Alternativer Bildtext:

wechseln das Vorzeichen bei x = 0 (von negativ zu positiv bei a70, von positiv zu negativ bei aco) Gerader Exponent: Ganzrationale Funktionen für für x→ f₂(x)=3x |f₂(x) = 1,5 x ³ f.(x) = x³ f(x) = 0,5x4 V pr f3(x) = 0,5x²³ 1 f₁(x)=x₂₁² Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen Verhalten für x- Für x → ± ∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der höhsten Potenz von x bestimmt Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = ant", wobei n der Grad von fist. I ∞ f(x) (cx)→ Verhalten für x nahe O Für x nahe O wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der niedrigsten Potenz von x bestimmt Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = a₁x² + ao, wobei k die niedrigste Potenz von x ist. Sampo f(x) = f(x) = 0,5x" tot t ungerader Exponent für für X f(x) f(x) of(x) = 0,5x für für x 11 8 f(x) f(x) für für x - 00 -f(x) = f(x) → (a) → +∞ symmetrie Achsensymmetrisch zur y-Achse wenn Funktionsterm fcx) nur Potenzen mit geraden Exponenten hat wenn gilt: f(-x) = f(x) • Nullstellen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n. Nullstellen. 1 ansonsten keine Symmetrie 1. Ablesen wenn die Funktion nur aus Linearfaktoren besteht : 2.B. fcx) = -0,5· (x-3)· (x-1)². (x+2) Punktsymmetrisch zum Ursprung (010) wenn Funktionsterm fcx) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten hat wenn gilt: f(-x) = - f(x) 2. Ausklammern, wenn alle Summanden der Funktion Variablen enthalten: z. B. f(x) = x²³ - 2x² = x²(x-2). X verschieben und Strecken 3. Substitution, wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x² oder x³ und x² (wu. enthält: z.B. f(x)= x² - 7x² +12 2²-72 +12. Exponentialfunktionen 2 = x² Verschieben von Graphen Den Graphen der Funktion g mit g(x) = f(x-c) +d erhält man, indem man den Graphen von fum in Richtung der x-Achse und um Id in Richtung der y-Achse verschiebt. Strecken von Graphen. Den Graphen der Funktion n mit n(x) = k· f(x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der x - Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion n mit h(x) = f(k.x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der -Achse aus in X-Richtung mit dem Faktor Streckt. У c in fcx) = ca Exponential funktion Wenn eine Exponentialfunktion einen Wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für 2 >1 um eine exponentielle Zunahme und für a<₁ um eine exponentielle Abnahme. Faktor ( = Anfangs zustand f(0) zum Zeitpunkt x = 0. 9 P% 9 = Rechnung: 1 + p/ Wachstumsrate Wachstumsfaktor -4 Exponentielles Modell fcx) = c-a* 1 f(x) a: Wachstumsfaktor (p= a-1 prozentuale Änderung pro Zeitschritt C: An fangswert t=0 = = f(t = =) = f(t = ² ) - Logaritmus Bsp.: -3 2 f(t=-1) = 16.21 P 1 + 100 16. 2 t = 16 8 -2 4 X= 16 27 :2 2 log, (2) = 16 12° 1/133 8 = X 16:2=8 :2 +1° IT1 16 32 2 Aus der Wachstumsrate 16. = Wachstumsfaktor berechnen √2¹ = 22,6 16-(³-√2)³ a log₂ (b) (sprich: Logarithmus von b zur Basis a) ist die Lösung der Exponentialgleichung Loga (b) ist also diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Bsp.: log₂ (16) = x +1 x = 4 mit GTR: 2 kann man den 64 دایه داد 3 128 4 5 + t 256 512 (og (2) 4,04 pamit 1,04* 3000 1,04* = 6000 1,04* = alleine stent X 17,67 6 1024 : 3000 a =b 2. Schlüsselkonzept: Ableitungen Mittlere Änderungsrate - Differenzen quotient Ist eine Funktion auf einem Intervall Exoi xo th f (xo +h)-f(xo) die Steigung der. Sekante berechnen. Diese Entspricht bei Anwendungen der durch die n h = Intervallbreite f (xoth) f(xo) = xo +h- хо Momentane Änderungsrate f (xo+h) = f(xo) ( = y2₂-4₁ X₂X₁ von Bsp. f(x) f (xo+h)-f(xo) h Ableitung bei x。 = 3 = 6+h ) 3) umgeformten Term für h→0 definiert, Punkte mittleren Wenn der Different quotient Ableitung von f an der Stelle xo. an der Stelle xo. Man schreibt dafür f'(xo) und liest if Strich Bei Anwendungen wird die Ableitung auch als momentane bzw. Lokale Änderungsrate der zugehörigen. Größe bezeichnet. Die Gerade durch den Punkt P(xo 1. fcxo)) mit der Steigung f'(xo) nennt man Tangente des f. in. xo.. Man sagt: Der Graph von of hat an der Stelle xo die Steigung f'(xo) "?! untersuchen dann kann man mit dem Different quotienten Q ( x₁ +h) f(toth)). P(xol f(x)) und Änderungsrate in dem Intervall [xo; *o *h] 1) Term für Differenz quotienten auf stellen: 2) Differenzquotienten so umformen, dass h im Nenner wegfällt: 6h+h² (6 +h).h : y₂ = f(x₂+h) f(xo+h)-f(xo) y₁=f(x)..... K für h→0 einen Grenzwert besitzt, dann heißt x₁.= xo x₂ = xo+h 2 (3+h)² - 3² f(3 +h)-f(3)_ (3+h) ² - 3² n = dieser 9 +6h +h² - 9 n 1. Binomi Graphen 6th 6 - Die Ableitung an der Stelle x=3 ist f'(3) = 6 Ableitungen an einer Stelle berechnen f(xo+h)-((xo) wenn der Differenzenquotient einer Funktion f an einer Stelle xo für h→0 einen Grenzwert besitzt, so nennt man die Funktion differenzierbar an dieser Stelle. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle xo berechnet man so.. -Man stellt einen Term für den Differenzenquotienten auf. Der Differenzenquotient wird so um geformt, dass erkennbar ist, gegen welchen festen wert er für h→0 strebt. Bsp.: A 3 f(x) = X f(xo+h)-f(x) B 12h+6h²+h³ n = Die Ableitungsfunktion an der Stelle Xo =2. f(2+h)-f(2) n Zeichnen der Ableitung: m=negativ m=0 positiv = n (12+6h +h²). (2 +h) ²³_8_ (4+4h+n²) (2+h) - p -8 Ist eine Funktion f für alle XE Df differenzierbar, so heißt die Funktion, die jeder Stelle x der Definitions meng der Ableitung f'(x) an dieser Stelle zuordnet, die Ableitungsfunktion floder Ableitung von f. • Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen der Funktion of an der Stelle x. an • Die Ableitung verringert sich um 1 Grad von der Ausgangsfunktion 12+65+4² In fällt weg. //m=positiv positiv → 12 Ist die Steigung des Graphen von f positiv, so verläuft f' oberhalb der x-Achse Ist die Steigung des Graphen von f. O , so schneidet. f! die x-Achse ist die Steigung des Graphen von f negativ, so verläuft f! unterhalb der x-Achse für h→0. ALSO gilt f'(2) = 12 Ableitung gn+2h²+ 4h +4h² +h³ h Ableitung unterhallo •x-Achse oberhalb. SP oberhalb x-Achse oberhalb SP mit x-Achse Ableitungsregeln Potenzregel Für eine Funkion f mit f(x) = x^, nEIN gilt: f'(x) = n.x" Faktorregel: Für eine Funkion f mit f(x) = : Bsp. a) f(x) = x³ f'(x) = 5x³-1 = 5x" Summenregel: Für eine Funkion f mit f(x) = g(x) + k (x) gilt: f! (x) = g'(x) + K²(x) Tangente 5. 6. 3. Ausgerechnetes 4. y berechnen b - 2TT b) f(x) = X r.g (x)., PER f'(x) = 3x² + 9x⁹ 9 = m.x+b berechnen y=cosx| Sin '(x) 3 1. Funktion ableiten 2. Dann m bestimmen → Punkt & in Ableitung einsetzen m.x +b einsetzen Sinusfunktion: f(x) = sin(x) Kosinusfunktion: g(x)= (OS(x) TT I Ableiten von Sinus und Cosinus y=sinx gilt f'x) = r.g¹.(x). c) f(x) = 7x" ↳ f'(x) = 7.4x² = 28x³ m in → Punkt x in Ausgangsfunktion einsetzen d) fcx) = 3x (x²-2) +5. f'(x) g'(x) = f(x)=3x³-6x +5 ↳ f'(x) = 9x² -6 = DAAN উ 2 2 cos (x) - Sin (x) e) f(x) 2 STT 2TT 51x Зп 7TT 2 = ax ↳ f'(x) = 7ax² + 4bx³ - 2 cx + bx" - Cx² X 3. Funktionsuntersuchungen Charakteristische Punkte -3 Monotonie 2 y-Achsen- åbschnitt Nullstelle O -1 T₁ (x₁1 fcx₂)) -2 с H (x₂ | f(x₂)) Tz (x₂1fCx₂)) 2 y=x f(x) M Nullstellen Aus X₁ X₂ folgt f(xx) <.f(xz), dann heißt f. streng monoton zunehmend in I. Der Graph von f steigt streng monoton. y-Achsenabschnitt Extremstellen Extremwerte / lokale Extrema Lokale Minima Lokales Maximum globales Minimum Achsen Schnittpunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte sind charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion. Um den verlauf eines Graphen zu beschreiben, können charakteristische Punkte, Symmetrie und das verhalten x→ ± ∞0 hilfreich sein. Die Funktion f ist auf einem Intervall I definiert. wenn für alle X₁, X₂ aus I gilt: f streng monoton zunehmend Aus X₁ < x₂ folgt f(x₁) > f (x₂), dann heißt f streng monoton abnehmend in I. Der Graph von f fällt streng monoton 19 D x=-2 und x = -0,5 y = 1,5 X₁ X₂ und X₂ f(x₁), f(x₂) und f(x₂) f'(x) >0 f(x₁) und f(x₂). f(x3) f(x₂) X лу f streng monoton abnehmend f'(x) < 0 Monotoniesatz Die Funktion f ist im Intervall I differenzierbar. Wenn für alle x aus I gilt:. f'(x) > 0, f'.(x). <0, dann ist f streng monoton zunehmend in I. dann ist f streng monoton abnehmend in I. 3 2 -3+ Hoch- und Tiefpunkte 1 7 3 Bestimmen von lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion f: Am Graphen der Funktion f mit f(x) = x²³ erkennt man, dass die Umkehrung der Aussage des Monotoniesatzes nicht gilt. Obwohl streng monoton ist die Bedingung f'(x) >0 an der Stelle x =0 nicht erfüllt die Funktionswerte von f. für alle x f'(x) > 0 + es gilt f(0) = 0 3. y-Koordinaten der Extrempunkte: Einsetzen der Extrem stellen in f(x). -6 1. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f'(x) = 0 bestimmen, um mögliche Extremstellen zu finden. Diese Bedingung muss immer erfüllt sein. 2. Hinreichende Bedingung: wenn f'(x) = 0 ist und f'in der Umgebung von xo einen Vorzeichenwechsel (vzw) von + nach- hat, dann besitzt f ein lokales Maximum an der Stelle to. hat, dann besitzt fein lokales Minimum. an der Stelle to. nach + Nach der Überprüfung dieser Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium) lässt sich eine sichere Aussage darüber machen, ob es sich bei einer Stelle to um eine Extremstelle nandell und welche Art von Extrempunkt vorliegt. H(xo | f(xo) f (xo) == 0 1- f'(x) < 0 font ихо -3 -2 f'(x) < 0 -5 Ay -2. X₁ + 1 2 3 4 5 f'(x) >0 f'(x₁) = 0° T(x₂₁ [ f(x-₁))" zunehmen, 10 6 denn Mathematische Begriffe in Sach zusammenhängen Modelliert die differenzierbare Funktion f. die Höhe eines Heißluftballons in Abhängigkeit von der Zeit t (.t € [0; 120] in Minuten nach dem Abflug und f(t) in metern) so lassen sich die folgenden Zusammenhänge herstellen: Alltagsfrage Wie hoch ist der Heißluftballon. eine viertel stunde nach Abflug? Nach wie vielen Minuten ist der Ballon höher als 100m? Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon durchschnittlich in der ersten Stunde? Wie schnell steigt der Ballon 3 Minuten nach Abflug?. Wann landet er? In welchem Zeitraum steigt er, lin welchem sinkt er? Nach welcher Flugzeit ist er am höchsten? Mathematische Frage wie groß ist der Funktionswert an der Stelle t= 15? Für welches t sind die Funktionswerte > 100 ? welchen wert besitzt der Differenzenquotient im Intervall I= [0,60]? Sie wie groß ist die Ableitung bei t₁ = 3? Wo liegen Nullstellen von f? Für welche Bereiche vont ist f streng monoton zunehmend/streng monoton abnehmend ? An welcher Stelle befindet sich ein globales Maximum im Definitionsbereich D= [0, 120] 4. Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung - Erwartungswert Lösungsansatz Wahrscheinlichkeitsverteilung. f(15) berechnen f(to) = 100 lösen und interpretieren - f(60) = f(0) 60 O Den einzelnen Ergebnissen eines Zufallsversuchs kann man wahrscheinlichkeiten zuordnen. Die Wahrscheinlichkeiten sind gut gewählt, wenn sie die relativen Häufigkeiten bei vorhersagen. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse summieren sich zu 100%. bilden eine berechnen. f'(3) berechnen losen und interpretieren f(t) = 0 f! (to) = 0 lösen Vorzeichen von f' rechts, links prüfen f' (t) 0 Ballon steigt f'(t) <o: Ballon Sinkt f '(to) = 0 lösen, f! muss bei to VZW von + nach haben. f (to) berechnen. Rand werte von 1, also f (0) und f(120) über- prüfen. Max. von f(to), f(0), f(120) bestimmen großer versuchszahl gut Note 1 2 3 4 5 6 abs. H. 105. 95 95 106 98 101 600 rel. H 17,5 % 15,8% 15,8% Häufigkeitsverteilungen charakterisiert man durch den Mittelwert x. So wird der Ausfall einer Klausur durch den Mittelwert der erreichten Note beschrieben. Die Noten (vgl. Tabelle) wurden mit einem würfel gewürfelt. Der zugehörige Mittelwert ist x = 600 (1.105 + 2.95 3,573. Man kann ihn auch direkt aus den 95 101 600 = 1·0, 175 +2·0,158 +...+6.168 + 6∙101): 17,7% + .... 16,3%. relativen Häufigkeiten berechnen: x = 1· 1600 +2.600 + 6 16,8% = 3,573. Im Mittel wurde also die Note 3,573 erreicht. 100%.. Mittelwert Erwartungswert . Wenn bei einer Datenerhebung die Ergebnisse X₁, X₂,..., xn. mit den Wahrscheinlichkeiten P₁, P₂, ..., Pn auftreten,. dann heißt μ = x₁ ´P₁ + X₂°P₂ + ... + Xn Pn der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilung. Er gibt an, welchen Mittelwert man bei ausreichend großer Versuchszahl auf lange Sicht erwarted. Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel Glücksrad : Es gibt 4 mögliche Ergebnisse Dabei gibt es zwei Elemente (r= rot, b= blau). Die Ergebnismenge S ist S = {rr, rb, br, bb} Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (Pfad eines Baumdiagrammes) wird bestimmt, indem mar, die wahrscheinlichkeiten längst eines Pfades multipliziert. Bsp.: P(rb) = 2.4. = 3/6 Mengenschreibweise = 1. Drenen 2. Drehen e P. (e) P(„mindestens einmal rot") = P(rr) + P(rb) + P(br) = 18 P(0) = P(bb) = 1/6 bestimmen: 0 (₁, zweimal blau") = 9 16 3 + 16 3 + 16= P(0) = 1- 15 16 M/J 3 rb 3 16 HJ g br 3 16 b S = { r₁b} bb 16 oder erst Gegenereignis PCD) (D₂ D + ō 1.) = 1 = 16 = 16 Pfadregel: Man erhält die warscheinlickeit für ein Ergebnis, indem man die Wahrscheinlichkeiten längst des zugehörigen Pfades multipliziert. Summenre gel: Die Wahrscheinlichkeit PCE) eines Ereignisses E erhält man, indem man die wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. Die wahrscheinlichkeiten von Gegenereignissen ergänzen sichzu 1: P(D) +P(5) = 1 wenn beim zweifachen Orenen sowohl das Ereignis A Die erste Farbe ist rot" als auch das Ereignis B (1 Beim zweiten Drehen erscheint blau" eintreten, so schreibt man hierfül auch AnB. Es gilt P(ANB) = 2 · 1 = 7/16. Vierfeldertafeln - bedingte warscheinlichkeiten. rot (R) nicht rot (R) Summe Man P (RnM) = mit Punkt (M) 3 2 5 P₁(M)= = M P(R) = Es gilt: 뷰 P(ROM) = R ohne Punkt (ū) P (B): 1 4 Man bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für eine Markierung (M) unter der bedingung rot (R) als bedingte wahrscheinlichkeit und schreibt P₁₂ (M) = ²/²/1 = 751. 4 Das wissen über die Markierung verändert die Wahrscheinlichkeit der Farbe: Die Wahrscheinlichkeit für rot ist P(R) = 10. Wenn man weiß, das die Kugel markiert ist (M) (z. B. durch raue Oberfläche), wächst sie auf P₁ (R) = = 1/1 ₁ erst Farbe, dann Markierung P (ANB) P (A) Stochastische Unabhängigkeit 5 M bzw. Summe 4 6 10 entnehmbare Wahrscheinlichkeiten: P(R). 40 P (M) = 50 P(R₁M) = PB(A). P(R)= erkenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden der 2. Stufe P(R). PR (M) bzw. P(RAM) = P(M) Pu (R), Damit erhält man: P₂(4): = - ² 1. P(M)= 2 R P(R) = 10 5 P (M) = ; P (B) ist die bedingte wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass A eingetreten ist. P (ANB) P (B) P(M) = /²/² P(MOR) = 2. erst Markierung, dann Farbe Berechnung:. P(RAM) P(R) und PM (R)= P(ROM)