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Mathe 12. Klasse Übersicht: Vektoren und Wahrscheinlichkeiten

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Ayla Emma Askin

8.3.2023

Mathe

Zusammenfassung GK Mathe 12.Klasse

Mathe 12. Klasse Übersicht: Vektoren und Wahrscheinlichkeiten

Vektoren und analytische Geometrie bilden ein faszinierendes Gebiet der Mathematik, das es uns ermöglicht, geometrische Probleme algebraisch zu lösen. In dieser Zusammenfassung werden wir die wichtigsten Konzepte von Vektoren, deren Eigenschaften und Operationen, sowie die Darstellung von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum betrachten. Von der einfachen Vektoraddition bis hin zur Hesse'schen Normalenform einer Ebene werden wir schrittweise die mathematischen Werkzeuge kennenlernen, mit denen räumliche Beziehungen präzise beschrieben werden können. Diese Kenntnisse sind nicht nur für die Schulmathematik relevant, sondern bilden auch die Grundlage für viele praktische Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen und Informatik.

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8.3.2023

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a
gekennzeichnet durch: -Richtung
-Länge
OA = 2² (1) A
) Ortsvektor
IABI=10²+1²+1-0,51²
=1,12 LE
2 +
AB-Verschiebungsvektor
AB-6-2.()-(8)
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Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch Richtung und Länge gekennzeichnet ist. Im dreidimensionalen Raum arbeiten wir mit folgenden Vektortypen:

  • Ortsvektor: Verbindet den Koordinatenursprung mit einem Punkt
  • Verschiebungsvektor: Verbindet zwei beliebige Punkte

Beispiel für Ortsvektoren:

  • Punkt A1221|2|2OA=a=(1\2\2)\vec{OA} = \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\2\2 \end{pmatrix}
  • Punkt B134,51|3|4,5OB=b=(3\4\5)\vec{OB} = \vec{b} = \begin{pmatrix} 3\4\5 \end{pmatrix}

Verschiebungsvektor von A nach B: AB=ba=(31\42\52)=(2\2\3)\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3-1\4-2\5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\2\3 \end{pmatrix}

Verschiebungsvektor von B nach A: BA=ab=(13\24\25)=(2\-2\-3)\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-3\2-4\2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\-2\-3 \end{pmatrix}

Betrag La¨ngeLänge eines Vektors: AB=22+22+32=174,12|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{17} \approx 4,12 LE

Wichtiger Begriff: Der Betrag eines Vektors a\vec{a} wird berechnet durch a=x12+x22+x32|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} und entspricht der Länge des Vektors.

Exkurs: Abstand zweier Punkte im Raum dA,BA,B = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Beispiel: A251-2|5|-1 B8328|-3|-2 dA,BA,B = (8(2))2+(35)2+(2(1))2=102+(8)2+(1)2=165=12,84\sqrt{(8-(-2))^2 + (-3-5)^2 + (-2-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{165} = 12,84 LE

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gekennzeichnet durch: -Richtung
-Länge
OA = 2² (1) A
) Ortsvektor
IABI=10²+1²+1-0,51²
=1,12 LE
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Vektoroperationen

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoraddition: a+b\vec{a} + \vec{b} ergibt einen neuen Vektor

Wichtige Eigenschaften:

  • 0=(0 0 0)\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} ist der Nullvektor neutralesElementneutrales Element
  • a\vec{a} und a-\vec{a} sind entgegengesetzte Vektoren Beispiel: a=(1 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}, a=(1 3)-\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \ -3 \end{pmatrix}

Vektorsubtraktion: ab\vec{a} - \vec{b} ergibt einen neuen Vektor

Beispiel: a=(1 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}, b=(2 1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} ab=(12 31)=(1 2)\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-2 \ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix}

Multiplikation mit Skalaren

Skalare Multiplikation: rar\vec{a} risteinereelleZahlr ist eine reelle Zahl

Beispiel: a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, r = 2 2a=(2 4)2\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}

Achtung: Vektoren können nicht komponentenweise multipliziert werden! (1 3)(1 2)(1 6)\begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \ 6 \end{pmatrix}

Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz: a+b=b+a\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
  • Assoziativgesetz: (a+b)+c=a+(b+c)(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

Merkhilfe: Bei der Vektorsubtraktion zeigt die Pfeilspitze immer in Richtung des Minuenden!

a
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Linearkombination von Vektoren

Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert wurden.

Für Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist eine Linearkombination gegeben durch: x=ra+sb\vec{x} = r\vec{a} + s\vec{b}, wobei r,sRr, s \in \mathbb{R}

Das bedeutet: Der Vektor x\vec{x} lässt sich als Linearkombination der Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} darstellen.

Beispiel: Gegeben: x=(12 8 4)\vec{x} = \begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix}, a=(3 5 4)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix}, b=(2 3 0)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}

Frage: Lässt sich x\vec{x} als Linearkombination von a\vec{a} und b\vec{b} darstellen?

Ansatz: (12 8 4)=r(3 5 4)+s(2 3 0)\begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

  • 12=3r+2s12 = 3r + 2s 11
  • 8=5r3s-8 = -5r - 3s 22
  • 4=4r-4 = -4r 33

Aus 33 folgt direkt: r=1r = 1

Einsetzen in 11: 12=3+2s12 = 3 + 2ss=4.5s = 4.5

Lösung: x=1a+4.5b\vec{x} = 1 \cdot \vec{a} + 4.5 \cdot \vec{b}

Wichtiger Begriff: Eine Linearkombination ist eine mathematische Operation, bei der Vektoren mit Skalaren multipliziert und dann addiert werden. Sie ist fundamental für das Verständnis von Vektorräumen.

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Kollineare und komplanare Vektoren

Kollineare Vektoren

Definition: Zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} heißen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: a=rb\vec{a} = r\vec{b} oder b=ra\vec{b} = r\vec{a} für ein rRr \in \mathbb{R}

Diese Beziehung wird auch als ab\vec{a} \parallel \vec{b} parallelparallel geschrieben.

Beispiele:

  • a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, b=(2 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix}ab\vec{a} \parallel \vec{b}, da b=2a\vec{b} = -2\vec{a}
  • a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, b=(2 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}ab\vec{a} \parallel \vec{b}, da b=2a\vec{b} = 2\vec{a}

Komplanare Vektoren

Definition: Drei Vektoren a\vec{a}, b\vec{b} und c\vec{c} heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Das ist der Fall, wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

Dies ist gleichbedeutend mit einer der folgenden Darstellungen:

  • a=rb+sc\vec{a} = r\vec{b} + s\vec{c} oder
  • b=ra+sc\vec{b} = r\vec{a} + s\vec{c} oder
  • c=ra+sb\vec{c} = r\vec{a} + s\vec{b}

Schlüsselkonzept: Kollineare Vektoren liegen auf der gleichen Geraden, komplanare Vektoren liegen in der gleichen Ebene. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der Lagebeziehungen im Raum.

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Geradengleichungen

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade im dreidimensionalen Raum wird eindeutig durch zwei Punkte bestimmt. Die Parameterform der Geradengleichung lautet:

g(A;B):x=a+rmg(A;B): \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}, wobei rRr \in \mathbb{R}

Dabei ist:

  • a\vec{a} der Ortsvektor des Punktes A Stu¨tzvektorStützvektor
  • m\vec{m} der Richtungsvektor der Geraden oft als $\vec{AB}$ gewählt
  • rr der Parameter

Beispiel: Gegeben: Punkte A3533|5|3 und B2372|3|7

Gesucht: Parameterform der Geraden durch A und B

Lösung:

  1. Ortsvektor a=(3 5 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}
  2. Richtungsvektor m=AB=(23 35 73)=(1 2 4)\vec{m} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-3 \ 3-5 \ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}
  3. Geradengleichung: g(A;B):x=(3 5 3)+r(1 2 4)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}

Merkhilfe: Die Parameterform einer Geraden beschreibt alle Punkte auf der Geraden. Der Parameter rr "bewegt" uns entlang der Geraden, wobei jeder Wert von rr einen bestimmten Punkt auf der Geraden ergibt.

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Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzen wir den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein und prüfen, ob es einen Parameter rr gibt, für den die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel: Gegeben: g(A;B):x=(5 2 1)+r(4 5 3)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Liegen die Punkte P15141|5|14 und Q11514-1|15|14 auf der Geraden g?

Für Punkt P: (1 5 14)=(5 2 1)+r(4 5 3)\begin{pmatrix} 1 \ 5 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1=54r1 = 5 - 4r
  • 5=2+5r5 = 2 + 5r
  • 14=1+3r14 = 1 + 3r

Aus der ersten Gleichung: r=1r = 1 Einsetzen in die anderen Gleichungen:

  • 5=2+51=75 = 2 + 5 \cdot 1 = 7
  • 14=1+31=414 = 1 + 3 \cdot 1 = 4

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt P nicht auf g.

Für Punkt Q: (1 15 14)=(5 2 1)+r(4 5 3)\begin{pmatrix} -1 \ 15 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1=54r-1 = 5 - 4rr=1.5r = 1.5
  • 15=2+5r=2+51.5=9.515 = 2 + 5r = 2 + 5 \cdot 1.5 = 9.5
  • 14=1+3r=1+31.5=5.514 = 1 + 3r = 1 + 3 \cdot 1.5 = 5.5

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt auch Q nicht auf g.

Prüfmethode: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, muss der eingesetzte Parameter rr in allen drei Gleichungen zum gleichen Wert führen.

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Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

  • Sxy: Schnittpunkt mit der xy-Ebene z=0z=0
  • Syz: Schnittpunkt mit der yz-Ebene x=0x=0
  • Sxz: Schnittpunkt mit der xz-Ebene y=0y=0

Beispiel: Gegeben: g(A;B):x=(1 1 3)+r(2 3 2)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}

Spurpunkt Sxy SchnittpunktmitxyEbeneSchnittpunkt mit xy-Ebene:

  1. Setze z = 0: 0=3+2r0 = 3 + 2r
  2. Löse nach r auf: r=32r = -\frac{3}{2}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+(32)(2 3 2)=(4 3.5 0)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{3}{2}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -3.5 \ 0 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Sxy43.504|-3.5|0

Spurpunkt Syz SchnittpunktmityzEbeneSchnittpunkt mit yz-Ebene:

  1. Setze x = 0: 0=12r0 = 1 - 2r
  2. Löse nach r auf: r=12r = \frac{1}{2}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+12(2 3 2)=(0 2.5 4)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 2.5 \ 4 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Syz02.540|2.5|4

Spurpunkt Sxz SchnittpunktmitxzEbeneSchnittpunkt mit xz-Ebene:

  1. Setze y = 0: 0=1+3r0 = 1 + 3r
  2. Löse nach r auf: r=13r = -\frac{1}{3}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+(13)(2 3 2)=(1.67 0 2.33)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{3}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.67 \ 0 \ 2.33 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Sxz1.6702.331.67|0|2.33

Vorgehensweise: Um Spurpunkte zu bestimmen, setzen wir die entsprechende Koordinate gleich Null, ermitteln den Parameter r und berechnen damit die Koordinaten des Schnittpunkts.

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung. Es hat eine physikalische Bedeutung bei der Berechnung von Arbeit:

w=Fs\vec{w} = \vec{F} \cdot \vec{s} Arbeit=KraftWegArbeit = Kraft · Weg

Definition des Skalarprodukts: ab=abcosγ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma

wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Koordinatenform des Skalarprodukts: ab=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Beispiel: a=(2 3 1)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}, b=(3 5 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ 4 \end{pmatrix}

ab=2(3)+(3)5+14=615+4=17\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot 4 = -6 - 15 + 4 = -17

Berechnung des Winkels zwischen Vektoren: cosγ=abab\cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Für unser Beispiel: a=22+(3)2+12=14|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14} b=(3)2+52+42=50|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{50}

cosγ=1714500.715\cos \gamma = \frac{-17}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{50}} \approx -0.715 γ135.65°\gamma \approx 135.65°

Anwendung: Das Skalarprodukt ist besonders wichtig für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren und hat praktische Anwendungen in der Physik, etwa bei der Berechnung der Arbeit.

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Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist:

ab=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Dies entspricht einem Winkel von 90° zwischen den Vektoren, da cos(90°)=0\cos(90°) = 0.

Beispiel: Gegeben: a=(2 4 1)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -1 \end{pmatrix}, b=(1 2 3)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{pmatrix}, c=(4 1 3)\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ -3 \end{pmatrix}

Sind diese Vektoren paarweise orthogonal?

Berechnung: ab=21+4(2)+(1)3=283=9\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 2 - 8 - 3 = -9 Da ab0\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0, sind a\vec{a} und b\vec{b} nicht orthogonal.

ac=24+4(1)+(1)(3)=84+3=7\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-3) = 8 - 4 + 3 = 7 Da ac0\vec{a} \cdot \vec{c} \neq 0, sind a\vec{a} und c\vec{c} nicht orthogonal.

bc=14+(2)(1)+3(3)=4+29=3\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot (-3) = 4 + 2 - 9 = -3 Da bc0\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0, sind b\vec{b} und c\vec{c} nicht orthogonal.

Wichtiger Begriff: Orthogonalität ist ein grundlegendes Konzept in der Vektorrechnung. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, stehen sie senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist 0.

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Mathe

4.037

8. März 2023

22 Seiten

Mathe 12. Klasse Übersicht: Vektoren und Wahrscheinlichkeiten

A

Ayla Emma Askin

@aylaemmaaskin_bzfe

Vektoren und analytische Geometrie bilden ein faszinierendes Gebiet der Mathematik, das es uns ermöglicht, geometrische Probleme algebraisch zu lösen. In dieser Zusammenfassung werden wir die wichtigsten Konzepte von Vektoren, deren Eigenschaften und Operationen, sowie die Darstellung von Geraden und Ebenen... Mehr anzeigen

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Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch Richtung und Länge gekennzeichnet ist. Im dreidimensionalen Raum arbeiten wir mit folgenden Vektortypen:

  • Ortsvektor: Verbindet den Koordinatenursprung mit einem Punkt
  • Verschiebungsvektor: Verbindet zwei beliebige Punkte

Beispiel für Ortsvektoren:

  • Punkt A1221|2|2OA=a=(1\2\2)\vec{OA} = \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\2\2 \end{pmatrix}
  • Punkt B134,51|3|4,5OB=b=(3\4\5)\vec{OB} = \vec{b} = \begin{pmatrix} 3\4\5 \end{pmatrix}

Verschiebungsvektor von A nach B: AB=ba=(31\42\52)=(2\2\3)\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3-1\4-2\5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\2\3 \end{pmatrix}

Verschiebungsvektor von B nach A: BA=ab=(13\24\25)=(2\-2\-3)\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-3\2-4\2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\-2\-3 \end{pmatrix}

Betrag La¨ngeLänge eines Vektors: AB=22+22+32=174,12|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{17} \approx 4,12 LE

Wichtiger Begriff: Der Betrag eines Vektors a\vec{a} wird berechnet durch a=x12+x22+x32|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} und entspricht der Länge des Vektors.

Exkurs: Abstand zweier Punkte im Raum dA,BA,B = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Beispiel: A251-2|5|-1 B8328|-3|-2 dA,BA,B = (8(2))2+(35)2+(2(1))2=102+(8)2+(1)2=165=12,84\sqrt{(8-(-2))^2 + (-3-5)^2 + (-2-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{165} = 12,84 LE

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Vektoroperationen

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoraddition: a+b\vec{a} + \vec{b} ergibt einen neuen Vektor

Wichtige Eigenschaften:

  • 0=(0 0 0)\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} ist der Nullvektor neutralesElementneutrales Element
  • a\vec{a} und a-\vec{a} sind entgegengesetzte Vektoren Beispiel: a=(1 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}, a=(1 3)-\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \ -3 \end{pmatrix}

Vektorsubtraktion: ab\vec{a} - \vec{b} ergibt einen neuen Vektor

Beispiel: a=(1 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}, b=(2 1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} ab=(12 31)=(1 2)\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-2 \ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix}

Multiplikation mit Skalaren

Skalare Multiplikation: rar\vec{a} risteinereelleZahlr ist eine reelle Zahl

Beispiel: a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, r = 2 2a=(2 4)2\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}

Achtung: Vektoren können nicht komponentenweise multipliziert werden! (1 3)(1 2)(1 6)\begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \ 6 \end{pmatrix}

Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz: a+b=b+a\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
  • Assoziativgesetz: (a+b)+c=a+(b+c)(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

Merkhilfe: Bei der Vektorsubtraktion zeigt die Pfeilspitze immer in Richtung des Minuenden!

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Linearkombination von Vektoren

Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert wurden.

Für Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist eine Linearkombination gegeben durch: x=ra+sb\vec{x} = r\vec{a} + s\vec{b}, wobei r,sRr, s \in \mathbb{R}

Das bedeutet: Der Vektor x\vec{x} lässt sich als Linearkombination der Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} darstellen.

Beispiel: Gegeben: x=(12 8 4)\vec{x} = \begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix}, a=(3 5 4)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix}, b=(2 3 0)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}

Frage: Lässt sich x\vec{x} als Linearkombination von a\vec{a} und b\vec{b} darstellen?

Ansatz: (12 8 4)=r(3 5 4)+s(2 3 0)\begin{pmatrix} 12 \ -8 \ -4 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 3 \ -5 \ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{pmatrix}

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

  • 12=3r+2s12 = 3r + 2s 11
  • 8=5r3s-8 = -5r - 3s 22
  • 4=4r-4 = -4r 33

Aus 33 folgt direkt: r=1r = 1

Einsetzen in 11: 12=3+2s12 = 3 + 2ss=4.5s = 4.5

Lösung: x=1a+4.5b\vec{x} = 1 \cdot \vec{a} + 4.5 \cdot \vec{b}

Wichtiger Begriff: Eine Linearkombination ist eine mathematische Operation, bei der Vektoren mit Skalaren multipliziert und dann addiert werden. Sie ist fundamental für das Verständnis von Vektorräumen.

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Kollineare und komplanare Vektoren

Kollineare Vektoren

Definition: Zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} heißen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: a=rb\vec{a} = r\vec{b} oder b=ra\vec{b} = r\vec{a} für ein rRr \in \mathbb{R}

Diese Beziehung wird auch als ab\vec{a} \parallel \vec{b} parallelparallel geschrieben.

Beispiele:

  • a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, b=(2 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix}ab\vec{a} \parallel \vec{b}, da b=2a\vec{b} = -2\vec{a}
  • a=(1 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, b=(2 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}ab\vec{a} \parallel \vec{b}, da b=2a\vec{b} = 2\vec{a}

Komplanare Vektoren

Definition: Drei Vektoren a\vec{a}, b\vec{b} und c\vec{c} heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Das ist der Fall, wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

Dies ist gleichbedeutend mit einer der folgenden Darstellungen:

  • a=rb+sc\vec{a} = r\vec{b} + s\vec{c} oder
  • b=ra+sc\vec{b} = r\vec{a} + s\vec{c} oder
  • c=ra+sb\vec{c} = r\vec{a} + s\vec{b}

Schlüsselkonzept: Kollineare Vektoren liegen auf der gleichen Geraden, komplanare Vektoren liegen in der gleichen Ebene. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der Lagebeziehungen im Raum.

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Geradengleichungen

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade im dreidimensionalen Raum wird eindeutig durch zwei Punkte bestimmt. Die Parameterform der Geradengleichung lautet:

g(A;B):x=a+rmg(A;B): \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{m}, wobei rRr \in \mathbb{R}

Dabei ist:

  • a\vec{a} der Ortsvektor des Punktes A Stu¨tzvektorStützvektor
  • m\vec{m} der Richtungsvektor der Geraden oft als $\vec{AB}$ gewählt
  • rr der Parameter

Beispiel: Gegeben: Punkte A3533|5|3 und B2372|3|7

Gesucht: Parameterform der Geraden durch A und B

Lösung:

  1. Ortsvektor a=(3 5 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}
  2. Richtungsvektor m=AB=(23 35 73)=(1 2 4)\vec{m} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-3 \ 3-5 \ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}
  3. Geradengleichung: g(A;B):x=(3 5 3)+r(1 2 4)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}

Merkhilfe: Die Parameterform einer Geraden beschreibt alle Punkte auf der Geraden. Der Parameter rr "bewegt" uns entlang der Geraden, wobei jeder Wert von rr einen bestimmten Punkt auf der Geraden ergibt.

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Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzen wir den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein und prüfen, ob es einen Parameter rr gibt, für den die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel: Gegeben: g(A;B):x=(5 2 1)+r(4 5 3)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Liegen die Punkte P15141|5|14 und Q11514-1|15|14 auf der Geraden g?

Für Punkt P: (1 5 14)=(5 2 1)+r(4 5 3)\begin{pmatrix} 1 \ 5 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1=54r1 = 5 - 4r
  • 5=2+5r5 = 2 + 5r
  • 14=1+3r14 = 1 + 3r

Aus der ersten Gleichung: r=1r = 1 Einsetzen in die anderen Gleichungen:

  • 5=2+51=75 = 2 + 5 \cdot 1 = 7
  • 14=1+31=414 = 1 + 3 \cdot 1 = 4

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt P nicht auf g.

Für Punkt Q: (1 15 14)=(5 2 1)+r(4 5 3)\begin{pmatrix} -1 \ 15 \ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1=54r-1 = 5 - 4rr=1.5r = 1.5
  • 15=2+5r=2+51.5=9.515 = 2 + 5r = 2 + 5 \cdot 1.5 = 9.5
  • 14=1+3r=1+31.5=5.514 = 1 + 3r = 1 + 3 \cdot 1.5 = 5.5

Die Gleichungen sind widersprüchlich, daher liegt auch Q nicht auf g.

Prüfmethode: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, muss der eingesetzte Parameter rr in allen drei Gleichungen zum gleichen Wert führen.

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Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

  • Sxy: Schnittpunkt mit der xy-Ebene z=0z=0
  • Syz: Schnittpunkt mit der yz-Ebene x=0x=0
  • Sxz: Schnittpunkt mit der xz-Ebene y=0y=0

Beispiel: Gegeben: g(A;B):x=(1 1 3)+r(2 3 2)g(A;B): \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}

Spurpunkt Sxy SchnittpunktmitxyEbeneSchnittpunkt mit xy-Ebene:

  1. Setze z = 0: 0=3+2r0 = 3 + 2r
  2. Löse nach r auf: r=32r = -\frac{3}{2}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+(32)(2 3 2)=(4 3.5 0)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{3}{2}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -3.5 \ 0 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Sxy43.504|-3.5|0

Spurpunkt Syz SchnittpunktmityzEbeneSchnittpunkt mit yz-Ebene:

  1. Setze x = 0: 0=12r0 = 1 - 2r
  2. Löse nach r auf: r=12r = \frac{1}{2}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+12(2 3 2)=(0 2.5 4)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 2.5 \ 4 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Syz02.540|2.5|4

Spurpunkt Sxz SchnittpunktmitxzEbeneSchnittpunkt mit xz-Ebene:

  1. Setze y = 0: 0=1+3r0 = 1 + 3r
  2. Löse nach r auf: r=13r = -\frac{1}{3}
  3. Setze r in die Geradengleichung ein: x=(1 1 3)+(13)(2 3 2)=(1.67 0 2.33)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{3}) \begin{pmatrix} -2 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.67 \ 0 \ 2.33 \end{pmatrix}
  4. Spurpunkt Sxz1.6702.331.67|0|2.33

Vorgehensweise: Um Spurpunkte zu bestimmen, setzen wir die entsprechende Koordinate gleich Null, ermitteln den Parameter r und berechnen damit die Koordinaten des Schnittpunkts.

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung. Es hat eine physikalische Bedeutung bei der Berechnung von Arbeit:

w=Fs\vec{w} = \vec{F} \cdot \vec{s} Arbeit=KraftWegArbeit = Kraft · Weg

Definition des Skalarprodukts: ab=abcosγ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \gamma

wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Koordinatenform des Skalarprodukts: ab=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Beispiel: a=(2 3 1)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}, b=(3 5 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ 4 \end{pmatrix}

ab=2(3)+(3)5+14=615+4=17\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot 4 = -6 - 15 + 4 = -17

Berechnung des Winkels zwischen Vektoren: cosγ=abab\cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Für unser Beispiel: a=22+(3)2+12=14|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14} b=(3)2+52+42=50|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{50}

cosγ=1714500.715\cos \gamma = \frac{-17}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{50}} \approx -0.715 γ135.65°\gamma \approx 135.65°

Anwendung: Das Skalarprodukt ist besonders wichtig für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren und hat praktische Anwendungen in der Physik, etwa bei der Berechnung der Arbeit.

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Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} sind orthogonal senkrechtzueinandersenkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist:

ab=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Dies entspricht einem Winkel von 90° zwischen den Vektoren, da cos(90°)=0\cos(90°) = 0.

Beispiel: Gegeben: a=(2 4 1)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -1 \end{pmatrix}, b=(1 2 3)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{pmatrix}, c=(4 1 3)\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ -3 \end{pmatrix}

Sind diese Vektoren paarweise orthogonal?

Berechnung: ab=21+4(2)+(1)3=283=9\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 2 - 8 - 3 = -9 Da ab0\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0, sind a\vec{a} und b\vec{b} nicht orthogonal.

ac=24+4(1)+(1)(3)=84+3=7\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-3) = 8 - 4 + 3 = 7 Da ac0\vec{a} \cdot \vec{c} \neq 0, sind a\vec{a} und c\vec{c} nicht orthogonal.

bc=14+(2)(1)+3(3)=4+29=3\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot (-3) = 4 + 2 - 9 = -3 Da bc0\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0, sind b\vec{b} und c\vec{c} nicht orthogonal.

Wichtiger Begriff: Orthogonalität ist ein grundlegendes Konzept in der Vektorrechnung. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, stehen sie senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist 0.

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Konstruktion eines orthogonalen Vektors

Gegeben: zwei nicht kollineare Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} im dreidimensionalen Raum.

Gesucht: ein Vektor n\vec{n}, der senkrecht zu beiden Vektoren steht.

Lösung: Der gesuchte Vektor n\vec{n} muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

  • an=0\vec{a} \cdot \vec{n} = 0 orthogonal zu $\vec{a}$
  • bn=0\vec{b} \cdot \vec{n} = 0 orthogonal zu $\vec{b}$

Beispiel: Gegeben: a=(1 2 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, b=(2 1 4)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 4 \end{pmatrix}

Gesucht: n=(n1 n2 n3)\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \ n_2 \ n_3 \end{pmatrix}, der senkrecht zu a\vec{a} und b\vec{b} steht.

Lösung:

  1. Aufstellen der Gleichungen: an=0\vec{a} \cdot \vec{n} = 0: 1n1+2n2+3n3=01 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 + 3 \cdot n_3 = 0 bn=0\vec{b} \cdot \vec{n} = 0: 2n1+1n2+4n3=02 \cdot n_1 + 1 \cdot n_2 + 4 \cdot n_3 = 0
  2. Dies ergibt das Gleichungssystem: n1+2n2+3n3=0n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 0 2n1+n2+4n3=02n_1 + n_2 + 4n_3 = 0
  3. Lösen des Gleichungssystems: Da wir drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen haben, können wir eine Variable frei wählen, z.B. n3=1n_3 = 1 Dann ergeben sich n1n_1 und n2n_2 durch Lösen des Gleichungssystems
  4. Mit n3=1n_3 = 1 erhalten wir: n1+2n2+3=0n_1 + 2n_2 + 3 = 0 2n1+n2+4=02n_1 + n_2 + 4 = 0 Lösung: n1=5n_1 = 5, n2=4n_2 = -4
  5. Der gesuchte Normalenvektor ist: n=(5 4 1)\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \ -4 \ 1 \end{pmatrix}

Anwendung: Die Konstruktion eines orthogonalen Vektors zu zwei gegebenen Vektoren ist besonders wichtig für die Bestimmung des Normalenvektors einer Ebene, die durch zwei Richtungsvektoren definiert ist.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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