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Mathematik

Verhältnisse und proportionale Beziehungen

Proportionale Beziehung

Mathe2.860Aktualisiert 30. Sept. 20263 Seiten

Proportionale und Antiproportionale Zuordnungen – Erklärung und Beispiele

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Katharina Keßler@kathis_aesthetik
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In der Mathematik begegnen wir täglich Zuordnungen zwischen verschiedenen Größen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind besonders wichtige Konzepte, die uns helfen, Alltagsprobleme zu lösen. Diese mathematischen Beziehungen erklären, wie sich Werte verändern, wenn andere Werte größer oder kleiner werden. Ob es um Preise, Mengen oder Zeiten geht - mit dem richtigen Verständnis dieser Zuordnungen kannst du den praktischen Dreisatz anwenden und Aufgaben schnell lösen. In dieser Zusammenfassung lernst du die Merkmale dieser Zuordnungen kennen und übst an konkreten Beispielen.
Zuordnungen – Seite 1

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Zuordnungen und Proportionale Zuordnung

Eine Zuordnung ist eine Beziehung zwischen zwei Größen. In einer Zuordnungstabelle:

  • Die linke Spalte enthält die Ausgangsgröße (x-Werte)
  • Die rechte Spalte enthält die zugeordnete Größe (y-Werte)
  • Jedem Wert links ist genau ein Wert rechts zugeordnet

Zuordnungen können im Koordinatensystem dargestellt werden:

  • Auf der x-Achse werden die Werte der Ausgangsgröße markiert
  • Auf der y-Achse werden die Werte der zugeordneten Größe markiert
  • Jedes Wertepaar bildet einen Punkt, z.B. P(4|3)

Proportionale Zuordnungen Klasse 7 haben folgende Merkmale:

  • Wenn die Ausgangsgröße verdoppelt, verdreifacht oder halbiert wird, passiert mit der zugeordneten Größe dasselbe
  • Sie sind immer "je mehr, desto mehr" Zuordnungen
  • Im Koordinatensystem liegen alle Punkte auf einer Halbgeraden, die im Ursprung (0|0) beginnt

Merksatz: Eine Zuordnung ist proportional, wenn bei Vervielfachung der Ausgangsgröße die zugeordnete Größe um denselben Faktor vervielfacht wird. Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Zur Summe zweier Werte der ersten Größe gehört die Summe der zugehörigen Werte der zweiten Größe.

Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

  • 4 Äpfel kosten 3€
  • 8 Äpfel kosten 6€ (doppelte Menge, doppelter Preis)
  • 2 Äpfel kosten 1,50€ (halbe Menge, halber Preis)
Zuordnungen – Seite 2

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Dreisatz und Antiproportionale Zuordnungen

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Der Dreisatz ist ein praktisches Lösungsverfahren für proportionale Zuordnungen:

  1. Prüfe, ob die Zuordnung wirklich proportional ist
  2. Erstelle eine Tabelle mit dem gegebenen Wertepaar und dem dritten bekannten Wert
  3. Suche einen geeigneten Hilfswert
  4. Fülle die Tabelle entsprechend den Regeln für proportionale Zuordnungen aus

Wichtiger Hinweis: Bei nicht-proportionalen Zuordnungen kann der Dreisatz nicht angewendet werden!

Antiproportionale Zuordnungen

Eine antiproportionale Zuordnung hat folgende Eigenschaften:

  • Sie ist eine "je mehr, desto weniger" Zuordnung
  • Wenn die Ausgangsgröße verdoppelt wird, halbiert sich die zugeordnete Größe
  • Wenn die Ausgangsgröße verdreifacht wird, wird die zugeordnete Größe gedrittelt

Beispiel für antiproportionale Zuordnung: Wenn 4 Arbeiter eine Aufgabe in 3 Stunden erledigen, dann schaffen 8 Arbeiter dieselbe Aufgabe in 1,5 Stunden.

Im Koordinatensystem liegen die Punkte einer antiproportionalen Zuordnung auf einer Kurve, die Hyperbel genannt wird. Diese Kurve berührt keine der beiden Achsen.

Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen

Für antiproportionale Dreisatz Aufgaben gilt folgendes Verfahren:

  1. Prüfe, ob die Zuordnung antiproportional ist
  2. Erstelle eine Tabelle mit dem gegebenen Wertepaar und dem dritten bekannten Wert
  3. Suche einen geeigneten Hilfswert
  4. Fülle die Lücken entsprechend den Regeln für antiproportionale Größen aus
Zuordnungen – Seite 3

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Quotientengleichheit und Produktgleichheit

Quotientengleichheit bei proportionalen Zuordnungen

Bei proportionalen Zuordnungen gibt es eine wichtige Eigenschaft: Die Quotienten der einander zugeordneten Größen haben stets den gleichen Wert.

Die Formel lautet:

Zugeordnete Größe ÷ Ausgangsgröße = Proportionalitätsfaktor (k)

Diese Eigenschaft kann man nutzen, um schnell zu überprüfen, ob eine Zuordnung proportional ist:

  • Berechne für jedes Wertepaar den Quotienten
  • Sind alle Quotienten gleich, ist die Zuordnung proportional

Beispiel für Quotientengleichheit:

  • Bei den Wertepaaren (4,8), (8,16), (16,32):
  • 8 ÷ 4 = 2
  • 16 ÷ 8 = 2
  • 32 ÷ 16 = 2
  • Alle Quotienten sind gleich, also ist die Zuordnung proportional

Unterschied Proportional und Antiproportional: Bei proportionalen Zuordnungen ist der Quotient der zugeordneten Werte konstant. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist dagegen das Produkt der zugeordneten Werte konstant.

Gegenbeispiel:

  • Bei den Wertepaaren (4,8), (8,14), (16,36):
  • 8 ÷ 4 = 2
  • 14 ÷ 8 = 1,75
  • 36 ÷ 16 = 2,25
  • Die Quotienten sind unterschiedlich, also ist die Zuordnung nicht proportional

Diese Methode hilft dir, schnell zu erkennen, ob du mit einer proportionalen Zuordnung arbeitest und ob du den Dreisatz anwenden kannst.

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