Carl Lewis hat in seinem Finallauf für die 100m-Strecke vom Start bis zum Ziel 9,86 s benötigt. Weisen Sie nach, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit bei diesem Lauf ca. 10,14m/s betragen hat. d) In der nebenstehenden Abbil- dung 3 sehen Sie das Zeit-Weg- Diagramm einer Bewegung. Die t-Werte geben die Zeit in Se- kunden und die y-Werte die in dieser Zeit zurückgelegte Stre- cke in m an. (2) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion v, nach welcher zurückgelegten Strecke die Mo- mentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsge- schwindigkeit gewesen ist. Zusätzlich ist die Tangente an den Graphen an der Stelle t = 8 dargestellt. (1) Bestimmen Sie näherungs- weise die Steigung dieser Tangente. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y: zurückgelegte Strecke in Metern 2 Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 3 4 (2 Punkte) 5 6 Abbildung 3 (2 + 3 Punkte) 8 2 10 t: Zeit in Sekunden 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: ● 13 (2) Entscheiden Sie begründet, ob es sich bei dem Diagramm aus Abbildung 3 um das Zeit-Weg-Diagramm des Finallaufes von Carl Lewis handeln kann. e) Die Funktion v soll zu einer Funktion Veu transformiert werden, so dass eine Strecke von 20 Metern nicht mehr durch x=2, sondern durch x=20, eine Strecke von 30 Metern nicht durch x= 3, sondern durch x= 30 usw. festgelegt wird. Veu (x) ist wieder die zu- gehörige Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis in m/s. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 (1) Geben Sie an, durch welche Transformation der Graph der Funktion v in den Graphen der Funktion v₁ überführt wird. neu (A) v (x)=10.v(x) neu (C) Vy(x)=v(0,1-x) (2) Die Funktion ve wird durch eine der folgenden Gleichungen beschrieben. neu Geben Sie an, welche der Gleichungen die Funktion v beschreibt. neu (B) Vneu (x)= v(10.x) (D) V (x)=v(x-10) neu neu (2 + 2 Punkte) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) Nur für den Dienstgebrauch! (2 + 2 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Prüfungsteil Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Analysis Aufgabe 2: Stochastik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) 2. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgaben 3. Materialgrundlage entfällt 1 ZK M HT Seite 1 von 14 ¹ Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) Mehrstufige Zufallsexperimente • Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen ZK M HT Seite 2 von 14 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung"). Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung: (1) f'(x)=-3-x²+x-2. f'(1) -3.1² +1-2=-4. (2) Ansatz: t:y=-4.x+b. (1) Aufgabe 2: Modelllösung f(1) = -1³ +0,5-1²-2.1= -2,5. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(1|−2,5) liefert: -2,5=-4.1+b⇒b=1,5. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -4.x+1,5. Gewinn/ Verlust NIM W 419 0 € O W 2/3 13 S 29 - 1€ ......………... NI3 W 219 - 1€ ......…….... 13 Nur für den Dienstgebrauch! S ZK M HT Seite 3 von 14 1 3 S 4€ ….......….... (2) Erwartungswert für den Gewinn/Verlust: 2 41 · 0€ + ( ² + ² ) · (-1€) + 1¹.4 € = 0€. Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust, das Spiel ist also fair. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Modelllösung a) Der Graph der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt Modelllösung b) 3 3 f'(x) = - ·x²² + 16 Modelllösung c) Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen x = -2 und x = 2. (1) 3 Da zusätzlich f'(−3) 15 <0, f'(0)= ·>0 und f'(3)= <0 gilt, liegt sowohl an der 15 16 16 4 Stelle x=2 als auch an der Stelle x=2 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f' vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion f. 9 G + 3 ↓ -1 ↑f(x) 9 8 7 6 5 3 2 1 O O -1 -2 -3 -4 == 2 B Für die Steigung m, der Sekante s gilt: m 81 49 16 16 2-(-2) Nur für den Dienstgebrauch! S 65 16 X ZK M HT Seite 4 von 14 == 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 (2) x=0 ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als 3 1 die Sekante s, da gilt: f'(0) = ->-. 4 2 Modelllösung d) 49 Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von fum 16 Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von fum 81 16 ZK M HT Seite 5 von 14 Einheiten nach unten. Einheiten nach unten. Modelllösung e) Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von f positiv. Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle x=5 ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f vorliegt. [Hinweis: Die Tatsache, dass die Stelle x=5 eine Nullstelle von f ist, darf der Abbildung oh- ne weiteren Nachweis entnommen werden.] Aufgabe 4: Modelllösung a) 471 v(5)= 11,78. 40 Nach 50 m hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. 11,78 m/s betragen. Modelllösung b) v'(x)=−0,0244 ·x³ +0,4425 x² −2,696.x+5,65. Aus der notwendigen Bedingung v'(x)=0 für lokale Extremstellen ergibt sich die Lösung x₁ mit x₁ = 7,64. Zusätzlich gilt v'(0) = 5,65>0 und v'(10) = -1,46 <0. Daher liegt an der Stelle x₁ ein Vor- zeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v' und damit ein lokales Maximum von v vor. Wegen v(2) ≈ 9,59, v(x₁)≈ 12,08 und v(9)≈11,77 liegt bei x₁ auch das absolute Maximum von v im Intervall [2;9] vor. Nach ca. 76 m hat Carl Lewis mit etwa 12 m/s seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Nur für den Dienstgebrauch!