Vektorrechnung & Wahrscheinlichkeitsrechnung – Zusammenfassung GK Mathe 12. Klasse (einfach erklärt, Aufgaben + Lösungen, PDF)

Grundlagen & Abstand

Orts- und Verschiebungsvektoren

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum durch Richtung und Länge.

• Ortsvektor: Startet immer im Ursprung $O(0|0|0)$ und zeigt zum Punkt $A$.
• Verschiebungsvektor: Verbindet zwei Punkte über $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

Betrag und Abstand

Der Abstand zweier Punkte im Raum entspricht der Länge des Verbindungsvektors.

• Betrag berechnen: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
• Abstand zweier Punkte Formel: $d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Beispiel: $A(1|1|2)$, $B(1|3|4{,}5)$ $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \rightarrow |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2{,}5^2} \approx 3{,}2$ LE

💡 Tipp: Merk dir für Klausuren einfach die Regel „Spitze minus Anfang“, um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen.

Rechnen mit Vektoren

Vektoroperationen

Das Rechnen mit Vektoren erfolgt komponentenweise für jede Koordinate einzeln.

• Addition: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix}$
• Subtraktion: $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix}$
• Skalierung: Vektor mit einer Zahl $r$ multiplizieren verstreckt oder staucht ihn.

💡 Tipp: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich die Richtung des Vektors um.

Linearkombination

Vektoren kombinieren

Eine Linearkombination ist die Summe von Vektoren, die jeweils mit einem Skalar multipliziert wurden.

• Definition: $\vec{x} = r\vec{a} + s\vec{b}$ mit reellen Zahlen $r, s$.
• LGS lösen: Zur Prüfung ein lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Unbekannten auflösen.

Beispiel: $\begin{pmatrix} 12 \\ -8 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ I: $12 = 3r + 2s$, II: $-8 = -r - s \rightarrow r=2, s=3$

💡 Tipp: Ein Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn die berechneten Werte für alle Zeilen stimmen.

Kollinear & Komplanar

Lagebeziehungen von Vektoren

Vektoren können parallel zueinander verlaufen oder in derselben Ebene liegen.

• Kollinear: Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer das Vielfache des anderen ist ($\vec{a} = r \cdot \vec{b}$).
• Komplanar: Drei Vektoren liegen in einer Ebene, wenn sich einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$ $\vec{b} = -4 \cdot \vec{a} \rightarrow \vec{a} \parallel \vec{b}$ (kollinear)

💡 Tipp: Prüfe Kollinearität immer zuerst, da sie die Rechnung für Komplanarität extrem verkürzt.

Geradengleichung

Parameterform aufstellen

Eine Gerade im Raum wird durch einen Stützvektor (Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor definiert.

• Geradengleichung: $g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}$
• Stützvektor: Ortsvektor des Startpunktes $\vec{a}$.
• Richtungsvektor: Differenzvektor $\vec{m} = \overrightarrow{AB}$ zwischen zwei Punkten.

Beispiel: $A(3|5|8)$, $B(2|9|7)$ $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

💡 Tipp: Der Richtungsvektor darf gekürzt oder verlängert werden, der Stützvektor dagegen nicht.

Punktprobe

Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Bei der Punktprobe prüfst du, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt.

• Verfahren: Setze den Ortsvektor des Punktes für $\vec{x}$ in die Geradengleichung ein.
• Entscheidung: Ergibt sich für alle drei Zeilen derselbe Wert für den Parameter $r$, liegt der Punkt auf der Geraden.

Beispiel: $\begin{pmatrix} -1 \\ 15 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ I: $-1 = 3-4r \rightarrow r=1$; II: $15 = 4+2r \rightarrow r=1$; III: $14 = 4+5r \rightarrow r=2 \rightarrow$ Punkt liegt nicht auf der Geraden.

💡 Tipp: Sobald zwei Zeilen unterschiedliche Werte für $r$ liefern, kannst du die Rechnung sofort abbrechen.

Spurpunkte

Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen

Spurpunkte sind die Durchstoßpunkte einer Geraden durch die drei Koordinatenebenen ($xy$, $yz$, $xz$).

• Sxy ($z=0$): Setze die $z$-Koordinate der Geraden gleich Null, löse nach $r$ auf und setze $r$ ein.
• Syz ($x=0$): Setze die $x$-Koordinate gleich Null, löse nach $r$ auf.
• Sxz ($y=0$): Setze die $y$-Koordinate gleich Null, löse nach $r$ auf.

Beispiel: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 0{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}$ für $S_{xy}$ ($z=0$): $0 = 3 - r \rightarrow r = 3 \rightarrow S_{xy}(-5|2{,}5|0)$

💡 Tipp: Wenn eine Koordinate im Richtungsvektor Null ist, verläuft die Gerade parallel zu dieser Ebene und hat dort keinen Spurpunkt.

Skalarprodukt

Multiplikation von Vektoren

Das Skalarprodukt multipliziert zwei Vektoren und liefert als Ergebnis eine reelle Zahl (Skalar).

• Formel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Bedeutung: Es hilft bei der Winkelberechnung und dem Nachweis von Orthogonalität.

💡 Tipp: Das Ergebnis des Skalarprodukts ist immer eine einfache Zahl, niemals wieder ein Vektor.

Orthogonalität

Senkrechte Vektoren prüfen

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.

• Bedingung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Longleftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ (für $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$)
• Winkel: Bei einem Winkel von $90^\circ$ ist der Kosinus im Skalarprodukt $\cos(90^\circ) = 0$.

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cdot4 + 1\cdot4 + 3\cdot(-4) = 8 + 4 - 12 = 0 \rightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$

💡 Tipp: Die Orthogonalitätsprüfung mit dem Skalarprodukt ist eine der am häufigsten abgefragten Methoden im Abitur.

Normalenvektor

Senkrechten Vektor bestimmen

Ein Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf zwei gegebenen, nicht kollinearen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

• Bedingung: $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ und $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$.
• Berechnung: Löse das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen; eine Variable darf frei gewählt werden.

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow$ Gleichungssystem aufstellen. Wähle $n_2 = 7 \rightarrow n_3 = 2, n_1 = 11 \rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

💡 Tipp: Wähle die freie Variable so geschickt, dass bei der Berechnung keine Brüche im Normalenvektor entstehen.