Zentrale Klausur EF Mathe

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weitere 4€ ausgezahlt. 13 Erscheint zweimal ein weißes Feld, so wird nur der Ein- satz zurückgezahlt. ● Andernfalls verliert man den Einsatz. Gewinn/ Verlust (1) Geben Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des folgenden Baumdia- grammes an. Geben Sie die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdiagramm an. W Hinweis: W WIN 0 S W - 1€ ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. Abbildung Nur für den Dienstgebrauch! (3 Punkte) (2) Ein Spiel ist ,,fair", wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist. ☐ S (3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 an. a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse b) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2 Punkte) (7 Punkte) 81 und den Hochpunkt H|2|1 16 c) Die Sekante s verläuft durch den Tiefpunkt T-21 49 16 des Graphen von f. (1) Zeichnen Sie die Sekante s in die Abbildung ein und bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von s. (2) Im Bereich von x = -2 bis x=2 gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Gra- phen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s. Geben Sie eine solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rech- nung. Nur für den Dienstgebrauch! (3 + 3 Punkte) d) Der Graph von f wird so in Richtung der y-Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an. (3 Punkte) e) Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion g. Entscheiden Sie begründet, z. B. mithilfe des Graphen von f, für jede der beiden folgenden Aussagen (A) und (B), ob sie wahr oder falsch ist. (A) Der Graph von g steigt im gesamten Bereich von x = -4 bis x = 0. (B) Der Graph von g besitzt an der Stelle x = 5 einen lokalen Hochpunkt. (3 + 3 Punkte) 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen . Grundverständnis des Ableitungs ffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) • Mehrstufige Zufallsexperimente • Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 14 Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) Mathematische Formelsammlung ● Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile ,,Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung"). Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den erfolgreichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeister- titel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im 100 m-Lauf gewonnen. In dieser Aufgabe wird eine 70m lange Teilstrecke seines Finallau- fes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwin- digkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion v mit v(x) = -0,0061 x4 +0,1475-x³-1,348 x² +5,65-x+2,6, XER, modelliert. 12 10 8 Dabei ist x die zurückgelegte Strecke in der Einheit 10m (d. h. x=2 entspricht 20m, x=3 entspricht 30 m usw.). v(x) ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in m/s. 6 Für 2≤x≤9 beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der 20 m-Markierung bis zur 90 m-Markierung. Der Graph von v ist in der Abbildung 2 dargestellt. v(x) 4 2 0 Ⓡ $29 1 Abbildung 1 CC0 1.0 2 3 5 6 Abbildung 2 4 V 7 8 9 Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion tangeschwindigkeit. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 Nur für den Dienstgebrauch! USA 915 Abbildung 1 10 X₂ modellierte Momen- 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung: (1) f'(x)=-3.x²+x-2. f'(1) -3.1² +1-2=-4. (2) Ansatz: t: y=-4.x+b. Aufgabe 2: (1) f(1) = -1³ +0,5-1²-2.1= -2,5. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(1|-2,5) liefert: -2,5 -4.1+b⇒b=1,5. Damit ist eine Gleichung der Tangente t: y=-4-x+1,5. Modelllösung Gewinn/ Verlust NIM W 4-9 13 0€ W WIN 113 S 6N - 1€ NIM W 2 9 - 1€ ZK M HT Seite 3 von 14 Nur für den Dienstgebrauch! 113 S 4€ (2) Erwartungswert für den Gewinn/Verlust: 4.0€ +(²+²).(-¹€) + 1. |·(-1€) + ¹².4€ =0€. 9 9 9 Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust, das Spiel ist also fair. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 a) Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis an der 50m-Markierung auf zwei Nachkommastellen genau. [Zur Kontrolle: Der auf eine Nachkommastelle gerundete Wert beträgt 11,8 m/s.] b) Carl Lewis hat seine maximale Geschwindigkeit in dem Finallauf zwischen der 20m- Markierung und der 90 m-Markierung erreicht. Bestimmen Sie rechnerisch diese maximale Geschwindigkeit. (9 Punkte) c) (1) Carl Lewis hat in seinem Finallauf für die 100 m-Strecke vom Start bis zum Ziel 9,86s benötigt. Weisen Sie nach, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit bei diesem Lauf ca. 10,14m/s betragen hat. d) In der nebenstehenden Abbil- dung 3 sehen Sie das Zeit-Weg- Diagramm einer Bewegung. Die t-Werte geben die Zeit in Se- kunden und die y-Werte die in dieser Zeit zurückgelegte Stre- cke in m an. (2) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion v, nach welcher zurückgelegten Strecke die Mo- mentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsge- schwindigkeit gewesen ist. Zusätzlich ist die Tangente an den Graphen an der Stelle t = 8 dargestellt. (1) Bestimmen Sie näherungs- weise die Steigung dieser Tangente. 100 H 90 80 70 + 60 50 40 H 30 + 20 10 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 y: zurückgelegte Strecke in Metern Nur für den Dienstgebrauch! (2 Punkte) 4 5 6 Abbildung 3 (2 + 3 Punkte) 9 10 t: Zeit in Sekunden 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Modelllösung a) 65 Der Graph der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt 0 16 Modelllösung b) 3 3 f'(x)= ··x² + 16 4 Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen x = -2 und x = 2. Da zusätzlich f'(-3) = == 15 15 <0, f'(0)=²>0 und ƒ'(3)= <0 gilt, liegt sowohl an der 16 4 16 Stelle x=-2 als auch an der Stelle x=2 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f' vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion f. Modelllösung c) (1) -6 -5 -4 -3 -2 -1 8 7 6 5 13 0 -4 -2 -3 f(x) 2 3 Für die Steigung m, der Sekante s gilt: m₂ = 4 S Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 4 von 14 X 81 49 16 16 1 2-(-2) 2 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 (2) Entscheiden Sie begründet, ob es sich bei dem Diagramm aus Abbildung 3 um das Zeit-Weg-Diagramm des Finallaufes von Carl Lewis handeln kann. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 e) Die Funktion v soll zu einer Funktion veu transformiert werden, so dass eine Strecke von 20 Metern nicht mehr durch x=2, sondern durch x=20, eine Strecke von 30 Metern nicht durch x= 3, sondern durch x= 30 usw. festgelegt wird. Vneu (x) ist wieder die zu- gehörige Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis in m/s. (A) Vneu (x)=10-v(x) (C) Vneu (x)=v(0,1-x) (2 + 2 Punkte) (1) Geben Sie an, durch welche Transformation der Graph der Funktion v in den Graphen der Funktion Vneu überführt wird. (2) Die Funktion v wird durch eine der folgenden Gleichungen beschrieben. neu Geben Sie an, welche der Gleichungen die Funktion V neu beschreibt. (B) V neu ,(x)= v(10-x) (D) V neu (x)=v(x-10) Nur für den Dienstgebrauch! (2 + 2 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) • Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 (2) x = 0 ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als die Sekante s, da gilt: f'(0) = ³ >. 1 42 ZK M HT Seite 5 von 14 Modelllösung d) 49 Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von f um Einheiten nach unten. 16 81 Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von fum Einheiten nach unten. 16 Modelllösung e) Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von f positiv. Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle x = 5 ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f vorliegt. [Hinweis: Die Tatsache, dass die Stelle x = 5 eine Nullstelle von f ist, darf der Abbildung oh- ne weiteren Nachweis entnommen werden.] Aufgabe 4: Modelllösung a) 471 v (5)= 11,78. 40 Nach 50m hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. 11,78 m/s betragen. Modelllösung b) v'(x) = -0,0244 x³ +0,4425 x² −2,696-x+5,65. Aus der notwendigen Bedingung v'(x)=0 für lokale Extremstellen ergibt sich die Lösung x₁ mit x₁ = 7,64. Zusätzlich gilt v'(0) = 5,65>0 und v'(10) = -1,46 <0. Daher liegt an der Stelle x, ein Vor- zeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v' und damit ein lokales Maximum von v vor. Wegen v(2)≈ 9,59, v(x₁)≈ 12,08 und v(9)≈11,77 liegt bei x₁ auch das absolute Maximum von v im Intervall [2;9] vor. Nach ca. 76 m hat Carl Lewis mit etwa 12 m/s seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (1) Modelllösung c) 100 m 9,86s Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Carl Lewis hat ca. 10,14m/s betragen. (2) Die Gleichung v(x)= 10,14 besitzt die Lösungen x₂ und x, mit x₂2,34 und X3 10,39. x3 liegt nicht im Intervall [2;9]. (1) Modelllösung d) Nach ca. 23 m ist die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis genauso groß wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit gewesen. 4 H y: zurückgelegte Strecke 100 in Metern 90 + 80 HE 70 + 60 50 40 ≈10, 14 m/s. 30 20 13 10 6 ZK M HT Seite 6 von 14 8 9 10 t: Zeit in Sekunden Mit dem eingezeichneten Stei- gungsdreieck ergibt sich für die Steigung der Tangente an der Stelle t = 8 ein Wert von un- gefähr 18 [m/s]. (2) Eine mögliche Lösung ist: In der Abbildung 2 kann abgelesen werden, dass die maximale Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis knapp über 12 m/s betragen hat. Somit passt ein Wert von ca. 18 m/s nicht zum Lauf von Carl Lewis. Nur für den Dienstgebrauch! Bei dem Diagramm aus Abbildung 3 kann es sich nicht um das Zeit-Weg-Diagramm des Laufes von Carl Lewis handeln. 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 ZK M HT Seite 7 von 14 Modelllösung e) (1) Der Graph von Veu geht durch eine Streckung mit dem Faktor 10 in x-Richtung aus dem Graphen von v hervor. (2) Richtig ist (C): V neu ,(x)= v(0,1-x). Nur für den Dienstgebrauch! 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 7. Name des Prüflings:_ Schule: 1 2 Aufgabe 1: Analysis (Hilfsmittelfrei zu bearbeitende Aufgabe) Anforderungen Der Prüfling 3 13 Bewertungsbogen zur Klausur (1) gibt f'(x) an. 2 (1) berechnet f'(1). Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) 3 (2) ermittelt eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)). Summe insgesamt Kursbezeichnung: (1) gibt die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des Baumdiagrammes 1 an. (2) untersucht, ob das Spiel fair ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) (1) gibt die die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdia- gramm an. Aufgabe 2: Stochastik (Hilfsmittelfrei zu bearbeitende Aufgabe) Anforderungen Der Prüfling Summe insgesamt ZK M HT Seite 8 von 14 Nur für den Dienstgebrauch! Lösungsqualität erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 1 3 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 1 3 6 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Teilaufgabe a) 1 gibt die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y- Achse an. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) 1 Anforderungen Der Prüfling Teilaufgabe b) 2 Summe Teilaufgabe a) 3 Anforderungen Der Prüfling 13 gibt f'(x) an. bestimmt mit einer notwendigen Bedingung die möglichen lokalen Extremstellen von f. bestimmt rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) Summe Teilaufgabe b) ZK M HT Seite 9 von 14 Nur für den Dienstgebrauch! Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl 2 2 3 7 erreichte Punktzahl 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe c) 1 2 Anforderungen Der Prüfling (2) gibt eine Stelle an, an der die Tangente an den Graphen von f eine größere Stei- gung als die Sekante s besitzt, und begründet seine Angabe mithilfe einer Rech- nung. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) (1) zeichnet die Sekantes in die Abbildung ein und bestimmt rechnerisch die Stei- gung von s. 1 Summe Teilaufgabe c) Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling gibt alle Möglichkeiten einer Verschiebung an, so dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) Summe Teilaufgabe d) Teilaufgabe e) 13 Anforderungen Der Prüfling 1 entscheidet begründet, ob die Aussage (A) wahr oder falsch ist. 2 entscheidet begründet, ob die Aussage (B) wahr oder falsch ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) Summe Teilaufgabe e) Summe insgesamt Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 10 von 14 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 3 3 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 3 3 Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl 3 3 6 24 erreichte Punktzahl 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) Teilaufgabe a) 1 bestimmt die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis an der 50 m-Markierung auf zwei Nachkommastellen genau. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) 1 Anforderungen Der Prüfling Teilaufgabe b) 2 Summe Teilaufgabe a) 3 Anforderungen Der Prüfling 13 gibt v'(x) an. ermittelt mit einer notwendigen Bedingung die möglichen lokalen Extremstellen der Funktion v. bestimmt rechnerisch die maximale Geschwindigkeit. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) Summe Teilaufgabe b) Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 11 von 14 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl 2 2 5 9 erreichte Punktzahl 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling 1 (1) weist nach, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit von Carl Lewis bei seinem Lauf ca. 10,14 m/s betragen hat. 2 (2) ermittelt mithilfe der Funktion v, nach welcher zurückgelegten Strecke die Mo- mentangeschwindigkeit von Carl Lewis genau so groß wie seine Durchschnitts- geschwindigkeit gewesen ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (5) Summe Teilaufgabe c) Teilaufgabe d) 2 13 Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt näherungsweise die Steigung der Tangente. (2) entscheidet begründet, ob es sich bei dem Diagramm aus Abbildung 3 um das Zeit-Weg-Diagramm des Finallaufes von Carl Lewis handeln kann. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) Summe Teilaufgabe d) Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 12 von 14 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 3 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 4 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe e) Anforderungen Der Prüfling 1 (1) gibt an, durch welche Transformation der Graph der Funktion v in den Graphen der Funktion veu überführt wird. 2 (2) gibt an, welche der Gleichungen die Funktion veu beschreibt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) 13 Summe Teilaufgabe e) Summe insgesamt Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 13 von 14 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 4 24 0411 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Festlegung der Gesamtnote Übertrag der Punktsumme aus der ersten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der zweiten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der dritten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der vierten Aufgabe Gesamtpunktzahl Note Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Noten zu den Punktsummen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note sehr gut gut befriedigend 13 ausreichend mangelhaft ungenügend Erreichte Punktsummen 52-60 43-51 34 - 42 25-33 13-24 0-12 Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 14 von 14 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 6 6 24 24 60