Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch Richtung und Länge gekennzeichnet ist. Im dreidimensionalen Raum arbeiten wir mit folgenden Vektortypen:

• Ortsvektor: Verbindet den Koordinatenursprung mit einem Punkt
• Verschiebungsvektor: Verbindet zwei beliebige Punkte

Beispiel für Ortsvektoren:

• Punkt A(1|2|2) → $\vec{OA} = \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\2\2 \end{pmatrix}$
• Punkt B(1|3|4,5) → $\vec{OB} = \vec{b} = \begin{pmatrix} 3\4\5 \end{pmatrix}$

Verschiebungsvektor von A nach B: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3-1\4-2\5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\2\3 \end{pmatrix}$

Verschiebungsvektor von B nach A: $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-3\2-4\2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\-2\-3 \end{pmatrix}$

Betrag (Länge) eines Vektors: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ LE

Wichtiger Begriff: Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ wird berechnet durch $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ und entspricht der Länge des Vektors.

Exkurs: Abstand zweier Punkte im Raum d(A,B) = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Beispiel: A(-2|5|-1) B(8|-3|-2) d(A,B) = $\sqrt{(8-(-2))^2 + (-3-5)^2 + (-2-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{165} = 12,84$ LE

Vektoroperationen

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoraddition: $\vec{a} + \vec{b}$ ergibt einen neuen Vektor

Wichtige Eigenschaften:

• $\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$ ist der Nullvektor (neutrales Element)
• $\vec{a}$ und $-\vec{a}$ sind entgegengesetzte Vektoren Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}$, $-\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \ -3 \end{pmatrix}$

Vektorsubtraktion: $\vec{a} - \vec{b}$ ergibt einen neuen Vektor

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-2 \ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix}$

Multiplikation mit Skalaren

Skalare Multiplikation: $r\vec{a}$ (r ist eine reelle Zahl)

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, r = 2 $2\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$

Achtung: Vektoren können nicht komponentenweise multipliziert werden! $\begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \ 6 \end{pmatrix}$ ❌

Rechengesetze:

• Kommutativgesetz: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Assoziativgesetz: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Merkhilfe: Bei der Vektorsubtraktion zeigt die Pfeilspitze immer in Richtung des Minuenden!

Linearkombination von Vektoren

Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert wurden.

Für Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist eine Linearkombination gegeben durch: $\vec{x} = r\vec{a} + s\vec{b}$, wobei $r, s \in \mathbb{R}$

Das bedeutet: Der Vektor $\vec{x}$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

Beispiel: Gegeben: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix}$, $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}$

Frage: Lässt sich $\vec{x}$ als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen?

Ansatz: $\begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}$

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

• $12 = 3r + 2s$ (1)
• $-8 = -5r - 3s$ (2)
• $-4 = -4r$ (3)

Aus (3) folgt direkt: $r = 1$

Einsetzen in (1): $12 = 3 + 2s$→$s = 4.5$

Lösung: $\vec{x} = 1 \cdot \vec{a} + 4.5 \cdot \vec{b}$

Wichtiger Begriff: Eine Linearkombination ist eine mathematische Operation, bei der Vektoren mit Skalaren multipliziert und dann addiert werden. Sie ist fundamental für das Verständnis von Vektorräumen.

Kollineare und komplanare Vektoren

Kollineare Vektoren

Definition: Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{a} = r\vec{b}$ oder $\vec{b} = r\vec{a}$ für ein $r \in \mathbb{R}$

Diese Beziehung wird auch als $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (parallel) geschrieben.

Beispiele:

• $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix}$ → $\vec{a} \parallel \vec{b}$, da $\vec{b} = -2\vec{a}$
• $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$ → $\vec{a} \parallel \vec{b}$, da $\vec{b} = 2\vec{a}$

Komplanare Vektoren

Definition: Drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Das ist der Fall, wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

Dies ist gleichbedeutend mit einer der folgenden Darstellungen:

• $\vec{a} = r\vec{b} + s\vec{c}$ oder
• $\vec{b} = r\vec{a} + s\vec{c}$ oder
• $\vec{c} = r\vec{a} + s\vec{b}$

Schlüsselkonzept: Kollineare Vektoren liegen auf der gleichen Geraden, komplanare Vektoren liegen in der gleichen Ebene. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der Lagebeziehungen im Raum.

Geradengleichungen

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade im dreidimensionalen Raum wird eindeutig durch zwei Punkte bestimmt. Die Parameterform der Geradengleichung lautet:

$g(A;B): \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}$, wobei $r \in \mathbb{R}$

Dabei ist:

• $\vec{a}$ der Ortsvektor des Punktes A (Stützvektor)
• $\vec{m}$ der Richtungsvektor der Geraden oft als $\vec{AB}$ gewählt
• $r$ der Parameter

Beispiel: Gegeben: Punkte A(3|5|3) und B(2|3|7)

Gesucht: Parameterform der Geraden durch A und B

Lösung:

1. Ortsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$
2. Richtungsvektor $\vec{m} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-3 \ 3-5 \ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}$
3. Geradengleichung: $g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}$

Merkhilfe: Die Parameterform einer Geraden beschreibt alle Punkte auf der Geraden. Der Parameter $r$ "bewegt" uns entlang der Geraden, wobei jeder Wert von $r$ einen bestimmten Punkt auf der Geraden ergibt.

Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzen wir den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein und prüfen, ob es einen Parameter $r$ gibt, für den die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel: Gegeben: $g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$

Liegen die Punkte P(1|5|14) und Q(-1|15|14) auf der Geraden g?

Für Punkt P: $\begin{pmatrix} 1 \ 5 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$

Dies führt zu den Gleichungen:

• $1 = 5 - 4r$
• $5 = 2 + 5r$
• $14 = 1 + 3r$

Aus der ersten Gleichung: $r = 1$ Einsetzen in die anderen Gleichungen:

• $5 = 2 + 5 \cdot 1 = 7$ ❌
• $14 = 1 + 3 \cdot 1 = 4$ ❌

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt P nicht auf g.

Für Punkt Q: $\begin{pmatrix} -1 \ 15 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$

Dies führt zu den Gleichungen:

• $-1 = 5 - 4r$ → $r = 1.5$
• $15 = 2 + 5r = 2 + 5 \cdot 1.5 = 9.5$ ❌
• $14 = 1 + 3r = 1 + 3 \cdot 1.5 = 5.5$ ❌

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt auch Q nicht auf g.

Prüfmethode: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, muss der eingesetzte Parameter $r$ in allen drei Gleichungen zum gleichen Wert führen.

Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

• Sxy: Schnittpunkt mit der xy-Ebene $z=0$
• Syz: Schnittpunkt mit der yz-Ebene $x=0$
• Sxz: Schnittpunkt mit der xz-Ebene $y=0$

Beispiel: Gegeben: $g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}$

Spurpunkt Sxy $Schnittpunkt mit xy-Ebene$:

1. Setze z = 0: $0 = 3 + 2r$
2. Löse nach r auf: $r = -\frac{3}{2}$
3. Setze r in die Geradengleichung ein: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{3}{2}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -3.5 \ 0 \end{pmatrix}$
4. Spurpunkt Sxy(4|-3.5|0)

Spurpunkt Syz $Schnittpunkt mit yz-Ebene$:

1. Setze x = 0: $0 = 1 - 2r$
2. Löse nach r auf: $r = \frac{1}{2}$
3. Setze r in die Geradengleichung ein: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 2.5 \ 4 \end{pmatrix}$
4. Spurpunkt Syz(0|2.5|4)

Spurpunkt Sxz $Schnittpunkt mit xz-Ebene$:

1. Setze y = 0: $0 = 1 + 3r$
2. Löse nach r auf: $r = -\frac{1}{3}$
3. Setze r in die Geradengleichung ein: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{3}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.67 \ 0 \ 2.33 \end{pmatrix}$
4. Spurpunkt Sxz(1.67|0|2.33)

Vorgehensweise: Um Spurpunkte zu bestimmen, setzen wir die entsprechende Koordinate gleich Null, ermitteln den Parameter r und berechnen damit die Koordinaten des Schnittpunkts.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung. Es hat eine physikalische Bedeutung bei der Berechnung von Arbeit:

$\vec{w} = \vec{F} \cdot \vec{s}$ $Arbeit = Kraft · Weg$

Definition des Skalarprodukts: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma$

wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Koordinatenform des Skalarprodukts: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot 4 = -6 - 15 + 4 = -17$

Berechnung des Winkels zwischen Vektoren: $\cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Für unser Beispiel: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14}$ $|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{50}$

$\cos \gamma = \frac{-17}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{50}} \approx -0.715$ $\gamma \approx 135.65°$

Anwendung: Das Skalarprodukt ist besonders wichtig für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren und hat praktische Anwendungen in der Physik, etwa bei der Berechnung der Arbeit.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Dies entspricht einem Winkel von 90° zwischen den Vektoren, da $\cos(90°) = 0$.

Beispiel: Gegeben: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ -3 \end{pmatrix}$

Sind diese Vektoren paarweise orthogonal?

Berechnung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 2 - 8 - 3 = -9$ Da $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$, sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht orthogonal.

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-3) = 8 - 4 + 3 = 7$ Da $\vec{a} \cdot \vec{c} \neq 0$, sind $\vec{a}$ und $\vec{c}$ nicht orthogonal.

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot (-3) = 4 + 2 - 9 = -3$ Da $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$, sind $\vec{b}$ und $\vec{c}$ nicht orthogonal.

Wichtiger Begriff: Orthogonalität ist ein grundlegendes Konzept in der Vektorrechnung. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, stehen sie senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist 0.

Konstruktion eines orthogonalen Vektors

Gegeben: zwei nicht kollineare Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im dreidimensionalen Raum.

Gesucht: ein Vektor $\vec{n}$, der senkrecht zu beiden Vektoren steht.

Lösung: Der gesuchte Vektor $\vec{n}$ muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

• $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ orthogonal zu $\vec{a}$
• $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ orthogonal zu $\vec{b}$

Beispiel: Gegeben: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 4 \end{pmatrix}$

Gesucht: $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \ n_2 \ n_3 \end{pmatrix}$, der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht.

Lösung:

1. Aufstellen der Gleichungen:

   • $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$: $1 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 + 3 \cdot n_3 = 0$
   • $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$: $2 \cdot n_1 + 1 \cdot n_2 + 4 \cdot n_3 = 0$

2. Dies ergibt das Gleichungssystem:

   • $n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 0$
   • $2n_1 + n_2 + 4n_3 = 0$

3. Lösen des Gleichungssystems:

   • Da wir drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen haben, können wir eine Variable frei wählen, z.B. $n_3 = 1$
   • Dann ergeben sich $n_1$ und $n_2$ durch Lösen des Gleichungssystems

4. Mit $n_3 = 1$ erhalten wir:

   • $n_1 + 2n_2 + 3 = 0$
   • $2n_1 + n_2 + 4 = 0$

   Lösung: $n_1 = 5$, $n_2 = -4$

5. Der gesuchte Normalenvektor ist: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \ -4 \ 1 \end{pmatrix}$

Anwendung: Die Konstruktion eines orthogonalen Vektors zu zwei gegebenen Vektoren ist besonders wichtig für die Bestimmung des Normalenvektors einer Ebene, die durch zwei Richtungsvektoren definiert ist.